数学基础知识与其教学_数学教育概论
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3
第一节 数学概念及其教学 一、 数学概念的逻辑知识
1、数学概念的意义 2、概念的外延与内涵
3、概念间的关系
4
4、概念的定义 （1）概念的定义 （2）原始概念 （3）常用的定义方法 （4）定义的要求
5
5、概念的分类 （1）概念分类的意义 （2）分类的基本要求 （3）二分法
6
二、 学生学习数学概念的心理分析 1、掌握数学概念的真正含义 2、学生学习数学概念的基本形式
是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．
12
（3）对于用同化形式学习的概念 i）用属概念加种差定义的概念
这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构 中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．这样的概 念学习在心理学中称为派生归属学习．在此学习中，新 概念纳入原有概念得到充实．几何概念的学习大多属于 此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例， 它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自
15
iv）根据逆反关系引入新概念 这在心理学中也属于并列结合学 习．例如由多项式的乘法引入多项式 的因式分解；由乘方引入开方；由指 数引入对数；由三角函数引入反三角 函数等等．教学中特别要注意的是讲 清两者之间的逆反关系，这样，学生 才能把新概念同化而纳入原认知结构
16
（2）表示概念的名称或符号的 正确使用
21
3、孤立地学习定理、公式
22
1、数学公理的教法 2、定理、公式的引入方法 3、公理、定理、公式引入的 教学注意点
23
一、 形式逻辑的基本规律 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律
24
二、 数学中的推理 1、数学推理的种类与性质
2、常用演绎推理规则——三 段论
25
三、数学中的证明
“发现”的愉快
29
（4）一步一步深入启发，不一下子给出答案 （5）尽可能让学生考虑多种证法，使思维活
动进一步深入． （6）追求最简单的证法，最自然的思路，鼓
数学教育 概论
1
第七章 中学数学基础知识的教 学及基本能力的培养
2
教学目的：通过本章的学习，使学生掌握概 念、命题、推理证明等的教学方法，了解并 掌握在具体的教学过程中学生的心理分析。 教学内容：1、数学概念及其教学。2、数学 命题及其教学。3、数学推理、证明及其教 学。4、数学基本能力的培养 教学重、难点：中学数学基础知识的教学方 法。 教学方法：讲授法、探讨法
14
iii）采用对比方法引入新概念
当新概念与认知结构中已有概念不能产生 从属关系，但与已有的旧概念有相似之处 时，可采用对比方法引入新概念，这在心 理学中属于并列结合学习．例如可以对比 分数来引入分式；对比等式来引入不等式； 对比三角形全等来引入三角形相似等 等．由于两者有许多相似之处，学生容易 理解和接受新概念．但在教学中需要十分 注意的是讲清两者的不同点，归根到底， 它们是内涵不同的两个概念，要防止概念 的负迁移．
（3）抓住掌握概念的关键
17
（4）举出肯定例证和否定例证 （5）充分揭示概念的内涵
18
3、概念的系统化 4、概念的运用和深化
19
第二节 数学命题及其教学
一、 数学命题的意义和结构 1、判断的意义和种类 2、数学命题的意义 3、复合命题与命题联结词
20
二、 学生学习数学命题的 心理分析
1、对公理、定理、公式的学 习很大程度上依赖于直接感知 2、难以从条件与结论的关系 上把握条件命题
己特有的属性——种差．
13
在运用概念的推广来引入新概念时，必须注 意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概 念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用； 二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的 特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广 泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况， 但不能再局限在原来的范围，不能再停留在 旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其 重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消 极影响，给学生的进一步学习造成心理障 碍．
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（2）对于用概念形成的形式来学习的概念 一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性， 师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为 了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自 然悬挂的电灯线与天花板的相互位置，回顾把一 根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝 试描述其本质属性．对学生回答的结果，不论正 确与否，教师都不要立即肯定或否定，而让大家 来讨论．一般来说，学生难以一下子准确地揭示
7
三、 数学概念的教法探讨 1、概念的引入
8
（1）对于原始概念 一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理 解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并 让学生领会点只表示位置，而没有形状、大小．尽 管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和 意义的（因为原始概念的意义只由公理系统规定）， 但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得 学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．
26
三、 学生学习推理、证明 的心理分析
27
四、 定理、公式的教法探讨 （Ⅱ）——证明的教学及其它
1、使学生切实分清定理、公式的 条件与结论
28
2、弄清与定理、公式有关的概念 3、使学生掌握所学定理、公式的证明方法 （1）在分析思维之前，安排一定的直觉阶
段 （2）一般用分析法探索证明的途径 （3）尽可能让学生自己独立思考，体现
种差．
11
ii）由概念的推广引入的概念 概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了 概念间的联系和概念的深化．这在心理学中称为相 关归属学习．例如，绝对值的概念随着数系的扩充 而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为 任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了 零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了 分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只
出本质属性ห้องสมุดไป่ตู้
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（3）对于用同化形式学习的概念 i）用属概念加种差定义的概念
这时，新概念是已知概念的特例，新概念可 从认知结构中原有的具有较高概括性的概念 中繁衍出来．这样的概念学习在心理学中称 为派生归属学习．在此学习中，新概念纳入 原有概念得到充实．几何概念的学习大多属 于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属 概念的特例，它具有属概念的一切属性，并 且相对于属概念还有它自己特有的属性——
第一节 数学概念及其教学 一、 数学概念的逻辑知识
1、数学概念的意义 2、概念的外延与内涵
3、概念间的关系
4
4、概念的定义 （1）概念的定义 （2）原始概念 （3）常用的定义方法 （4）定义的要求
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5、概念的分类 （1）概念分类的意义 （2）分类的基本要求 （3）二分法
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二、 学生学习数学概念的心理分析 1、掌握数学概念的真正含义 2、学生学习数学概念的基本形式
是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．
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（3）对于用同化形式学习的概念 i）用属概念加种差定义的概念
这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构 中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．这样的概 念学习在心理学中称为派生归属学习．在此学习中，新 概念纳入原有概念得到充实．几何概念的学习大多属于 此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例， 它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自
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iv）根据逆反关系引入新概念 这在心理学中也属于并列结合学 习．例如由多项式的乘法引入多项式 的因式分解；由乘方引入开方；由指 数引入对数；由三角函数引入反三角 函数等等．教学中特别要注意的是讲 清两者之间的逆反关系，这样，学生 才能把新概念同化而纳入原认知结构
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（2）表示概念的名称或符号的 正确使用
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3、孤立地学习定理、公式
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1、数学公理的教法 2、定理、公式的引入方法 3、公理、定理、公式引入的 教学注意点
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一、 形式逻辑的基本规律 1、同一律 2、矛盾律 3、排中律 4、充足理由律
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二、 数学中的推理 1、数学推理的种类与性质
2、常用演绎推理规则——三 段论
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三、数学中的证明
“发现”的愉快
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（4）一步一步深入启发，不一下子给出答案 （5）尽可能让学生考虑多种证法，使思维活
动进一步深入． （6）追求最简单的证法，最自然的思路，鼓
数学教育 概论
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第七章 中学数学基础知识的教 学及基本能力的培养
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教学目的：通过本章的学习，使学生掌握概 念、命题、推理证明等的教学方法，了解并 掌握在具体的教学过程中学生的心理分析。 教学内容：1、数学概念及其教学。2、数学 命题及其教学。3、数学推理、证明及其教 学。4、数学基本能力的培养 教学重、难点：中学数学基础知识的教学方 法。 教学方法：讲授法、探讨法
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iii）采用对比方法引入新概念
当新概念与认知结构中已有概念不能产生 从属关系，但与已有的旧概念有相似之处 时，可采用对比方法引入新概念，这在心 理学中属于并列结合学习．例如可以对比 分数来引入分式；对比等式来引入不等式； 对比三角形全等来引入三角形相似等 等．由于两者有许多相似之处，学生容易 理解和接受新概念．但在教学中需要十分 注意的是讲清两者的不同点，归根到底， 它们是内涵不同的两个概念，要防止概念 的负迁移．
（3）抓住掌握概念的关键
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（4）举出肯定例证和否定例证 （5）充分揭示概念的内涵
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3、概念的系统化 4、概念的运用和深化
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第二节 数学命题及其教学
一、 数学命题的意义和结构 1、判断的意义和种类 2、数学命题的意义 3、复合命题与命题联结词
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二、 学生学习数学命题的 心理分析
1、对公理、定理、公式的学 习很大程度上依赖于直接感知 2、难以从条件与结论的关系 上把握条件命题
己特有的属性——种差．
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在运用概念的推广来引入新概念时，必须注 意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概 念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用； 二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的 特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广 泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况， 但不能再局限在原来的范围，不能再停留在 旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其 重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消 极影响，给学生的进一步学习造成心理障 碍．
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（2）对于用概念形成的形式来学习的概念 一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性， 师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为 了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自 然悬挂的电灯线与天花板的相互位置，回顾把一 根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝 试描述其本质属性．对学生回答的结果，不论正 确与否，教师都不要立即肯定或否定，而让大家 来讨论．一般来说，学生难以一下子准确地揭示
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三、 数学概念的教法探讨 1、概念的引入
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（1）对于原始概念 一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理 解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并 让学生领会点只表示位置，而没有形状、大小．尽 管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和 意义的（因为原始概念的意义只由公理系统规定）， 但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得 学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．
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三、 学生学习推理、证明 的心理分析
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四、 定理、公式的教法探讨 （Ⅱ）——证明的教学及其它
1、使学生切实分清定理、公式的 条件与结论
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2、弄清与定理、公式有关的概念 3、使学生掌握所学定理、公式的证明方法 （1）在分析思维之前，安排一定的直觉阶
段 （2）一般用分析法探索证明的途径 （3）尽可能让学生自己独立思考，体现
种差．
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ii）由概念的推广引入的概念 概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了 概念间的联系和概念的深化．这在心理学中称为相 关归属学习．例如，绝对值的概念随着数系的扩充 而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为 任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了 零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了 分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只
出本质属性ห้องสมุดไป่ตู้
10
（3）对于用同化形式学习的概念 i）用属概念加种差定义的概念
这时，新概念是已知概念的特例，新概念可 从认知结构中原有的具有较高概括性的概念 中繁衍出来．这样的概念学习在心理学中称 为派生归属学习．在此学习中，新概念纳入 原有概念得到充实．几何概念的学习大多属 于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属 概念的特例，它具有属概念的一切属性，并 且相对于属概念还有它自己特有的属性——