高中数学高考题详细分类考点4 函数及其表示

考点4 函数及其表示
一、选择题
1. （2013·辽宁高考文科·Ｔ7）已知函数()3)1f x x =+，则
1
(lg 2)(lg )2f f +=（ ）
.
1
.
.
1
.
2A B C D -
【解题指南】准确理解函数概念和性质，熟悉对数的运算性质 【解析】选D. 11lg 2lg lg(2)lg102
2
+=⨯==，
()()3)13()]1f x f x x x +-=-++-+
3)3)2x x =++
ln 33)2x x ⎡⎤=+⎣⎦
2ln (3)2x ⎡⎤=-+⎣⎦
ln122=+=
2.（2013·江西高考理科·Ｔ2）函数y x)=-的定义域为（ ） A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
【解题指南】二次根式的被开方数大于或等于零，对数的真数大于零. 【解析】选B.要使函数有意义，则x 0
1x 0
≥⎧⎨->⎩，解得0x 1≤<.故函数的定义域为
[0,1).
3.(2013·福建高考理科·T10) 设S,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y=f(x)满足:(1) {}S x x f T ∈=)(,(2)对任意x 1,x 2∈S,当x 1<x 2时,恒有f(x 1)<f(x 2),那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是 ( ) A.A=N *,B=N
B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或
C. {}R B x x A =<<=,10
D.A=Z ,B=Q
【解析】选D.对于A,取f(x)=x -1;对于B,取8,1,()5(1),13;2
-=-⎧⎪
=⎨+-<≤⎪⎩x f x x x 对于C,
取()tan()2
f x x π
π=-;对于D,假设存在f(x)满足要求,且y 1=f(x 1),y 2=f(x 2),
因为x 1<x 2,有f(x 1)<f(x 2),即y 1<y 2, [x 1,x 2]包含于Z,[y 1,y 2]包含于Q, 不妨取x 1=1,x 2=2,[1,2]只有两个元素,而[y 1,y 2]中有无数多个有理数.不符合函数的定义.
4.（2013·陕西高考理科·Ｔ10） 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有( ) A.[－x ] ＝ －[x ] B. [2x ] ＝ 2[x ] C.[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D. [x －y ]≤[x ]－[y ]
【解题指南】根据本题的特点，可选择代值法逐一验证. 【解析】选D.对A,设x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以A 选项错. 对B,设x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以B 选项错. 对C,设x=y=1.8,[x+y]=[3.6]=3, [x]+[y]=2,所以C 选项错.
5.（2013·陕西高考文科·Ｔ10）设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x ,有( ) A .[－x ]=－[x ] B. [x + 12
]=[x ]
C. [2x ]=2[x ]
D. 1[][][2]2
x x x ++=
【解题指南】根据本题的特点，可选择代值法逐一验证.
【解析】选D.对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项
错误;对B, 设x = 1.8, 则[x+2
1] = 2, [x] = 1, 所以B 选项错误; 对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C 选项错误;故D 选项正确.
6.（2013·天津高考理科·Ｔ8）已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式
()()
f x a f x +< 的解集为A , 若
11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦
, 则实数a 的取值范围是
（ ）
A. ⎫⎪⎪⎝⎭
B. ⎫⎪⎪⎝⎭
C. ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭
D. ⎛- ⎝⎭
∞ 【解题指南】将原函数转化为分段函数脱去绝对值号，再分情况讨论求解. 【解析】选A. 因为
22
,0
()(1||),
⎧+≥=+=⎨-<⎩x ax x f x x a x x ax x ，当a ≥0时,函数f(x)是增
函数,由于x+a ≥x,所以不等式f(x+a)<f(x)无解,即a ≥0时无意义;当a<0时,若x<0,由f(x+a)<f(x)得x+a-a(x+a)2
<x-ax 2
,解得2
12->
a x a
.又因为函数
f(x)是奇函数,不等式f(x+a)<f(x)的解集
2211,22⎛⎫--=- ⎪⎝⎭a a A a
a ，由11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦得，211
22
-<-a a
，解得0.<<a 7.（2013·重庆高考文科·Ｔ3）函数21
log (2)
y x =
-的定义域为 ( )
A.(,2)-∞
B.(2,)+∞
C.(2,3)(3,)+∞
D.(2,4)(4,)+∞ 【解题指南】直接利用分母不为零和真数大于零来求解函数的定义域.
【解析】选C.要使函数有意义,需满足⎩⎨⎧≠->-0)2(log 0
22
x x 解得2>x 且3≠x ,故选
C.
8.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ4）已知函数f(x)的定义域为(-1,0),
则函数f(2x+1)的定义域为 ( )
A.()1,1-
B.)2
1,1(-- C.()-1,0 D.1
,12⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【解题指南】利用换元，由)(x f 的定义域得2x +1的取值范围，可得所求的解。

【解析】选 B.令12+=x u ，由)(x f 的定义域为)0,1(-可知01<<-u ，即
0121<+<-x ，得2
1
1-<<-x .
二、填空题
9.(2013·浙江高考文科·T11)已知函数f(x)= x-1,若f(a )=3,则实数a= .
【解题指南】
根据函数的定义可知3=. 【解析】
由题意可得3=,所以a=10. 【答案】10
10.（2013·福建高考文科·Ｔ13）
已知函数()32,0,
4tan ,0,
2
x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫
⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .
【解题指南】看清分段标准，小心代入计算． 【解析】()tan
14
4
f ππ
=-=-，则 (())(1)24f f f π
=-=-
【答案】-2．
11.(2013·福建高考文科·T16)设S,T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数y=f(x)满足: (1) {}()T f x x S =∈,
(2)对任意x 1,x 2∈S,当x 1<x 2时,恒有f(x 1)<f(x 2),那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下3对集合:
①,;A N B N *==
②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤ ③{}01,.A x x B R =<<=
其中,“保序同构”的集合对的序号是 .(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
【解析】对于①,取f(x)=x+1，是“保序同构”;对于②,取9
7(),2
2
f x x =-是“保序同构”；对于③,取()tan()2
f x x π
π=-，是“保序同构”
【答案】①②③
12.（2013·安徽考文科高·Ｔ14）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+1）=2f （x ）.若当0≤x ≤1时，f （x ）=x （1-x ），则当-1≤x ≤0时，f （x ）
【解题指南】将-1≤x ≤0变化到0≤x ≤1代入f （x ）=x （1-x ）并化简。

【解析】当10x ，则011x ，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x
又(1)2()f x f x ，所以(1)
()2
x x f x 。

【答案】
(1)
2
x x。