试题标注结果统计及分析-南京大学
有机波谱学：考研试题
中国科学院研究生院 2007 年 一、综合简答及选择题（共 28 分） 8) 有机化合物的核磁共振化学位移的真实值（υ）不同与其 相对值（δ），以下对υ的描述哪一个是对的？ （2分） a）化学位移不依赖于磁场 b）化学位移与溶剂无关 c）化学位移依赖于磁场，磁场越大，位移越大 d）化学位移依赖于磁场，磁场越大，位移越小
南开大学 2008 年 五、（10分）化合物 M 在加热下转变为 N，当用 CF3CO3H 处 理 N 时，得到一不稳定的化合物 O，它迅速转化为化合物 P。P 的 IR 谱在 3400cm-1 处有一宽而强的吸收，1H NMR 数据如下：δ 7.2-6.8 (m, 4H)，4.2 (m, 1H)，3.9 (d, 2H)， 2.8 (m,1H)，1.9 (s,1H)，1.3 (d,3H)ppm。写出 N, O, P 的 结构，并写出由 O 到 P 的历程
中国科学技术大学 2010 年
中国科学技术大学 2010 年
中国科学技术大学 2008 年 一、选择题（每小题2分，共30分） 5．下列化合物按照它们的红外伸缩振动吸收波数C=O从长到 短的顺序是： (2) CH3CH2CH2COCH3 (1) CH3CH=CHCOCH3 (3) CH3CH2CH2CHO (4) CH3CH2CH2COCl A. (2)>(3)>(4)>(1) B. (3)>(2)>(4)>(1) C. (4)>(3)>(2)>(1) D. (2)>(4)>(3)>(1) 12．按紫外吸收波长由长到短排列顺序正确的是：
13C
NMR谱δ(ppm)：208.6, 199.1, 142.9, 142.3, 47.8, 29.9, 27.9, 26.4, 26.3, 25.8, 17.2
南京大学2001数学分析解答
2001年数学分析 一、求下列极限 1） 设),2(,43,011≥+==-n a a a n n 求n n a ∞→lim ；解：（这道题目没有什么好讲的吧）（1）利用数学归纳法：证明该数列单调递增且有界，小于1 （2）直接求出通项公式1112n n a -=-2）求极限：2201lim x y x ey +→+∞→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：这道题目e x 总是比x 大无穷阶，猜出答案来解决()()2222022222242201lim lim0limlim1lim 0x x y y xx x y x y x e xyey xyex ex e y ++→+∞→+∞→→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭++<+<<==⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；3） 设[],,)(,B b a A C x f B A <<<∈试求⎰-+→bah dx hx f h x f )()(lim解：lim 不能穿越积分符号，但是f （x ）可积，所以分开来积分再合起来[],00(),,()[,]()()()()()()()()()()()()()()limlimlim()()A B xa babh h h af x C A a b B f x a b f x d x F x f x h f x F b h F a h F b F a d x hhf x h f x F b h F b F a h F a d x hhhf b f a →→→∈<<<=+-+-+-+=+-+-+-=-=-⎰⎰⎰所以在可积4） 设)(x f 在)1,0(内可导，且),1,0(,1|)(|∈∀<'x x f 令)2)(1(≥=n nf x n ，试证明nn x ∞→lim 存在有限解：其实更简单的方法用Cauchy 收敛准则，更为简洁。
当时没有注意(1).,(0,1)()()'()()|()()|11(2).{()}10,0,,,|()|1,'m a x {,N }11111|()||()()||()|21,()x y f x f y f x y f x f y f pnN M N n M f p nm n N m n f p f f f p mmn nm nnf p m mξεεεεεεε∀∈-=-⇒-<∀>∃>∀>∃>-<∀>∃=--≤-+-<+<+=→→+∞，存在一个收敛的子列，不妨设收敛于根据的任意性得知，时二、设,1)0(,)(),(2=∈+∞-∞g C x g 令⎪⎩⎪⎨⎧≠-='=时当时当0,cos )(0),0()(x x xx g x g x f 1） 讨论处的连续性；在0)(=x x f2） 求.0)(),(处的连续性在并讨论=''x x f x f解：2(,)C-∞+∞应该是指二阶导函数连续吧，反复利用中值定理和L ’Hospital 法则2()c o s '()s in 1)(0)limlimg '(0)1()c o s ()(0)1c o s (0)limlimlimg '(0)2)()c o s '()s in ()c o s 0,'()()'0,()c o s '(0)'(0)limx x x x x x g x xg x xf xg x xg x g xf xxxg x xg x xg x xx f x xxxx g x xg xf x →→→→→→-+===---==+=-+-≠==-=--==或者<1>当时<2>当时2222()1'(0)1c o s limlim'()'(0)1"(0)1lim222'()'(0)s in ()(0)'(0)1c o s lim '()limlimlim'()'(0)1"(0)1lim1"(0)222x x x x x x x x g x x g xxxg x g g xg x g xg x g x g xf x x xxg x g g f x→→→→→→→→---+-+=+=-+---=---+=+-===三、设[][],1,0,1)(0,0)0(,)(1,01∈∀≤'<=∈x x f f Cx f 试证明对一切[]1,0∈t ，成立[]⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ttdx x fdx x f 0320)()(证明：原来想用Cauchy-Schwarz 定理的，后来发现方向反了。
南京大学1995—2011年地理信息系统GIS考研真题剖析
南京大学1995年考研试题一。
名次解释（20）1。
地理信息系统2。
全球定位系统3。
数据结构4。
游程编码5。
DIME文件二。
试以实例说明空间数据的基本特征及其在计算机中的表示方法（15）三。
试述在PCARC/INFO中一个信息存储层(coverage)的生成步骤及使用的相应命令。
(15)四。
试以城市某一子功能的应用为例，简述建立运行gis的方法和步骤。
(25) 五。
简述gis的空间分析功能及其地学应用。
(25)南京大学1996年考研试题一。
名次解释(20)1。
地理信息系统2。
数据库管理系统3。
四叉树编码4。
边界代数算法5。
数字插值与拟合二。
试以实例说明空间数据的基本特征及其在计算机中的表示方法。
(15) 三。
试写出矢量和栅格数据结构的模式，并列表比较其优缺点。
(20)四。
简述gis的空间分析功能，并试以实例说明其在地理学中的应用。
(25) 五。
以城市地籍管理为例，简述建立运行gis的方法与步骤。
(30)南京大学1997年考研试题地理信息系统：1、试根据建立多边形的右转算法和左转算法原理，写出由有向线段组成的多边形区域的定义（15分）。
2、试描述GIS中的2维（2-D）、2.5维（2.5-D）、3维（3—D）和4维（4-D）空间数据系统的概念，并说明其各自的应用对象或领域。
（15分）3、设两回事个输入数据层（如图）的A、B、D分别表示属性类别数据的代码，图中有阴影的象元表示没有被正确分类的象元。
试问，通过GIS的逻辑“交”（AND）和逻辑“并”（OR）运算后，得到的输出数据的精度有何不同。
（20分）4、简述GIS的空间分析功能，并试以实例说明其在地理学中的应用。
（25分）5、试以城市地下管网信息管理为例，简述建立运行GIS的方法和步骤。
（25分）南京大学1998年考研试题一、试解释以下名词（20分）1、地理信息科学（Geoinformatics)2、数据库管理系统3、四叉树编码4、数字插值与拟合5、多媒体技术二、GIS空间数据可按行政界线、图幅或面向对象的方法进行组织，试以实例说明它们之间的异同点及面向对象方法的特点。
南京大学919经济学原理试卷分析及真题详解【圣才出品】
6．南京大学919经济学原理试卷分析及真题详解（1）南京大学919经济学原理参考书目及真题分析一、参考书目根据南京大学研究生院官方网站，南京大学“919经济学原理”考试科目参考书目为：1．《现代西方经济学原理》（第五版）刘厚俊编著，南京大学出版社2．《微观经济学》梁东黎，刘东著，南京大学出版社3．《微观经济理论-基本原理与扩展》（中英文皆可）Walter Nicholson著，北京大学出版社4．《宏观经济学教程》沈坤荣，耿强，付文林主编，南京大学出版社，2010年11月第2版需要提醒考生注意的是，复习过程中，重点看：梁东黎《微观经济学》和沈坤荣《宏观经济学教程》。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》重点看例题和课后习题（每一年微观经济学考题部分考题就是该书的例题或课后习题）。
二、真题分析通过研究南京大学“919经济学原理”历年考研真题，可以发现，该考试科目试卷呈现如下特征：1．考查基本知识点，难度适中相对于其他名校，南京大学“919经济学原理”考卷简单。
只要认真看指定教材以及多加考题练习（包括课后习题），专业课取得较高分数，问题不大。
2．一定要做尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题和课后习题南京大学“919经济学原理”历年考卷中，每一年微观经济学考题部分考题尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题或课后习题。
考虑到时间紧，任务重（南京大学商学院竞争较为激烈，每年招生人数不多，约80名硕士研究生，其中保送生就占了20%左右），考生单看尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题和课后习题即可，不需要花很多时间掌握该书知识点。
（2）2015年南京大学919经济学原理考研真题及详解一、名词解释（5分×6＝30分）1．合成谬误答：合成谬误是指把局部是对的认识，仅仅因为对局部来说是对的，便错误地推断该认识对总体而言也是对的。
如果认为对局部来说成立的东西，对总体也必然成立，那就犯了“合成谬误”。
南京大学考博试题——社会学统计题目
统 计 题 目五、（20分）若根据列联表1： n11 n21 n31 n12 n22 n32计算出用于检验的统计量 ∑∑(n_{ij}-E_{ij})^2x^2 = ------------------------------E_{ij} （注：x^2表示x 的平方；E_{ij}表示ij 为E 的下标） 那么，根据列联表2： Kn11 Kn21 Kn31 kn12 kn22 Kn32计算出用于检验的统计量X2应等于什么？（注意：表2中所有格值都是表1相应格值的K 倍）。
★这是一道很简单的列联表检验。
用于检验的统计量卡方是等于实际频数与期望频数之间的离差与期望频数之间的比值。
卡方=∑∑(n_{ij}-E_{ij})^2/ E_{ij}期望频数是假设列联表的行与列相互独立的频数， E_{ij}=ni*n*j/n ，其中ni*和n*j 都是边缘和。
当样本量扩大K 倍时，卡方值受其影响很大，实际上，卡方也会增大K 倍。
卡方’=∑∑(Kn_{ij}-KE_{ij})^2/ KE_{ij}=K*原卡方*******************************************************************************************六、（本题20分）设有以下两个二元重复情况下的方差分析： A A1 A2 A3 B B1 1 7 13 2 8 14 B2 3 9 15 4 10 16 B3 5 11 17 6 12 18 *******************************************************************************************A A1 A2 A3BB1 1 13 72 14 8B2 3 9 154 10 16B3 5 11 17 6 12 18问：（1）两表中哪些离差平方和相同？ （2）两表中哪些离差平方和不同？ ★注意到数值本身实际上是没有变化的，只有数的位置发生了变化，所以TSS 是不变的。
2022心理学考研南京大学专硕347真题点评及命题趋势大解读！必看！
2022心理学考研南京大学专硕347真题点评及命题趋势大解读！必看！2022年考研初试已落下帷幕，辛苦备考的小伙伴们可以放下紧张的心情啦放松一下啦~比邻的教研老师们想对大家说：“坚持到现在的你已经很棒啦！放松过后，不管是复试还是其他，准备开启下一场旅行吧！”对于23考研的小伙伴们来说，好的开始就是成功的一半，越早了解目标院校的考察情况，就越早科学高效地备考。
下面，文都比邻教研老师为大家深度解读2022南京大学心理学专硕347考研真题，分值分布、出题特点、学科剖析及备考建议，快来查收吧！真题题型及科目分值分析1.2022 年题型科目分值分布2.2022 年与2021年分布对比真题特点分析及解读1.题型难度分析2022年南京大学专硕347的考试题量与2021年保持一致，10道单选题、6道名词解释、8道简答题和3道论述题，由于科目占比变化明显，考察方式也有所改变，整体上讲，难度系数略有下降。
①选择题难度中等，大部分考察基础知识的掌握，此外考察更为细致：如“口头语言”、“置信区间”考察的都是学科基础知识；此外，对“明适应和暗适应”的知识点也进行了重复考察。
②名词解释难度中等，考察较为基础：如“心境”、“定势”等的概念，是多次强调的重点知识。
③简答题难度下降，掌握核心知识点。
如“动机的理论”、“内隐记忆和外显记忆的关系”，这些都是高频考点。
考生只要框架搭建正确，要点能够答全，简答题的分数就稳妥了。
④论述题分值最高，最能拉开差距，难度系数也是中等偏上。
实验心理学、普通心理学和心理测量学均考察一道大题，实验心理学和去年一样考察了一道实验设计题；普通心理学是对情绪的综合考察，具有一定难度；测量考察测验的编制，需要具备较强的综合运用能力。
2.考察科目解读从南京大学2022年的科目题量分布表格与分布对比表格当中我们可以看出，普通心理学再次回归到了核心地位，实统测分值占比有所下降。
①普通心理学：合计考察127分，占比最大；从整体来看，考察较为基础，但同时需注重对知识本质的理解。
2011南京大学考研真题及答案详解
南京大学2011 年硕士研究生入学考试试题一、名词解释（共30 分，每题5 分）1、价格变动的替代效应2、生产者剩余3、帕累托最优4、自动稳定器5、摩擦性失业6、剑桥方程式二、计算题（共30 分，每题15 分）1、假设x 和y 的效用函数为U （x y）=xy+y。
计算X 与Y 的马歇尔需求函数并描述收入I 或其他商品价格变化是需求曲线怎样变化？2、某国经济总量生产函数为Y=10√L（1）求劳动的需求函数（2）用实际工资表示产出（3）名义工资为2 P=1.5 计算产出水平（4）假设名义工资W=2 求总供给方程。
三、简答题（共90 分，每题15 分）1、什么是消费者剩余？为什么会存在消费者剩余。
2、为什么MC 曲线代表完全竞争厂商的供给曲线。
3、公共产品决策与私人产品决策有何不同，公共产品为什么出现市场失灵。
4、简述凯恩斯“流动性陷阱”的主要内容。
5、试述货币供给增大对产出和价格的影响。
6、简述AD 曲线发生平移的影响因素。
南京大学2011 年硕士研究生入学考试试题参考答案一、名词解释1. 价格变动的替代效应答题思路：①. 替代效应的定义②. 图形分析（包括价格上升时的替代效应与价格下降时的替代效应，这种题目图形最重要，一定要结合图形进行分析）答：①. 一种商品价格变动引起该商品需求量变动的总效应可以分为收入效应与替代效应。
替代效应是指在消费者实际收入不变，纯粹因价格变动进而商品相对价格变动而引起的需求量改变，可以看成事替代效应。
收入效应是在商品的相对价格没有发生变化而引起的实际收入变动引起的需求量变动，可以看成是价格变动的收入效应。
②. a. 价格下降时的替代效应。
加上文字描述。
b. 价格上升时的替代效应。
（图形与上图相同，标记相反）2. 生产者剩余答题思路：①. 定义；②. 数学表达式与图形描述；③—⑤对比总结部分。
答：①. 生产者剩余是按照市场价格销售一定量产品所得到的收益与厂商愿意得到的最低金额之间的差额。
南京大学2010年数学分析考研试题及解答
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利用（1）的结果，得存在),(ba∈ξ，使得
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′
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从而知(
)Fx在[]0,π上连续，
利用黎曼引理，得()()01
lim0limsin0
22n
nnSfFxnxdxππ→∞→∞????
?=+=
????
????∫，
故有()
()01
limcoscos2cos0
22nfxxxnxdxfπ
π→∞??
++++=
??
??∫?.
七．证明设Ff
aa?
?=?
+++
11
2nnaa?≤?，
()2,3,n=?，
于是{
}na是压缩数列，从而{}na收敛，
设limn
naa→∞=，2
a≥，
则有1
aa=+，210aa??=,15
2
a
+
=.
方法二显然222
a=<，12aa<，
由归纳法，知112na+≤<，1nnaa+≤，
()1,2,3,n=?，
2023年江苏省南京大学自主招生综合评价数学试题及答案解析
2023年江苏省南京大学自主招生综合评价数学试题及答案解析6月10日考试时长：2小时1.从n ，2,1中随机抽取一个数X ，再从X ，2,1中随机抽取一个数Y ，求Y 的数学期望.2.在ABC ∆中，7=AB ，9=BC ，8=CA ，内切圆圆I 与AB CA BC ,,分别切于F E D ,,，过D 作EF DP ⊥于P ，求PI .3.求不定方程2023!3=-y x 的全部正整数解.4.已知素数p ，正整数b a ,，满足p b a <<<1的a 进制展开式为∑==1k i iiaa p ，p 的b 进制展开式为∑==2k i iibb p ，记()∑==1k i iixa x f ，()∑==2k i iixb x g ，证明：存在正整数bc >，使得()/|()g c f c .5.已知正整数n ，n n p 232+=，12+=n m ，证明：()1!11-∏-=km k qm .答案解析1.解析：利用条件期望公式，()()[]43412121n n X E XY E E Y E +=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==.2.解析：由熟知几何结论知：CEP BFP ∆∆∽，∴54==CE BF PE PF ∵72872987cos 222=⨯⨯-+=A ，∴710372923322=⨯⨯-+=EF .由海伦公式5122798289729872987=-+⨯-+⨯-+⨯++=∆ABC S .∴在EFI ∆中用斯特瓦尔特定理知：63115792059594522=⨯-=⋅⨯-=⋅-=EF PF PE r PI .4.解析：∵()()()a g b g p a f >==，故()()x g x f -的最高项系数为正.故在c 充分大时()()c g c f >.如果对任意b c >，使得()c g 整除()c f ，在有理数意义下做带余除法，()()()()x r x g x q x f +=这里()x q ，()x r 都是有理系数多项式，()()x g x r deg deg <，通分后设()()()()x tr x g x tq x tf +=，这里+∈N t ，()x tq ，()x tr 都是整系数多项式.∵对任意b c >，使得()c g 整除()c f .于是()c g 整除()c tr ，但()()x g x r deg deg <，故在c 充分大时，()()c tr x g >，因此()x r 是零多项式，即()()x f x g .∴()()p a f a g =，但是()x g 不是常数，否则p b =0矛盾.∴()()p b g a g =<<0，故()1=a g ，∴()1=x g ，这与()1>=p b g 矛盾.于是存在b c >，使得()c g 不能整除()c f .注：∵()()()a g b g p a f >==，故()()x g x f -的最高项系数为正，故在c 充分大时，()()c g c f >，故()c f 不能整除()c g .5.解析：先证：q 与!m 互质对任意素数m p ≤，若q p ，即()p nnmod 3222-≡，∴5≥p ，∴()()p nmod 13221-≡⋅-，∴()()p nmod 13221≡⋅-∴132-⋅模p 的阶为12+n ，从而121-+p n （∵()p p mod 121≡-）但121+≤≤-n m p 矛盾，故q 与!m 互质.再证对任意正整数x ，只要x 与!m 互质就有()1!11-∏-=km k xm ……（*）事实上，对任意素数m p ≤，!m 中p 幂次为∑+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1#i i p m ，即为[]∑+∞=12,1#i j p m 的倍数中，， 故需证（*），只需证明对任意素数，*,N j m p ∈∀≤且m p j≤.有[]的倍数中，，jp m 2,1#[]的倍数中jm p x x x 1,,1,1#21---≤ 上式左边⎥⎦⎤⎢⎣⎡=j p m ，而对右边由欧拉定理()()jp p x j mod 1≡ϕ故右边()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥--11111j j j p m p p m p m ϕ（∵p mp m ≥--11）故（*）成立，原命题获证.。
2023年南京大学现代经济学考研真题及答案
南京大学2０23年攻读硕士学位硕士入学考试试题考试科目名称及代码:现代经济学合用专业：政治经济学、西方经济学、世界经济学、人口、资源与环境经济学 国民经济学、金融学、产业经济学、国际贸易学、数量经济学一、名词解释（5分×４)1．经济利润2．外部效应３.相对收入4.净存货机制二、计算（5分×2)1．假设某商品价格为10０元时,需求量为5０件;价格提高到1５0元时,需求量为2０件。
价格提高对消费者福利有何影响？2．假设劳动收入和资本收入之比为7:３,劳动增长率为1%,资本增长率为4%。
根据新古典增长理论,经济增值率旳计算值是多少？若实际旳增长率为3%，两者旳差异怎样解释?三、简答(10分×４)1．本国货币贬值往往导致出口品价格下降。
试问：本国货币贬值与否一定导致出口额增长?2.假设在一竞争性市场中,供应状况不变。
有哪些原因会导致商品价格提高？3.假设一种萧条经济,政府准备采用扩张性旳财政政策刺激总需求。
政府可以采用哪些财政政策？多种财政政策刺激总需求旳效果分别怎样？4.根据IS—LM模型,在产出和利息率之间存在怎样旳关系？四、论述(１５分×２)(考生注意:报考政治经济学和西方经济学旳考生只做Ａ１、B1。
其他专业旳考生在A中任选一题并在B中任选一题）A1、新古典经济学怎样论证完全竞争市场旳效率是最高旳?现实中市场经济旳效率受到哪些原因旳制约?B1、假设中央银行采用减少再贴现率旳扩张性货币政策。
这一政策对总需求旳刺激作用受到哪些原因旳影响?A2、根据原则分析，完全垄断有损于经济效率。
从提高消费者福利旳角度看，政府对完全垄断厂商采用何种管制政策是合适旳？B2、试讨论：能否通过提高物价旳措施减少失业率?参照答案南京大学202３年攻读硕士学位硕士入学考试试题考试科目名称及代码:现代经济学合用专业：政治经济学、西方经济学、世界经济、人口、资源与环境经济学、国民经济学、金融学、产业经济学、国际贸易学、数量经济学一、名词解释（5分×4)1．经济利润:指企业旳总收益和总成本之间旳差额，简称企业旳利润。
[理学]南京大学2017-2018年数学分析考研试题及解答.pdf
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2000年南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题一、求下列极限. 1）设nn n x x x ++=+3)1(31,(01>x 为已知),求n n x ∞→lim ； 2)22)(lim 2200y x y x y x +→→；3)201cos lim x xtdt t ++∞→∫； 4)222222021lim cos()xy r x y r e x y dxdy r π+→+≤−∫∫.二、在[]1,1−上有二阶连续导数,0)0(=f ,令xx f x g )()(=,())0()0(,0f g x ′=≠,证明： 1))(x g 在0=x 处连续,且可导,并计算)0(g ′； 2))0(g ′在0=x 处也连续. 二、设t e e t f t ntn 3sin )1()(−−−=,()0≥t ,试证明1）函数序列(){}t f n 在任一有穷区间[]A ,0上和无穷区间[0,)+∞上均一致收敛于0；2）∫+∞−−∞→=−030sin 1lim tdt e e tn t n . 三、设对任一A>0,)(x f 在[]A ,0上正常可积,且0)(0≠∫+∞dt t f 收敛.令(),0,)()()(0≥−=∫∫+∞x dt t f dt t f x x xϕ试证明)(x ϕ在()+∞,0内至少有一个零点.四、计算积分())0(,sin cos ln )(2222>+=∫a dx x x a a I π.五、试求指数λ,使得dy r y x dx r y x λλ22−为某个函数()y x u ,的全微分,并求()y x u ,,其中22y x r +=.六、计算下列曲线积分和曲面积分)1()()()∫+++−++=cdz z y x dy y x dx z y x I ,223其中c 为1222=+y x 与z y x −=+222的交线,从原点看去是逆时针方向.)2()()()2222222:,R c z b y a x S dxdy z dzdx y dydz x I S=−+−+−++=∫∫.七、设()ln nn u x x x =,[]0,1x ∈,(1)试讨论1()n n u x ∞=∑在](0,1上的收敛性和一致收敛性；(2)计算11ln n n x xdx ∞=∑∫.九、设222exp ,0,0(,)0,0,0x t t x f x t t t x−+>> ==> ,0()(,)I x f x t dt ∞=∫ , (0)x > 1）讨论0(,)f x t dt +∞∫在()0,+∞上的一致收敛性,并证明200lim ()2tx I x e dt ++∞−→==∫ 2）计算()I x .2000年南京大学数学分析考研试题的解答一、1、解 设xc x c x f ++=)1()(,),0[+∞=∈I x ,其中常数1>c . 因为111)1()()1()(022<−=−≤+−=′<c cc c x c c c x f ,所以f是I 上的压缩函数.对3(1)()3x f x x +=+,13(1)()3n n n nx x f x x ++==+, 1111|||()()||()()|||n n n n n n n n x x f x f x f x x k x x ξ+−−−′−=−=−≤−, 于是111113(1)3(1)32||||||33(3)(3)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x −+−−−++⋅−=−=−++++12||3n n x x −≤−,{}n x 是压缩迭代序列,所以n n x ∞→lim 存在,设lim n n x A →∞=,易知0A ≥；在n n n x x x ++=+3)1(31两边令∞→n 取极限,得到3(1)3A A A+=+,所以A =；故lim n n x →∞=.2、解 先求其对数的极限：()2222()(00)limln x,y ,x y x y →+, 由于()()()()222222222211ln ln 022x y x y x y x y x y +≤+⋅++→,((,)0x y →)； 所以()2222()(00)limln 0x,y ,x y x y→+=,进而()()222222ln 220()(00)()(00)limlim e=1x yx y x y x,y ,x,y ,xye +→→+== . 3、解 由于21cos tdt t+∞∫收敛,于是201cos lim 0x xtdt t++∞→=∫. 4、解 222222021lim cos()xy r x y r ex y dxdy rπ+→+≤−∫∫2222202lim cos()xy r x y r e x y dxdy +→+≤=−∫∫22(0,0)2[cos()]|2xy e x y =−= .二、证明 (1)由于()f x 在[]1,1−上有二阶连续导数, 所以()f x ,(),()f x f x ′′′在[]1,1−上连续； 当0x ≠时, ()()f x g x x=,显然()g x 在0x ≠处是连的； 在0x =处,'00()()(0)lim ()limlim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→−===−. 有)0()(lim 0g x g x =→；所以()g x 在0x =处连续. 故()g x 在[]1,1−上连续.在0x =处, 00()(0)()(0)(0)lim lim x x f x f g x g x g x x→→′−−′==2000()(0)()(0)()1lim lim lim (0)222x x x f x xf f x f f x f x x →→→′′′′′−−′′====.(2)当0x ≠时, ()()f x g x x =, 2()()()f x x f x g x x ′−′=g . 由于()f x 和()f x ′连续, 故当0x ≠时, ()g x ′存在且连续. 而且, 200()()()()()lim ()limlim 2x x x f x x f x f x x f x f x g x x x →→→′′′′′⋅−⋅+−′==0()1lim (0)(0)22x f x x f g x →′′⋅′′′===. ()g x ′在0x =处连续, 进而()g x ′在[]1,1−上连续.三、引用定理 设{()}n f x 在[,)a +∞上有定义,满足：(1)对每一b a >,{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于0；(2)lim ()0n x f x →+∞=,且关于n 是一致的,则{()}n f x 在[,)a +∞上一致收敛于0.1）证明 (1)因为3|()||(1)sin |(1)t t t nnn f t e e t e −−−=−≤−, 显然{}t ne −在任一有穷区间[]A ,0上一致收敛于1, 于是(){}t f n 在任一有穷区间[]A ,0上一致收敛于0；又3|()||(1)sin |t t t nn f t e e t e −−−=−≤,因而lim ()0n t f t →+∞=,且关于n 是一致的,所以(){}t f n 在无穷区间[0,)+∞上一致收敛于0； 2）因为3|()||(1)sin |t ttnn f t e e t e −−−=−≤,且0t e dt +∞−∫收敛,(){}t f n 在任一有穷区间[]A ,0上一致收敛于0利用积分控制收敛定理,得3000lim 1sin lim ()lim ()0tt n n n n n n e e tdt f t dt f t dt +∞+∞+∞−−→∞→∞→∞−=== ∫∫∫. 四、证明 显然0(0)()f t dt a ϕ+∞=−=−∫,0lim ()()x x f t dt a ϕ+∞→+∞==∫；存在0A >,当x A ≥时,有()2ax a ϕ<<； )(x ϕ在[0,]A 上连续,(0)()0A ϕϕ<,由闭区间上连续的零点定理, 得)(x ϕ在()+∞,0内至少有一个零点. 五、解dx x b x a )cos sin ln(222202+∫π,0,>b a .记dx x b x a b a I )cos sin ln(),(222202+=∫π,),(b a I 是连续可微函数. 当b a =时,dx x a x a a a I )cos sin ln(),(222202+=∫πa ln π=； 当b a ≠时,dxx b x a xa b a I a ∫+=∂∂2022222cos sin sin 2),(πdx bx b a b b x b a b a a ∫+−−+−−=2022222222222sin )(sin )(2π]cos sin 2[2202222222dx x b x a b b a a ∫+−−=ππ]tan tan 2[220222222x d bx a b b a a ∫+−−=ππ ]|)tan arctan(2[22022ππx b a a b b a a −−=b a a b b a a +=−−=1]22[222πππ, 于是C b a b a I ++=)ln(),(π,再由a a a I ln ),(π=,得2ln π−=C ,故2ln),(ba b a I +=π. 六、解设22(,),(,)x x P x y r Q x y r y y λλ==−,12(,)yr y r r P x y x yy λλλ−−∂=∂, 2122(,)xxr x r r Q x y xy λλλ−+∂=−∂,令(,)(,)P x y Q x y y x∂∂=∂∂,得1λ=−；由1u x r x y −∂=∂, 得1()u r y y ϕ=+,代入212u x r y y −∂=−∂,得()y C ϕ=,故1(,)u x y r C y =+ . 七、()()()∫+++−++=cdz z y x dy y x dx z y x I ,223其中c 为1222=+y x 与z y x −=+222的交线,从原点看去是逆时针方向. （1） 解 22{(,,):1,21}x y z z x y Σ==−+≤,22{(,):21}D x y x y =+≤(cos ,cos ,cos )n αβγ=r(0,0,1)=, 利用斯托克斯公式,得()()()3cI x z dx x dy x y z dz =++++∫Ñ3cos cos cos dS x y z x zx x y zαβγΣ∂∂∂=∂∂∂+++∫∫3001dS x y z x zx x y zΣ∂∂∂=∂∂∂+++∫∫22(1)(1)Dz dS dxdy Σ=−=+∫∫∫∫2Dy dxdy π=+2122001sin 2d r ππθθ=∫20311cos 2242d πθπθ−=+∫38ππ= . (2)解 区域2222)()()(:R c z b y a x ≤−+−+−Ω,利用高斯公式,得222Sx dydz y dzdx z dxdy ++∫∫dxdydz z y x )(2++=∫∫∫Ωdxdydz c b a c z b y a x )]()()()[(2+++−+−+−=∫∫∫Ωdxdydz c b a )(2++=∫∫∫Ω334)(2R c b a π++=3)(38R c b a π++=.八、解 (1)显然1()n n u x ∞=∑在](0,1上收敛,且10,1()()ln ,011n n x u x S x x xx x∞==== << − ∑, ()n u x 在](0,1上连续,而()S x 在](0,1上不连续,所以1()n n u x ∞=∑在](0,1上不一致收敛；(2)11()()ln 1NNN n n x S x u x x x x =−==−∑,显然,对任意01a b <<<,{()}N S x 在[,]a b 上一致收敛,{()}N S x 在(0,1]上连续, |ln ||()|1N x x S x x ≤−,(01)x <<,10|ln |1x x dx x−∫收敛；于是级数可以逐项积分故112001111ln ln (1)n nn n n x x dx x xdx n ∞∞∞=== == +∑∑∑∫∫ . 九、(1)解 显然(,)f x t 在(0,)(0,)+∞×+∞上连续,且有20(,)t f x t e−<≤,而2t e dt +∞−∫收敛,从而有0(,)f x t dt +∞∫在()0,+∞上一致收敛；对任意0a B <<<+∞,当0x +→时,(,)f x t 在[,]a B 上一致收敛于2t e −,于是2lim ()lim (,)lim (,)2tx x x I x f x t dt f x t dt e dt ++++∞+∞+∞−→→→====∫∫∫； (2)利用等式20(())b f ax dx x +∞−∫201()f x dx a +∞=∫,)0,(>b a .2()0b ax xedx −−+∞∫20112x e dx a a +∞−==∫ ,)0,(>b a . 可知222()()(,)x t t I x f x t dt edt −++∞+∞==∫∫22()22202xt xxu xteedt ee du e −−+∞+∞−−−−===∫∫.南京大学2001年数学分析考研试题一、求下列极限1）设),2(,43,011≥+==−n a a a n n 求n n a ∞→lim ；2）yx y x e y x 12201lim +−→+∞→++；3）设[],,)(,B b a A C x f B A <<<∈试求∫−+→bah dx hx f h x f )()(lim 04）设)(x f 在)1,0(内可导,且),1,0(,1|)(|∈∀<′x x f 令)2)(1(≥=n n f x n ,试证明n n x ∞→lim 存在有限二、设,1)0(,)(),(2=∈+∞−∞g C x g 令≠−=′=时当时当0,cos )(0),0()(x x xx g x g x f 1）讨论处的连续性；在0)(=x x f 2)求.0)(),(处的连续性在并讨论=′′x x f x f 三、设[][],1,0,1)(0,0)0(,)(1,01∈∀≤′<=∈x x f f C x f 试证明对一切[]1,0∈t ,成立[]∫∫≥ tt dx x f dx x f 032)()(四、 求下列积分1）计算反常积分∫+∞−=0sin dx x xe I x ；2)计算曲面积分222I x dydz y dzdx z dxdy Σ=++∫∫,其中Σ为锥面()h z y x ah z ≤≤+=0,22222那部分的外侧.五、求212arctan )(x x x f −=在0=x 处的幂级数展开式,并计算∑∞=+−=012)1(n nn S 之值 六、设nnn x x x ++=+11α,1>α,10x ≥. 1) 证明级数11()n n n x x ∞+=−∑绝对收敛；2)求级数()∑∞=+−11n n n x x 之和.七、设4220(,)exp t I dt αβαβ+∞−= + ∫,其中βα,满足不等式43222−≤+−βαα. 1）讨论含参变量积分),(βαI 在区域432:22−≤+−βααD 上的一致收敛性；2）求),(βαI 在区域D 上的最小值.南京大学2001年数学分析考研试题的解答一、 1、解 易知111||||4n n n n a a a a +−−=−,{}n a 是压缩迭代序列,所以lim n n a →∞存在,设lim n n a A →∞=,则有34A A +=,1A =,所以lim 1n n a →∞=. 2、解令u =,则有0lim x y u +→+∞→=+∞；由424421202uu u x eeu ey e − ≤+≤==,得2201lim 0x y x ey +→+∞→ +=.3、解 ()f x 在[,]A B 上连续,对任何A a x B <<<,因为 dt t f h t f h x a ∫−+))()((1dt h t f h x a ∫+=)(1dt t f h xa ∫−)(1 dt t f h h x h a ∫++=)(1dt t f h x a ∫−)(1dt t f h h x x ∫+=)(1dt t f h ha a∫+−)(1, 由此,即得)()())()((1lim 0a f x f dt t f h t f h xah −=−+∫→,()A a x B <<< .4、解 由题设条件,得 111111|||()(||()()|11(1)n n n x x f f f n n n n n n ξ+′−=−=−≤+++, 121||||||||n p n n n n n n p n p x x x x x x x x +++++−−≤−+−+−L11(1)(1)()111111((1121111n n n p n p n n n n n p n p n n p n<++++−+=−+−++−++++−+=−<+L L 由此即可知{}n x 是一个基本列,所以n n x ∞→lim 存在且有限.二、由于()g x 在(,)−∞+∞上有二阶连续导数,所以()g x ,(),()g x g x ′′′在(,)−∞+∞上连续；0()cos ()sin lim ()limlim (0)(0)1x x x g x x g x xf xg f x →→→′−+′==== 有0lim ()(0)x f x f →=；所以()f x 在0x =处连续. 显然()f x 在0x ≠处连续.故()f x 在(,)−∞+∞上连续.在0x =处, 00()cos (0)()(0)(0)lim lim x x g x xg f x f x f x x→→−′−−′== 200()cos (0)()sin (0)lim lim 2x x g x x xg g x x g x x→→′′′−−+−== 0()cos 1lim ((0)1)22x g x x g →′′+′′==+； (2)当0x ≠时, ()cos ()g x x f x x −=, 2(()sin )(()cos )()g x x x g x x f x x ′+−−′=g . 由于()g x 和()g x ′连续, 故当0x ≠时, ()f x ′存在且连续. 而且, 200(()sin )(()cos )lim ()limx x g x x x g x x f x x →→′+⋅−−′=0(()cos )(()sin )(()sin )lim 2x g x x x g x x g x x x →′′′′+⋅++−+= 0()cos 1lim ((0)1)(0)22x g x x g f →′′+′′′==+= ()f x ′在0x =处连续, 进而()f x ′在(,)−∞+∞上连续.三、假设()f x 在[]0,1上可导,且()0()1,0,1,(0)0f x x f ′<<∀∈=,证明()2300()()>∫∫xxf t dtf t dt ,()0,1∀∈x .证明 令()230()()()=−∫∫xxF x f t dtf t dt ,()320()2()()()()2()()′=−=−∫∫xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x ,因()0()1,0,1,(0)0f x x f ′<<∀∈=,所以()0>f x ,令20()2()()=−∫xg x f t dt f x ,则[]()2()1()0′′=−>g x f x f x ,即得()(0)0>=g x g , 所以()0′>F x , 则()230()()()(0)0=−>=∫∫xxF x f t dtf t dt F ,()0,1∀∈x ,于是()230()()xxf t dtf t dt >∫∫,()0,1∀∈x .四、(1)计算dx xaxbx e px∫+∞−−0sin sin ,),0(a b p >>. 解 因为dyxy xaxbx ba∫=−cos sin sin ,所以dx xax bx epx∫+∞−−0sin sin dx dy xy e b a px)cos (0∫∫+∞−=,由于pxpxexy e−−≤|cos |及dx e px ∫+∞−0收敛,根据魏尔斯特拉斯判别法,得dx xy e px ∫+∞−0cos 在],[b a y ∈上一致收敛,又xy e px cos −在],[),0[b a ×+∞上连续, 所以积分可交换次序,即dx dy xy e bapx )cos (0∫∫+∞−xydx e dy px bacos 0∫∫+∞−=∫+=bady yp p 22p ap b arctan arctan −= 故dx x ax bx e px∫+∞−−0sin sin pap b arctan arctan −= ,任何实数a b p ,,0>. 特别地0sin arctan14xx e dx x π+∞−==∫ .(2)解 (由于Σ不是封闭曲面,需要补充一部分曲面,构成一个封闭曲面.)区域Ω：1222()hx y z h a +≤≤,边界1Σ+Σ=Ω∂,方向朝区域外.2221:,x y a z h Σ+≤=,方向朝上.显然dxdy z dzdx y dydz x 2221++∫∫Σ∫∫Σ=12dxdy z 22222222x y a h dxdy h a a h ππ+≤===∫∫,利用高斯公式,得dxdy z dzdx y dydz x222++∫∫Ω∂dxdydz z y x )(2++=∫∫∫Ω222()2()h ax y z hdzx y z dxdy +≤=++∫∫∫202()ha z z dz h π=⋅∫2212a h π=,再由dxdy z dzdx y dydz x 222++∫∫Ω∂dxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σdxdy z dzdx y dydz x 2221+++∫∫Σ,得出dxdy z dzdx y dydz x 222++∫∫Σ2212a h π=− . 五、解 212arctan )(x x x f −=,因为2202()2(1)1n nn f x x x ∞=′==−+∑,(0)0f = 所以210(1)()221n n n f x x n ∞+=−=+∑,(11)x −≤≤,显然21(1)21n n n n ∞+=−+∑在[0,1]上一致收敛,∑∞=+−=012)1(n n n S 21110(1)11lim lim ()212224n n x x n x f x n ππ−−∞+→→=−====+∑ . 六、证明 令x x x f ++=1)(α,则有2)1(1)(x x f +−−=′α,αα=)(f , )(x f 在),0(+∞上是严格递减的；当α>x 时,α<)(x f ；当α<x 时,α>)(x f ； 若α>1x ,则有 α>−12n x ,α<n x 2,),2,1(L =n ； 将11n n n x x x α++=+代入1211n n n x x x α++++=+,得22(1)(1)2n n nx x x ααα+++=++, 由n n n n n x x x x x −++++=−+2)1()1(22αααnn x x 2)1()(22++−=αα,得}{12−n x 单调递减,}{2n x 单调递增,设a x n n =−∞→12lim ,b x n n =∞→2lim ,在121221−−++=n n n x x x α,nn n x x x 22121++=+α中,令∞→n 取极限,得 a a b ++=1α,bb a ++=1α,从而有α==b a ,故α=∞→n n x lim .()11111Nn n N n xx x x x ++=−=−→∑,()N →∞,()111n n n x x x ∞+=−=∑；111|||()()||()()|n n n n n n n x x f x f x f x x ξ+−−′−=−=−,其中n ξ位于n x 与1n x −之间,lim n n ξ→∞=,1lim |()|||11n n f f k αξα→∞−′′==≤=<+, 于是存在正整数N ,当n N ≥时,成立11||||n n n n x x K x x +−−≤−,其中常数01K <<, 由此而来,可知级数11||n n n x x ∞+=−∑收敛,故级数11()n n n x x ∞+=−∑绝对收敛；若1x =则有n x =,此时结论显然可得；若10x ≤<,则有2x >然后就与上面的情况类似了. 七、解 (1)43222−≤+−βαα等价于2221(1)()2αβ−+≤,于是有 221944αβ≤+≤,设422(,,)exp t f t αβαβ−=+, 则有44422exp (,,)exp exp 1944t t t f t αβαβ−−−≤=≤ + ,显然40exp 94t dt +∞−∫是收敛的, 于是(,,)f t dt αβ+∞∫在区域432:22−≤+−βααD 上是一致收敛的；(2)),(βαI ()4400exp exp 414t dt t dt +∞+∞−≥=−∫∫11401()4u e u du +∞−−==, ),(βαI 在区域D 上的最小值1(4 .南京大学2002年数学分析考研试题一 求下列极限. (1)(1)cos2lim(sin sin )ln(1)2x x x x xx x →∞+−−+；(2)设()ln()f x x a x =+−,(,)x a ∈−∞,(i)()f x 在(,)a −∞上的最大值；(ii)设1ln x a =,21ln()x a x =−,1()n n x f x +=,(2,3,)n =L ,求lim n n x →∞.二 设1()sin ln f x x x=−,试证明()f x 在[2,)+∞内有无穷多个零点. 三 设()f x 在0x =的某个邻域内连续,且(0)0f =,0()lim 21cos x f x x→=−,(1)求(0)f ′；(2)求20()lim x f x x→；(3)证明()f x 在点0x =处取得最小值.四 设()f x 在0x =的某个邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=,试证明：(1)(0)(0)0f f ′==； (2)级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.五 计算下列积分 (1)求x ；(2)SI zxdydz xydzdx yzdxdy =++∫∫,其中S 是圆柱面221x y +=,三个坐标平面及旋转抛物面222z x y =−−所围立体的第一象限部分的外侧曲面.六 设()[,]f x C a b ∈,()f x 在(,)a b 内可导,()f x 不恒等于常数,且()()f a f b =, 试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ′>.七 在变力F yzi zxj xyk =++r r r r的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=, 第一象限的点(,,)M ξηζ,问(,,)ξηζ取何值时,F r所做的功W 最大,并求W 的最大值. 八 (1)证明：(1n x xe n −−≤,(,0)n N x n ∗∈≤≤；(2)求20lim (1n n n xx dx n→∞−∫.南京大学2002年数学分析考研试题解答一 (1)解 0(1)cos 2lim (sin sin )2x x xx x x x →+−−+201(1)cos12lim sin sin 2ln(1)x x x x x x x x x x→+−=−+ ln(1)01(ln(1))sin 1222lim2x x x x x e x x x +→+++⋅+=1ln(1)0sin 12lim[(ln(1))12x x x x xe x x x +→=++++ 124=+94=.(2)解 (i)11()1a xf x a x a x−−′=−=−−,当1x a <−时,()0f x ′>,()f x 在(,1]a −∞−上单增, 当1a x a −<<时,()0f x ′<,()f x 在[1,)a a −上单减,所以()f x 在1x a =−处达到最大值,(1)1f a a −=−； (ii)当1a >时,10ln ln(11)1x a a a <==+−<−, 11a x a <−<,210ln()ln 1x a x a a <=−<<−, 32()(1)1x f x f a a =<−=−, 1n x a <−,1n a x <−,1ln()n n n n x x a x x +=+−>,{}n x 单调递增有上界,设lim n n x A →∞=,则有ln()A A a A =+−,1a A −=,1A a =−,所以 lim 1n n x a →∞=−；当1a =时,0n x =,lim 0n n x →∞=；当01a <<时,1ln 0x a =<,1ln ln(11)1x a a a ==+−<−, 11a x <−, 二 证明 因为1(2102ln(22f n n ππππ+=−>+,1(2)102ln(2)2f n n ππππ−=−−<−,(1,2,)n =L ,显然()f x 在[2,)+∞上连续,由连续函数的介值定理知,存在(2,2)22n n n ππξππ∈−+使得 ()0n f ξ= (1,2,)n =L ,即得()f x 在[2,)+∞上有无穷多个零点.三 解 (1)2200()()2lim lim 1cos 1cos x x f x f x x x x x→→==−−,因为20lim21cos x x x →=−,所以20()lim 1x f x x →=, 200()()limlim()0x x f x f x x x x →→=⋅=,00()(0)()lim lim 00x x f x f f x x x→→−==−, 于是(0)0f ′=； (3)由20()lim1x f x x →=知,存在0δ>,当0x δ<<时,2()12f x x >,()(0)f x f >,即知()f x 中在0x =处取得极小值.sup ()x M f x δ≤′′=四 、证明 (1)由0()lim ()lim0x x f x f x x x→→=⋅=,知(0)0f =, 由00()(0)()limlim 00x x f x f f x x x→→−==−知(0)0f ′=. (2)22111111((0)(0)()()22n n f f f f f n n n n ξξ′′′′′=++=,211(2M f n n ≤,已知2112n M n∞=∑收敛,其中sup ()x M f x δ≤′′=,于是11(n f n ∞=∑收敛,结论得证.五 (1)解322[(1)]3xx x e dx ′=−∫32222(1)333x x x e dx =−−+33222222(1)(1)3333x x x x e e =−−⋅−+,所以111)1)22xx xe e C=−−−+11(1)(23x x xxe e e C=−−−.(2)解曲面221x y+=,222z x y=−−事物交线为221x y+=,1z=,22221{(,,):1,02,0,0}x y z x y z x y x yΩ=+≤≤≤−−≥≥,22222{(,,):12,02,0,0}x y z x y z x y x yΩ=≤+≤≤≤−−≥≥,其中S是区域1Ω的边界时,利用高斯公式,SI zxdydz xydzdx yzdxdy=++∫∫1()z x y dxdydzΩ=++∫∫∫2122000(cos sin)rd dr z r r rdzπθθθ−=++∫∫∫212222000(cos sin)rdr dz zr r r dπθθθ−=++∫∫∫212200(2)2rdr zr r dzπ−=+∫∫122221[(2)2(2)]22r r r r drπ=−+−∫11352400[44]2[2]4r r r dr r r drπ=−++−∫∫121(212(4635π=−++−7142415π=+.当S是2Ω的边界时,利用高斯公式SI zxdydz xydzdx yzdxdy=++∫∫2()z x y dxdydzΩ=++∫∫∫222000(cos sin)rdz z r r rdπθθθ−=++∫∫222211(2)2(2)]22r r r r drπ=−+−224111[2(22]243r r r drπ=−−+−35212(2435r rπ=+−14241515π=+−.六证明证法一用反证法,假若结论不成立,则对任意(,)x a b∈,都有()0f x′≤,()f x在[,]a b上单调递减,由于f不恒等于常数,所以()f x′不恒等于零,存在一点(,)x a b∈,使得0()0f x′<,()()lim()0x xf x f xf xx x→−′=<−,存在01x x b<<,使得1010()()f x f xx x−<−,10()()f x f x<,因为()()f x f a≤,1()()f b f x≤,所以10()()()()f b f x f x f a≤<≤,这与()()f a f b=矛盾,从而假设不成立,原结论得证.证法 2 由于f在[,]a b上连续,f在[,]a b上取到最大值M和最小值m,且m M<,由于()()f a f b =,所以f 的最大值M 或最小值m 必在(,)a b 内达到. 若f 在0(,)x a b ∈处达到最大值0()()()f a f b f x =<,存在0(,)a x ξ∈使得00()()()()f x f a f x a ξ′−=−,从而有()0f ξ′>；若f 在1(,)x a b ∈处达到最小值1()()()f x f a f b <=,存在11(,)x b ξ∈使得111()()()()f b f x f b x ξ′−=−,从而有()0f ξ′>； 结论得证.七 解 设u xyz =,则有gradu F =r ,所以F r是有势场,()()OMW Fdr u M u O ξηζ==−=∫r r,由于0,0,0x y z ≥≥≥时,222232222)x y z xyz a b c =++≥=,323xyz abc ≤=,等号成立当且仅当x y z a b c ===,所以(,,)ξηζ=时,W 达到最大值,且W 的最大值.八 证明 (1)由于当0y ≥时,有1ye y −>−,对任意n N ∗∈,0x n ≤≤,取x y n =,1xn xe n−≥−,所以有(1)x n xe n−≥−；(2)取2(1),0()0,n n x x x n f x n n x −≤≤ = <,有20()x n f x e x −≤≤,20x e x dx +∞−∫收敛,对任意0A >,{()}n f x 在[0,]A 上一致收敛于2x e x −,故由函数列积分的黎曼控制收敛定理,20lim (1nn n x x dx n→∞−∫0lim ()n n f x dx +∞→∞=∫0lim ()n n f x dx +∞→∞=∫20x e x dx +∞−=∫20()xx e dx +∞−′=−∫02()x x e dx +∞−′=∫02x e dx +∞−=∫02()x e dx +∞−′=∫2= .南京大学2003年数学分析考研试题一 求下列极限(1)设0a >,求x ；(2)设1x =1n x +=,(1,2,)n =L ,求lim n n x →∞.(3)21lim(1)x x x e x−→∞+⋅. 二 过(1,0)P 点作抛物线y =切线,求(1)切线方程；(2)由抛物线、切线及x 轴所围成的平面图形面积； (3)该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周的体积. 三 对任一00y >,求00()(1)y x y x x ϕ=−在(0,1)中的最大值, 并证明该最大值对任一00y >,均小于1e −.四 设()f x 在[0,)+∞上有连续导数,且()0f x k ′≥>,(0)0f <,(k 为常数),试证：()f x 在(0,)+∞内仅有一个零点. 五 计算下列积分(1)设120ln(1)()1ax I a dx x +=+∫,(0)a >,求()I a ′和(1)I ； (2)32222()Sxdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=++∫∫,其中S 为上半球面2222x y z a ++=,(0)z >的外侧.六 设(1),01(),10.n n nxx x x e x ϕ −≤≤= −≤≤ ,()f x 在[1,1]−上黎曼可积, (1)求lim ()n n x ϕ→∞,并讨论{()}n x ϕ在[1,1]−上的一致收敛性；(2)求11lim ()()n n f x x dx ϕ−→∞∫,(要说明理由)七 设0()nn n f x a x ∞==∑的收敛半径为R =+∞,令0()nk n k k f x a x ==∑,试证明：(())n f f x 在[,]a b 上一致收敛于(())f f x ,其中[,]a b 为任一有穷闭区间.南京大学2003年数学分析考研试题解答一 (1)解 设max{1,}M a =,则有M ≤≤, 由此知,1,01max{1,},1n a M a a a << === ≥ ；(2)解 由归纳法,易知2n x <,12x x <,1n n x x +−==,由此知,{}n x 单调递增有界,设lim n n x a →∞=,02a <≤,则有a =2a =,故lim 2n n x →∞=.(3)21lim(1)x x x e x −→∞+⋅ 21(1)lim x x x x e →∞+=1(1)lim xx x x e→∞+ =1[ln(1)1]lim x x xx e +−→∞=, 12[ln(1)1]2311111ln(11lim limlim 12x x xx x x x x x x x ex x +−→∞→∞→∞+−−++==−1lim 21x x x →∞=−+12=−, 故21lim(1)x x x e x −→∞+⋅12=−. 3 解(1)y ′=,设切点为00(,)x y,0x x k y =′==,设切点00(,)x y 的切线方程为0)y x x −=−.将1x =,0y =代入,0)x =−, 002(2)1x x −−=−,03x =,01y =,所求切线方程为11(3)2y x −=−,即1(1)2y x =−. (2)解32212001121(1)212233S x dx udu t tdt =−−=−=−=∫∫∫∫.(3) 3321222120011211[(1)]24326x V x dx dx u du tdt πππππππ=−−=−=−=∫∫∫∫,131122224202[2](21)(44)(441)x V y dy y dy y y dy y y dy ππππ=+−+=++−++∫∫∫∫14016(34)(32)55y y dy πππ=+−=+−=∫.三 解 00100()[(1)]y y x y y x x x ϕ−′=−−0100[(1)]y y x y x x −=−−01000[(1)]y y x y y x −=−+, 当0001y x y <<+时,()0x ϕ′>,当0011y x y <<+时,()0x ϕ′<,于是()x ϕ在001yx y =+处达到最大值,000100001000011(((11111(1)y y y y y y y y y y y y ϕ++===+++++.容易证明1()(1)y g y y =+在(0,)+∞上单调递减,11(1)y e y ++>,1111(1)y e y +<+,故有001011(11(1)y y y ey ϕ+=<++.四 证明 对任意(0,)x ∈+∞,1()()(0)(0)()(0)(0)f x f x f f f x f kx f ξ′=−+=+≥+, 当x 充分大时,有()0f x >,又(0)0f <,由连续函数的介值定理,存在(0,)ξ∈+∞,()0f ξ=, 由()0f x k ′≥>,()f x 在[0,)+∞上严格单调递增,所以()f x 在(0,)+∞内仅有一个零点. 五 (1)解 120()(1)(1)xI a dx ax x ′=++∫1122001[]111x a a dx dx a x ax +=−+++∫∫211[ln 2ln(1)]124a a a π=+−++, 显然(0)0I =,1(1)()I I a da ′=∫111222000ln(1)11ln 212141a a da da da a a a π+=−+++++∫∫∫11(1)ln 2ln 22442I ππ=−+⋅+⋅, 因为(1)ln 28I π=,120ln(1)ln 218x dx x π+=+∫.(2)解 2222{(,,):}x y z x y z a Ω=++≤,222{(,,):,0}D x y z x y a z =+≤=,32222()Sxdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=++∫∫31Sxdydz ydzdx zdxdy a =++∫∫31[]S D D a =+−∫∫∫∫∫∫31[30]dxdydz a Ω=+∫∫∫331233a a π=⋅⋅2π=. 六、解 1,0lim ()0,[1,1],0n n x x x x ϕ→∞= = ∈−≠,由于极限函数在[1,1]−上不连续,所以{()}n x ϕ在[1,1]−上不一致收敛；但对任何10,01,a b −<<<<{()}n x ϕ在[1,][,1]a b −U 上一致收敛于0；且|()1n x ϕ≤,根据控制收敛定理,对于()f x 在[1,1]−上黎曼可积,有 11lim ()()0n n f x x dx ϕ−→∞=∫.七、 证明 由条件知()f x 在(,)−∞+∞上连续,{()}n f x 在任意有限区间上是一致收敛的, 对任意有限区间[,]a b ,{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ,{()}n f x 在[,]a b 上一致有界,()n f x M ≤,再由()f x 在[,]M M −上一致连续,于是有{(())}n f f x 在[,]a b 上一致收敛于(())f f x .南京大学2004年数学分析考研试题一．求下列极限 1.设n a =+L 求lim n n a →∞；2.ln 2sin x x x e x →++；3. ()()2200lim ln x y x y x y →→++；4. 设(){}222,:r D x y x y r =+≤,0r >,求()2221lim cos rx y r D e x y dxdy r π+−→+∫∫.二．确定最小正数,使下面的不等式成立：()()2222ln x y A x y +≤+,()0,0x y ∀>>.三．设()()1122f x x x = +−,求()()n f x ,并证明级数()()0!0n n n f ∞=∑收敛.四．求333Sx dydz y dzdx z dxdy ++∫∫其中S 是2221x y z ++=的上半球的下侧.五．设()2cos cos cos n n f x x x x =+++L ,（1）当0,2x π ∈ 时,求()lim n n f x →∞,并讨论(){}n f x 在0,2π的一致收敛性；（2）证明:对任一自然数n ,方程()1n f x =在0,3π内有且仅有一个根；（3）若0,3n x π∈是()n f x 的根,求lim n n x →∞.六．设()22xxt f x xe e dt −=∫,(1) 证明 ()f x 在[)0,+∞上有界；(2) 证明221xt x x e dt e ≤−∫,()(),x ∀∈−∞+∞.南京大学2004年数学分析考研试题解答一．1. 解n a ≤≤,1n n ==,1n n →∞==,所以lim 1n n a →∞=；2. 解0ln 2sin xx x e x →++()0112cos lim 1sin x x x e x x ex→+++=+22410+==+. 3. 解 因为()()()22220ln x y x y x y ≤++≤+22ln 4ln 0r r r r ==→,()0r →,所以()()2200lim ln 0x y x y x y →→++=.4. 解 设(),f x y 在点()0,0的某个邻域内连续,则有 ()()21lim ,0,0rr D f x y dxdy f r π+→=∫∫,()2221lim cos rx y r D e x y dxdy r π+−→+∫∫()220cos 001e −=+=.二．解 设()ln r f r r =,()1r ≥,则()10f =,()lim 0r f r →∞=,()21ln rf r r−′=, 当r e =时,有()0f e ′=,当1r e <<时,有()0f r ′>,从而()f r 在[]1,r 上严格单调递增, 当e r <<+∞时,()0f r ′<,从而()f r 在[),e +∞上严格单调递减, 所以()f r 在r e =处达到最大值,对1r ≤<+∞,有()()1f r f e e ≤=, 1ln r r e ≤,()1r ≥, 对01r <<,显然有1ln r r e≤, 故使不等式()()2222ln x y A x y +≤+,()0,0x y ∀>>,成立的最小的正数A 为1e .三．解 ()()1122f x x x = +− 2111522x x=+ + −,()()()()111!2!5212n n n n n n f x x x ++− =++ −, ()()()()111!2!0522nn n n n n f+−+−=+ ,()()()11!5120122n n n n n n u f ++==−+,115151022122n n n u ++<<−:, 而105122n n ∞+=∑是收敛的,所以()()0!0n n n f ∞=∑收敛. 四．解 设(){}222,,:1,0V x y z x y z z =++≤≥,(){}22,,:1,0D x y z x y z =+≤= 利用高斯公式,得333S x dydz y dzdx z dxdy ++∫∫333333S D x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy =−+++++∫∫∫∫上侧 333Dx dydz y dzdx z dxdy +++∫∫()22230Vx y z dxdydz =−+++∫∫∫212220003sin d d r r dr ππθϕϕ=−∫∫∫163255ππ=−⋅⋅=−.五．解 (1)()()2cos 1cos cos cos cos 1cos n nn x x f x x x x x−=+++=−L ,当0,2x π ∈ 时,0cos 1x <<,lim cos 0n n x →∞=,于是有()cos lim 1cos n n x f x x →∞=−,0,2x π∈.()n f x 在0,2π 上连续,显然()0n f n =,(){}0n f 发散,从而知(){}n f x 在0,2π上不一致收敛,对任意02πδ<<,(){}n f x 在,2πδ上一致收敛. 五、设2()cos cos cos n n f x x x x =+++L ,求证:(2) 对任意自然数(2)n n ≥,方程()1n f x =在区间(0,)3π内必有唯一根n x , (3) 并求数列{}n x 的极限n n x ∞→lim .证明 (2) 显(0)1n f n =>,2111(13222n n f π=+++<L ,由连续函数的介值定理,存在(0,)3n x π∈,使得()1n n f x =;显然()0n f x ′<,(0,3x π∈,即()n f x 在(0,)3π上严格单调递减,所以()1n f x =的根是唯一的.(3) 显然1()()n n f x f x +>, 111()()()n n n n n n f x f x f x +++=>, 于1n n x x +<,即得{}n x 单调递增, 203n x x π<≤<,从而lim n n x a →∞=存在,且203x a π<≤≤,lim cos cos n n x a →∞=, 21cos cos 12n x x <≤<,lim(cos )0n n n x →∞=;在cos (1(cos ))()cos (cos )11cos n nn n n n n n nx x f x x x x −=++==−L ,令 n →∞,取极限,得cos 11cos 1cos 2a a a =⇒=−,得3a π=,故lim 3n n x π→∞= .六．证明(1)显然 ()f x 是偶函数,()f x 在[)0,+∞上连续,()220lim limxt xx x x e dtf x e→+∞→+∞=∫222lim2xt x x x e dt xe xe→+∞+=∫22221lim 242x x x x e x e e →+∞=++11022=+=, 于是可知,()f x 在[)0,+∞上有界,且()f x 在[)0,+∞上一致连续； （2）对0x >,设()()221xx t g x e x e dt =−−∫,()00g =,()g x 是偶函数,()222222xxx t x x t g x xe e dt xe xe e dt ′=−−=−∫∫,()00g ′=,()222222220x x x x g x x e e e x e ′′=+−=>,从而有()0g x ′>,()0g x >, 故有221xt x x e dt e ≤−∫,()(),x ∀∈−∞+∞.南京大学2005年数学分析考研试题解答1、求n →∞+. 解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式,及2!nn n ≥,2224(!)()n n n n n n n n≥=≥=L,limn n→∞+=+∞L .解法2 利用Stolz 定理,原式limn n→∞++=L lim (1)n n n →∞=+−lim n ==+∞.2 、求ln !limln n n n n→∞.解 利用Stolz 定理,原式ln(1)lim (1)ln(1)ln n n n n n n →∞+=++−1ln(1)lim 1ln(1)n n n nn →∞++=+⋅1ln(1)lim 1ln(1)ln n n n nn →∞++=++11lim 1ln(1)ln ln(1)ln(1)n n n n n n →∞+=++++1=. 3 求1lim (1)n x n x x dx →∞+∫. 解 11010(1)21n x n x x dx x dx n <+≤=+∫∫,10lim (1)0n x n x x dx →∞+=∫. 4 设21,1()2,1x x g x x x x −≤− = ++>− ,求11(1)lim (n n i x i x g x n n →∞=−−+∑. 解 原式10()x g x y dy −=+∫,5、当112p <≤时,证明：344sin ||sin n p n x dx x x ππππ++≥+∫. 证明344sin ||sin n p n x dx x x ππππ+++∫344sin()||()sin()p n u du n u n u πππππ+=+++∫344sin |()(1)sin |p n u du n u u πππ=++−∫, 当344u ππ≤≤时, |()(1)sin |()1(1)1p n p p p n u u n n ππππ++−≤++=++,sin sin4u π≥=, 于是sin |()(1)sin |p n u n u u π≥++− 故有344sin ||sin n p n x dx x x ππππ++≥+∫.南京大学2005年数学分析考研试题一 、求下列极限1 设常数1a >,试求极限11lim (1)k nnn k an a k−→∞=+−∑.。
南京大学919经济学原理试卷分析及真题详解【圣才出品】
6．南京大学919经济学原理试卷分析及真题详解（1）南京大学919经济学原理参考书目及真题分析一、参考书目根据南京大学研究生院官方网站，南京大学“919经济学原理”考试科目参考书目为：1．《现代西方经济学原理》（第五版）刘厚俊编著，南京大学出版社2．《微观经济学》梁东黎，刘东著，南京大学出版社3．《微观经济理论-基本原理与扩展》（中英文皆可）Walter Nicholson著，北京大学出版社4．《宏观经济学教程》沈坤荣，耿强，付文林主编，南京大学出版社，2010年11月第2版需要提醒考生注意的是，复习过程中，重点看：梁东黎《微观经济学》和沈坤荣《宏观经济学教程》。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》重点看例题和课后习题（每一年微观经济学考题部分考题就是该书的例题或课后习题）。
二、真题分析通过研究南京大学“919经济学原理”历年考研真题，可以发现，该考试科目试卷呈现如下特征：1．考查基本知识点，难度适中相对于其他名校，南京大学“919经济学原理”考卷简单。
只要认真看指定教材以及多加考题练习（包括课后习题），专业课取得较高分数，问题不大。
2．一定要做尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题和课后习题南京大学“919经济学原理”历年考卷中，每一年微观经济学考题部分考题尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题或课后习题。
考虑到时间紧，任务重（南京大学商学院竞争较为激烈，每年招生人数不多，约80名硕士研究生，其中保送生就占了20%左右），考生单看尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》例题和课后习题即可，不需要花很多时间掌握该书知识点。
（2）2015年南京大学919经济学原理考研真题及详解一、名词解释（5分×6＝30分）1．合成谬误答：合成谬误是指把局部是对的认识，仅仅因为对局部来说是对的，便错误地推断该认识对总体而言也是对的。
如果认为对局部来说成立的东西，对总体也必然成立，那就犯了“合成谬误”。
南京大学和数学分析考研试题及解答
南京大学 数学分析考研试题一 设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。
二 设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。
三 设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ∀∈， 问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。
四 是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。
五 设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。
六 计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。
七 计算积分222(22)x xy y R edxdy -++⎰⎰。
八 计算积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。
九 设0n a >(1,2,...)n =，1n n k k S a ==∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。
十 方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y∂-∂∂的值。
十一 求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。
十二 设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：1122001[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。
2023年南京大学优秀中学生夏令营试题及解答
2023年南京大学优秀中学生夏令营试题及解答一、数学题目一：简单数列求和已知数列的通项公式为 $a_n = 3n - 2$，求前 10 项的和。
解答：根据数列的通项公式 $a_n = 3n - 2$，可得前 10 项分别为：$a_1 = 1$，$a_2 = 4$，$a_3 = 7$，$a_4 = 10$，$a_5 = 13$，$a_6 = 16$，$a_7 = 19$，$a_8 = 22$，$a_9 = 25$，$a_{10} = 28$。
求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，代入 $n = 10$，$a_1 = 1$，$a_n = 28$，得到：$S_{10} = \frac{10}{2}(1 + 28) = 5(29) = 145$。
因此，前 10 项的和为 145。
题目二：立方根逼近已知一个数 $a = 25.6$，用迭代法求它的立方根，选择的初始值为 $x_0 = 3$，迭代公式为 $x_{n+1} = \frac{2}{3}x_n +\frac{a}{{3x_n^2}}$，计算迭代 5 次后的结果。
（结果保留到小数点后两位）解答：代入初始值 $x_0 = 3$，迭代公式为 $x_{n+1} = \frac{2}{3}x_n + \frac{25.6}{{3x_n^2}}$。
将 $x_0$ 代入，得到 $x_1 = \frac{2}{3}\cdot3 +\frac{25.6}{{3\cdot3^2}} = 3.186$。
将 $x_1$ 代入，得到 $x_2 = \frac{2}{3}\cdot3.186 +\frac{25.6}{{3\cdot3.186^2}} = 3.174$。
将 $x_2$ 代入，得到 $x_3 = \frac{2}{3}\cdot3.174 +\frac{25.6}{{3\cdot3.174^2}} = 3.174$。
将 $x_3$ 代入，得到 $x_4 = \frac{2}{3}\cdot3.174 +\frac{25.6}{{3\cdot3.174^2}} = 3.174$。
地理高考试题的试题分析初探-南京大学
地图-叠加图-曲面
英国, 海拔, 0-500米
手工标注总结
标注标准需要பைடு நூலகம்善，需要更规范的标注体系； 标注质量参差不齐，需要进一步提高； 需要增加新的标注内容：如中心词、谓词等 需要标注更多……
2018/10/3
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试题自动标注
2018/10/3
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试题自动标注：词法
手工标注了2013-2014 两年的北京高考试题,对 其进行手动的分词和术语标注,作为分词、时间 词、地点词、术语识别的测试集。 分词结果的F-Score超过了90%, 错误中超过 50%是术语识别的错误。10%左右为包含标点的 切分错误（如7.8%），10%左右为包含指代的 实体识别错误（如“甲地”）。 假设词典包含试卷中的所有术语，加一些额外的 后处理，能够达到96%+。
2018/10/3
5
手工标注总结（求解目标）
共28套试卷, 486个选择题, 1944个选项进行了标注 ，试卷包括 2006-2014 年北京市高考地理试卷 , 以及 近几年北京市海淀区、西城区、东城区、 朝阳区的 模拟试卷。 求解目标: 486个选择题, 其中“判断”357个,“单实 体”83 个,“多实体”36 个, “流程”9 个,“其它”1 个 。题面中的某些词汇基本可以确定求解目标。
与知识图谱结合,利用知识图谱中的概念及关系作为 约束, 帮助确定文本图表示结果。
24
2018/10/3
谢谢
2018/10/3
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2018/10/3
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手工标注总结 (地点词)
地点词标注:486道试题共标注地点词1019 个。 我们依据地点词或短语的构造规律,对地点词进行了归类,将试 卷中的地点词及短语分为 9 类,包括:
勤思考研2021年南京大学应用心理硕士347真题分析
勤思考研南京大学2021年心理学考研347真题分析南京大学2021年心理学考研已经结束。
勤思考研心理学团队从试卷结构、题型分布、分值详解等方式，为大家带来备考建议。
为了让同学们尽快看到解析，因此时间仓促，如果大家对于其中某些内容有疑问，欢迎大家积极反馈给我们；一、试卷结构二、参考书单三、试题分析及备考建议（一）总体难度及考查特色2021年南京大学347真题在普通心理学、实验心理学、心理测量学和心理统计学上分别考查了19分、86分、99分和96分。
与2020年真题考查相比，对普心的考查力度大幅降低，相应地，研究方法（实验、统计、测量）的分值大幅增加，几乎呈“三足鼎立”的局面。
虽然研究方法向来是心理学考研复习过程中的难点，但从21年真题的整体考查难度上来看，其难度较之去年却稍有下降，知识点考查更为偏向常规的重难点内容，不像20年真题中有一些较为偏难的题目，因此21年真题的难度水平处在中等偏下的程度。
（二）各科目考查分析普通心理学和心理学与生活考查了3道选择题、2个名词解释。
选择题考查的知识点涉及暗适应的含义、梦境出现在睡眠的哪个阶段等常规考点；名词解释考查了差别感觉阈限和双盲控制，当然，这两个概念在实验心理学中也可以找到相应的答案。
实验心理学考查了2道选择题、2道名词解释、2道简答题和1道论述题。
选择题考查的知识点涉及了信号检测论中的似然比和实验仪器立体镜的作用；名词解释考查了内隐联想测验和前瞻记忆的概念；简答题涉及到对内隐学习研究范式和外部效度影响因素的考查。
论述题是常规的实验设计。
心理统计学考查了3道选择题、1道名词解释、3道简答题和1道论述题。
选择题考查比较简单，涉及常用的检验方法和正态分布相关的运算；名词解释考查了I型错误；简答题考查了二项试验的条件等常规考点；综合题则是单因素完全随机设计方差分析的计算。
心理测量学考查了2道选择题、1道名词解释、3道简答题和1道论述题。
选择题考查了常模的抽样方法等基础知识；名词解释考查了成就测验这一概念；简答题则涉及到重测信度、常模团体等常规考点；论述题考查了人格测验真实性问题。
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– 数量：9 – 例子：
时间词分析
• ref：
– 规则：
• 表达式包含“某”“该”“当”“此”中的一个
– 数量：6 – 例子：
时间词分析
• other
– 没有被分到上述8类的其它时间表达式 – 数量：23 – 例子：
地点词统计
• 数量：1019 • 8类，识别优先级如下：
– lonlat：包含经纬度的地点 – ref：虚拟指代的地点 – adregion：行政区域，国家、省、市、县等等 – station：XX站 – special：XX平原、高原等，包括特例"公园" – area：XX区 – direction：包含方位词 – other：其它
– 数量：116 – 例子： – 特殊：
• • • • • 年复一年 此日后20天 3、4月 近20年来 2300万年前
时间词分析
• cond
– 规则：
• 表达式以“时”或“后”结束
– 数量：11 – 例子：
– 特殊：
• 2小时后 • 此时
时间词分析
• stage
– 规则：
– 数量：10 – 例子：
– 数量：204 – 例子：
– 特殊：
• • • • 与其他洋流交汇的海域 沿海 日本近海 云南山区
地点词分析
• area
– 规则：
• 以“区”结尾
– 数量：61 – 例子：
– 特殊：
• • • • • • 我国两个地区 沿线地区 途经地区 地震重灾区 Ⅰ区 同纬度大陆东岸地区
– 数量：29 – 例子：
• 夏季，春，秋冬，春季，冬季，秋冬季
– 特殊：
• 夏至日 • 冬夏之交
时间词分析
• timep
– 规则：
• • • • • 表达式中包含"年"“月”“日”中至少一个，并且有数字（中文或阿拉伯数字） 包含“时”，并且前一个字符为数字 包含“点”，并且前一个字符为数字 包含“：”或":"（时分秒） 包含"/"（年月日）
求解目标标注结果分析
• 与题面的关联分析（基于lasso特征选择模 型的关键字提取算法）
问句模式标注结果统计
• • • • • • 事实：349 因果：120 比较：100 图表计算：32 关联：19 其他：2
事实 因果 比较 图表计算 关联 其它
问句模式（标注错误）
• 问句模式为“其它”的题：
– 按照约定，上述题面不需要单独标问句模式，这里应 该是误标
问句模式标注结果分析
• 与题面的关联分析：
时间词标注
• 数量：251 • 我们将时间词整理为9类，识别优先级如下：
– – – – – – – – – cycle：周期类 period：时间段 season：季节（包括部分节气） timep：不同粒度的时间点 cond：有条件的时间 stage：某期间或某时期 frame：一天中的某时段 ref：虚拟指代的时间 other：其他
地点词分析
• ref
– 规则：
• • • • 包含“甲”“乙”“丙”“丁”中至少一个 或，包含①②③④⑤⑥中至少一个 或，包含字母 或，包含“某”“图示”“该”“此”“图中”“图+<数字>”中至 少一个
– 数量：215 – 例子：
地点词分析
• adregi”“自治区”结尾 • 一个手工编辑的地名过滤列表（仅适用于目前收集的地名）
timep period season other cond stage frame ref cycle
时间词分析
• cycle
– 规则：
• 表达式中包含"每"
– 数量：5 – 例子：
时间词分析
• period
– 规则：
– 数量：42 – 例子：
时间词分析
• season
– 规则：
• 表达式中包含"春"“夏”“秋”"冬"中的至少一个
– 数量：322 – 例子：
• • • •
• • • • • •
海口 北京市 江苏省 荷兰
苏、皖、浙、闽四省 我国 江苏省和陕西省 两省 各省 我国部分城市
– 特殊：
地点词分析
• station
– 规则：
• 以“站”结尾
– 数量：11 – 例子：
地点词分析
• special
– 规则：
• [u"平原",u"高原",u"流域",u"海域",u"山脉",u"山",u"山系",u"盆地",u"河 ",u"江",u"谷地",u"三角洲",u"岛",u"板块",u"山地",u"洲",u"洋",u"湖",u" 海",u"海峡",u"湿地",u"板块",u"草原",u"渔场",u"角",u"岭",u"峰",u"山区 ",u"丘陵",u"瀑布",u"港",u"公园"] • 以上面的词中的某一个结尾
试题标注结果统计及分析
南京大学-nlp组 2015.06.07
标注体系
• 试题及选项 • 求解目标：以题为单位，answer type
– 多实体、单实体、判断、流程、其他
• 问句模式: 以选项为单位，question type
– 事实、因果、比较、关联、图表计算、其他
• • • • • •
时间 地点 术语 课本知识点 思维导图知识点 图片类型（可选）
标注样例
03.2014北京市朝 阳区高考文综地理二模试题（附答案)(11
标注结果及分析
• 南大10人参加标注 • 28套北京高考及各区模拟试题 • 共515道选择题，515*4=2060个选项
求解目标标注结果统计
• • • • • 判断 386 单实体 83 多实体 36 流程 9 其它 1
多实体 流程 单实体 其它 判断
adregion ref special other direction area lonlat station
地点词分析
• lonlat
– 规则：
• 包含"°"或者“北纬”“南纬”“东经”“西经”
– 数量：36 – 例子：
• • • • • • 90º E 乌鲁木齐（44°N,88°E） (20°, 127°) 北纬35°～40° 西经170°附近 北纬50°
– 特殊：
• 图示时期 • 甲时期 • （上述两个是否应该算入ref虚拟指代时间词中？）
时间词分析
• frame
– 规则：
• 表达式包含这些词中的某一个：
– [u"傍晚",u"早晨",u"昼",u"夜",u"上午",u"中午",u"下午",u"晚 上",u"夜晚",u"黎明",u"深夜",u"午间",u"日出",u"日落"]