哈工大小波理论与应用上机报告

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小波实验1

哈尔滨工业大学小波理论及应用上机报告院（系）电气工程及自动化学院学科仪器仪表工程姓名陈鹏宇学号15S101121上机实验内容Butterworth滤波器实验一：滤波器一、实验内容Butterworth 滤波器冲击响应函数为：,0()0,0t Ae t h t t α-⎧≥=⎨<⎩若若 ⑴ 求()ˆhω； ⑵ 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？⑶ 对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40)t f t e t t t t -=++，0t π≤≤，画出()f t 图形；⑷ 画出滤波后图形()f h t *，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10A α==⑸ 取()(sin5sin3sin sin 40),t f t e t t t t -=+++采用不同的变量值A α=()10A α==初始设定，画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果二、实验过程（1）由连续傅里叶变换公式可求得()ˆhω： ()()0ˆi t t i t A h h t e dt Ae e dt i ωαωωαω+∞+∞----∞===+⎰⎰ (1) （2）由冲击响应函数 h(t)可知，t<0时h(t)=0;可以得出滤波器为因果滤波器；由()ˆhω可知该信号的幅频特性为： ()H ω= (2) 当α1A ==时，其幅频特性曲线如图1所示，因此为低通滤波器。

图1 滤波器幅频特性（3）()f t，(b)为幅频特性f t的图形如图二所示，(a)为()图2 时域和频域图形（4）画出*()f h t的结果如图2所示，A= α = 10：图3 f*h(t)卷积结果其中图3（a）、（b）分别为原始信号f(t)的时域和频域，（c）、（d）为h t(A =α = 10)卷积后的信号的时域和频域图。

可以看出信号中高频分量被抑制，信号的信噪比明显改善了。

（5）实验中A和的取值，通过实验得到的结果分别如下：1)A= α = 102)A= α = 20，滤波时域和频域图形3)A= α= 100，滤波时域和频域图形4)A= α= 5，滤波时域和频域图形5)A= α= 1，滤波时域和频域图形图8 A= α= 1，滤波时域和频域图形通过对比各种参数滤波器的滤波效果，可以发现A值的大小会影响信号的幅值，A值越大滤波器对信号的放大作用越大，但噪声也被放大，而则影响滤波器的截止频率，越小h(t)的截止频率越小，对高频信号的滤除效果越好。

小波分析理论及其应用

百度文库- 让每个人平等地提升自我上海大学2010～2011学年冬季学期研究生课程课程名称：信息采集与处理技术课程编号：091102910 论文题目: 小波分析理论及其应用研究生姓名: 刘金鼎学号: 11721228论文评语:成绩: 任课教师: 昝鹏评阅日期:小波分析理论及其应用刘金鼎（上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072）摘要：小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的。

就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，多尺度小波变换和s－进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。

小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中。

本文作者作为初学者，单单就（积分）小波变换这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，介绍了小波变换的定义及特点，以及多分辨率分析的问题，最后以一些图像去噪应用来形象说明小波分析的作用。

关键词：傅里叶分析；小波分析；多分辨率PXI BusLIU Jin-ding(School of Mechatronics Engineering & Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)Abstract: The theory and methods of wavelet analysis comes from Fourier analysis .Just as Fourieranalysis is divided into Fourier transform and Fourier series, wavelet analysis is divided into the wavelet transform and wavelet series. The main body of the wavelet transform is the continuous wavelettransform, multi-scale wavelet transform and s-dyadic wavelet transform, while the main part of thewavelet series is wavelet frame. Wavelet analysis is a kind of profound theory, which is used widely and develops rapidly. The author of the paper is a beginner of wavelet theory; he just summarized andorganized some fundamental theory of wavelet analysis. The paper introduced the definition andcharacteristics of wavelet analysis, and then talked about the theory of multi- resolution ratio. In the end,a few of image denoising abstract applications were used to explain the function of wavelet analysisvividly.Key words: Fourier analysis; wavelet analysis; multi- resolution ratio1 引言1.1 问题的提出Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围，而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。

哈尔滨工业大学小波理论与应用上机报告

Harbin Institute of Technology上机报告课程名称：小波理论与应用院系：电信学院班级： 13硕小波1班学生：位飞13S105006 诚意21邹赛13S005016 诚意12高德奇13S005023诚意12姜希12S005106 诚意11 指导教师：李福利时间： 2014-06-09哈尔滨工业大学位飞13S105006 电信学院电子与通信工程电子2班小波1班完成上机报告（一）邹赛13S005016电信学院信息与通信工程电子2班小波1班完成上机报告（二）（三）高德奇13S005023电信学院信息与通信工程电子1班小波1班完成上机报告（四）姜希12S005106电信学院信息与通信工程电子2班小波1班整理上机报告（一）一．实验目的和任务已知Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为,0()0,0t Ae t h t t α-⎧≥=⎨<⎩若若，求：1、求()ˆhω 2、判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？3、对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40),t f t e t t t t -=++0t π≤≤，画出()f t 图形4、画出滤波后图形()f h t *，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10A α==5、取()(sin5sin3sin sin 40),t f t e t t t t -=+++采用不同的变量值A α=()10A α==初始设定，画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果二．实验原理1、低通滤波器从0～f2 频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f2的频率成分受到极大地衰减。

2、高通滤波器与低通滤波相反，从频率f1～∞，其幅频特性平直。

它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。

小波上机实验报告

小波分析上机实验报告实验报告一一、实验目的1、运用傅里叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。

2、加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。

3、运用卷积公式对基本信号做滤波处理并作出分析，以加深理解4、熟悉Matlab 中相关函数的用法二、实验原理1．运用傅里叶正、反变换的基本公式：()ˆ()() ()(),11ˆ()(),22i x i t i ti t i t f f x e dx f t e dt f t e f t fe df t e ωωωωωωωωππ∞∞---∞-∞∞--∞=====⎰⎰⎰及其性质，对所要处理信号做相应的傅里叶变换和逆变换。

2．运用卷积的定义式：1212()()()()+∞-∞*=-⎰f t f t f f t d τττ对所求信号做滤波处理。

三、实验步骤与内容实验题目：Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为,0()0,0若若α-⎧≥=⎨<⎩t Ae t h t t 1. 求 ()hω 2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？3. 对于信号3()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40)，-=++t f t e t t t t 0π≤≤t ,画出图形()f t 4. 画出滤波后图形()*f h t ，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10α==A 5. 取()(sin5sin3sin sin 40)，-=+++t f t e t t t t 采用不同的变量值α=A (初始设定A=α=10) 画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果。

实验步骤及分析过程：1.求 ()hω 由傅里叶变换的定义式可得：()0ˆαϖαϖωαω+∞+∞-----∞=⋅=⋅=+⎰⎰t i t t i t Ah Ae e dt Ae e dt i （1）2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？该滤波器的幅频特性为：()2221(/)ωαωαωα==++AAH ，假定α==10,5A ，绘制该滤波器的幅频特性曲线如下：图1.1滤波器的幅频特性曲线（1）观察滤波器响应函数可知，只有在输入信号到达后，该滤波器才会有输出响应，此外实际应用的滤波器均是因果滤波器，非因果不可用；所以，题中滤波器是因果滤波器。

小波变换分析报告

小波变换的理论基础及应用专业班级电气工程学院姓名学号任课教师日期目录一、小波分析的发展历史和前景 (1)二、小波变换的理论基础 (2)2.1连续小波变换 (2)2.2离散小波变换 (3)2.3二进小波变换 (4)2.4多分辨分析与二尺度方程 (4)2.4.1 多分辨分析 (5)2.4.2 二尺度方程 (6)2.5MALLAT算法 (6)2.5.1 Mallat算法的综述 (7)2.5.2 Mallat分解算法 (7)2.5.3 Mallat合成算法 (8)2.6小波基和小波函数的选取 (9)2.6.1 小波基选择的标准 (9)2.6.2 小波基选择的五要素 (9)三、小波变换的应用 (10)3.1图像、信号压缩 (10)3.2小波降噪 (10)3.3小波在信号处理中的应用 (11)3.4小波变换在故障诊断中的应用 (11)3.5小波变换在边界检测中的应用 (11)3.6小波变换的结合应用——小波网络等 (12)参考文献 (12)小波变换的理论基础及应用一、小波分析的发展历史和前景1984年,法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部特性时首次采用了小波变换。

随后，理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。

由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特点,因此被誉为“数学显微镜”。

小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号,这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征。

这些特征可用来表示原始信号的局部特征,进而实现对信号时间、频率的局部化分析,从而克服了傅里叶分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。

随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视,它已广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。

小波理论与应用课程的实践教学设计

［摘要］在哈尔滨工业大学工科研究生小波理论与应用的教学过程中，加入上机实践教学内容后，学生的反响比较强烈，普遍反映以往抽象的概念和理论更加易于接受，而且提高了动手实践能力。

［关键词］小波；滤波器；Mallat 分解与重构算法；实践教学［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0602（2020）40-0202-02小波理论与应用课程的实践教学设计李福利（哈尔滨工业大学数学学院，黑龙江哈尔滨150001）近几年来，哈尔滨工业大学工科研究生学位课中，小波理论与应用的选修人数稳定在300人左右。

这是一门理论性和应用性都比较强的交叉学科。

在以往的研究生小波理论的教学过程中，教师往往偏重于理论教学，忽视了实践教学，导致学生学过小波理论后，不知道如何用小波解决具体的实际问题。

学生课堂上似乎听懂了，实际动手操作起来，就很茫然，不知所以然了。

为此，我们在教学过程中，向哈尔滨工业大学研究生院主管研究生教学培养和哈尔滨工业大学数学学院主抓研究生公共教学的领导申请了12学时的上机实践，申明了实践教学的迫切性和重要性，得到了有关部门领导和研究生院的大力支持。

由于课时限制，经过5年多的教学实践摸索，我们把上机实践内容分成两大块，一块是基础篇内容上机实践部分，另一块是提高篇内容上机实践部分。

我们在基础篇内容实践部分，为了使实践教学不流于形式，特别加强设计了八个实践教学任务，使学生上机实践的时候感觉到任务充实。

基础部分要求学生完成实验报告，报告内容包括实验目的、实验原理、实验结论、实验结果分析、MATLAB 源程序、上机收获体会等内容。

从而加深了学生对基本概念、基本理论的理解，提高了学生的动手能力、实践能力，并有效防止了高分低能现象的产生。

具体的八个实践任务如下。

一、Butterworth 滤波器的原理与实践设计这一实践任务的目的是为了加深学生对滤波器概念的理解，体会到滤波器对信号的滤波作用，和不同参数的Butterworth 滤波器对信号的滤波效果的影响是不同的。

【优质】小波实验报告-推荐word版 (7页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==小波实验报告篇一：小波分析实验报告小波分析实验报告姓名班级:学号:成绩: 教师签名篇二：小波课程实验报告小波变换与信号时频分析实验报告院班级：姓名：学号：指导老师：哈尔滨工业大学二维图像信号的小波分解与重构1.1 实验目的结合小波多分辨率分解与重构原理，掌握利用MATLAB实现二维图像信号小波分解与重构的具体实现方法，重点理解二维图像信号分解与重构过程中小波基选择、图像信号边缘延拓方式对于分解和重构质量的影响，进而加深对于小波正交特性、完善重建特性的理解。

1.2 实验内容主要利用MATLAB提供的小波工具箱Wavelet Toolbox实现小波分解与重构，具体包括：(1)小波基的选择(要求三种以上小波基)(2)延拓方式的选择(3)分解过程中的抽样与非抽样(4)重构结果的分析，要求分析不同小波基、不同延拓方式、抽样/非抽样对于小波重构的影响(5)分析小波对于图像信号表示的方向特性1.3 实验步骤1. 小波变换Matlab实现编程实现图片的分解与重构，程序如下：dwtmode('zpd');X=imread('BARB.BMP');X=im2double(X);nbcol = 255;[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'haar');cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d = [cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];X1=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,'haar');cod_X1=wcodemat(X1,nbcol);subplot(221);imshow(X,[],'InitialMagnification','fit');title('orig image');subplot(222);imshow(dec2d,[],'InitialMagnification','fit');title('dec image');subplot(223);imshow(cod_cA1,[],'InitialMagnification','fit');title('appro image');subplot(224);imshow(cod_X1,[],'InitialMagnification','fit');title('syn image');在Zero-padding延拓方式下，分别取Haar、db3、sym小波基得到的图像分解与重构的结果如下：1) Haar小波基orig imagedec imageappro imagesyn image2) Db3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image3) Sym3小波基orig imagedec imageappro imagesyn image在采用db4小波实现图像的分析和重构，分别采用四种不同的延拓方式，得到的的结果如下：1) extension mode为Zero-padding模式，分解与重构的结果为orig imagedec imageappro imagesyn image。

哈工大计算方法上机实验报告

实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。

本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton 法及改进的Newton 法。

前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton 法的基本原理和应用。

数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。

在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton 法。

对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b ]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b ]内仅有一个实根x *，取区间中点c ，若，则c 恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c ]和[c,b ]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b ]。

重复运行计算，直至满足精度为止。

这就是二分法的计算思想。

Newton 法通常预先要给出一个猜测初值x 0，然后根据其迭代公式)()('1k k k k x f x f x x -=+ 产生逼近解x *的迭代数列{x k }，这就是Newton 法的思想。

当x 0接近x *时收敛很快，但是当x 0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。

另外，若将该迭代公式改进为)()('1k k k k x f x f r x x -=+ 其中r 为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton 法快的多。

程序设计：本实验采用Matlab 的M 文件编写。

其中待求解的方程写成function 的方式，如下 function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。

二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max ;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1. 用二分法计算方程02sin 2=-x x 在[1，2]内的根。

哈工大小波分析上机实验报告

小波分析上机实验报告院系：电气工程及自动化学院学科：仪器科学与技术实验一小波分析在信号压缩中的应用一、试验目的（1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解；（2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。

二、相关知识复习用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。

之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。

利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成：（1）进行信号的小波分解；（2）将高频系数进行阈值量化处理。

对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化；（3）对量化后的系数进行小波重构。

三、实验要求（1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。

（2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。

四、实验结果及程序（1）load leleccum%将信号装入Matlab工作环境%设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点s = leleccum(2600:3100); ls = length(s);%用db3对信号进行3级小波分解[c,l] = wavedec(s, 3, 'db3');%选用全局阈值进行信号压缩thr = 35;[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原是信号s');subplot(2,1,2);plot(xd);title('压缩后的信号xd');图1 实验1压缩结果图2 不同阈值下实验1压缩结果（2）clear %清除Matlab工作环境中现有的变量load wbarb;%显示图像subplot(221); image(X); colormap(map);title('原始图像');axis square;disp('压缩前图像X的大小')whos('X')%==================================================== %对图像用bior3.7小波进行2层小波分解[c,s] = wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取小波分解结构中第1层的低频系数和高频系数ca1 = appcoef2(c,s,'bior3.7',1);ch1 = detcoef2('h',c,s,1); %小波分解结构中第1层的水平方向高频系数cv1 = detcoef2('v',c,s,1); %小波分解结构中第1层的垂直方向高频系数cd1 = detcoef2('d',c,s,1); %小波分解结构中第1层的斜线方向高频系数%分别对小波分解结构中第1层的各频率成份进行重构a1 = wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1 = wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1 = wrcoef2('v',c,s,'bior3.7',1);d1 = wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1 = [a1,h1;v1,d1];%显示分解后各频率成分的信息subplot(222);image(c1);axis squaretitle('分解后低频和高频信息');%==================================================== %下面进行图像的压缩处理%保留小波分解结构中第1层的低频信息，进行图像压缩%第1层的低频信息为ca1，显示第1层的低频信息%首先对第1层信息进行量化编码ca1 = wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca1 = 0.5*ca1;subplot(223);image(ca1);colormap(map);axis square;title('第一次压缩图像');disp('第一次压缩图像的大小为:')whos('ca1')%==================================================== %保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第2层的低频信息即为ca2，显示第2层的低频信息ca2 = appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先对第2层低频信息进行量化编码ca2 = wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改变图像的亮度ca2 = 0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axis square;title('第2次压缩图像');disp('第2次压缩图像的大小为');whos('ca2')图3 实验2压缩结果五、实验分析及结论（1）根据实验1压缩结果分析得到，压缩后的信号保持了原有信号的轮廓信息，即低频信息，而大部分细节信息（高频信息）得到了消除。

第1章+Haar小波分析

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第1章 Haar小波分析
1.3、尺度函数与小波函数
目的：（1）引入尺度函数与小波函数的概念，介绍一个函数的多分辨率表示及其尺度函数、小波函数、小波变换之间的关系；（2）引入尺度方程与小波方程的概念。
例子：已知某信号序列{x1, x2, x3, x4}看成单位区间上的一个分段常函数：
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第1章 Haar小波分析
(t ) 1
1.3、尺度函数与小波函数
引出尺度函数与小波函数的概念：（1）尺度函数
0 (2t )
1t
引入符号 (t)=X[0,1) (t), 定义函数(t)的伸缩和平移：
j
,k
(t
)
2
j
(t
k 2j
)
(2
j
t
k
)
k 0,1,, 2 j 1
则得
X[1/ 4,1/ 2) (t)=X[0,1/ 4) (t-1/4) X[1/ 2,3/ 4) (t)=X[0,1/ 4) (t-1/2) X[3/ 4,1) (t)=X[0,1/ 4) (t-3/4)
可以看出，X[1/4,1/2) (t),X[1/2,3/4) (t),X[3/4,1) (t)分别是X[0,1) (t) 经伸缩和平移若干单位得到的。
，这里j称为分辨率，21j
称为尺度，k
称为平移因子。
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第1章 Haar小波分析
1.3、尺度函数与小波函数
（2）小波函数
下面讨论用x1, x2, x3, x4的平均与细节运算系数 a0,0 , d0,0 , d1,0 , d1,1 来表示上面的函数f (t) ，
f (t) x12,0 (t) x22,1(t) x32,2 (t) x42,3 (t)

小波分析和变换课程学习报告

小波分析和变换课程学习报告1 课程概述小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。

有人把小波变换称为“数学显微镜”。

小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。

2 课程学习过程 2.1 绪论本节课，吴老师通过最基础的和差变换，深入浅出的指导我们初步认识到小波的基本知识面貌，在X(i)至Y(i)至Z(i)的变换与恢复过程中，我们认识到这其实是一种非常普遍的数据压缩与解压缩的过程，我们在生活和学习过程中经常会运用到。

引申到图像处理中，小波分析的运用更为直接和有效。

在该领域小波变换存在以下几个优点：a) 小波分解可以覆盖整个频域；b) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；c) 小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；d) 小波变换实现上有快速算法（Mallat 小波分解算法）。

2.2 小波变化原理2.2.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。

小波分析及应用的读书报告分解

小波分析及其应用的读书报告及心得体会吴萍萍 51303310103第一章信号的时间-频率分析1.1小波的发展史1807年 Fourier 提出傅里叶分析-伟大的数学史诗， 1822年发表 “热的解析理论”论文 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。

1984年～1988年，Meyer 、Battle 和Lemarie 分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer 小波、Battle-Lemarie 样条小波。

1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies 提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。

1987年，Mallat 将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat 算法）。

它标志着第一代小波的开始：（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。

（2）优点：Mallat 算法在小波分析中的地位相当于FFT 在经典傅立叶分析中的地位。

它是小波分析从纯理论走向实际应用。

（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。

1988年，Daubechies 基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies 基）。

Chui 和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。

1988年，Daubechies 在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。

1.2 傅立叶变换1、一维信号的傅立叶变换：正变换核函数：e iwt2、傅里叶变换度量了信号所有不同频率的震荡信息。

可以写成：3、傅里叶的反变换反变换核函数：e-iwt4、傅立叶的变换性质5、傅立叶统计特征1()()2i t f t F e d ωωωπ+∞-∞=⎰()()i t F f t e dtωω+∞--∞=⎰)()()(ωθωωi e F F -=零频分量F(0,0)也即直流分量反映了图像的平均亮度对于大多数无明显颗粒噪声的图像来说，低频集中了图像85%的能量，这将成为图像压缩的理论依据。

小波分析读书报告

小波分析读书报告---何鹏举2009-12-20一、概述小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法，多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了F ourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。

电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。

现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。

从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。

小波基本理论及应用

c
刻画函数的局部性质。
2、小波理论的基础知识
小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。
3、基于matlab的小波应用
在原图基础上进行加密
3、基于matlab的小波应用
wavemenu
3、基于matlab的小波应用
3、基于matlab的小波应用
4、论文分析
4、论文分析
参考文献
[1] 小波十讲（美）多布著，李建平，杨万年译 [2] 崔锦泰：《小波分析导论》西安交通大学出版社;
2、小波理论的基础知识
小波包分析
短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q结构）。小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。
平移
3、基于matlab的小波应用
多层压缩
3、基于matlab的小波应用
利用matlab 自带的leleccum信号函数，采用db1小波对此信号进行一维小波分解，然后对近似分量和细节分量进行重构。

小波分析结课作业——小波理论发展及应用综述

摘要摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。

研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。

本文在简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，对以小波为工具进行数字图像处理进行了有益的探索。

最后详细介绍了基于阈值的小波分析的图像去噪算法及其在信号处理中的应用。

关键字：小波分析研究现状应用图像去噪阈值ABSTRACTABSTRACTWavelet analysis is a rapidly developing and novel subject. Nowadays，it has been widely used in practical applications. To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value.After a brief description of the history of wavelet development and the basic theoretical knowledge of wavelet，this paper makes valid probe towards digital image processing using wavelet. Finally，this paper analysis and study of the classical thresholding denoising methods and the new scopes of wavelet applications.key word: Wavelet Analysis , Research Status , Application , Signal Denoising, Thresholding目录i目录第一章绪论 (1)1.1小波发展简史 (1)1.2 小波变换及应用 (1)1.3 论文的主要工作 (3)第二章小波及小波分析的理论基础 (5)2.1 小波分析 (5)2.2 正交小波 (6)第三章小波分析的应用 (9)3.1 小波分析的应用现状 (9)3.2 小波阈值去噪研究 (11)3.2.1 小波去噪算法的研究概况 (11)3.2.2 小波阈值去噪的算法原理 (12)3.2.3 小波去噪的应用及发展 (13)第四章总结和展望 (15)致谢 (17)参考文献 (19)ii目录第一章绪论1第一章绪论1.1小波发展简史小波分析是时频发展的新理论，是80年代后期发展起来的。

小波变换应用实验报告——去噪,融合,水印

一. 基础原理 1.小波简介小波一词由Morlet 和Grossman 在1980年代早期提出，其思想来源于伸缩平移方法。

小波分析(wavelet analysis), 或小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的振荡波形来表示信号。

该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。

小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性叠加，小波变换的核函数是小波函数，它在时间和频率域内都是局部化的。

所以，小波变化可对信号同时在时－频域内进行联合分析。

小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。

两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波分析的一个重要领域就是是图像处理。

小波分解可以把小波分层次按照小波基展开，并可以根据图像的性质及给定的图像处理标准确定具体要展开到哪一级，还可以把细节分量和近似分量展开，所以小波分析常用于信号的压缩、去噪等方面，是图像处理的一个极其重要的工具。

本报告中将具体实例说明小波分解在图像中的应用。

2. 小波变换应用包括去噪，图像的压缩，图像的融合以及水印技术。

2.1去噪原理：在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。

含噪的一维信号模型可表示为：式1其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， σ为噪声标准偏差。

有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。

而噪声信号通常表现为高频信号。

利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。

基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。

（即对较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达到消噪的目的。

在去噪方面，小波分析由于能同时在时－频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以在不同的分解层上有效的区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。

哈工大小波理论及应用第3章哈尔小波分析

f ( x) al (2 x l )
lZ j l
f 可由以高为 a 、宽为 l / 2 j x (l 1) / 2 j 的阶
梯函数表示。
2.重构算法
研究对象：
f ( x) f 0 ( x) w0 ( x) ... w j 1 ( x)
其中，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0
重构算法
（Haar重构）设
f f 0 w0 w1 ... w j 1
这里，
0 f 0 ( x) ak ( x k ) V0 kZ
w j ( x) bkj (2 j x k ) W j
0 j j
那么
kZ
f ( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ alj (2 j x l ) V j
k 1,0 k 1,0
结果 H ( x) (h * x) 1 x 1 x k k k k 1
2 2 1 1 L( x) k (l * x) k xk xk 1 2 2
分解实现
1 1 H ( x) 2 k (h * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2 1 1 L( x) 2 k (l * x) 2 k x2 k x2 k 1 2 2
下取样算子D
分解公式表示为：
bkj 1 DH (a j ) k
H
akj 1 DL(a j ) k 2
b j 1 a j 1
aj
L
2
4.重构实现
重构算法：和 L ，相应的冲击相应为：两个离散滤波器 H
(...0...1 1...0...), l (...0...11...0...) h

小波分析及其应用

k =0
N −1
i
2πk n N
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。
1.2 短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为
之后，在地质学家、物理学家和数学家的共同努力下，由实践经验上升为科学方法。小波变换是一种信号的时间—尺度(时间—频率) 分析方法，它具有多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。所以被誉为分析信号的显微镜。
(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(ωt)、 cos(ωt)、exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析研究的一个热点问题)，目前，往往是通过经验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择小波函数。
1 ϖ f (at ) ↔ F ( ) a a
4 能量积分设F(ω)为函数f(t)的傅里叶变换，则有
2 1 +∞ ∫−∞ [ f (t )] d t = 2 π ∫−∞ F (ω ) d ω +∞ 2
该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。
1.3 小波分析