抛物型方程差分法
抛物型方程的差分格式
a umn 1 umn 1 2h
a
umn 1
2umn h2
umn 1
抛物型方程的古典显格式
整理得方程(2.38)的显式格式(2.39)
U n1 m
(1
2ra)U
n m
r
(a
1 2
ha)U
n m1
r
(a
1 2
ha)U
n m1
截断误差为 O(k h2 ).
tn x
抛物型方程的古典显格式
三、算子
Dx
x
为 x 方向偏导数算子
Tx为 x 方向位移算子
Txumn umn 1, Tx1umn umn 1
μ x 为 x 方向平均算子
xu
n m
1 2
un
m
1 2
un
m
1 2
抛物型方程的古典显格式
x 方向差分算子
边界条件为 u(0,t) 1(t) 0, 0 t 0.20 u(1,t) 2(t) 0, 0 t 0.20
取步长⊿x = h = 0.2 , ⊿t = k = 0.02 。
抛物型方程的古典显格式
解 r = k / h2 = 0.02 / 0.22 = 0.5, 古典显式格式为
n m
umn
h
h 2!
2u x2
n
m
h2 3!
3u x3
n
m
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
抛物方程的有限差分法
抛物方程的有限差分法作者：李娜来源：《科技视界》2014年第32期【摘要】抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，其中差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要方法。
本文主要介绍有限元方法中的向前差分法，首先简单介绍向前差分法，给出稳定性和收敛性的概念，然后以一维热传导方程为例进行求解，同时给出收敛性和稳定性分析，并利用Matlab软件做出了误差分析图。
【关键词】抛物方程;有限元方法;向前差分法;误差分析0 引言由于抛物型方程与时间t有关，称为非驻定问题。
非驻定问题可用差分法，也可用有限元法求解。
热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
热传导在三维等方向均匀介质里的传播可用方程式u■=kΔu表示，其中u■=u （t，x，y，z）表示温度，它是时间变量t与空间变量（x，y，z）的函数，■是空间中一点的温度对时间的变化率，uxx、uyy和uzz是温度对三个空间坐标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
求解方程时，如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一解，必须假定解的增长速度有一个指数型的上界，并且此假定与实验结果相吻合。
1 本文研究的方程本文主要研究一维热传导方程的有限差分解法，下面给出了各向同性介质中无热源的一维热传导方程及初始条件：■=a（x，t）■a>0 0<x<1，0<t<Tux，0=？覫x=sin（πx） 0<x<1u0，t=u（1，t）=0 0≤t≤T （1）在此，本文利用有限元方法中的向前差分法求解偏微分方程式（1），首先需要建立差分格式，而在建立差分格式时通常取空间步长和时间步长为常量。
下面介绍向前差分的概念以及如何利用该方法对其进行收敛性、精确性和稳定性分析。
1.1 向前差分格式有限差分法和有限元方法是求解偏微分方程的两种主要的数值方法。
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
抛物方程的有限差分法
图1
,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []
k j
=u (x j ,t k )。
建立差分格式
j =1, (1)
-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的
一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:
-u k j =u k j+1-2u k j +u k
j-1
h
2
变形有:
(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。
【参考文献】
[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:
图2
真解与数值解的误差剖分图如图3:
图3
3数值实验及结果分析
我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当
u 0
(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )
从表中我们可以看出。
. All Rights Reserved.。
抛物型方程差分方法
偏微分方程数值解复习提纲一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.二.基本概念:(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳定性、网格的P`e clet数;(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.三.基本方法与技巧:(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；(3)修正方程分析、能量法分析；(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.四.基本格式:(1)二维Poisson方程的五点差分格式;(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；(3)具有热守恒性质的格式；(4)ADI格式与LOD格式；(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroff格式、盒式格式和蛙跳格式；(6)守恒型格式、有限体积格式；(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.五.基本定理与结论:(1)最大值原理,比较定理;(2)Lax等价定理;(3)CFL条件、von Neumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;(4)Lax-Milgram引理、C´e a引理、第一和第二Strang引理；(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.。
抛物型方程的差分方法
2) 逆风差分格式
1 un un j j
a
n un j u j 1
§5 抛物型方程的差分方法
本章內容: 1． 常系数抛物型方程的初值问题 2．初边值问题 3．对流扩散方程 4．Richardson外推法 ^^数值实验4（网格比的重要性） ^^数值实验5 (Richardson 外推的精度) 5．变系数方程 6．二维抛物型方程问题的计算
1． 常系数抛物型方程初值问题
1 2
返回本节
c. 三层显式关系 Richardson格式 n n 1 1 un un un j j j 1 2u j u j 1 a 0 h2 2 Du Fort－Frankel格式
1 1 un un j j
2
a
n 1 1 n un un j 1 (u j j ) u j 1
目标点：Jh 1, x j jh, N T , ( x j , t n )
1 n n un un un j j j 1 2u j u j 1 内部点的离散： a 0 h2
边值点的离散： u0 ( n ), u J (n )
n n
初值点的离散： u j f (x j ) f j
1 4(1 )a sin 2 1 4a sin 2 kh 2
kh 2
3
G ( , k ) 1 1 G ( , k ) 1 4a (1 2 )sin 2 2a (1 2 ) 1 kh 2 2 0 1 2
实验六 抛物型方程差分解法
1
五、实验结果 利用最简单显格式 求得结果为：当 h=0.1，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 5 , 0 . 05 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
当 h=0.2，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
r *u
k j 1
(1 2 r ) * u
k j
r *u
k j 1
2）编写程序，实现相应的算法，解出具体结果。 利用边界条件，程序同样最终转化为设计求解一个线性代数方程组的问题， 下面用 C 语言编写利用最简显格式来求解抛物型方程： 求解线性方程组的源代码。 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> main() { int i,j; double a[11][101]; for(i=0;i<=10;i++)
u t u
2
x
2
;
0 x 1的
微分方程数值解实验讲义 a[i][0]=sin(0.314159*i); for(j=0;j<=100;j++) { a[0][j]=0; a[10][j]=0; } for(j=1;j<=100;j++) for(i=1;i<=9;i++) a[i][j]=0.1*a[i+1][j-1]+0.8*a[i][j-1]+0.1*a[i-1][j-1]; printf("%lf &#算结果分析 利用向前差分格式求解初值问题的解程序设计比较简单，在程序设计时，向 前差分格式的源代码也比较简单。当步长取得比较小的情况下，能够达到精度的 要求，但是当步长变小时候计算量增大。
2.2 抛物型方程的差分解法
u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j
（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2
1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2
u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
第四章 抛物型方程的有限差分方法
2 h 称为Du Fort -Frankel格式，仍为三层显式格式．
2
a
n 1 n 1 n un ( u u ) u j 1 j j j 1
0
截断误差： T x j , tn a u x j , tn u x j , tn 2 u x j h, tn u x j , tn u x j , tn u x j h, tn h2
1 2a G , k 0
0 4a cos kh 1 2a 1 1 0 4a cos kh 1 2a 1 2a 1 2a 0 1
2
1
4a cos kh 2a 1 G , k 的特征方程： 0 1 2a 1 2a
修正 Richardson：无条件不稳定显格式
Du Fort Frankel：无条件稳定的三层显格式． 但后者的相容性是有条件的．事实上， 显格式中，无条件相容和无条件稳定是无法同时成立的．
4 三层隐式格式
先考虑
n 1 n u u 3 j j n n 1 u u 1 j j 1 n1 n1 un 2 u u j 1 j j 1
引理1.1实系数二次方程 2 b c 0的根： c 1． 模 1 b 1 c， " "设1 , 2是方程两根，且 i 1 i 1, 2 证： c b 则12 c1 2 b a a 12 c c 1 2 1 1 2 b 1 c b 1 12 1 2 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若 1 2 0 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若1 2 0 b 1 c
抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) )(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。
)(x f 是给定的连续函数。
（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τk y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。
注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）：可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。
抛物型方程的差分方法
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2,
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 (x,t) | 0 x 1,0 t T
，则网格是
tn nk xm mh
n
0,1,2,
,
N;
N
T k
m 0,1,2, , M ; Mh 1
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础
为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域用二组平行于t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h,k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
4x
umn
2 x
3 x
11 12
3x
umn
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
umn
(2.19.1)
(2.19.2)
(2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
h3
(
3u x3
)nm
3x 3x
3 2
4x
3 2
4 x
7 4 7 4
5x
5 x
umn umn
(2.20.1) (2.20.2)
)U
n m
代入
2 x
的表达式，则得差分方程
(2.28)
古典显式差分格式
U
n1 m
rU
3-抛物型方程的差分方法
，则退化为古典隐式格式；
(3)取 1/ 2 ，则退化为Crank-Nicholson六点格式
为了提高对时间的截断误差，可用中心差分
u
n 1 j
u
n 1 j
2
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
Richardson格式，它是二阶精度的三层显式格式。 通过将其化为等价的二层差分格式，可给出其增 长矩阵为
n u1n u1n 1 au0 n n 1 u2 0 u2 n n 1 u u 0 3 3 n n 1 a u N 2 u N 2 u n u n 1 au n 1 2a N 1 N 1 N
u 2u 0 x 1, t 0 t a x 2 , u ( x, 0) ( x), 0 x 1 u / x u t0 x0 g1 (t ), t0 u / x u x 1 g 2 (t ),
古典显式格式
u
截断误差是 增长因子是
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
T O( h2 )
kh G( , k ) 1 4a sin 2 其中网格比 / h2
2
稳定性条件是
1 a 2
古典隐式格式
n 1 un u j j
0
a 0 0
a 0
如用Crank-Nicholson六点格式 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 a u (1 a ) u a u u a ( u 2 u u j 1 j j 1 j j 1 j j 1 ) 2 2 2 可得如下代数方程组
偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)1
简单显式差分格式
1 k 2 k k k k uk u ra ( u 2 u u ) f j j j 1 j j 1 j 1 k 2 k k k uk ( 1 2 ra ) u ra ( u u ) f j j j 1 j 1 j
k k k k T uh [u1 u2 un ]
写成矩阵形式.
16/15
2. 分析对流-扩散方程解的性质
uxx bux 0
0 x1
边界条件: 理论解:
u(0) 0, u(1) 1 u( x ) [e xp( bx) 1] /[e xp( b) 1]
ut a uxx bux
3. 分析对流-扩散方程
差分格式 1 k 1 a k b k k k k [ u j u j ] 2 [ u j 1 2u j u j 1 ] [ u j 1 u k j 1 ] h 2h 的矩阵形式
k 1 / 2 j
( Dt aD )[u]
2 x
O( h )
2 2
[ Lu]
k 1 / 2 j
O( h )
2 2
1 / 2 k 1 / 2 2 2 Lh[u]k [ Lu ] O ( h ) j j
15/15
练习题与思考题
1.将传导方程
2 u u 2 a f ( x, t ) 2 t x
9/15
主对角优三对角矩阵
[(1 2ra ) I ra C ]
2 2
1 2ra 2 ra 2 2 2 ra 1 2ra
特征值
ra
2
ra 2
2 1 2ra nn
抛物型方程差分法
ui0 ( xi ), u0k (tk ), umk (tk ), 0 i m, 0 k n.
uk1 i
uik
r
(uik1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk ),
a
r h2
课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
四、数值格式的理论分析
数值计算主要误差来源：
离散误差（相容性） + 稳定性
第三步，
循环：
uk1 i
uik
r
(
uk i 1
2uik
uk i 1
)
f
( xi , tk )
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布
第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u t x2 0 , 0 x 1, 0 t 1
u( x,0) ex , 0 x 1 u (0, t ) et , u (1, t ) e1t , 0 t 1 原方程的真解为 u( x, t ) e xt .
u
2u
t
a x2
f ( xi , tk ),
( xi , tk )
( xi , tk )
u( xi ,0) ( xi ),
0 i m,
0 i m,
0 k n.
u(0, tk ) (tk ), u(1, tk ) (tk ), 0 k n.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
t ( xi ,tk )
误差为 O( )
关于空间的二阶偏导数用中心差商近似，
2u x 2
u( xi1 , tk
)
2u( xi , tk h2
)
u( xi1, tk
抛物型方程的有限差分方法
抛物型方程的有限差分方法一，求解问题考虑一维非齐次热传导方程的定解问题22(,),0,0(,0)(),0(0,)(),(1,)(),0u ua f x t x l t T t xu x t x l u t t u t t t T ϕαβ∂∂-=<<<≤∂∂=≤≤==<≤......(1)..................(2) (3)其中α为正长数，(,)f x t ,()t ϕ,()t α,()t β为已知函数，(0)(0),(1)(0)ϕαϕβ==,式（2）为初值条件，（3）为边值条件。
二，网格剖分取空间步长/h l M =和时间步长/T N τ=，其中M 、N 都是整数。
用两族平行直线,(0,1,,)i x x ih i M ===和(0,1,,)k t t k i N τ===将矩形域{0;0}Gx l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格结点为(,)i k x t 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h G G Γ=-是网格界点集合。
其次，用ki u 表示定义在网点(,)i k x t 的函数，11,01i Mk N ≤≤-≤≤-。
用适当的差商代替方程（1）中相应的偏微商。
三， 差分格式 1， 向前差分 向前差分格式111202()(),11,01k kk k kiii i i ii i kki i i M u u u u u af hf f x u x u u i M k N ττϕϕ++---+=+====≤≤-≤≤-以2/ra h τ=为网比。
将上式改写为便于计算的形式，则得以下向量形式111(12)()(,)11,01k k k kii i i i k u r u r u u f x t i M k N τ+-+=-+++≤≤-≤≤-上式表示第k 层的值显示表示出来。
已知第k 层的值{|1}k i u i M ≤≤，则可以直接得到第k+1的值1{|1}k i u i M +≤≤。
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4.差分格式的求解
u ik 1u ikau ik 12 h u 2 iku ik 1f(x i,tk),1 i m 1 , 0 k n .
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 , im , 0 kn .
考察以下带零边界条件的齐次抛物型方程初边值问题
u 2u
u(tx,0a)x2 (x0),,
0 x 1, 0 t T, 0 x 1,
u(0,t) u(1,t) 0, 0 t T.
则对应的向前欧拉数值格式为
u i0(x i), u 0 k 0 , u m k 0 , 0im , 0kn .
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 , im , 0 kn .
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
课堂上完成。观察数值结果，分析其原因。
所以，本质上仍要求 A的特征值模小于等于1 才能保 证数值格式稳定。所以，今后我们都只对齐次方程、 零边界的情况进行稳定性分析即可。
从前面的分析可知，向前欧拉显格式由于稳定性的 限制，要求在计算时选取合适的步长，这给计算带来 了不便。
显格式 隐格式 向前欧拉显格式 向后欧拉隐格式
五、建立差分格式——向后欧拉方法
5.编程实现的基本环节
第一步，参数设置，如剖分数，节点坐标，a, 已知函
数 (x), f (x, t ), 时间、空间步长等。
第二步， 初始和边界条件确定
第三步， 循环： u i k 1 u i k r ( u i k 1 2 u i k u i k 1 ) f ( x i,t k )
对 u r k 1 A u r k b r k递推可得
u r k A k u r 0 A k 1 b r 0 A k 2 b r 1 L A b r k 2 b r k 1
如果在初始时刻有误差 e r0u r0u r*0，则在第 k 个时 间层上，就有数值解
114rsin2 i 1
2m
从而要求 4rsin2i2, 1im1
2m
a 1
易见，只要 r h 2 2 就可以保证数值格式稳定。 称为稳定性条件
对于非齐次方程、非零边界条件的情形，其稳定性 分析仿上，只是差分格式现在变成
u r k 1 A u r k b r k r 其中向量 b k 依赖于方程的右端项和边界条件。
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
向前欧拉差分格式是显格式，则对于任意网比 r ， 均唯一可解的。此外，相容性可由局部截断误差保证 。接下来考察差分格式的稳定性。一个数值格式的稳定 性指的是当初始条件有微小误差时，如果用某数值格 式计算出的数值解与原来的解误差不大，则称此格式 稳定。如果初始小误差引起后来解的较大误差，则此 格式不稳定。所以，数值格式的稳定性是考察一个算 法优劣的重要评价标准之一。这里，我们先只考察齐 次方程、零边界条件的情形。
r 12r
0
r O
O r
0
12r r
1r2ruuuum m kkM 12kk12Auuuum m kkM 12kk12
也可以简写成 u rk1A u rk ，从而有
u r k 1 A ( A u r k 1 ) L A k 1 u r 0
分布函数 u(x,满t)足以上方程。
二、建立差分格式——向前欧拉方法
1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
xt txkikih ,,
0im1/h
0knT/
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
tk1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
u (x ,0 )(x ), 0 x 1
u ( 0 ,t ) ( t ) ,u ( 1 ,t ) ( t ) ,0 t T
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u r * k A k u r * 0 A k 1 b r 0 A k 2 b r 1 L A b r k 2 b r k 1
这样误差传播的规律仍然为
e r k u r k u r * k A k ( u r 0 u r * 0 ) A k e r 0
将数值解 u
k i
代替精确解 u( xi , tk )
并忽略高阶小项
，则可以建立以下向前欧拉差分格式：
uui0ik1(uxiki ),au0ik1i2hu2ikm,uik1 f(xi,tk), 0im, 0kn, u0k (tk), um k (tk), 0kn.
抛物型方程差分法
一、研究对象
1. 研究的对象—— 抛物型方程.
一维问题： ut ax2u2 f(x,t)
二维问题：
u 2u 2u ta(x2y2)f(x,y,t)
物理意义：细杆、薄板的热传导现象
解决问题：方程 适当的初边值条件
考虑一维热传导方程：
u ta 2 x u 2f(x,t), 0x1 , 0tT
t (xi,tk)
误差为 O ( )
关于空间的二阶偏导数仍用中心差商近似，
2u x2
u (xi 1,tk)2u (h x 2 i,tk)u (xi 1,tk) 误差为 O ( h 2 )
(xi,tk)
u ( x i , t k ) u ( x i , t k 1 ) a u ( x i 1 , t k ) 2 u ( h x 2 i , t k ) u ( x i 1 , t k ) f ( x i , t k ) O ( h 2 ) 0im , 0kn .
u
2u
t
ax2
f(xi,tk), 0im , 0kn .
(xi,tk)
(xi,tk)
u(xi,0)(xi), 0im,
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
关于时间的一阶偏导数用向后差商近似，
u u(xi,tk)u(xi,tk1)
四、数值格式的理论分析
数值计算主要误差来源：
离散误差（相容性） + 稳定性
收敛性
即逼近误差
误差传播
考察差分格式的好坏
1. 局部截断误差（相容性） 2. 扩张矩阵的特征值（稳定性）
Lax等价定理：相容性成立，则稳定性等价于收敛性。
u i 0 (x i)u ,0 k( tk )u ,m k( tk )0 ,im , 0kn .
u ( x ,0 )( x ) ,0 x 1 初始条件
u ( 0 ,t ) ( t ) ,u ( 1 ,t ) ( t ) ,0 t T 边界条件
其中 a > 0 为常数。
物理意义：长度为 1，侧表面绝热的均匀细杆，初始 温度已知，细杆两端的温度已知，则杆内部的温度
u ik 1u ik r(u ik 1 2 u ik u ik 1),
a rh 2
为讨论方便，上面的格式可以写成以下矩阵形式：
u ik 1u ik r(u ik 1 2 u ik u ik 1), ra h 2
uuuum m 1k2kkkM 1111121r2r
( xi , tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用
u
k i
表示温度分布函
数 u( x , t ) 在点 ( xi , tk )
处的网格函数 , 相当于
x x i 1 x i x i 1
u( x , t ) 在该点的近似 .
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程 离散方程
u 2u tax2f(x,t), 0x1 , 0tT
若在初始时刻有误差为 e r0u r0u r*0，即初始时刻 我们用 ur *0 作为初值进行计算，则到第 k个时间步，
就有数值解 u r*kA ku r*0，这样误差传播的规律为
e r k u r k u r * k A k ( u r 0 u r * 0 ) A k e r 0
用时间渐进显格式求解时间层上的温度分布 第四步， 输出
三、数值算例（向前欧拉方法）
u 2u tx20, 0x1, 0t1
u (x ,0 )ex, 0x 1 u ( 0 ,t) e t, u ( 1 ,t) e 1 t, 0 t 1 原方程的真解为 u(x,t)ext.
u i k 1 u i k r( u i k 1 2 u i k u i k 1 )f(x i,tk ) ,
a r h 2
t
时间渐进显格式
t k 1•
•
tk •
•
• — 已知结点
t k 1•
•
• •
t2 •
•
t1 •
•
x O • x•1 x•2 • x•i 1 x•i x•i 1 •l
0
O
A
O
0
r 1 2r r
r 1 2r
于是，由定理可得 m 1阶矩阵A的特征值为
li12r2r1cosim (1im 1 ) 即 li12r(1cosim )14rsin 22 i m