电磁感应中杆+导轨模型问题

电磁感应中“杆+导轨”模型问题

例1、相距L=的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg 的金属棒ab 和质量m2=的金属棒cd ，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab 棒光滑，cd 棒与导轨间动摩擦因数μ=，两棒总电阻为Ω，导轨电阻不计。ab 棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F 作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd 棒也由静止释放。（g=10m/s2）

（1）求ab 棒加速度的大小和磁感应强度B 的大小；

（2）已知在2s 内外力F 做了的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；

（3）求出cd 棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd 棒所受摩擦力fcd 随时间变化的图线。

解： （1），

所

以

，

（2分）

由图2的截距可知， ，，

（2分）

由图2的斜率可知， ，， （2

分）

（2）

，

（2分）

，

（2分）

（3）

，，所以有，

，，（2分）

2分）

（

例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=。ab和cd是质量均为m=、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。不计导轨的电阻。（sin37°=）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系；

（2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系；

（3）求从t=0时刻起，内通过ab棒的电荷量q；

（4）若t=0时刻起，内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。

解析：（1）cd棒平衡，则F＋Fcd＝mgsin37°（2分）

Fcd= BIcdL

（1分）

得Icd＝（A）（2分）

（2）cd棒中电流Icd＝Iab＝（A），则回路中电源电动势E＝Icd R总（1分）

ab棒切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLvab （1分）

解得，ab棒的速度vab＝8 t （m/s）（2分）

所以，ab棒做初速为零的匀加速直线运动。

（3）ab棒的加速度为a＝8m/s2，内的位移为S＝at2＝×8×＝4m （1

分）

根据

，

（1分）

得q＝t＝

＝（2分）（4）t＝时，ab棒的速度vab＝8t＝8m/s （1分）

根据动能定理W－W安＝mv2－

（2分）

得内克服安培力做功W安＝16－××82

＝（1分）

回路中产生的焦耳热Q＝W安＝

cd棒上产生的焦耳热Qcd＝Q/2＝（1分）

对应小练习：

1、如图所示，足够长的两根光滑固定导轨相距竖直放置，导轨电阻不计，下端连接阻值为

的电阻，导轨处于磁感应强度为B=的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里。两根质量均为、电阻均为r=的水平金属棒和都与导轨接触良好。金属棒用一根细线悬挂，细线允许承受的最大拉力为，现让棒从静止开始下落，经ls钟细绳刚好被拉

断，g取10m／s2。求：

（l）细线刚被拉断时，整个电路消耗的总电功率P；

（2）从棒开始下落到细线刚好被拉断的过程中，通过棒的电荷量。

解：⑴细线刚被拉断时，ab棒所受各力满足：F=IabLB+mg 得：Iab== 电阻R中的电流：IR == cd棒中的电流Icd= Iab+ IR= A += cd棒中产生的感应电

动势E= 整个电路消耗的总电功率P=Pab+ Pcd+ PR= Iab2r+ Icd2r+ IR2R= （或P= E Icd=）⑵设线断时cd棒的

速度为V，则E=BLV，故V==s 对cd棒由动量定理可得：mgt―

qLB=mV 得q= =

2、(20分)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放

置，一个磁感应强度为B＝的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R=0．3 的电阻，长为L= m，电阻为r=0．2的

金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，

通过传感器记录金属棒ab下滑的距离，其下滑的距离与

时间的关系如下表所示，导轨的电阻不计。()

时间t(s)0

下滑距离s(m)0

求：

(1)在前的时间内，金属棒ab电动势的平均值。

(2)在时，金属棒ab两端的电压值。

（3）在前的时间内，电阻R上产生的热量Q。

解：

(1)

（4分）

(2)从表格中数据可知，后棒做匀速运动（2分）

速度

（2分）

（4分）

解得m= Kg

∴ab棒两端的电压，u=E-Ir= （3分）(3)棒在下滑过程中；有重力和安培力做功；克服安培力做的功等于回路的焦耳热。则：

（2分）

（2分）

解

得Q=

（1分）

3、如图甲所示，两条足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，导轨间距L=1m，两导轨的上端间接有电阻，阻值R=2Ω，虚线OO'下方是垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T。现将质量为m=，电阻不计的金属杆ab，从OO'上方某处由静止释放，金属杆在下落过程中与导轨保持良好接触，且始终保持水平，不计导轨电阻，已知金属杆下落的过程中加速度a 与下落距离h的关系如图乙所示，g=10m/s2，求：

（1）金属杆刚进入磁场时的速度多大

（2）金属杆下落的过程中，电阻R上产生了多少热量

4、如图所示，在磁感应强度为B=2T，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为R1=3Ω、R2=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为A，现有一根电阻不计、足够长的金属棒MN与磁场边界重叠，在A点对金属棒MN施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力F，将金属棒MN以速度v=5m／s匀速向右拉，金属棒MN与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，

两条导线的形状符合曲线方程m，

求：（1）推导出感应电动势e的大小与金属棒的位移x的关系式．

（2）整个过程中力F所做的功．

（3）从A到导轨中央的过程中通过R1的电荷量．

解：（1），