辽宁省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

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辽宁省实验中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷考试时间120分钟试题满分150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32．若p ：(210x x ++≥，q ：2x ≥-，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．幂函数()f x x α=（α是有理数）的图像过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的一个单调递减区间是（）A ．[)0,+∞B ．()0,+∞C ．(],0-∞D ．(),0-∞4．欧拉公式cos sin xie x i x =+（其中i 为虚数单位，R x ∈），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥。

依据欧拉公式，3ie π-的共轭复数为（）A ．1322i +B ．1322i -C ．1322i -+D ．1322--5．已知角α终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则的值为（）A ．1B ．75C ．95D ．1356．在平行四边形ABCD 中，23BAD π∠=，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，若BF BC λ= ，且AF DE ⊥，则λ=（）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知函数()11x x e f x e -=+，若对任意的正数a ，b ，满足()()220f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．88．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()2b a ac =+，则b ca+的取值范围为（）A ．()1,5B ．)1.5+C ．()2+D ．)2+二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）A ．m ，n 是异面直线，若m α∥，m β∥，n α∥，n β∥，则αβ∥B ．若αβ∥，m α∥，则m β∥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥10．关于函数()32sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．由()()120f x f x ==，可得12x x -必是23π的整数倍B ．()2cos 34f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭C ．()f x 图像可由2sin 3y x =向右平移34π个单位得到D ．()f x 在5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数11．《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD a ==，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．以下结论正确的有（）A ．DE ∥平面PAB B ．四面体EBCD 是鳖臑C ．若阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，则124V V =D ．若四面体EBCD 的外接球的体积为32a ，则CD =．12．定义在R 上的函数()f x 满足：()21f x +为奇函数，且()()448f x f x x =-+-，则（）A ．()f x 的图象关于()1,0对称B ．4是()f x 的一个周期C ．()20234048f =D ．()10132024f =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．函数()3ln 2xf x =+的导函数()f x '=______．14．已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上．设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的值为______．15．如图是两个直角三角形板拼成的平面图形，其中90BAD BCD ∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，30BDC ∠=︒，1BC =，则AC BD ⋅=______．16．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒．若1AB =，则三棱锥E ABC -的外接球的表面积为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且113a =，113n nn a a n++=（1）证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项的和nS 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a c BC b-=，（1）求角B 的大小；（2）若3a =，c =sin C 的值19．某职称考试有A ，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称。

2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃）若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2．（1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ．（1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ，（Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ．（Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π），则l 的倾斜角为α=2π3，故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5．故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底，又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β，所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→），所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃）若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9；高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4．故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π）所以−π3＜2x −π3＜5π3，故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2，故x 1+x 2=5π6，所以sin （x 1+x 2）=12．故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题，令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2．故m 的范围为（−54，1−√2）．故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)，所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)，由于cos β＞cos α，所以α＞β，故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22；故α−β=π4．故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π），则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|，当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2．综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2．故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确，对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误，对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确，对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误．故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误；对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23，从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确．故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数，所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确；故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′，则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22，所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确；对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1，因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ，所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ，所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1，所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值，又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确；如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上，因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点，在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ，因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3，则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43，所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1×•h =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63，综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ．解：当a ＝3时两条直线平行，当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2，即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14，解得a =32c ，（a ＝c 舍）．故离心率e =c a =23．故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1，所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ．解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2．设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74．当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2．圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1．综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1．故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ，则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4），直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12，所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0；（2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3，当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2，所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0；当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ，因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ，所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面，则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)，设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0，解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2．因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2，解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12，即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4，因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交，所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ．（1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ，（Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ．（Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ，即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0），得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②，同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ，所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π，则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ，由（1）得BD 2=12−29AC 2，所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立，所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2，所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ），则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2，当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。

辽宁省实验中学2024-2025学年高三上学期期中阶段测试数学试卷

辽宁省实验中学2024-2025学年高三上学期期中阶段测试数学试卷一、单选题1．已知集合103x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}ln 10B x x =-<，则A B = （）A ．[)1,2-B ．()1,2C ．[]1,3-D ．[)1,3-2．已知数列{}n a 为等比数列，20231a =，202716a =，则2025a =（）A ．4B ．4-C ．4±D ．16±3．计算()()ln 2025ln ln 20242025ln2024-=（）A ．0B ．1C ．1-D ．202520244．已知函数()cos2sin cos xf x x x=-，则下列说法错误的为（）A ．直线ππ4x k =+，Z k ∈为对称轴B ．()f x 的值域为⎡⎣C ．ππ,04k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈为对称中心D ．()f x 在3ππ(2π,2π)44k k -++，Z k ∈单调递减5．等边ABC V 的边长为1，D ，E 分别是边BC 和AC 上的点，且2BD DC = ，2CE EA =，BE 与AD 交于点F ，则CF CA ⋅=（）A ．37B ．715C ．914D ．19306．已知()()sin cos2sin αβααβ-=+，则()tan αβ-最大值为（）A ．4B ．2C ．4D 7．已知a ，b 为正实数，x b ∀>-，不等式()1x ax b -+≥恒成立，则11b a b++的最小值为（）A ．3B ．5C ．112D ．2+8．设ABC V 的外心为O ，重心为G ，并且满足222sin sin sin OA A B C =++，则当OG 最大时，ABC V 的外接圆半径为（）A．4B ．34C．2D ．32二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列说法正确的是（）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．120z z ->是12z z >的充要条件C ．12z z ∈R 是12z z =的必要不充分条件D ．11z =，21z =，121z z -=，则12z z +=10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()11323161n n n n S n S n S +-++-=+（n ∈N ，且2n ≥），若112a =，215a =，则下列说法正确的是（）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为12C ．数列()11nn n a a +⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前2n 项和2n T 为21812n n+D ．若n *∀∈N ，21n n S S m +-≤恒成立，则1340m ≥11．已知x ，y 满足()222222x x y x y +--=，满足此等式x ，y 的取值范围分别为集合M ，N ，则下列正确的是（）A ．()4,M +∞⊆B ．()0,2M ⊆C ．()1,2N⊆D ．(),0N-∞⊆三、填空题12．已知向量()3,1a =- ，()2,1b =r ，则a 在b方向的投影向量为.13．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，且1sin70a =︒，则123a a a =.14．函数()()1e 1xf x mx mx =-++有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．甲乙两人进行()2,n n n *≥∈N 场羽毛球比赛，甲每场比赛获胜的概率为p ，乙每场比赛获胜的概率为1p -，记事件A 为“n 比赛中既有甲获胜也有乙获胜”，事件B 为“n 比赛中甲至多获胜一场”(1)若13p =，3n =，求()P AB 和()|P B A ；(2)若12p =，证明：事件A ，B 独立的充要条件为3n =.16．已知函数()ln 2x x f x x++=，(1)求函数()f x 的最大值；(2)若()1ex a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.17．在锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，c ，a b +成等比数列.(1)求证：2C A =；(2)求c ab-的取值范围；(3)证明：cos cos cos A B C ++>3.60555≈）18．数列{}n a 满足12a =，142n n a a n ++=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 的前n 项和为n T 且满足341n n T b =-.(1)分别求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若134n n n nn c a a b ++=⋅⋅，求数列{}n c 的前n 项和；(3)证明：18k n∑=<19．设正整数a ，b 的最大公约数为(),g a b ，已知正整数3n ≥(1)求()26,91g 和();65,26g (2)数列{}n a 是严格单调递增正整数数列，证明：()111,n i i n i g a a a -+=<∑；(3)设12,,k b b b ⋅⋅⋅是n 所有不同约数从小到大的排列，是否存在λ，使得()1111,k i i i i i g b b b b λ-+=+≤∑对于任意正整数3n ≥均成立，若存在，求出λ的最小值；若不存在，请你说明理由.。

2024-2025学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2024-2025学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若p ：lo g 2(a−1)<1,q ：3a−1<9，则p 是q 的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.若sinθ=−2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)=( )A. −65B. −25C. 25D. 653.已知函数f(x)=ln(x 2−ax−3+a 2)在[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,2]D. (2,+∞)4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinAk =sinB3=sinC4(k 为非零实数)，则下列结论错误的是( )A. 当k =5时，△ABC 是直角三角形B. 当k =3时，△ABC 是锐角三角形C. 当k =2时，△ABC 是钝角三角形D. 当k =1时，△ABC 是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪(如图所示)，已知噪音的声波曲线是y =3cos2x ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是y =Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ=( )A. π3B. π2C. πD. 3π26.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，若实数a 满足f(log 3a)+f(log 13a)≤2f(2)，则a 的取值范围是( )A. [19,9]B. (−∞,19]C. [12,2]D. (0,19]∪[9,+∞]7.已知正数x ，y ，z ，满足3x =4y =6z ，则下列说法不正确的是( )A. 1x +12y =1zB. x >y >zC. 1x +1z <2yD. 3x <4y <6z8.设函数f(x)=2sin(ωx−π6)−1(ω>0)在[π,2π]上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是( )A. [32,+∞) B. [32,73]∪[52,+∞)C. [136,3]∪[196,+∞)D. [12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

辽宁省实验中学2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷

2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题答案第1页，共1页。

2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★．【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心，以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤，解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长．【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=，所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=，同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>；所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<；所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭，令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-．于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+，即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(有解析)

2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.tan(−675°)的值为()A. 1B. −√22C. √22D. −12.已知锐角α,β满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，则α+β=()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. 5π43.在ΔABC中，关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0有两个不等的实数根，则角A为()A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不存在4.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=()A. √2B. √3C. 2D. 45.将函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)的表达式可以是()A. f(x)=−sin2xB. f(x)=cos(2x−π8)C. f(x)=cos(2x−3π8) D. f(x)=sin2x6.已知a⃗，b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32，则|a⃗+t b⃗ |(t∈R)的最小值为()A. 14B. 12C. √32D. 17.给出下列四个命题，其中正确的命题是()①若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC是等边三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；④若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)= ()A. −√22B. √22C. √32D. −√329. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列，且cosA =23，则sinC =( )A. −2√3+√56B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. −2√3−√5610. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则( )A. f(x)的最大值为1B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为π2D. x =π3为f(x)图象的一条对称轴11. 半径为10，中心角为π5的扇形的面积为( )A. 2πB. 6πC. 8πD. 10π12. 已知函数f(x)=sin x +√3cos x 在x =θ时取得最大值，则cos (2θ+π4)=( )A. −√2+√64B. −12C. √2−√64D. √32二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 是线段BC 上的动点，则(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．14. 若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,4]上与x 轴有9个交点，则ω的取值范围是________． 15. 函数y =cosx+2cosx+1的值域为____．16. 若sin(π6−α)=14，则cos(2α−π3)的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)已知tanα=2，求值：y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα；(2)化简f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α)．18.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，求cos2α的值．19.已知向量a⃗=(sinωx,1)，b⃗ =(√3,−cosωx)，ω>0，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，且f(x)的最小正周期是π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．20.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=2√3，求ac的最大值．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2−b2=bc，2sinB−sinC=0，求角A的大小．22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB=θ．(1)若矩形MNPQ是正方形，求tan θ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：tan(−675°)=−tan675°=−tan(720°−45°)=tan45°=1．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力．2.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式，属于基础题．先求cosα，cosβ，然后求cos(α+β)的值，根据α，β为锐角，求出α+β的值．解析：解：α，β为锐角且满足sinα=2√55,sinβ=3√1010，所以cosα=√55，cosβ=√1010，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√22，又0<α+β<π，所以α+β的值等于3π4．故选B．3.答案：A解析：∵(1+x2)sinA+2xsinB+(1−x2)sinC=0，∴(sinA−sinC)x2+2xsinB+(sinA+sinC)=0，∵sinA−sinC≠0，∴Δ=4sin2B−4(sinA−sinC)(sinA+sinC)>0，sin2B−sin2A+sin2C>0，sin2B+sin2C>sin2A，即b2+c2>a2，∵cosA=b2+c2−a22bc >0，∴A∈(0,π2)，故选A．4.答案：C解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x=√3，则a⃗=(√3,−1)，故|a⃗|=√3+1=2；故选：C．根据题意，由a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x的值，即可得向量a⃗的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．5.答案：D解析：解：函数y=cos(2x−π4)的图象向右平移π8个单位，得到函数：f(x)=cos[2(x−π8)−π4]，=cos(2x−π2)=sin2x故选：D．直接利用平移变换和诱导公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换问题，符合“上加下减”的性质，诱导公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．根据a⃗,b⃗ 为单位向量及a⃗⋅b⃗ =√32即可求出|a⃗+t b⃗ |2=t2+√3t+1，然后可求出二次函数t2+√3t+ 1的最小值，从而得出|a⃗+t b⃗ |的最小值．解：a⃗,b⃗ 是单位向量，a⃗⋅b⃗ =√32；∴|a⃗+t b⃗ |2=a⃗2+2t a⃗⋅b⃗ +t2b⃗ 2 =1+√3t+t2；∵t2+√3t+1的最小值为4−34=14；∴|a⃗+t b⃗ |的最小值为12．故选：B．7.答案：C解析：解：对于①，∵A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，∴−1<cos(A−B)≤1，−1<cos(B−C)≤1，−1<cos(C−A)≤1．∵cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，∴cos(A−B)=cos(B−C)=cos(C−A)=1，∴A−B=B−C=C−A=0，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，故①正确．对于②，若A=120°，B=30°，显然sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形，故②错误．对于③，若cosAcosBcosC<0，则cos A，cos B，cos C中必有一个小于0，即必有一个角为钝角，故③正确．对于④，若sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2．∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形，故④错误．故选：C．根据三角函数的性质和角的范围进行判断．本题考查了三角函数的性质，解三角形，属于中档题．8.答案：B解析：解：由图象可知：T=2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x−π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴∠A +∠C =2∠B ，又∠A +∠B +∠C =π， ∴3∠B =π，则∠B =π3．∵cosA =23，可得：sinA =√1−cos 2A =√53，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√53×12+23×√32=√5+2√36．故选：B ．直接由等差数列的性质结合三角形内角和定理得B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值．本题主要考查了等差数列的性质，考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，是基础题．10.答案：D解析：解：函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0，可得2x −π6=kπ，k ∈Z ，即为x =kπ2+π12，k ∈Z ，可得f(x)在(0,π)内的零点为π12，7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可得x =π3为f(x)图象的一条对称轴，故D 正确．故选：D ．运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得f(x)=2sin(2x −π6)，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断A ，C ；由f(x)=0，可判断B ；由对称轴的特点，计算可判断D ．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．11.答案：D解析：∵半径为10，中心角为π5，∴扇形的弧长l =π5×10=2π∴扇形的面积S =12lr =12×2π×10=10π12.答案：C解析：本题主要考查两角和差的三角函数公式的应用．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)═2sin (x +π3).由题意可得，k ∈Z ，求出θ，再代入求解即可．解：∵f(x)=sinx +√3cos x =2sin (x +π3)，又f(x)在x =θ时取得最大值， ∴θ+π3=π2+2kπ(k ∈Z)，即θ=π6+2kπ(k ∈Z)，于是cos (2θ+π4)=cos (π3+π4+4kπ)=cos (π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64，故选C ．13.答案：−12解析：解：建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，所以(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2−6x +4=2(x −1.5)2+4−4.5，因为x ∈[0,2]，所以x =1.5时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−0.5即−12；故答案为：−12．建立平面直角坐标系A −xy ，设P 点坐标为(2,x)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−x)，x ∈[0,2]，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2−x)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2−x)，利用x 表示(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的函数求最值．本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法． 14.答案：[2π,9π4)解析：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想．结合正弦函数的图象与性质可得4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω，又ω>0，解不等式即可求解．解：由题意，得T =2πω．因为函数f(x)在[0,4]上与x 轴有9个交点，所以4T ≤4<92T ，即8πω≤4<9πω，因为ω>0，解得2π≤ω<9π4．故答案为：[2π,9π4)．15.答案：{y|y ≥32}解析：本题主要考查了函数定义域与值域，属于基础题．解：已知函数y =cosx+2cosx+1，所以cosx =−y+2y−1，所以|−y+2y−1|≤1，解得y ≥32，故答案为{y|y ≥32}.16.答案：78解析：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由已知可求sin(α−π6)的值，根据条件利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．解：∵sin(π6−α)=14，∴sin(α−π6)=−14， ∴cos(2α−π3)=1−2sin 2(α−π6)=1−2×(−14)2=78，故答案为78． 17.答案：解：(1)∵tanα=2，∴y =4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=611；(2)f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−π−α)sin(−π−α) =cosα⋅sinα⋅tanα−tanα⋅sinα=−cosα．解析：(1)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；(2)直接利用诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.答案：解：若sinα=0，则cos 2α=1．若sinα≠0，则{sinα=2sinβsinαcosα=3sinβcosβ，所以{12sinα=sinβ32cosα=cosβ，所以sin2α4+9cos2α4=1解得cos2α=38．综上得cos2α=1或cos2α=38．解析：本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题.注意sinα=0，这种特殊情况．19.答案：解：(Ⅰ，，解得ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，令，k∈Z解得，k∈Z取其与[0,π]的交集，得，∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间为．解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质以及辅助角公式的应用，属于基础题．(Ⅰ)直接将f(x)的解析式化简，利用即可；(Ⅱ)直接根据正弦函数的图象与性质，令，解得其与[0,π]的交集，即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB．因为在△ABC中，sinA≠0，所以tanB=√3．又0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，因为B=π3，b=2√3，所以12=a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a =c =2√3时，ac 取得最大值12．解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题． (Ⅰ)因为bsinA =√3acosB ，由正弦定理求得tanB =√3，从而求得B 的值． (Ⅱ)由余弦定理求得12=a 2+c 2−ac ，再利用基本不等式求得ac 的最大值． 21.答案：解：在△ABC 中，∵2sinB −sinC =0，∴2b −c =0，即c =2b ．由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，a 2−b 2=bc ，可得cosA =c 2−bc2bc =4b 2−2b 24b 2=12， ∴A =60°．解析：由条件利用正弦定理求得c =2b ，再由余弦定理以及a 2−b 2=bc ，求得cos A 的值，从而求得A 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 22.答案：解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ,ON =200cos θ，在Rt △OQM 中， QM =PN =200sin θ，OM =QMtan 60°=√3=200√33sin θ ，所以MN =ON −OM =200cos θ− 200√33sin θ，因为矩形MNPQ 是正方形，∴MN =PN ，所以200cos θ−200√33sin θ=200sin θ，所以(200+200√33)sin θ=200cos θ，所以tan θ=11+√33=33+√3=3−√32 ．(2)因为∠POM =θ，所以，即PS +PT =200sin θ+200sin (60°−θ)=200(sinθ+√3cosθ−1sinθ) =200(12sin θ+√32cos θ)=200sin (θ+60°),因为0°<θ<60°，所以当θ+60°=90°，即θ=30°时，PS+PT最大，此时P是AB的中点．解析：本题考查三角函数模型的应用，属于较难题．(1)先求得PN和MN的三角函数式，再由MN=PN列出等式，即可得出tanθ的值；(2)由题可得PS+PT=200sin (θ+60°)，由三角函数的性质即可得出．。

456期：立体几何中的截面

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12．【2020 届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体 ABCD 的各条棱长均等于 4，E，F 分别是棱 AD、BC 的中点.若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平
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1．【江西省吉安市 2019-2020 学年高二上学期期末数学】
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， F 为 AD 的中点， E 为棱 D1D 上的动点(不包括端点)，过点 B, E, F 的平面截正方体所得的截面的形
状不可能是（）
A．四边形 B．等腰梯形 C．五边形
D．六边形
因为 OC⊥OE,OP,OE 平面 PAB,OP∩OE=0,
所以 OC⊥平面 PAB,所以 OC⊥OB.
在平面 CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为
y2 2 px( p 0) ，
C(1,1),1 2 p, p 1 ， 2
所以该抛物线的焦点到其顶点 E 的距离为 1 . 4
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A．2
B．4
C． 2 6
D． 4 6
【答案】B
【解析】设截面圆半径为 r ，球的半径为 R ，则球心到某一截面的距
离为正方体棱长的一半即 2 3 ，根据截面圆的周长可得 4 2 r ，
得r = 2，
故由题意知 R2 r2
2
3 2 ，即 R2 22
2
3
2
16 ，所以
R 4，
故选：B．
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6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学. 素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学 2018 级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，

2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−5x −6<0}，则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则ac 2<bc 2B. 若a >b ，则1a <1b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ，则a <b3. 已知q ：∀x ∈[−2,3)，x 2<9，则￢q 为( )A. ∃x ∈[−2,3)，x 2<9B. ∃x ∉[−2,3)，x 2<9C. ∃x ∈[−2,3)，x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3)，x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3，则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0，x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ，下列选项正确的是( )A. 奇函数，在(−1,1)上有零点B. 奇函数，在(−1,1)上无零点C. 偶函数，在(−1,1)上有零点D. 偶函数，在(−1,1)上无零点8. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据图形分析，下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时，f(x)=−2x2+4x，x≤0时，y=f(x+2)，以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数，且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根，则12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，2x2−3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．14.函数f(x)=x2sinx−2，则f(2021)+f(−2021)=______ ．15.有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为______ ．16.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={−1,0，2}的不同分拆种数是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）+a,x>−1}．17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1}，B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B；(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1．(Ⅰ)若m=0，求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)=x2+4x．(1)求f(x)解析式；(2)若f(2a)<f(1−a)，求a的取值范围．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的零点；)，求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值．(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6}，所以A∩B={x|12≤x<6}，则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}．故选：C．先求出集合A，B，然后利用集合交集与补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集定义的运用，涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a>0>b，则1a >1b，故B错误；对于C，若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故C错误；对于D，若1ab2<1a2b，则a2b2>0，所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b，即a<b，故D正确．故选：D．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题q：∀x∈[−2,3)，x2<9，则￢q：∃x∈[−2,3)，x2≥9．故选：C．根据全称命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2+log 31<2+log 32<2+log 33，即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围，从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y =f(x +1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(x +2)，又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=f(x +2)，则有f(x +2)=−f(x)，综合可得：f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的函数，则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1，故选：A ．根据题意，分析可得f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，据此可得f(985)=f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．故选：A ．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex)，其定义域为R ，有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t =√e x+1√ex ，在区间[0,1)上，t =√e x+1√ex>2且是增函数，而y =lnt ，在(2,+∞)上为增函数，则f(x)在区间[0,1)上为增函数，又由f(0)=ln2>0，则在区间[0,1)上，f(x)≥f(0)>0恒成立，故f(x)在区间[0,1)上没有零点，又由f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,1)上无零点；故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，再设t =√e x+1√ex，则y =lnt ，利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数，求出f(1)的值，分析可得区间[0,1)上没有零点，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数零点的判断，属于基础题、8.【答案】B【解析】解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9，因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．由题意可得AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：x+1x≥2恒成立，不成立，因为x可以小于0，所以A不正确；√a2+4√a2+4的最小值大于2，所以B不正确；m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4，当且仅当m=n=1，表达式取得最小值为4，所以C正确；a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用基本不等式，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos(−x)=cosx，∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．11.【答案】ABD【解析】对于A ，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多，是加速增长，故A 正确；对于B ，第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段，是匀速增长，故B 正确；对于C ，第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少，故C 错误；对于D ，第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨，∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨，故D 正确．故选：ABD ．由分段函数图象，能够读出各段上y 对于x 变化状态，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．12.【答案】BD【解析】解：x ≤0时，y =f(x +2)，∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环，如下图所示，由图象可知，f(x)在区间[−6,−4]上先增后减，所以A 错误； f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2，所以B 正确；当x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，f(3)≠f(1)，所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数，所以C 错误；y =kx +1恒过(0,1)，由图象可知，直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到，x ∈(−2,0)时，f(x)=−2x 2−4x ，∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3，画出g(x)图象，如下图所示，x ∈(−2,0)时，g(x)最大值为4−2√2，g(−2)=−12，x ∈(0,2)时，g(x)最小值为2√2−4， ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点，满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12，解得12<k <4−2√2或k =2√2−4，所以D 正确．故选：BD ．画出图象，即可判断A ；由x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，x ≤0时，y =f(x +2)，即可判断BC ；参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即可判断D ．本题考查了函数的图象与性质，函数零点问题，D 选项较难下手，属于难题．13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a 2−4×2×9≤0，解得：−2√2≤a ≤2√2．故答案为：[−2√2,2√2]根据题意，原命题的否定“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14.【答案】−4【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx−2，则f(−x)=−x2sinx−2，则f(x)+f(−x)=−4，则有f(2021)+f(−2021)=−4，故答案为：−4．根据题意，求出f(−x)的解析式，分析可得f(x)+f(−x)=−4，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.【答案】(√2+1)L．【解析】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t=t1+t2，即：LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得：V12−2V1V2−V22=0解得：V1=(√2+1)V2；将上式等号两边同乘总时间t，即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L．故答案为：(√2+1)L．以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．本题考查路程的计算，关键是计算向前的距离和向后的距离，难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同，向后的时候人和队伍前进方向相反，解决此类问题常常用到相对运动的知识．16.【答案】27【解析】解：因为集合A中有三个元素，当A1=⌀时，必须A2=A，分拆种数为1；当A1有一个元素时，分拆种数为C31⋅2=6；当A1有2个元素时，分拆种数为C32⋅22=12；当A1=A时，分拆种数为C33⋅23=8．所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种．故答案为：27．由题意中的定义，分A1=⌀，A1有一个元素，A1有2个元素，A1=A四种情况，分别求出分拆种数，即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2}，B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}．(2)∵集合A={x|x<2}，B={x|x≥a+1}．∴∁U B={x|x<a+1}，∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件，∴x<2⇒x<a+1，∴a+1>2，解得a>1．∴a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A，利用均值定理能求出集合B．(2)推导出x<2⇒x<a+1，由此能求出a的取值范围．本题考查集合、实数的取值范围的求法，对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=2x 2−1，可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减，∴f(x)min =f(0)=−1，f(x)max =f(−3)=17；(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12，∴m =12或−18成立；由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0，解得：−18<m <12；综上：满足条件的m 的取值范围是：[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值； (2)根据f(0)f(1)<0，再验证f(0)=0及f(1)=0，可求得m 范围．本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则有f(−x)=x 2−4x ，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=x 2−4x ，则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，∴|2a|<|1−a|，得(2a)2<(1−a)2，解得：a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0，则−x <0，再根据函数为偶函数可求得解析式；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，可求得a 的取值范围．本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20，x ∈[0,10]；(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，因为x∈[0,10]，所以4≤x+4≤14，则(x+4)+45kx+4≥6√5√k，当且仅当x+4=45kx+4，即x=3√5√k−4时取“=”，因为k∈[0.5,1]，则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即有3√5√k−4∈[0,10]，所以y≤180k+12−48√5√k，即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+ 12−48√5√k；(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，即180k≥(8x+20)(x+4)x+2，记m=x+2，则m∈[2,12]，此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20，由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增，所以当m∈[2,12]时，f max(m)=f(12)=11623，∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k，结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，令−x|x−2|+1=0．当x≥2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1+√2；当x<2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1．故函数零点为：1+√2和1；(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ，其中f(0)=f(2a)=1，于是最大值在f(1)，f(2)，f(2a)中取．得0<2a ≤1，即0<a ≤12时，f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)max =f(1)=2a ；当a <1<2a <2，即12<a <1时，f(x)在[1,2a]上单调递增，在[2a,2]上单调递减，故f(x)max =f(2a)=1；当1≤a <2<2a ，即1≤a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,2]上单调递增，故f(x)max =max{f(1),f(2)}，∵f(1)−f(2)2a −3<0，故f(x)max =f(2)=5−4a ．综上：f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32．．【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题； (2)根据a 讨论函数图象，根据图象特点可求函数最大值．本题考查函数零点与最值，考查数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞)，令x 1=12,x 2=14，则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1，而2|x 1−x 2|=12，∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|，∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1>x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立，∵1≤x 2<x 1≤4， ∴14<√x +√x <12，∴k 的最小值为12；(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|，f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，∴设x 1>x 2，则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|，∵2x1−a>0,2x2−a>0，且2x1−a2x2−a>1，∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2，∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1，∴a⋅2x1>a⋅2x2，∵x1>x2，∴a>0，∵2x−a>0，∴a<2x，∵x∈[1,2]，∴a<2，综上，实数a的取值范围为(0,2)．【解析】(1)令x1=12,x2=14，即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)依题意，k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立，而14<√x+√x<12，由此可得k的最小值；(3)由题意可得，a⋅2x1>a⋅2x2，结合x1>x2，可得a>0，由2x−a>0，x∈[1,2]，可得a<2，综合即得答案．本题以新定义为背景，考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及运算求解能力，属于中档题．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

2019-2020学年上学期高二级期中考试题数学一、单选题(本题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．若直线10x my +-=的倾斜角为30°，则实数m 的值为( )A. 3-B.3 C. 33-D.332．在等差数列{}n a 中，39618,n a a a S +=-表示数列{}n a 的前n 项和，则11S =( ) A ．66B ．99C ．198D ．2973．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（） A ．0b a -< B ．a b >C ．2a ab <D ．11a b< 4．满足,23,43A BC AC π===的ABC ∆的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为( ) A ．235B ．2310C ．7D ．726．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为02=-+y x ，则点A 关于l 的对称点'A 的坐标为( ) A ．)4,32(-B ．)6,2(-C ．)4,2(D ．)6,1(7．如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.πB.2πC.4πD.8π8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且仅有4个点到直线l ：x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A ．81π4 B ．16π C ．9πD ．27π4二、多选题(本题共2小题，每小题5分，共10分。

【生物11月】2019-2020学年上学期期中考试(高二)-试卷

２０１９—２０２０学年上学期高二年级期中测试生㊀物注意事项：１．答卷前，考生务必将自己的姓名㊁考号填写在答题卡和试卷指定位置上㊂２．考生作答时，请将正确答案填写在答题卡上，在本试卷上答题无效㊂回答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号㊂一㊁选择题：本题共２０小题，每小题２分，共４０分㊂在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的㊂１．下列关于孟德尔的豌豆杂交实验的叙述，正确的是Ａ．豌豆是自花传粉闭花受粉的植物，所以自然状态下一般都是纯种Ｂ．孟德尔在豌豆开花的时候进行去雄和人工授粉，实现亲本的杂交Ｃ．孟德尔根据亲本中不同个体表现出来的性状来判断亲本是否纯合Ｄ．该杂交实验的操作流程：去雄ң人工授粉ң套袋２．下列有关自交和测交的叙述，正确的是Ａ．杂合子高茎豌豆连续自交可以提高杂合子的比例Ｂ．自交和测交都可用来判断一对相对性状的显隐性Ｃ．自交和测交均可以用来判断某一显性个体的基因型Ｄ．自交和测交都不能用来验证分离定律和自由组合定律３．孟德尔在探索遗传规律时，运用了假说演绎法，下列相关叙述正确的是Ａ．所作假设的核心是生物的性状是由位于染色体上的基因决定的Ｂ．遗传因子在体细胞的染色体上成对存在属于假说内容Ｃ．为了验证作出的假设是否正确，设计并完成了正反交实验Ｄ．预期测交结果高茎ʒ矮茎＝１ʒ１属于演绎推理的内容４．下列关于遗传学基本概念的叙述，正确的是Ａ．显性性状是生物体显现的性状，隐性性状是生物体不能显现的性状Ｂ．性状分离是亲本杂交后，子代中同时出现显性性状和隐性性状的现象Ｄ．高山兔的白毛和黑毛㊁牧羊犬的长毛和卷毛都属于相对性状５．玉米的甜和非甜是一对相对性状，随机取非甜玉米和甜玉米进行间行种植，其中一定能够判断甜和非甜的显隐性关系的是Ａ．非甜玉米自交，甜玉米自交Ｂ．非甜玉米做母本，甜玉米做父本Ｃ．非甜玉米做父本，甜玉米做母本Ｄ．非甜玉米自交，甜玉米和非甜玉米杂交６．水稻中非糯性（Ｗ）对糯性（ｗ）为显性，非糯性品系（含Ｗ）的籽粒及花粉遇碘呈蓝黑色，糯性品系（只含ｗ）的籽粒及花粉遇碘呈红褐色㊂下列是对纯种的非糯性与糯性水稻的杂交后代进行观察的结果，其中能直接证明孟德尔分离定律的一项是Ａ．杂交后亲本植株上结出的种子（Ｆ１）遇碘全部呈蓝黑色Ｂ．Ｆ１自交后结出的种子（Ｆ２）遇碘后，３／４呈蓝黑色，１／４呈红褐色Ｃ．Ｆ１产生的花粉遇碘后，一半呈蓝黑色，一半呈红褐色Ｄ．Ｆ１测交所结出的种子遇碘后，一半呈蓝黑色，一半呈红褐色７．基因型为ＭＭ的绵羊有角，基因型为ｍｍ的绵羊无角，基因型为Ｍｍ的绵羊母羊无角，公羊有角㊂现有一只有角母羊生了一只无角小羊，这只无角小羊的性别和基因型分别是Ａ．雄性ｍｍＢ．雄性ＭｍＣ．雌性ＭｍＤ．雌性ｍｍ８．减数分裂形成配子时，分离的基因㊁自由组合的基因㊁交叉互换的基因在染色体上的位置关系分别是Ａ．同一条染色体上；非同源染色体上；姐妹染色单体上Ｂ．同源染色体上；非同源染色体上；同源染色体上Ｃ．非同源染色体上；同一条染色体上；姐妹染色单体上Ｄ．姐妹染色单体上；同源染色体上；非同源染色体上９．下列有关减数分裂和受精作用的描述，正确的是Ａ．受精卵中的遗传物质一半来自卵细胞，一半来自精子Ｂ．在减数分裂过程中，着丝点的分裂伴随着等位基因的分离Ｃ．发生非同源染色体的自由组合时，染色单体和ＤＮＡ数目相等Ｄ．减数分裂过程中，染色体的自由组合伴随着等位基因的自由组合１０．下列关于细胞分裂过程中同源染色体的叙述，正确的是Ａ．细胞中同源染色体的形状㊁大小一定相同Ｂ．大小㊁形状相同的染色体一定是同源染色体Ｄ．减数分裂过程中，细胞内可能没有同源染色体１１．对果蝇卵巢组织进行荧光标记，Ａ／ａ都标为黄色，Ｂ／ｂ标为绿色㊂在荧光显微镜下观察处于减数第二次分裂时期的一个细胞㊂下列有关推测合理的是Ａ．若Ａ／ａ㊁Ｂ／ｂ位于一对同源染色体上，则有一条２个黄点，另一条２个绿点Ｂ．若Ａ／ａ㊁Ｂ／ｂ位于一对同源染色体上，则有一条４个黄点和４个绿点Ｃ．若Ａ／ａ㊁Ｂ／ｂ位于两对同源染色体上，则有一条２个黄点，另一条２个绿点Ｄ．若Ａ／ａ㊁Ｂ／ｂ位于两对同源染色体上，则有一条４个黄点和４个绿点１２．一对表现型正常的夫妇，生下一性染色体组成为ＸＸＹ的色盲孩子，出现这种现象的原因可能是Ａ．女方减数第二次分裂异常Ｂ．男方减数第一次分裂异常Ｃ．女方减数第一次分裂异常Ｄ．男方减数第二次分裂异常１３．雄果蝇精原细胞的ＤＮＡ分子用１５Ｎ标记后置于含１４Ｎ的培养基中培养，经过细胞分裂得到４个子细胞㊂下列推断正确的是Ａ．若进行有丝分裂，则含１５Ｎ染色体的子细胞比例为５０％Ｂ．若进行减数分裂，则含１５Ｎ染色体的子细胞比例为１００％Ｃ．若进行有丝分裂，则第二次分裂中期细胞中含１４Ｎ的染色单体有８条Ｄ．若进行减数分裂，则第二次分裂中期细胞中含１４Ｎ的染色单体有４条１４．下列关于遗传物质发现的经典实验的叙述，正确的是Ａ．噬菌体侵染细菌实验中搅拌的目的是使噬菌体与细菌充分混合Ｂ．格里菲斯体内转化实验与艾弗里体外转化实验都证明了ＤＮＡ是转化因子Ｃ．提取Ｓ型肺炎双球菌中的ＤＮＡ注入小鼠体内，小鼠不会死亡Ｄ．都运用了同位素示踪技术研究ＤＮＡ在亲代与子代之间的传递１５．下列有关ＤＮＡ分子结构的叙述错误的是Ａ．不同ＤＮＡ分子中（Ａ＋Ｔ）／（Ｇ＋Ｃ）的比值相等Ｂ．不同ＤＮＡ分子中的碱基配对方式相同Ｃ．不同ＤＮＡ分子中碱基的排列顺序不同Ｄ．ＤＮＡ分子中某些脱氧核糖只与一个磷酸分子相连１６．某研究小组模拟细胞ＤＮＡ复制条件人工合成某ＤＮＡ片段，连续复制了４次㊂已知在第２次循环中消耗了Ｐ个腺嘌呤脱氧核苷酸㊂下列分析错误的是Ａ．该ＤＮＡ片段中含有胸腺嘧啶脱氧核糖核苷酸０．５Ｐ个Ｂ．第３次循环中消耗了２Ｐ个腺嘌呤脱氧核苷酸Ｄ．４次循环后得到的ＤＮＡ分子共有游离的磷酸基１６个１７．一个被３２Ｐ标记的噬菌体侵染在３１Ｐ环境中培养的大肠杆菌，已知噬菌体ＤＮＡ上有ｍ个碱基对，其中胞嘧啶有ｎ个㊂以下叙述不正确的是Ａ．大肠杆菌为噬菌体增殖提供原料和酶等Ｂ．噬菌体ＤＮＡ含有（２ｍ＋ｎ）个氢键Ｃ．该噬菌体繁殖四次，只有１４个子代噬菌体中含有３１ＰＤ．噬菌体ＤＮＡ第四次复制共需要８（ｍ－ｎ）个腺嘌呤脱氧核苷酸１８．非洲猪瘟病毒（ＡＳＦＶ）属于ＤＮＡ病毒，下列有关说法正确的是Ａ．ＡＳＦＶ的ＤＮＡ两条链间的碱基通过氢键相连构成其基本骨架Ｂ．若ＤＮＡ一条链中Ａ＋Ｔ占３６％，则该分子中Ｇ占３２％Ｃ．ＡＳＦＶ与ＨＩＶ的核酸彻底水解可以得到相同的五碳糖Ｄ．ＡＳＦＶ的ＤＮＡ在每条链上的相邻碱基通过氢键相连１９．下图是某学生在制作ＤＮＡ双螺旋结构模型活动中制作的一个模型，①②③④分别代表四种不同的碱基模型，下列叙述正确的是Ａ．该模型可代表一个双链脱氧核糖核酸分子Ｂ．该模型表明每个脱氧核糖都与一个磷酸相连Ｃ．①可代表胞嘧啶或胸腺嘧啶Ｄ．若要将此链和其互补链连接，则需要１０个连接物代表氢键２０．下列关于细胞分裂与生物遗传关系的叙述，不正确的是Ａ．大肠杆菌进行二分裂，其遗传方式不遵循孟德尔的遗传定律Ｂ．染色体异常（ＸＸＹ）患者的病因只与其父亲的精原细胞进行减数分裂时出现异常有关Ｃ．基因的分离和自由组合定律都发生在减数第一次分裂Ｄ．生物体通过减数分裂和受精作用，使同一双亲的后代呈现出多样性二㊁非选择题：本题共４小题，共５０分㊂２１．（１２分，每空２分）研究发现基因中启动子的高度甲基化会引起基因表达抑制，从而导致癌变㊂胞嘧啶发生甲基化后转变成的５－甲基胞嘧啶，仍能与鸟嘌呤互补配对㊂细胞中存在两种ＤＮＡ甲基化酶（如图１所示），从头甲基化酶只作用于非甲基化的ＤＮＡ，使其半甲基化；维持甲基化酶只作用于ＤＮＡ的半甲基化位点，使其全甲基化㊂请回答问题：（１）图２中过程①所需的原料是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀，其产物都是甲基化的，因此过程②必须经过㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀的催化才能获得与亲代分子相同的甲基化状态㊂（２）科学家在研究ＤＮＡ分子复制方式时运用的主要技术是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊂ＤＮＡ分子复制时的解旋在细胞中需要解旋酶的催化，延伸的子链紧跟着解旋酶，这说明ＤＮＡ分子复制的特点是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊂ＤＮＡ分子解旋在体外通过加热也能实现，研究发现有些ＤＮＡ分子加热变性时需要的温度较高，推测其原因是㊀㊀㊂２２．（１４分，每空２分）图１为某二倍体高等动物细胞分裂图像（部分染色体），图２为分裂过程中染色体数与核ＤＮＡ含量比值的变化曲线，ｆ代表细胞分裂刚好结束㊂据图回答问题：（１）图１中丁细胞名称是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀，其内含有条染色单体㊂该动物某一细胞分裂后产生了如图１戊所示的子细胞，该子细胞形成的原因可能是㊀㊀㊂（２）图２中ｂｃ段形成的原因是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀，ｄｅ段形成原因是㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊂ｃｄ段时，染色体数／核ＤＮＡ含量的值为㊂此时，细胞内染色体数／ＤＮＡ含量的值比染色体／核ＤＮＡ含量的值（填大小或相等）㊂２３．（１２分）女娄菜是一种雌雄异株的高等植物，属ＸＹ型性别决定㊂其正常植株呈绿色，部分植株呈金黄色，且金黄色仅存在于雄株中（控制相对性状的基因用Ａ㊁ａ表示）㊂以下是第１组第２组第３组绿色雌株ˑ金黄色雄株绿色雌株ˑ金黄色雄株绿色雌株ˑ绿色雄株ˌˌˌ绿色雄株绿色雄株㊀金黄色雄株金黄色雄株㊀绿色雄株㊀绿色雌株１１㊀㊀ʒ㊀㊀１１㊀㊀ʒ㊀㊀１㊀㊀ʒ㊀㊀２（１）在绿色和金黄色这对相对性状中，金黄色是性状㊂决定女娄菜植株颜色的基因位于染色体上，第１组和第２组杂交实验中母本的基因型依次是㊂（每空２分）（２）第１组和第２组杂交实验的子代都没有雌株出现，请你对此现象作出合理的推测：㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊂（３分）（３）请写出第三组杂交实验的遗传图解㊂（３分）２４．（１２分，每空２分）蝴蝶中紫翅（Ａ）和黄翅（ａ）是一对相对性状，绿眼（Ｂ）和白眼（ｂ）是一对相对性状，两对等位基因独立遗传㊂如图是表现型为紫翅绿眼蝴蝶与某蝴蝶甲杂交，产生的１３５６只后代的性状，据图回答问题：（１）甲的基因组成是，性状分离是指㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀，杂交后代中纯合子约有只㊂（２）若要鉴定子代一只紫翅绿眼蝴蝶的基因型，应让其与表现型为个体进行测交，统计后代的表现型及比例，预测出现的现象及所得结论：①㊀；。

辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年七年级(上)第一次月考数学试卷

2019-2020学年七年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．将图中的三角形绕虚线旋转一周，所得的几何体是（）A．B．C．D．2．如图，用水平的平面截几何体，所得几何体的截面图形标号是（）A．B．C．D．3．绝对值小于5的所有整数的和为（）A．0 B．﹣8 C．10 D．204．妈妈为今年参加中考的女儿小红制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．有理数包括正整数、零和负分数B．﹣a不一定是整数C．﹣5和+（﹣5）互为相反数D．两个有理数的和一定大于每一个加数6．下列各组数中，不相等的一组是（）A．﹣（+7），﹣|﹣7| B．﹣（+7），﹣|+7|C．+（﹣7），﹣（+7）D．+（+7），﹣|﹣7|7．若|a|＝8，|b|＝5，a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．3或13 B．13或﹣13 C．3或﹣3 D．﹣3或138．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．±1和09．如果|a|＝﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤010．下列等式成立的是（）A．|±3|＝±3 B．|﹣2|＝﹣（﹣2） C．（±2）2＝±22D．二．填空题（共6小题）11．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体．12．数轴上与﹣1的距离等于3个单位长度的点所表示的数为．13．﹣8的相反数是．如果﹣a＝2，则a＝．14．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，则a+b0．15．若|a﹣6|+|b+5|＝0，则a+b的值为．16．若规定a*b＝5a+2b﹣1，则（﹣4）*6的值为．三．解答题（共11小题）17．（1）画出下列几何体的三种视图（图1）．（2）如图2，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图和左视图．18．计算：（1）45+（﹣20）（2）（﹣8）﹣（﹣1）（3）|﹣10|+|+8|（4）（﹣+）×（﹣36）（5）0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1（6）99×（﹣3）（7）0.25+（﹣）+（﹣）﹣（+）（8）1÷（﹣）×（9）﹣9﹣（﹣3）×2﹣（﹣16）÷4（10）（﹣0.6）﹣（﹣3）﹣（+7）+2﹣|﹣2|（11）﹣5×（﹣3）+（﹣9）×（+3）+17×（﹣3）（12）（+1.75）+（﹣）+（+）+（+1.05）+（﹣）+（+2.2）19．把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小．﹣4，3，﹣，0，3，﹣220．若|a|＝2，b＝﹣3，c是最大的负整数，求a+b﹣c的值．21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的值是多少？22．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，其中一条直角边旋转一周，得到了一个几何体，请计算出几何体的体积．（锥体体积＝底面积×高）23．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b﹣c|的值．24．若a，b都是非零的有理数，那么+的值是多少？25．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为 2.4元，司机一个下午的营业额是多少？26．如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为；（3）若x表示一个有理数，请你结合数轴求|x﹣1|+|x+3|的最小值．27．已知：b是最小的正整数，且a、b满足|c﹣5|+|a+b|＝0．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在﹣1到1之间运动时（即﹣1≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+3|（写出化简过程）；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请求BC﹣AB的值．。

辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题及答案

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期12月阶段测试高一数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是考试时间：120分钟试题满分：150分符合题目要求的。

1．已知集合(){}2{14,},,,A x x x B x y y x x A =<<∈==∈Z ，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}4,9D ．∅2．已知函数()()2231mm f x m m x −−=+−是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则m 的值为（）A ．1B ．1−C ．2−D ．2−或13．若,a b 是方程230x x +−=的两个实数根，则22a a b ++=（） A ．1B ．2C ．3D ．44．一种药在病人血液中的量保持在500mg 以上时才有疗效，而低于100mg 时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：lg20.3010≈）（） A ．5小时后B ．7小时后C ．9小时后D ．11小时后5．已知31log 2833log 3,log 4,3a b c−===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．设函数()y f x =存在反函数()1y f x −=，且函数()2y x f x =−的图象过点()2,3，则函数()1yf x −=−的图象一定过点（）A ．()1,1−B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,17．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，已知()13yf x =+为偶函数，()11yg x =++为奇函数，对于x ∀∈R ，均有()()23f x g x x +=+，则()()44f g =（） A ．66B ．70C ．124D ．1448．已知函数()24,0e 1,0xx x x f x x − −+≥= −< ，若关于x 的不等式()()22[]0f x mf x n −−<恰有两个整数解，则实数m 的最小值是（）A ．21−B ．14−C ．7−D ．6−二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列{a n }中，a n +2＝a n +1+a n ，a 1＝3，a 2＝5，则a 4＝（） A ．﹣3B ．9C ．﹣5D ．132．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4+a 5+a 6＝51，S 7＝98．则a 10＝（） A ．29B ．32C ．35D ．383．曲线y =lnx +2√x +1在x ＝1处的切线方程为（） A ．y ＝2x +1B ．y =32x +32C ．y ＝3xD ．y ＝2x ﹣34．若等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别是S n 和T n ．且S n T n=n 3n+1，则a 6b 6=（）A ．619B ．1031C ．1134D ．12375．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，若2a 1＝a 3a 4，且a 5是a 4与﹣6的等差中项，则a 5+a 6a 6+a 7的值是（） A ．3B ．﹣1或3C ．2D ．1或26．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（） A ．26种B ．30种C ．37种D ．42种7．若函数f （x ）＝e x ﹣a ﹣xlnx +（1﹣a ）x 在（0，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣1]C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，2]8．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f '（x ）+f （x ）ln 2＜0，则下列不等关系成立的是（） A ．2f （1）＞f （0） B ．f （1）＜2f （2） C ．5f （log 25）＜4f （2）D ．3f （log 23）＞2f （1）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1＞1，a 6a 7＞1，a 6−1a 7−1＜0，则下列结论正确的是（） A ．0＜q ＜1 B ．a 6a 8＞1 C ．T n 的最大值为T 6D ．T 13＜110．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A 、B 、C 三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（） A ．共有18种安排方法B ．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法C ．若A 社区需要两名志愿者，则有12种安排方法D ．若甲被安排在A 社区，则有12种安排方法 11．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 是奇数1a n，n 是偶数，则下列说法正确的有（）A ．a 3=12 B ．{a n }是周期数列 C ．a 2022＝2D ．S 18＝2012．已知f （x ）＝x 2+xlnx +2，g （x ）＝f （x ）﹣ex ，则（） A ．函数f （x ）在[14，1]上的最大值为3 B ．∀x ＞0，f(x)＞2716C ．函数g （x ）的极值点有2个D ．函数g （x ）存在唯一零点x ∈（3，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y ＝sin3x +cos 3x 的导数为．14．体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是．（用数字作答）15．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝﹣2，a 2022＝8，则这个数列的前2021项的和为．16．若x 1，x 2是函数f(x)=12ax 2−e x +1(a ∈R)的两个极值点，且x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若数列{1a n}是等差数列，则称数列{a n }为调和数列．若实数a 、b 、c 依次成调和数列，则称b是a 和c 的调和中项．（1）求13和1的调和中项；（2）已知调和数列{a n }，a 1＝6，a 4＝2，求{a n }的通项公式．18．（12分）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n =4a n a n+1+b n ，求{c n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x 3﹣3x ．（1）求f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）若过点P （1，t ）存在1条直线与曲线y ＝f （x ）相切，求t 的取值范围．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，当n ≥2时，S n 2=a n S n ﹣a n ．（1）证明：{1S n}是等差数列并求{S n }通项公式；（2）设数列{2nS n}的前n 项和为T n ，若λT n ≤（n 2+9）•2n 恒成立，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝xe x +x ，g （x ）＝2x +lnx +m ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣a ）lnx +1x+2ax ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ∈（﹣8，﹣2）时，若存在x 1，x 2∈[1，2]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|＞（m +ln 2）a ﹣2ln 2+12ln(−a)恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列{a n }中，a n +2＝a n +1+a n ，a 1＝3，a 2＝5，则a 4＝（） A ．﹣3B ．9C ．﹣5D ．13解：因为a 1＝3，a 2＝5，且a n +2＝a n +1+a n ，令n ＝1，则a 3＝a 2+a 1＝8，令n ＝2，则a 4＝a 3+a 2＝8+5＝13．故选：D ．2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4+a 5+a 6＝51，S 7＝98．则a 10＝（） A ．29B ．32C ．35D ．38解：根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若a 4+a 5+a 6＝51，则a 5＝17，又由S 7＝98，即S 7=(a 1+a 7)×72=7a 4＝98，解可得a 4＝14，则d ＝a 5﹣a 4＝3，则a 10＝a 5+5d ＝17+15＝32．故选：B ．3．曲线y =lnx +2√x +1在x ＝1处的切线方程为（） A ．y ＝2x +1B ．y =32x +32C ．y ＝3xD ．y ＝2x ﹣3解：由y =lnx +2√x +1，得y ′=1x 1√x，则y ′|x ＝1＝2，又x ＝1时，y ＝3， ∴曲线y =lnx +2√x +1在x ＝1处的切线方程为y ＝2（x ﹣1）+3，即y ＝2x +1．故选：A ．4．若等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别是S n 和T n ．且S n T n=n 3n+1，则a 6b 6=（）A ．619B ．1031C ．1134D ．1237解：根据题意，等差数列{a n }和{b n }的前n 项的和分别是S n 和T n ．且S n T n=n 3n+1，则S 11T 11=(a 1+a 11)×112(b 1+b 11)×112=2a 62b 6=a 6b 6=1134，即a 6b 6=1134．故选：C ．5．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，若2a 1＝a 3a 4，且a 5是a 4与﹣6的等差中项，则a 5+a 6a 6+a 7的值是（） A ．3B ．﹣1或3C ．2D ．1或2解：∵2a 1＝a 3a 4，∴2a 1＝a 1q 2•a 1q 3，即a 6＝2，又a 5是a 4与﹣6的等差中项，则2a 5＝a 4﹣6，即2a 1q 4＝a 1q 3﹣3a 1q 5， ∴3q 2+2q ﹣1＝0，解得q =13或q ＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴a 5+a 6a 6+a 7=a 5(1+q)a 6(1+q)=1q=3．故选：A ．6．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（） A ．26种B ．30种C ．37种D ．42种解：按所选的6人中所含会划左右桨的人数分类：①6人中有0人会划左右桨，则只有C 33⋅C 33=1种方法； ②6人中有1人会划左右桨，则有C 21⋅2C 32⋅C 33=12种方法；③6人中有2人会划左右桨，则有2C 31⋅C 33+A 22⋅C 32⋅C 32=24种方法；故共有1+12+24＝37种方法．故选：C ．7．若函数f （x ）＝e x ﹣a ﹣xlnx +（1﹣a ）x 在（0，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣1]C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，2]解：因为函数f （x ）＝e x ﹣a ﹣xlnx +（1﹣a ）x 在（0，+∞）上是增函数，所以f ′（x ）＝e x ﹣a ﹣lnx ﹣a ≥0恒成立，所以e x ﹣a +x ﹣a ≥x +lnx ＝e lnx +lnx 恒成立，因为函数y ＝e x +x 为增函数，所以x ﹣a ≥lnx ，所以a ≤x ﹣lnx ，令g （x ）＝x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝1−1x =x−1x ，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）min ＝g （1）＝1，所以a ≤1，即实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C ．8．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f '（x ），f '（x ）+f （x ）ln 2＜0，则下列不等关系成立的是（） A ．2f （1）＞f （0） B ．f （1）＜2f （2） C ．5f （log 25）＜4f （2）D ．3f （log 23）＞2f （1）解：设h （x ）＝2x f （x ），则h ′（x ）＝2x f ′（x ）+2x f （x ）ln 2＝2x [f ′（x ）+f （x ）ln 2]，又f ′（x ）+f （x ）ln 2＜0，2x ＞0，所以h ′（x ）＜0，所以h （x ）在R 上单调递减，因为1＞0，所以h （1）＜h （0），即2f （1）＜f （0），故A 错误；因为2＞1，所以h （2）＜h （1），即4f （2）＜2f （1），即2f （2）＜f （1），故B 错误；因为log 25＞2，所以h （log 25）＜h （2），即5f （log 25）＜4f （2），故C 正确；因为log 23＞1，所以h （log 23）＜h （1），得3f （log 23）＜2f （1），故D 错误．故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1＞1，a 6a 7＞1，a 6−1a 7−1＜0，则下列结论正确的是（） A ．0＜q ＜1 B ．a 6a 8＞1 C ．T n 的最大值为T 6D ．T 13＜1解：①若q ＜0，∵a 1＞1，则a 6＜0，a 7＞0，∴a 6a 7＜0与a 6a 7＞1矛盾， ②若q ≥1，∵a 1＞1，则a 6＞1，a 7＞1，∴a 6−1a 7−1＞0与a 6−1a 7−1＜0矛盾，∴0＜q ＜1，故A 正确， ∵a 6−1a 7−1＜0，则a 6＞1，0＜a 7＜1，∴a 6a 8=a 72＜1，故B 错误，∵a 6＞1，0＜a 7＜1，∴T n 的最大值为T 6，故C 正确， ∵T 13＝a 1a 2…a 13=a 713＜1，故D 正确．故选：ACD ．10．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A 、B 、C 三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（） A ．共有18种安排方法B ．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法C ．若A 社区需要两名志愿者，则有12种安排方法D ．若甲被安排在A 社区，则有12种安排方法解：对于A ：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：C 42A 33=36，A 错误；对于B ：甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：C 31A 22=6，B 正确；对于C ：A 社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为C 42A 22=12，C 正确；对于D ：甲安排在A 社区，分为两种情况，第一种为A 社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A 社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有C 31A 22=6种；第二种是A 社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有C 32A 22=6种；所以一共有安排方法为6+6＝12，D 正确．故选：BCD ．11．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n+1={2a n ，n 是奇数1a n，n 是偶数，则下列说法正确的有（）A ．a 3=12 B ．{a n }是周期数列 C ．a 2022＝2 D ．S 18＝20解：由a 1＝1，a n+1={2a n ，n 是奇数1an，n 是偶数，可依次求得a 2＝2×1＝2，a 3=12，a 4＝2×12=1，a 5＝2×1＝1，a 6＝2，…，可知该数列以4为周期，所以B 对；因为a 3=12，所以A 对；因为a 2022＝a 505×4+2＝a 2＝2，所以C 对；因为S 18＝4（1+2+12+1）+1+2＝21，所以D 错．故选：ABC ．12．已知f （x ）＝x 2+xlnx +2，g （x ）＝f （x ）﹣ex ，则（） A ．函数f （x ）在[14，1]上的最大值为3 B ．∀x ＞0，f(x)＞2716C ．函数g （x ）的极值点有2个D ．函数g （x ）存在唯一零点x ∈（3，4）解：f '（x ）＝2x +lnx +1，g '（x ）＝2x +lnx +1﹣e ，对于A：令h（x）＝f'（x）＝2x+lnx+1（x＞0），则ℎ′(x)=2+1x＞0恒成立，所以f′（x）在[14，1]上单调递增，即f′(x)≥f′(14)=32−ln4=3−ln162＞0，所以f（x）在[14，1]上单调递增，则f（x）max＝f（1）＝3，故A正确；对于B：由选项A得h（x）＝2x+lnx+1（x＞0），则ℎ′(x)=2+1x＞0恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又ℎ(14)＞0，ℎ(1e2)=2e2−1＜0，所以∃x0∈(1e2，14)，使得h（x0）＝0，即2x0+lnx0+1＝0，当x0∈(1e2，x0)时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在(1e2，x0)上单调递减，当x0∈(x0，14)时，即f'（x）＞0，所以f（x）在(x0，14)上单调递增，所以当x＝x0时，f（x）取得极小值也是最小值，f(x0)=x02+x0lnx0+2=x02+x0(−2x0−1)+2=−(x0+12)2+94，其中x0∈(1e2，14)，所以f(x0)＞f(14)=2716，故B正确；对于C：若函数有2个极值点，则g'（x）＝0有两个实数根，设m（x）＝g'（x）＝2x+lnx+1﹣e（x＞0），则m′(x)=2+1x(x＞0)，因为当x＞0时，m′(x)=2+1x＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递增，即g'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）＝0在（0，+∞）至多有1个实数根，故C错误；对于D：由选项C可知，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g'（3）＝7+ln3﹣e＞0，所以g（x）在（3，4）上单调递增，又因为g（3）＝11+3ln3﹣3e＞0，所以当x∈（3，4）时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（3，4）上没有零点，故D错误，故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y＝sin3x+cos3x的导数为3cos3x﹣3cos2x sin x．解：因为y＝sin3x+cos3x，则y'＝3cos3x﹣3cos2x sin x．故答案为：3cos3x﹣3cos2x sin x．14．体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是：240．（用数字作答）解：两女生看成一个元素与其它四名男生全排列，所以不同排法的种数是A22⋅A55=240．故答案为：240．15．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1＝﹣2，a2022＝8，则这个数列的前2021项的和为6058．解：设等和数列的公和为m，∵a1＝﹣2，∴a2＝m+2，a3＝﹣2，a4＝m+2，a5＝﹣2，…，∴a n={−2，n为奇数m+2，n为偶数，又a2022＝m+2＝8，则m＝6，∴S2021＝（a1+a2）+（a3+a4）+⋯+a2021＝1010×6﹣2＝6058．故答案为：6058．16．若x1，x2是函数f(x)=12ax2−e x+1(a∈R)的两个极值点，且x2x1≥2，则实数a的取值范围为[2ln2，+∞)．解：∵f'（x）＝ax﹣e x，x1，x2是f（x）的两个极值点，∴x1，x2是ax﹣e x＝0的两根，又当x＝0时，方程不成立，∴y＝a与y=e xx有两个不同的交点；令g(x)=e xx，则g′(x)=(x−1)e xx2，∴当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，g'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则g（x）图象如图所示，由图象可知：0＜x 1＜1＜x 2且a ＞e ；∵x 2x 1≥2，∴x 2≥2x 1；当x 2＝2x 1时，不妨令x 2＝2x 1＝t ，则e t t=e t2t 2，即e t =2e t2，∴e t2=2，解得：t ＝2ln 2，∴当x 2＝2x 1时，g(x 1)=g(x 2)=e 2ln22ln2=2ln2，∴若x 2x 1≥2，则a ≥2ln2，即a 的取值范围为[2ln2，+∞)．故答案为：[2ln2，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若数列{1a n}是等差数列，则称数列{a n }为调和数列．若实数a 、b 、c 依次成调和数列，则称b 是a 和c 的调和中项．（1）求13和1的调和中项；（2）已知调和数列{a n }，a 1＝6，a 4＝2，求{a n }的通项公式．解：设13和1的调和中项为b ，依题意得：3、1b、1依次成等差数列，所以1b=3+12=2，即b =12；（2）依题意，{1a n}是等差数列，设其公差为d ，3d =12−16⇒d =19，所以1a n=1a 1+(n −1)d =16+(n −1)19=2n+118，故a n =182n+1． 18．（12分）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若数列{c n }满足c n =4a n a n+1+b n ，求{c n }的前n 项和T n ．解：（1）设公差为d ，公比为q ，则由题可得数列{a n }的前3项的和3a 1+3×22d =3a 1+3d =12，因为d ＝2，所以a 1＝2，所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，又b 1=3，b 3−b 2=b 1q 2−b 1q =18，所以q 2﹣q ﹣6＝0，解得q ＝3或q ＝﹣2（舍），所以b n =3×3n−1=3n ；（2）由（1）可知c n=4a n a n+1+b n=42n⋅2(n+1)+3n=1n⋅(n+1)+3n=1n−1n+1+3n，所以{c n}的前n项和T n为：T n＝c1+c2+c3+⋯+c n﹣1+c n=(1−12)+(12−13)+(13−14)⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)+3(1−3n)1−3=1−1n+1+3n+1−32=nn+1+3n+1−32．所以T n=nn+1+3n+1−32．19．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（1）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）若过点P（1，t）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值范围．解：（1）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3．令f′（x）＝0，得x=−√22或x=√22．因为f（﹣2）＝﹣10，f（−√22）=√2，f（√22）=−√2，f（1）＝﹣1，所以f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为f（−√22）=√2．（2）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝2x03−3x0，且切线斜率为k＝6x02−3，所以切线方程为y﹣y0＝（6x02−3）（x﹣x0），因此t﹣y0＝（6x02−3）（1﹣x0），整理得4x03−6x02+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切”等价于“g（x）有1个零点”．g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），g（x）与g′（x）的情况如下：所以g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值，当g（1）＝t+1＞0或g（0）＝t+3＜0，即t＞﹣1或t＜﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，﹣3）和（﹣1，+∞）上分别有1个零点，综上可知，当过点P（1，t）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，当n ≥2时，S n 2=a n S n ﹣a n ．（1）证明：{1S n}是等差数列并求{S n }通项公式；（2）设数列{2nS n}的前n 项和为T n ，若λT n ≤（n 2+9）•2n 恒成立，求λ的取值范围．解：（1）证明：当n ≥2时，S n 2=a n S n −a n ， ∴当n ≥3时，S n 2=(S n −S n−1)S n −(S n −S n−1)，整理得S n S n ﹣1＝S n ﹣1﹣S n ，即1S n−1S n−1=1，当n ＝2时，(12+a 2)2=a 2（12+a 2）﹣a 2，解得a 2=−16，∴1S 2−1S 1=1，当n ＝2时，上式也成立，∴数列{1S n}是首项为1S 1=1a 1=2，公差为1的等差数列，∴1S n=n +1，即S n =1n+1；（2）由（1）得2n S n=(n +1)⋅2n ，∴T n ＝2×2+3×22+…+（n +1）•2n ①，∴2T n ＝2×22+3×23+…+n •2n +（n +1）•2n +1②，由①﹣②得﹣T n ＝2×2+（22+23…+2n ）﹣（n +1）•2n +1＝2+2×(2n−1)2−1−（n +1）•2n +1，∴T n =n ⋅2n+1，λT n ≤(n 2+9)⋅2n恒成立，即λn •2n +1≤（n 2+9）•2n，即λ≤(n 2+9)2n =n 2+92n，又n 2+92n≥2√n 2⋅92n=3，当且仅当n ＝3时，等号成立，∴λ≤3，∴λ的取值范围为（﹣∞，3]．21．（12分）已知函数f （x ）＝xe x +x ，g （x ）＝2x +lnx +m ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由已知可得，函数f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），且f ′（x ）＝e x +xe x +1，可得f ″（x ）＝e x （x +2），令e x （x +2）＝0，可得x ＝﹣2，此时x ＜﹣2，f ″（x ）＜0，x ＞﹣2时，f ″（x ）＞0，所以f ′（x ）的最小值为f ′（﹣2）＝e ﹣2﹣2e ﹣2+1＝1﹣e ﹣2＞0，即f '（x ）＞0，所以f （x ）在R 上是增函数，所以函数的单调增区间为R ．（2）函数f （x ）＝xe x +x ，g （x ）＝2x +lnx +m ，f （x ）﹣g （x ）＝﹣lnx ﹣x +xe x ﹣m ，x ∈（0，+∞），设h （x ）＝﹣lnx ﹣x +xe x ﹣m ，则h ′（x ）=−1x −1+（x +1）e x ＝﹣（x +1）（1x−e x ），令t （x ）=1x −e x ，x ∈（0，+∞），则t ′（x ）=−1x2−e x ＜0对任意x ∈（0，+∞）恒成立，所以t （x ）在（0，+∞）上单调递减．又t （12）＝2−√e ＞0，t （1）＝1﹣e ＜0，所以∃x 0∈（12，1），使得t （x 0）=1x 0−e x 0=0，即1x 0=e x 0，即﹣lnx 0＝x 0．因此，当0＜x ＜x 0时，t （x ）＞0，即h '（x ）＜0，则h （x ）单调递减；当x ＞x 0时，t （x ）＜0，即h '（x ）＞0，则h （x ）单调递增，故h （x ）min ＝h （x 0）＝﹣lnx 0﹣x 0+x 0e x 0−m ＝0+1﹣m ≥0，解得m ≤1，所以当m ≤1时，f （x ）≤g （x ）恒成立，即实数m 的取值范围是（﹣∞，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣a ）lnx +1x+2ax ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ∈（﹣8，﹣2）时，若存在x 1，x 2∈[1，2]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|＞（m +ln 2）a ﹣2ln 2+12ln(−a)恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）已知f （x ）＝（2﹣a ）lnx +1x+2ax ，函数定义域为（0，+∞），可得f ′（x ）=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2，当a ≥0时，ax +1＞0，令f ′（x ）＝0，解得x =12，当x ∈(0，12)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(12，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当a ＜0时，令f ′（x ）＝0 解得x =12或x =−1a ，若a ＝﹣2，此时则f ′（x ）≤0对x ∈（0，+∞）恒成立，所以f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减：若﹣2＜a ＜0，此时12＜−1a，当x ∈(0，12)时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（0，12）上单调递减；当x ∈（12，−1a ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（12，−1a ）上单调递增；当x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（−1a，+∞）上单调递减，若a ＜﹣2，此时12＞−1a，当x ∈（0，−1a ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（0，−1a）上单调递减；当x ∈（−1a ，12）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（−1a ，12）上单调递增；当x ∈(12，+∞)时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间 (12，+∞) 上单调递减，综上：当a ≥2时，f （x ）在(0，12) 上单调递减，f （x ）在 (12，+∞) 上单增；当a ＝﹣2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；若﹣2＜a ＜0，f （x ）在区间（0，12）上单调递减；在区间（12，−1a ）上单调递增；在区间（−1a ，+∞）上单调递减，若a ＜﹣2，f （x ）在区间（0，−1a）上单调递减；在区间（−1a，12）上单调递增；在区间 (12，+∞) 上单调递减；（2）因为a ∈（﹣8，﹣2），所以−1a∈（18，12），此时f （x ）在区间[1，2]上单调递减，所以f （x ）≤f （1）＝1+2a ，f （x ）≥f （2）＝（2﹣a ）ln 2+12+4a ，此时|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＝f （1）﹣f （2）=12+（a ﹣2）ln 2+12ln （﹣a ），即m ＞1−ln(−a)2a−2对a ∈（﹣8，﹣2）恒成立，不妨设φ(a)=1−ln(−a)2a−2，函数定义域为（﹣8，﹣2），可得φ′(a)=ln(−a)−22a2，令φ'（a）＝0，解得a＝﹣e2，当a∈（﹣8，﹣e2）时，φ'（a）＞0，φ（a）单调递增；当a∈（﹣e2，﹣2）时，φ'（a）＜0，φ（a）单调递减，所以φ(a)max=φ(−e2)=12e2−2，即m∈(12e2−2，+∞)．。

辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

沈阳铁路实验中学2019-2020学年度下学期第二次月考数学试卷命题人：校对人 : 时间：120分钟一．选择题（每题只有一个选项正确，每题5分） 1.函数1y x x=+的导数是（） A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种3．2101()x x+的展开式中含5x 项的系数为（） A ．160B ．210C ．120D ．2524. 设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b 时，有( ) A ．f(x)>g(x) B ．f(x)<g(x)C ．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D ．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)5．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（）A ．9-B ．5-C ．7D ．86.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（） A ．6 B ．6-C ．24D ．24-7.已知函数()2ln 38,f x x x =+则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为（）A ．-20B ．-10C ．10D ．208．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（） A ．36B ．48C ．72D ．1089已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++ =( )A ．405B ．810C ．324D ． 64810如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（）A ．5 4B ．50C ．60D ．5811.设函数,则（）A.有极大值且为最大值 B.有极小值，但无最小值C.若方程恰有3个实根，则D.若方程恰有一个实根，则12. 设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是 A ．()f x 在(0,)+∞即有极大值又有极小值 B ．()f x 在(0,)+∞既无极大值又无极小值 C ．()f x 在(0,)+∞上有极大值 D ．()f x 在(0,)+∞上有极小值二．填空题（每题5分）13. 10个相同的小球放在三个编号为1,2,3的盒中，每盒至少1个，有种方法？ 14．函数在处的切线方程为______15.已知函数,若∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 1）≥g （x 2）恒成立，则实数a 的取值范围为__________16.若0<x 1<x 2<1,且1<x 3<x 4，下列命题正确的有①3443ln ln x x e e x x ->- ② 2121ln ln x x e e x x ->- ③.3232x x x e x e < ④ 1221x x x e x e >三．解答题17.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？18．二项式n 的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否含有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.19. 设函数xe x xf 221)(=．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．20已知函数f(x)＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围.21. 已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；22. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）当0a <时，求()f x 的单调区间；（3）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能，请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由．答案1.A2. B方法数有1143C C 12=种.故选B.3．D()102203110101rrrr rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当=5r 时，555610252T C x x ==. 4.C 5．AQ ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- Q 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.Q 4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C x x --⋅⋅=-- Q 42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=--∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -6．B61(1)x x +-的展开式的通项为6161()(1)rr r r T C x x -+=⋅+⋅-． 61()r x x -+的展开式的通项为6161()s r s s s r T C x x--+-=⋅⋅=626s r s r C x ---⋅．由6﹣r ﹣2s=5，得r+2s=1， ∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴在61(1)x x+-的展开式中，含x 5项的系数为10656C C -⋅=-． 7.A 8．C当面SAB 与面SDC 同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有2种方法，即4321248⨯⨯⨯⨯=种当面SAB 与面SDC 不同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有1种方法，即4321124⨯⨯⨯⨯=种即不同的染色方法总数为482472+=种 9．B 10． A利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，（2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 11.C12 B 试题分析：由2'()()ln x f x xf x x +=，得ln '()()x xf x f x x +=，从而ln [()]'xxf x x=，令()()g x xf x =，则()()g x f x x =，∴22'()()ln ()'()xg x g x x g x f x x x --==，令()ln ()h x x g x =-，则11ln 1ln '()'()x xh x g x x x x x-=-=-=（0x >），令'()0h x >，即1ln 0x ->，因此当0x e <<时，()h x 是增函数，令'()0h x <，即1ln 0x -<，因此当x e >时，()h x 是减函数，由1()f e e=，得()()1g e ef e ==， ∴()h x 在(0,)+∞上有极大值()ln ()110h e e g e =-=-=，也是最大值． ∴()0h x ≤，即'()0f x ≤，当且仅当x e =时，'()0f x =， ∴()f x 在(0,)+∞上为减函数． 13. 36 14.15. 1-1-≤ea16. (1),(4)17. 解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有4424A =不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法．18因为二项式n的二项式系数和为256，所以2256n=，解得8n =.（1）∵8n =，则展开式的通项818rrr T C-+=⋅ 823812r rrC x --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭. ∴二项式系数最大的项为445813528T C ⎛⎫=-=⎪⎝⎭；（2）令二项式中的1x =，则二项展开式中各项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1,4,7r =时为有理项；系数分别为118142C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811216C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.19.【解】（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x ， …2分令0)2(>+x x e x，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+，………4分令0)2(<+x x e x，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(-．………………………………………………6分（2）因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，又由（1）知，2-=x ，0=x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点， ………8分 ∵22)2(ef =-，22)2(e f =，0)0(=f ， ∴]2,0[)(2e xf ∈， ……………………………………………………………11分 ∴22e m >． …………20. 【解析】(1)当a ＝2时，f(x)＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f′(x)＝3x 2－12x ＋3 ＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2－2．当x ＜2x ＞2时，得f′(x)＞0；当2＜x ＜2时，得f′(x)＜0.因此f(x)的递增区间是(－∞，2与(2，＋∞)；f(x)的递减区间是(2，2． (2)f′(x)＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫⎪⎝⎭.综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．22解析：（1）()f x 其定义域为(0,)+∞．当0a =时，令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '<；当1x>时，()0f x '>．所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞．所以1x =时，()f x 有极小值为(1)1f =，无极大值．（2 令()0f x '=，得当10a -<<时，得01x <<或令()0f x '>，当1a =-时，当1a <-时，令()0f x '<，或1x >，令()0f x '>，综上所述：当10a -<<时，()f x 的单调递减区间是当1a =-时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当1a <-时，（3）0a ≥时，∵∴()0(0)f x x '=>仅有1解，方程()0f x =至多有两个不同的解．（注：也可用min ()(1)10f x f a ==+>说明．）由（2）知10a -<<时，极小值(1)10f a =+>，方程()0f x =至多在区间1个解；1a =-时()f x 单调，方程()0f x =至多有1个解；1a <-时，，方程()0f x =仅在区间1个解．故方程()0f x =的根的个数不能达到3．。

2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期第一次月考数学试卷

辽宁省实验中学2021－2022学年度上学期月考试卷高一数学(B)考试时间：120分钟满分：150分范围：必修一：第一章，第二章一.选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个正确答案) 1.已知集合M ＝{x|x<1或x>4}，N ＝[－1，＋∞)，则M ∩N 等于A.(－∞，＋∞)B.(－1，1)∪(4，＋∞)C.∅D.[－1，1)∪(4，＋∞)2.若x ，y 满足－4π<x<y<4π，则x －y 的取值范围是 A.(2π-，0) B.(2π-，2π) C.(4π-，0) D.(4π-，4π)3.已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x}，则集合A ∩B 中元素的个数为 A.3 B.2 C.1 D.04.设x ∈R ，则x>2的一个必要而不充分条件是 A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<35.“x<1”是“x 2－2x －3<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 6.已知x ∈R ，M ＝2x 2－1，N ＝4x －6，则M ，N 的大小关系是 A.M>N B.M<N C.M ＝N D.不能确定7关于x 的不等式(ax －b)(x ＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b>0的解集为A.(－0，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)8.《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当。

问上、下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为x 升和y 升，则可列方程组为 A.6x 1810y 15y 55x +=⎧⎨+=⎩ B.6x 1810y 15y 55x -=⎧⎨-=⎩ C.6x 1815y 15y 55x -=⎧⎨-=⎩ D.6x 1815y15y 55x +=⎧⎨+=⎩二、多项选择题(本大题共4小题，共20分：全选对5分，有选错的0分，部分答对2分) 9.已知a ，b ，c ，d 均为实数，下列不等关系推导不成立的是 A.若a>b ，c<d ，则a ＋c>b ＋d B.若a>b ，c>d ，则ac>bdC.若bc －ad>0，c da b->0，则ab<0 D.若a>b>0，c>d>0a b d c >10.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。