2015—2016年北京丰台高三上学期期末理科数学试题及答案.

2015-2016年北京丰台高三上学期理科数学试题及答案

丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习

高三数学（理科） 2016.01

第一部分 （选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

2.“2

0x >”是“0x >”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

3.已知数列{}n a 中，111

1,1n n

a a a +==

+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤

4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θ

θ

=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的

最短距离为

（A

1 （B

（C

（D ）2

5.

函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π

（D ）43π

6. 若2

1

2x

a dx =

⎰

，2

1

b xdx =⎰，2

21

log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是

（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<

7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x y

a b

+=交于

A ,

B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为

（A

）2 （B ）12 （C

（D

）3

8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在

71)x -（2的展开式中，2

x 的系数等于_____.（用数字作答）

10.若,x y 的满足30,

30,1.x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≥⎩

则2z x y =-的最小值为 .

11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .

12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值

为_______.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14.设函数(1),

()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩

e 其中1a >-.

①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；

②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.

俯视图

侧视图

主视图

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且60O

ADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.

16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，

BC =1，PC =5.

（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.

17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.

（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为

3

10

， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；

（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查

4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.

18.（本小题13分）已知函数3

21()(0)3

f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，

且012x ≠-

，使得01

()()2

f x f =-，求实数a 的取值范围.

19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .

（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.

20.（本小题13分）

已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，

1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -

（Ⅰ）求证：111,2,3,

,1)k k a a k n +-≥=-（；

（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(2

1

-≤≤+n n S n n