电磁感应中杆+导轨模型问题
电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)(解析版)
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。
重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。
[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。
[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。
现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。
高考物理 专题48 电磁感应中的“杆 导轨”模型问题小题狂刷
狂刷48 电磁感应中的“杆+导轨”模型问题1．倾角为α的光滑导电轨道间接有电源，轨道间距为L，轨道上放一根质量为m的金属杆ab，金属杆中的电流为I，现加一垂直金属杆ab的匀强磁场，如图所示，ab杆保持静止，则磁感应强度方向和大小可能为A．方向垂直轨道平面向上时，磁感应强度最小，大小为sin mgILαB．z正向，大小为mg ILC．x正向，大小为mg ILD．z正向，大小为tan mgILθ【答案】ACD【名师点睛】受力分析后，根据平衡条件，写出平衡方程，结合安培力公式，并根据左手定则，即可求解。
2．如图所示，一根通电的直导线放在倾斜的粗糙导轨上，置于图示方向的匀强磁场中，处于静止状态.现增大电流，导体棒仍静止，则在增大电流过程中，导体棒受到的摩擦力的大小变化情况可能是A ．一直增大B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．始终为零【答案】AB【名师点睛】考查左手定则及学会对物体进行受力分析，并根据受力情况来确定静摩擦力。
值得注意的是此处的静摩擦力方向是具有确定性，从而导致答案的不唯一性。
3．如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R 1和R 2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。
有一导体棒ab ，质量为m ，导体棒的电阻与固定电阻R 1和R 2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab 沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v 时，受到安培力的大小为F 。
此时A ．电阻R 1消耗的热功率为Fv /3B ．电阻R 2消耗的热功率为Fv /6C ．整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgv cos θD ．整个装置消耗的机械功率为(F +μmg cos θ)v 【答案】BCD【解析】设ab 长度为L ，磁感应强度为B ，电阻R 1=R 2=R 。
电路中感应电动势E =BLv ，ab 中感应电流为：232EBLvI R R R ==+，ab 所受安培力为： 2223B L v F BIL R ==①，电阻R 1消耗的热功率为：2222129I B L v P R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭②，由①②得116P Fv =，电阻R 1和R 2阻值相等，它们消耗的电功率相等，则1216P P Fv ==，故A 错误、B 正确。
电磁感应重点难点易错点——“导轨+杆”模型问题
人教版必修三电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题类型 “电—动—电”型“动—电—动”型示意图已知量棒ab 长L ，质量m ，电阻R ；导轨光滑水平，电阻不计 棒ab 长L ，质量m ，电阻R ；导轨光滑，电阻不计过程分析S 闭合，棒ab 受安培力F ＝BLER，此时加速度a ＝BLEmR，棒ab 速度v↑→感应电动势E ′＝BLv ↑→电流I ↓→安培力F ＝BIL ↓→加速度a ↓，当安培力F ＝0时，a ＝0，v 最大，最后匀速运动棒ab 释放后下滑，此时加速度a ＝gsin α，棒ab 速度v ↑→感应电动势E ＝BLv ↑→电流I ＝ER ↑→安培力F ＝BIL ↑→加速度a ↓，当安培力F ＝mgsin α时，a ＝0，v 最大，最后匀速运动能 量 转 化 通过安培力做功，把电能转化为动能克服安培力做功，把重力势能转化为内能运动 形式 变加速运动 变加速运动 最终 状态匀速运动，vm ＝E ′BL匀速运动vm ＝mgRsin αB2L2一、单棒问题1、发电式（1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E ＝Blv （2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小（4）运动特点：加速度减小的加速运动 （5）最终状态：匀速直线运动 （6）两个极值①v=0时,有最大加速度： ②a=0时,有最大速度：（7）能量关系 （8）动量关系Fm F mg a mμ-=22-+=()()m F mg R r v B l μ212E mFs Q mgS mv μ=++0m Ft BLq mgt mv μ--=-解题步骤：解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为：(1)找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向；(2)画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向；(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运动情况；(4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解．(一）导轨竖直1、如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：甲乙(1)磁感应强度B的大小；(2)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，通过电阻R的电荷量；(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．2、如图所示，竖直放置的两根足够长平行金属导轨相距L，导轨间接有一定值电阻R，质量为m，电阻为r的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触，且无摩擦，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，现将金属棒由静止释放，金属棒下落高度为h时开始做匀速运动，在此过程中()A．导体棒的最大速度为2ghB．通过电阻R的电荷量为BLhR＋rN MF3、如图2所示，电阻为R，其他电阻均可忽略，ef是一电阻可不计的水平放置的导体棒，质量为m，棒的两端分别与ab、cd保持良好接触，又能沿框架无摩擦下滑，整个装置放在与框架垂直的匀强磁场中，当导体棒ef从静止下滑一段时间后闭合开关S，则S闭合后()A．导体棒ef的加速度可能大于gB．导体棒ef的加速度一定小于gC．导体棒ef最终速度随S闭合时刻的不同而不同D．导体棒ef的机械能与回路内产生的电能之和一定守恒4、MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T 的匀强磁场垂直．质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1．当杆ab达到稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2．5、如图，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置，导轨间距离为L1电阻不计。
电磁感应中杆+导轨模型问题
电磁感应中“杆+导轨”模型问题例1、相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg的金属棒ab和质量m2=0.27kg 的金属棒cd，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。
ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计。
ab棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。
（g=10m/s2）（1）求ab棒加速度的大小和磁感应强度B的大小；（2）已知在2s内外力F做了26.8J的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；（3）求出cd棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd棒所受摩擦力fcd随时间变化的图线。
解：（1），所以， 33.1（2分）由图2的截距可知，，，33.2（2分）由图2的斜率可知，，， 33.3（2分）（2）， 33.4（2分）， 33.5（2分）（3），，所以有，，，33.6（2分）33.7（2分）例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。
在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=0.5T。
ab和cd是质量均为m=0.1kg、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。
从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝0.6-0.25t（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。
不计导轨的电阻。
（sin37°=0.6）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系；（2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系；（3）求从t=0时刻起，1.0s内通过ab棒的电荷量q；（4）若t=0时刻起，1.0s内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。
4.8专题：电磁感应现象中“杆+导轨”模型
(2)电阻R上产生热量Q=I2Rt=0.075 J
答案：(1)2 T (2)0.075 J
探究三 倾斜轨道
两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为 α 的绝缘斜面上，导轨间距为 L，导轨间连接一电 阻R ，质量为m，电阻为r的金属棒 ab与导轨垂直 并接触良好，其余部分电阻不计，整套装置处 于磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直 斜面向下。不计它们之间的摩擦，重力加速度 为g 。
光滑水平放置的金属导轨间距为 L，导轨间连接 一电阻 R，质量为 m，电阻为 r的金属棒ab与导轨 接触良好，其余部分电阻不计。平面内有垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
问题3：施加恒定外力 F 后，能量如何变化？能不能 从能量的视角求ab棒的最大速度？
能量角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
问题1：施加恒定外力F后，ab棒的加速度 a，速度v 如何变化？
动力学角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
E I= Rr
F安 BIL
a
F F安 m
a、v同向
当F安=F时，a=0,速度达到最大vm匀速
解：运动特征：加速度减小的 加速运动，最终匀速。 F=F安=BIL=B2L2Vm/（R+r) 可得：vm=F(R+r)/B2L2
示。(g取10 m/s2)求：
(1)磁感应强度B;
(2)杆在磁场中下落0.1 s的
过程中电阻R产生的热量。
【规范解答】(1)由图像知,杆自由下落0.1 s进入磁场以v= 1.0 m/s做匀速运动产生的电动势E=BLv 杆中的电流I=
E Rr
杆所受安培力F安=BIL 由平衡条件得mg=F安 代入数据得B=2 T
高考物理复习 电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题
电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。
变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。
一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；图1（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，d图2距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R v l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22l B maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同 （2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。
电磁感应中的杆轨模型
目标：1、能够掌握电磁感应中的“杆+导轨” 模型的基本类型。
2、通过力与运动、功与能、动量等方面解决 问题。
“杆(单杆)＋导轨”模型是高考的热点，也是 难点，考查知识点多.按导轨的放置方式可分 为水平、竖直和倾斜；按杆的运动状态可分为 匀速直线运动、匀变速直线运动、变加速直线 运动等，杆的最终状态一般为静止或匀速直线 运动；按磁场的状态可分为恒定不变、均匀变 化和非均匀变化等.情景复杂，形式多变.
如图所示，间距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 与水平面夹角为30°，上端N、Q间连接一阻值为R的电阻，金属 棒ab与导轨接触良好且垂直导轨放置，金属棒长度为L、电阻为r， ab、cd间的距离为L，cd以下存在磁感应强度大小为B、方向与 导轨平面垂直向下的匀强磁场.现在对棒施加一个平行导轨向下的 恒力F，F的大小是棒ab重力的1/2，当棒ab刚通过cd时恰好做匀 速运动，此时突然只将力F反向，经过一段时间后金属棒静止， 已知重力加速度为g，求： (1)金属棒的质量； (2)金属棒通过cd后向下运动的最大距离； (3)整个过程中电阻R上产生的焦耳热.
1.能够掌握电磁感应中的“杆+导 轨”模型的基本类型。
(含答案)应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨杆”模型问题.docx
应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨+杆”模型问题一、基础知识1、模型概述“导轨+杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题1=1的综合性强，物理情景变化空间人，是我们复习屮的难点.“导轨+杆” 模型乂分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变.2、常见模型二、练习解析 ⑴设卬在磁场区域"cd 内运动时间为d 乙从开始运动到〃位置的时间为/2, 则由运动学公式得1 21 八2 L =〒2gsin 〃・斤，L=㊁gsin 0・£解得旷pi 爲’/2=需£（i 分）因为“勺2,所以甲离开磁场时，乙还没有进入磁场.（1分）设乙进入磁场时的速度为可，乙屮产牛的感应电动势为E ］,回路屮的电流为厶，贝IJ 如嶄=mgLsin 0（］分）E\=BdsQ 分） Zi=Ei/2R （l 分） mgsin O=BJ {d （\ 分）解得2鬱需9分）（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间/,甲的速度为“，甲中产牛的感应电动势为E,回路中的电流为/,外力为F,则1、如图弄示,两根足够长、电阻• * • % I•• »«^ZW«I4 I ・♦ Jtf-rr-W •- V ,I与水平面夹角为趴导轨平面内的矩形区域血cd• • • • • • ••••■• • • •• ••• ••••・M • ••••••• • •••垂首干斜面向卜•血与cd ・间相原为・令爆杆• • • • • • ■ 9■•■•••• • • • •明确电路结构，挖掘隐含梅抿荐族状杰犒牢税图6・甲、乙的阻值相同，质址均为九甲杆锂雹场区域的上边界血处，乙杆上方与甲相更［处，甲、乙两杆都与导轨垂直II 接触KI 好•由静止样放两杆的同 时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行丁•导轨的外力F,使甲杆在冇磁场的矩形区域 内向下做匀期速直线运动，加速度大小炉2gsin0,甲离开磁场时撤去化乙杆 进人磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场・（1）求毎根金属杆的电E/?fl 多大?（2）从释放金居杆开始计时，求外力F 随时间t 的变化关系式，并说明F 的方向.（3）若整个过程中，乙金届杆共产生热昴Q,求外力F 对甲金届杆做的功W 是多少?⑤岀于甲、乙秀杆串联，产生的史 只有甲杆在磁场中运动的过程，刑 功和重力做功使两杆的内能和甲*• • • • • • • • • • ■ • • • • ■■■增加.甲杆离开磁场后，乙杆;切 勞能转化为两杆的内能.②说明乙杆受力平衡「应远期断i 磁场时甲杆是否离开磁场.③先分析两杆在导轨上各自运动」时间，可輛用乙杆在磁场中的匀殳析求解电阻R. ④用牛顿第二定律、法拉第电磁总X.・• • •• ..合电路知识求解.①可如甲般外为卩平行寻編卸 变力.v=at（\分）E=Bdv（\分）I=E/2R（］分）F+wgsin O~BId=nia （\ 分） <7=2gsin 6联立以上各式解得方向垂直于杆平行于导轨向下.(1分)(3)甲在磁场运动过程中，乙没冇进入磁场，设甲离开磁场时速度为％,甲、乙产生的热量相同，均设为0,则vl=2aL(\ 分)W+〃?g 厶sin 0=2Q]+苏就（2 分）解得 W=20x+mgLsmO乙在磁场运动过程中,甲、乙产生相同的热量,均设为g ，贝IJ 2@=吨厶sin 0(2分) 根据题意有0=01+0(1分) 解得"=20(1分)gsin 0(2) F=〃7gsin&+〃gsin0、^^^2(OW/W 寸瓷 命 方向垂直于杆平行于导轨向下 (3) 202、如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MM P0竖直放置，其宽度厶=1 m, 一匀强 磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 之间连接阻值为/?=0.40 Q 的电阻，质量 为加=0.01 kg 、电阻为厂=0.30 Q 的金属棒ah 紧贴在导轨上•现使金属林ab [Il 静止开 始下滑，下滑过程中弘始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x 与时间/的 关系如图乙所示，图彖中的04段为曲线，M 段为直线，导轨电阻不计，g=10m/s 1 2 3(忽 略〃棒运动过程中对原磁场的影响)，求：解析(1)金属棒在段匀速运动，山题中图象乙得:1 磁感应强度B 的大小；2 金属棒ab 在开始运动的1.5 s 内，通过电阻尺的电荷量;3 金属棒〃在开始运动的1.5 s 内，电阻上产牛的热量. 答案(1)0.1 T (2)0.67 C (3)0.26 JF=wgsin 0+加gsin 0怦.gw0=石=7 m/sBLumg=BIL解得3 = 0.1 T⑵q="F △/— A01 ={R+r)\t\S△°F解得：g = 0.67 C1 2 (3)Q=〃?gx_ 尹矿解得 2=0.455 J 从而0?=专屈=0.26 J3、如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd 和前水平放置，在其左端连接倾角为〃=37。
电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题(较全)
电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。
变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。
一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒图1（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为d图2BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=Rv l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反 当v 0> 22lB maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 图4另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。
高分策略之电磁感应中的杆导轨模型
一、单棒问题基本模型运动特点最终特征阻尼式a逐渐减小的减速运动静止I=0电动式匀速a逐渐减小的加速运动I=0 (或恒定)匀速发电式a逐渐减小的加速运动I 恒定二、含容式单棒问题基本模型运动特点最终特征放电式a逐渐减小的加速运动匀速运动I＝0 无外力充电式a逐渐减小的减速运动匀速运动I＝0 有外力充电式匀加速运动匀加速运动I 恒定三、无外力双棒问题基本模型运动特点最终特征无外力等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐小的减速运动v1=v2I＝0无外力不等距式杆1做a渐小的减速运动杆2做a渐小的加速运动a＝0I＝0L1v1=L2v2四、有外力双棒问题基本模型运动特点最终特征有外力等距式杆1做a渐大的加速运动杆2做a渐小的加速运动a1=a2，Δv 恒定I恒定有外力不等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐大的加速运动a1≠a2，a1、a2恒定I 恒定题型一阻尼式单棒模型如图。
1．电路特点：导体棒相当于电源。
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。
F B =BIl=3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,a= =4．运动特点：速度如图所示。
a 减小的减速运动5．最终状态:静止 6．三个规律 (1)能量关系：-0 = Q , =(2)动量关系： 00BIl t mv -⋅∆=-q =, q ==(3)瞬时加速度：a= =【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L 的区域内，有一个边长为a （a<L ）的正方形闭合线圈以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v （v<v 0）那么（ ）A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2D. 以上情况A、B均有可能，而C是不可能的【答案】B【解析】设线圈完全进入磁场中时的速度为v x。
线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。
电磁感应中的导轨类问题
.动态分析导体棒与导轨问题1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题）类“电—动—电”型“动—电—动”型型示M b意P图NaQ棒 ab 长为 L ，质量为 m，电阻为 R，棒 ab 长为 L ，质量为 m，电阻为 R，导轨光滑，电阻不计。
导轨光滑，电阻不计。
分开关闭合后，棒 ab 受安培力 F=BLE/R ，棒 ab 释放后下滑，此时a=gsin α，棒 ab 的析此时， a=BLE/mR, 棒 ab 的速度增加—速度 v增加——感应电动势E=BLv 增加感应电动势 BLv 增加—安培力 F=BIL 减——感应电流增加——安培力 F 增加——小—加速度 a 减小，当安培力 F=0 （ a=0）加速度 a 减小，当安培力F=mgsinα时， v 时， v 最大最大。
2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题）初速度不为零，不受其他水平外力作用NQNQ V 0V 0示MP MP意图质量 =m 1=m 2电阻 =r1 =r2质量 =m 1=m 2电阻 =r1=r 2长度 =L 1=L 2长度 =L 1=L 2分杆 MN 做边减速运动，杆 PQ 做变稳定时，两杆的加速度为零，两杆的速度析加速运动，稳定时，两杆的加速度之比为 1： 2为零，以相等的速度匀速运动。
初速度为零，受其他水平外力的作用.N QNQ示F F意MP MP图质量 =m 1=m 2电阻 =r1=r2摩擦力 f 1=f 2，质量 =m 1=m 2长度 =L 1=L 2电阻 =r1=r2长度 =L 1=L 2分开始时，两杆做变加速运动；稳定时，稳定时，若 F≤2f，则 PQ 先变加速后匀析两杆以相同的加速度做匀变速直线运速运动；若 F>2f ，则 PQ 先变加速，之动。
后两杆匀加速运动。
一、“动—电—动”型1．（2007 山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m 的金属棒 ab.导轨地一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于导轨平面向下，金属棒ab 在一水平恒力 F 作用下由静止起向右运动．则（）A ．随着 ab 运动速度的增大，其加速度也增大B ．外力 F 对 ab 做的功等于电路中产生的电能C．当 ab 做匀速运动时，外力 F 做功的功率等于电路中的电功率D ．无论 ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能2、如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻 R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为 m 的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m，则（）A ．如果B 增大， v m将变大 B ．如果变大， v m将变大C．如果 R 变大， v 将变大D．如果 m 变小， v将变大m m3．如图所示，一光滑平行金属轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻 R 相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上。
电磁感应中的杆和导轨问题
电磁感应中的杆+导轨问题“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是各种考试的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景富于变化，是我们学习中的重点和难点。
导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；轨道可能光滑，也可能粗糙；杆可能有电阻也可能没有电阻；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，多种情景组合复杂，题目形式多变。
下面是几种最基本的模型及分析，有兴趣（无兴趣可以无视）的同学可以学习、体会、研究。
需要注意的是：模型中的结论是基于表中所述的基本模型而言，不一定有普遍性，物理情景有变化，结论可能不同，但分析的方法是相同的、有普遍性的。
1．单杆水平式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，棒ab长为L，质量为m，初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电阻不计动态分析设运动过程中某时测得的速度为v，由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a＝Fm －=B2L2vmR，a、v同向，随速度的增加，棒的加速度a减小，当a＝0时，v最大，电流I＝BLv mR不再变化收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化2．单杆倾斜式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒质量为m，电阻为R，导轨光滑，电阻不计动态分析棒ab刚释放时a＝g sin α，棒ab的速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F ＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，速度达到最大v m＝mgR sin αB2L2收运动形式匀速直线运动尾状态力学特征 受力平衡，a ＝0电学特征I 不再变化3、有初速度的单杆物理模型杆cd 以一定初速度v 0在光滑水平轨道上滑动，质量为m ，电阻不计，两导轨间距为L动态分析杆以速度v 切割磁感线产生感应电动势E ＝BLv ，电流I ＝BLv R ，安培力F ＝BIL ＝B 2L 2vR.杆做减速运动：v ↓?F ↓?a ↓，当v ＝0时，a ＝0，杆保持静止能量转化情况动能全部转化为内能：Q ＝12mv 24、含有电容器的单杆物理模型轨道水平光滑，单杆ab 质量为m ，电阻不计，两导轨间距为L ，拉力F 恒定动态分析开始时a＝Fm，杆ab速度v?感应电动势E＝BLv，经过时间Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CE′－C E＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa （所以电流的大小恒定）安培力F安＝BLI＝CB2L2a（所以安培力的大小恒定）F－F安＝ma，a＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量转化情况F做的功使其它形式的能E其它一部分转化为动能，一部分转化为电场能E电场能：W F＝E其它=12mv2＋E电场能5、含有电源时的单杆物理模型轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L。
(完整版)电磁感应中双杆模型问题答案
电磁感应中双杆模型问题一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题1.等间距型如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a 和b 和导轨紧密接触且可自由滑动，先固定a ，释放b ，当b 速度达到10m/s 时，再释放a ，经1s 时间a 的速度达到12m/s ，则：A 、 当va=12m/s 时，vb=18m/sB 、当va=12m/s 时，vb=22m/sC 、若导轨很长，它们最终速度必相同D 、它们最终速度不相同，但速度差恒定【解析】因先释放b ，后释放a ，所以a 、b 一开始速度是不相等的，而且b 的速度要大于a 的速度，这就使a 、b 和导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所示。
再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进行受力分析如图1。
开始两者的速度都增大，因安培力作用使a 的速度增大的快，b 的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为g 的匀加速直线运动。
在释放a 后的1s 内对a 、b 使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在1s 内它的冲量大小都为I ，选向下的方向为正方向。
当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。
释放棒后，经过时间t ，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：对a 有：( mg + I ) · t = m v a0, 对b 有：( mg － I ) · t = m v b －m v b0联立二式解得：v b = 18 m/s ，正确答案为：A 、C 。
在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度。
物理建模-10.电磁感应中的“杆+导轨”模型
物理建模10.电磁感应中的“杆＋导轨”模型模型构建“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．模型分类及特点1．单杆水平式F B2L2vE解决电磁感应中综合问题的一般思路是“先电后力再能量”．【典例】图9－2－13(2013·安徽卷，16)如图9－2－13所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37 °，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)()．A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 WC．7.5 m/s9 W D．15 m/s9 W解析导体棒MN匀速下滑时受力如图所示，由平衡条件可得F安＋μmg cos θ＝mg sin θ，所以F安＝mg(sin θ－μcos θ)＝0.4 N，由F安＝BIL得I＝F安BL＝1 A，所以E＝I(R灯＋R MN)＝2 V，导体棒的运动速度v＝EBL＝5 m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1 W．正确选项为B.答案 B图9－2－14即学即练如图9－2－14所示，质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.3 Ω，长度l＝0.4 m 的导体棒ab横放在U型金属框架上．框架质量m2＝0.2 kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长．电阻R2＝0.1 Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5 T．垂直于ab施加F＝2 N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM ′、NN ′保持良好接触．当ab 运动到某处时，框架开始运动．设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2. (1)求框架开始运动时ab 速度v 的大小；(2)从ab 开始运动到框架开始运动的过程中，MN 上产生的热量Q ＝0.1 J ，求该过程ab 位移x 的大小．解析 (1)ab 对框架的压力，F 1＝m 1g ① 框架受水平面的支持力，F N ＝m 2g ＋F 1②依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力，F 2＝μF N ③ ab 中的感应电动势，E ＝Bl v ④ MN 中电流，I ＝ER 1＋R 2⑤ MN 受到的安培力，F 安＝IlB ⑥ 框架开始运动时，F 安＝F 2⑦由上述各式代入数据解得，v ＝6 m/s ⑧ (2)闭合回路中产生的总热量，Q 总＝R 1＋R 2R 2Q ⑨ 由能量守恒定律，得，Fx ＝12m 1v 2＋Q 总⑩代入数据解得x ＝1.1 m 答案 (1)6 m/s (2)1.1 m附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2011·北京理综，19)某同学为了验证断电自感现象，自己找来带铁芯的线圈L 、小灯泡A 、开关S 和电池组E ，用导线将它们连接成如图所示的电路．检查电路后，闭合开关S ，小灯泡发光；再断开开关S ，小灯泡仅有不显著的延时熄灭现象．虽经多次重复，仍未见老师演示时出现的小灯泡闪亮现象，他冥思苦想找不出原因．你认为最有可能造成小灯泡未闪亮的原因是( )．A ．电源的内阻较大B ．小灯泡电阻偏大C ．线圈电阻偏大D ．线圈的自感系数较大解析 由自感规律可知在开关断开的瞬间造成灯泡闪亮以及延时的原因是在线圈中产生了与原电流同向的自感电流且大于稳定时通过灯泡的原电流．由题图可知灯泡和线圈构成闭合的自感回路，与电源无关，故A 错误；造成不闪亮的原因是自感电流不大于稳定时通过灯泡的原电流，当线圈电阻小于灯泡电阻时才会出现闪亮现象，故B 错误，C 正确；自感系数越大，则产生的自感电流越大，灯泡更亮，故D 错误． 答案C2．(2012·课标全国，19)如图所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B 0.使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率ΔBΔt 的大小应为( )．A.4ωB 0π B.2ωB 0π C.ωB 0π D.ωB 02π解析 当线框绕过圆心O 的转动轴以角速度ω匀速转动时，由于面积的变化产生感应电动势，从而产生感应电流．设半圆的半径为r ，导线框的电阻为R ，即I 1＝E R ＝ΔΦR Δt ＝B 0ΔS R Δt ＝12πr 2B 0R πω＝B 0r 2ω2R 当线框不动，磁感应强度变化时，I 2＝E R ＝ΔΦR Δt＝ΔBS R Δt ＝ΔB πr 22R Δt ，因I 1＝I 2，可得ΔB Δt ＝ωB 0π，C 选项正确． 答案 C3．(2012·四川理综，20)半径为a 、右端开小口的导体圆环和长为2a 的导体直杆，单位长度电阻均为R 0.圆环水平固定放置，整个内部区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .直杆在圆环上以速度v 平行于直径CD 向右做匀速直线运动，直杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O 开始，直杆的位置由θ确定，如图所示．则( )．A ．θ＝0时，直杆产生的电动势为2Ba vB ．θ＝π3时，直杆产生的电动势为3Ba vC ．θ＝0时，直杆受的安培力大小为2B 2a v(π＋2)R 0D ．θ＝π3时，直杆受的安培力大小为3B 2a v(5π＋3)R 0解析 当θ＝0时，直杆切割磁感线的有效长度l 1＝2a ，所以直杆产生的电动势E 1＝Bl 1v ＝2Ba v ，选项A 正确．此时直杆上的电流I 1＝E 1(πa ＋2a )R 0＝2B v(π＋2)R 0，直杆受到的安培力大小F 1＝BI 1l 1＝4B 2a v (π＋2)R 0，选项C 错误．当θ＝π3时，直杆切割磁感线的有效长度l 2＝2a cos π3＝a ，直杆产生的电动势E 2＝Bl 2v ＝Ba v ，选项B错误．此时直杆上的电流I 2＝E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πa －2πa 6＋a R 0＝3B v(5π＋3)R 0，直杆受到的安培力大小F 2＝BI 2l 2＝3B 2a v(5π＋3)R 0，选项D 正确．答案AD4．(2012·山东卷，20)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B .将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g .下列选项正确的是( )． A ．P ＝2mg v sin θ B ．P ＝3mg v sin θC ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g2sin θD ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功 解析 导体棒由静止释放，速度达到v 时，回路中的电流为I ，则根据平衡条件，有mg sin θ＝BIL .对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，以2v 的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I ，有F ＋mg sin θ＝2BIL ，所以拉力F ＝mg sin θ，拉力的功率P ＝F 2v ＝2mg v sin θ，故选项A 正确、选项B 错误；当导体棒的速度达到v2时，回路中的电流为I 2，根据牛顿第二定律，得mg sin θ－B I 2L ＝ma ，解得a ＝g2sin θ，选项C 正确；当导体棒以2v 的速度匀速运动时，根据能量守恒定律，重力和拉力所做的功之和等于R 上产生的焦耳热，故选项D 错误． 答案 AC5．(2012·广东理综，35)如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板．R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻． (1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I 及棒的速率v .(2)改变R x ，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电量为＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x .解析 (1)导体棒匀速下滑时，Mg sin θ＝BIl ① I ＝Mg sin θBl②设导体棒产生的感应电动势为E 0，E 0＝Bl v ③ 由闭合电路欧姆定律得：I ＝E 0R ＋R x④ 联立②③④，得v ＝2MgR sin θB 2l 2⑤(2)改变R x ，由②式可知电流不变．设带电微粒在金属板间匀速通过时，板间电压为U ，电场强度大小为E U ＝IR x ⑥ E ＝U d ⑦mg ＝qE ⑧联立②⑥⑦⑧，得R x ＝mldBMq sin θ⑨答案 (1)Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2 (2)mldBMq sin θ。
电磁感应中的“杆—轨道”模型
速度 图像
F 做的功一部分转 F 做的功一部分转
动 能 全 部 转 化 电源输出的电能
能量 为内能
化为杆的动能，一 化为动能，一部分 转化为杆的动能
分析 Q＝12mv20
W 电＝12mv2m
部分产生焦耳热 WF＝Q＋12mv2m
转化为电场能 WF＝12mv2＋EC
例 1 (多选)如图 1 所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L，两导轨间 存在磁感应强度大小为 B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为 m、电阻为 R、 长度恰好等于导轨间宽度的导体棒 ab 垂直于导轨放置。闭合开关 S，导体棒 ab 由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为 E、内阻为
01 02 03 04 05 06
教师备选用题
而做加速运动，由于两者的速度差逐渐减小，可知 感应电流逐渐减小，安培力逐渐减小，可知 cd 向右 做加速度减小的加速运动，故 B 正确；ab 从释放到 刚进入磁场过程，由动能定理得 mgR＝21mv20，对 ab 和 cd 系统，合外力为零，则由动量守恒定律有 mv0 ＝m·2vcd＋2m·vcd，解得 vcd＝14v0＝41 2gR，对 cd 由动量定理有 B－IL·Δt＝2m·vcd， 其中 q＝－I·Δt，解得 q＝m2B2LgR，故 C 正确；从 ab 由静止释放，至 cd 刚离开磁 场过程，由能量守恒定律得 mgR＝21m2vcd2＋12×2mv2cd＋Q，又 Qcd＝32Q，解得 Qcd＝152mgR，故 D 错误。
析 v↓⇒F↓⇒a↓，当 v＝0 速度 a↓，当 E 感＝ －F 安＝ma 知 a↓， 安培力 F 安＝ILB＝CB2L2a
时，F＝0，a＝0，杆保 持静止
E 时，v 最大，且 vm ＝BEL
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电磁感应中“杆+导轨”模型问题例1、相距L=的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg 的金属棒ab 和质量m2=的金属棒cd ，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。
ab 棒光滑，cd 棒与导轨间动摩擦因数μ=，两棒总电阻为Ω，导轨电阻不计。
ab 棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F 作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd 棒也由静止释放。
（g=10m/s2）（1）求ab 棒加速度的大小和磁感应强度B 的大小；（2）已知在2s 内外力F 做了的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；（3）求出cd 棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd 棒所受摩擦力fcd 随时间变化的图线。
解： （1），所以，（2分）由图2的截距可知， ，，（2分）由图2的斜率可知， ，， （2分）（2），（2分），（2分）（3），，所以有，，，（2分）2分）（例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。
在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=。
ab和cd是质量均为m=、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。
从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。
不计导轨的电阻。
（sin37°=）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系；（2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系；（3）求从t=0时刻起，内通过ab棒的电荷量q；（4）若t=0时刻起，内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。
解析：（1）cd棒平衡，则F＋Fcd＝mgsin37°（2分）Fcd= BIcdL（1分）得Icd＝（A）（2分）（2）cd棒中电流Icd＝Iab＝（A），则回路中电源电动势E＝Icd R总（1分）ab棒切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLvab （1分）解得，ab棒的速度vab＝8 t （m/s）（2分）所以，ab棒做初速为零的匀加速直线运动。
（3）ab棒的加速度为a＝8m/s2，内的位移为S＝at2＝×8×＝4m （1分）根据，（1分）得q＝t＝＝（2分）（4）t＝时，ab棒的速度vab＝8t＝8m/s （1分）根据动能定理W－W安＝mv2－（2分）得内克服安培力做功W安＝16－××82＝（1分）回路中产生的焦耳热Q＝W安＝cd棒上产生的焦耳热Qcd＝Q/2＝（1分）对应小练习：1、如图所示，足够长的两根光滑固定导轨相距竖直放置，导轨电阻不计，下端连接阻值为的电阻，导轨处于磁感应强度为B=的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里。
两根质量均为、电阻均为r=的水平金属棒和都与导轨接触良好。
金属棒用一根细线悬挂，细线允许承受的最大拉力为，现让棒从静止开始下落，经ls钟细绳刚好被拉断，g取10m／s2。
求：（l）细线刚被拉断时，整个电路消耗的总电功率P；（2）从棒开始下落到细线刚好被拉断的过程中，通过棒的电荷量。
解：⑴细线刚被拉断时，ab棒所受各力满足：F=IabLB+mg 得：Iab== 电阻R中的电流：IR == cd棒中的电流Icd= Iab+ IR= A += cd棒中产生的感应电动势E= 整个电路消耗的总电功率P=Pab+ Pcd+ PR= Iab2r+ Icd2r+ IR2R= （或P= E Icd=）⑵设线断时cd棒的速度为V，则E=BLV，故V==s 对cd棒由动量定理可得：mgt―qLB=mV 得q= =2、(20分)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，一个磁感应强度为B＝的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R=0．3 的电阻，长为L= m，电阻为r=0．2的金属棒ab紧贴在导轨上。
现使金属棒ab由静止开始下滑，通过传感器记录金属棒ab下滑的距离，其下滑的距离与时间的关系如下表所示，导轨的电阻不计。
()时间t(s)0下滑距离s(m)0求：(1)在前的时间内，金属棒ab电动势的平均值。
(2)在时，金属棒ab两端的电压值。
（3）在前的时间内，电阻R上产生的热量Q。
解：(1)（4分）(2)从表格中数据可知，后棒做匀速运动（2分）速度（2分）（4分）解得m= Kg∴ab棒两端的电压，u=E-Ir= （3分）(3)棒在下滑过程中；有重力和安培力做功；克服安培力做的功等于回路的焦耳热。
则：（2分）（2分）解得Q=（1分）3、如图甲所示，两条足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，导轨间距L=1m，两导轨的上端间接有电阻，阻值R=2Ω，虚线OO'下方是垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T。
现将质量为m=，电阻不计的金属杆ab，从OO'上方某处由静止释放，金属杆在下落过程中与导轨保持良好接触，且始终保持水平，不计导轨电阻，已知金属杆下落的过程中加速度a 与下落距离h的关系如图乙所示，g=10m/s2，求：（1）金属杆刚进入磁场时的速度多大（2）金属杆下落的过程中，电阻R上产生了多少热量4、如图所示，在磁感应强度为B=2T，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为R1=3Ω、R2=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为A，现有一根电阻不计、足够长的金属棒MN与磁场边界重叠，在A点对金属棒MN施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力F，将金属棒MN以速度v=5m／s匀速向右拉，金属棒MN与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，两条导线的形状符合曲线方程m，求：（1）推导出感应电动势e的大小与金属棒的位移x的关系式．（2）整个过程中力F所做的功．（3）从A到导轨中央的过程中通过R1的电荷量．解：（1），所以：（4分）（2）因为ｘ＝ｖｔ，所以由于导体做匀速运动，力F所做的功等于电路中电流所做的功。
有效值（２分）导体切割磁感线的时间，电路中总电阻（２分）拉力F所做的功（２分）（3）由，可知Emax=BSω=Φmω ，所以：Wb，（2分）通过电阻R1的电量为（2分）课后练习1、如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨上端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为s时，速度达到最大值vm．求：（1）金属棒开始运动时的加速度大小；（2）匀强磁场的磁感应强度大小；（3）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热．解：（1）金属棒开始运动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律有①（2分）解得（2分）（2）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，则金属棒达到最大速度时产生的电动势②（1分）回路中产生的感应电流③（1分）金属棒棒所受安培力④（1分）cd棒所受合外力为零时，下滑的速度达到最大，则⑤（1分）由②③④⑤式解得（1分）（3）设电阻R上产生的电热为Q，整个电路产生的电热为Q总，则⑥（3分）⑦（1分）由⑥⑦式解得（1分）2、如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ= 30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B = 。
质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r。
现从静止释放杆a b，测得最大速度为vm。
改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示。
已知轨距为L = 2m，重力加速度g取l0m/s2，轨道足够长且电阻不计。
⑴当R = 0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小及杆中的电流方向；⑵求金属杆的质量m和阻值r；⑶当R = 4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W。
甲乙解：解法一：⑴由图可知，当R = 0 时，杆最终以v = 2 m/s匀速运动，产生电动势E = BLv ………………………………………………………………………1分E = 2V ………………………………………………………………………1分杆中电流方向从b → a ………………………………………………………1分⑵设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E = BLv由闭合电路的欧姆定律：…………………………………………1分杆达到最大速度时满足……………………………… 1分解得：v = ………………………………………… 1分由图像可知：斜率为，纵截距为v0=2m/s，得到：= v0 ……………………………………………1分k ………………………………………………1分解得：m = …………………………………………………………… 1分r = 2Ω…………………………………………………………… 1分⑶由题意：E = BLv ………………………………1分得……………………………………………………1分……………………………………………1分由动能定理得W = ………………………………………………………1分…………………………………………………………1分W = ………………………………………………………………………1分解法二：设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E = BLv由闭合电路的欧姆定律：………………………………………… 1分由图可知当R = 0时v = 2 m/s …………………… 2分当R =2Ω时v′ = 4m/s ……………………………… 2分解得：m = …………………………………………………………… 1分r = 2Ω…………………………………………………………… 1分⑶由题意：………………………………………1分得…………………………………………………… 1分…………………………………………… 1分由动能定理得……………………………………………………… 1分………………………………………………………… 1分W = ………………………………………………………………………1分3、如图甲，两光滑的平行导轨MON与PO/Q，其中ON、O/Q部分是水平的，倾斜部分与水平部分用光滑圆弧连接，QN两点间连电阻R, 导轨间距为L．水平导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是cdef和hgjk虚线包围区），磁场方向垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感强度Ｂ０的恒定的磁场，Ⅰ区磁场的宽度为x0，磁感应强度随时间变化。