2015—2016年北京丰台高三上学期期末理科数学试题及答案.
2015-2016年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ） ）
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）
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（θ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的
5． （5 分）函数 A． B．
）
6． （5 分）若
，则 a，b，c 的大小关系
是（
）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c 7． （5 分）若 F（c，0）为椭圆 C： 线 A． 的右焦点，椭圆 C 与直 ）
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，
（Ⅲ）该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者．若在 A 团队 随机调查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3．试根据（Ⅰ） 、 （Ⅱ） 中的 P1 和 P2 的值，写出 P1，P2，P3 的大小关系（只写结果，不用说明理由） ． 18． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 y=f（x）的极值； （Ⅱ）若存在实数 x0∈（﹣1，0） ，且 的取值范围． 19． （13 分）已知定点 M（1，0）和直线 x=﹣1 上的动点 N（﹣1，t） ，线段 MN 的垂直平分线交直线 y=t 于点 R，设点 R 的轨迹为曲线 E． （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）直线 y=kx+b（k≠0）交 x 轴于点 C，交曲线 E 于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为点 P．点 C 关于 y 轴的对称点为 Q，求证：A，P，Q 三点共 线． 20． （13 分）已知数列{an}的各项均为正数，满足 a1=1，ak+1﹣ak=ai． （i≤k，k=1， 2，3，…，n﹣1） （Ⅰ）求证： ； ，使得 ，求实数 a ．
2015丰台一模 北京市丰台区2015年高三一模试题数学理 Word版含答案
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为 (A) (1,1)-(B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或23．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 7 (B)10 (C) 11(D) 161俯视图侧视图正视图335．在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于(A)(B)(C) (D) 46．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是ODCB A(A) 4(B) 5(C)(D)7．将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的(A) 最大值是，最小值是4 (B) 最大值是8，最小值是4(C) 最大值是2 (D) 最大值是8，最小值是2第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．定积分(cos )x x dx π+=⎰____．10．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n =____，展开式中的常数项是____．11．若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-， 如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围 是____．13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB =8，BC =1，则 CD=____；AD=____．14．已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A=____；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()cos cos2222xxx f x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250， C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X ，求X 的分布列．17. （本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值； PEDCBA如果不存在，说明理由．18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．20.（本小题共13分）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．22π 10．4，24 11．612．(1,0)- 13．3 14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）21()cos cos2222xxx f x ωωω=-21sin 232cos 1-++=x x ωω x x ωωcos 21sin 23+=)6sin(πω+=x ． 因为πωπ==2T ，0>ω，所以2=ω．因为)62sin()(π+=x x f ，R x ∈，所以1)62sin(1≤+≤-πx ．所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分（Ⅱ）令226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈， 得322322ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈，所以63ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为3[ππ-k ，]6ππ+k )(Z k ∈．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩所以25p =，25q =． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则121233()554545P A ⨯+⨯=+=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ……………………7分（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233(10)5410P X ==⨯=．所以……………………13分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． ……………………4分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α， 则sin cos ,6m PD m PD PD mα⋅=<>==． 所以PD 与平面PCE所成角的正弦值是． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a，所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，所以()2x f x e '=-．因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-，所以切线方程为1(0)y x -=--，即 10x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．令()0f x '=，则0ln 2x =．当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．命题得证． ……………………8分（Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．令()0f x '=，则ln 0x a =>．当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=， 所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-， 不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)，所以()2a h a e a '=-．由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >． 所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a ==c = 所以2221b a c =-=， 所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-，22(2,)AQ x y =-，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-， 所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y k k k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041k k k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由121m a a a +++= 得12m a a Z m +=∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤）， 任取大于0的一项作为第一项，则满足1122m m S -+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122n m m S --+≤≤ 若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤， 若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证；否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22m m -+内的非0整数， 因为区间[1,]22m m -+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤， 那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2016丰台区高三(上)期末数学(理科)
2016丰台区高三（上）期末数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤20174．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．25．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A．B．C．D．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B 两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a的取值范围．19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以1+a=0，解得a=﹣1．故选：D．2．【解答】由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．4．【解答】曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．5．【解答】由=0得sin2x=﹣cos2x，即tan2x=﹣，即2x=kπ﹣，即x=﹣，∵0≤x≤π，∴当k=1时，x=，当k=2时，x=，则函数f（x）的零点之和为+=，故选：C6．【解答】分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A7．【解答】∵F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，∴A（a，0），B（0，b），∵线段AB的中点在直线x=c上，∴，∴椭圆的离心率e===．故选：B．8．【解答】①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；．．③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（2x﹣1）7的展开式中，通项公式为T r+1=•（2x）7﹣r•（﹣1）r，令7﹣r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为•22•（﹣1）5=﹣84．故答案为：﹣84．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．11．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，∴=42，解得a1+a7=12，∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．故答案为：18．12．【解答】在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则=CM•CN•cos＜＞≤•=3，故答案为：3．13．【解答】如图，由三视圆得该几何体由直三棱柱ABC﹣A1B1C1与三棱锥B﹣B1C1D组合而成，其中A1B1DC1是边长为2的正方形，AA1=2，∴该几何体的体积为：V====．故答案为：．14．【解答】①当a=0时，f（x）=，由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，可得a＞﹣1；由增函数的定义可得e﹣1≤ln（1+a），解得a≥e e﹣1﹣1．综上可得a的范围是[e e﹣1﹣1，+∞）．故答案为：1，[e e﹣1﹣1，+∞）．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵AB=12，，，∴根据余弦定理：=．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C＜π，∴sinC＞0，．∴根据正弦定理得：，即：=8．…（13分）16．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以，又因为，所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，又FC⊄面ABP，BM⊂面ABP所以FC∥面ABP…（5分）（Ⅱ）连接CE，因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，所以PE⊥AB且，在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以在△PEC中，，，，所以PE⊥EC又因为AB∩EC=E，AB⊂面ABCD，EC⊂面ABCD所以PE⊥面ABCD…（9分）（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），，A（﹣1，0，0），因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量为设面ABC的法向量为，，，取x0=1，得，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，cosθ==，二面角B﹣PA﹣C余弦值为．…（14分）17．【解答】（Ⅰ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为．（Ⅱ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116．（Ⅲ）由于A团队中，每个人是志愿者的概率为，P3 =•=0.4116，P1＞P3=P2 ．18．【解答】（Ⅰ）f′（x）=ax2+2x，令f′（x）=0得x2=0，．∴函数y=f（x）的极大值为；极小值为f（0）=0．…（8分）（Ⅱ）若存在，使得，则由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）（图1），（图2），于是可得．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．∴a k+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．。
2015届高三年级期末考试数学(理)含答案
2015届高三年级期末考试 数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图 侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题答案
x
2 (, ) a
2 a
(0, )
f / ( x) f ( x)
+
0 极大值
0 极小值
+
∴函数 y f ( x ) 的极大值为 f ( )
2 a
1 2 2 4 a ( ) 3 ( ) 2 2 ； 极小值为 f (0) 0 . 3 a a 3a
1 AD ， 2 1 AD ， 2
又因为 BC AD , BC
所以四边形 BCFM 是平行四变形
FC BM , FC 面 ABP ， BM 面 ABP
所以 FC 面 ABP （Ⅱ）连接 CE ，
…………………………5 分
因为在 ABP 中， AB AP BP ，点 E 是边 AB 在的中点， 所以 PE AB 且 PE 2 2 12 3 ， 在 Rt BEC 中， BE EC 1 ， EB BC ，所以 EC 2
AP (1, 0, 3) ， AC (2,1, 0) AP n2 0 x 3 z0 0 0 AC n2 0 2 x0 y 0 0 3 n2 (1, 2, ) 3
由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为
cos |
n1 n2 3 | | n1 | | n2 | 2 n1 n2 3 | | n1 | | n2 | 2
………………………14 分
二面角 B PA C 余弦值为： cos | 17．(本小题共 14 分) 解： （Ⅰ） P1
丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案
丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习2016.01
丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共 40 分）2016.01一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数 f ( x) log0.5 ( x 1) 的定义域为 （A） ( 1, ) （B） (1, ) （C） (0, ) （D） ( , 0)2.在复平面内，复数 z (1 i)(2 i) 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3． “ x 1 ”是“ x2 1 0 ”的 （A）充分必要条件 （C）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件4.已知向量 a (3,-4) ， b ( x, y) ，若 a // b ，则 （A） 3x 4 y 0 （B） 3x 4 y 0 （C） 4 x 3 y 0 （D） 4 x 3 y 05.已知圆 O： x 2 y 2 1 ，直线 l 过点（-2，0） ，若直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于 圆的半径，则直线 l 的斜率为 （A） 3 3（B） 3（C） 2（D） 16. 函数 f ( x)=sin2x cos 2 x 的一个单调递增区间是 （A） [3 , ] 4 4（B） [ 34 , 4]（C） [3 , ] 8 8（D） [ 38y P,8]7.如图，在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的 垂线段 PD ， D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是矚慫OMDx润厲钐瘗睞枥。
1 / 15（A） （C）1 2（B） （D）1 42 23 28. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年 1 月 1 日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶梯电价，即： 一户居民用户全年不超过 2880 度 （1 度=千瓦时） 的电量， 执行第一档电价标准， 每度电 0.4883 元；全年超过 2880 度至 4800 度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全 年超过 4800 度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价 的图形表示，其中正确的有聞創沟燴鐺險爱氇。
【VIP专享】丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题答案
6
7
14．1 , e 1,
23 65 6
8
…………………………13 分
…………………………5 分
3
在 PEC 中， PE 3 ， EC 2 ， PC 5 ，
所以 PE EC
又因为 AB EC E, AB 面 ABCD ， EC 面 ABCD
所以 PE 面 ABCD
（Ⅲ）取 CD 中点 N ，以 EB ， EN ， EP 分别为轴 x ， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标
2 所以四边形 BCFM 是平行四变形 FC A BM , FC 面 ABP ， BM 面 ABP
所以 FC A面 ABP
3
AC sin ADC
（Ⅱ）连接 CE ， 因为在 ABP 中， AB AP BP ，点 E 是边 AB 在的中点，
所以 PE AB 且 PE 22 12 3 ，
在 RtBEC 5-2016 年第一学期期末练习
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1
2
高三数学（理科）参考答案
3
答案 D B C A C A B D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13． 16 3
根据正弦定理得：
AD AC sin C 8 sin ADC
16．(本小题共 14 分)
AD sin C
解：（Ⅰ）取 AP 的中点 M ，连接 MF, MB ，
因为 M 是 AP 中点， F 是 PD 中点， 所以 MF A AD, MF 1 AD ，
2 又因为 BC A AD, BC 1 AD ，
2015年高三一模数学(理)北京市丰台区试题Word版带解析
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（ ） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ） 故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列 【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或 故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图 【答案】C 【解析】程序执行过程如下： 开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。
月北京市丰台高三二模理科数学试卷及答案
丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B I =（A ）(2,0)- （B ）(2,1)-（C ）(0,2) （D ）(0,1)2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是（A ）12 （B ）14（C ）2 （D ）1 3. “0x >”是“2212x x+≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.已知向量1()22a r =，(b r =，c a b r r r λ=+，则c a r r ⋅等于_________ .（A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-1 5.如图，设不等式组11,01x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线为抛物线2y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于（A ）23 （B ）13（C ）12（D ）146.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象 （A ）向上平移1个单位 （B ）向下平移1个单位 （C ）向左平移1个单位 （D ）向右平移1个单位7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的 （A ）若50a >，则20150a < （B ）若50a >，则20150S > （C ）若60a >，则20160a <（D ）若60a >，则20160S >8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ； ② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i .若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出结果A 等于______ 11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________.12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则12345a a a a a +=++ ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种. 14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3'()02f <，则1()3f =________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，5b =,求c 的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）. 17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O, BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD . （Ⅰ）求证AD ⊥PB ； （Ⅱ）若P A ⊥平面ABCD . ①求二面角B-PC-D 的大小； ②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤u u u r u u u r，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O，求λ的值. 18.（本小题共13分） 设函数()e (R)axf x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围. 19.（本小题共13分）已知椭圆C ：22143x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|，求m 的值； （Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P 在第二象限，点B与点A 关于原点对称，求证：当22124x x+=时，三角形△P AB 的面积为定值.20.（本小题共13分）对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，L ，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=L ，记图2图10()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤L ，其中m为不超过kya 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x mb x f y a x -=+-L 表示当k x 取0,1,2,3，…,m时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：（Ⅰ）写出1(7)f 的值；（Ⅱ）求2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；（Ⅲ）求得3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.注：下面的内容不在试卷上，共讲评时参考 （1）8题原来命制的如下：已知一个八面体（如图），它们的各条棱长均为a ,ABCD 为正方形。
2015丰台一模 北京市丰台区2015年高三一模试题数学理 Word版含答案
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3高三数学（理科）2015丰台一模第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为 (A) (1,1)-(B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或23．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 7 (B)10 (C) 11(D) 161俯视图侧视图正视图335．在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于(A)(B)(C) (D) 46．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是ODCB A(A) 4(B) 5(C)(D)7．将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的(A) 最大值是，最小值是4 (B) 最大值是8，最小值是4(C) 最大值是2 (D) 最大值是8，最小值是2第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．定积分(cos )x x dx π+=⎰____．10．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n =____，展开式中的常数项是____．11．若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-， 如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围 是____．13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB =8，BC =1，则 CD=____；AD=____．14．已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A=____；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()cos cos2222xxx f x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250， C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X ，求X 的分布列．17. （本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得PEDCBA平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值； 如果不存在，说明理由．18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．20.（本小题共13分）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．22π 10．4，24 11．612．(1,0)- 13．3 14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）21()cos cos2222xxx f x ωωω=-21sin 232cos 1-++=x x ωω x x ωωcos 21sin 23+=)6sin(πω+=x ． 因为πωπ==2T ，0>ω，所以2=ω．因为)62sin()(π+=x x f ，R x ∈，所以1)62sin(1≤+≤-πx ．所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分（Ⅱ）令226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈， 得322322ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈，所以63ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为3[ππ-k ，]6ππ+k )(Z k ∈．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩所以25p =，25q =． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则121233()554545P A ⨯+⨯=+=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ……………………7分（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233(10)5410P X ==⨯=．所以……………………13分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． ……………………4分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α， 则sin cos ,6m PD m PD PD mα⋅=<>==． 所以PD 与平面PCE所成角的正弦值是． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a，所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，所以()2x f x e '=-．因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-，所以切线方程为1(0)y x -=--，即 10x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．令()0f x '=，则0ln 2x =．当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．命题得证． ……………………8分（Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．令()0f x '=，则ln 0x a =>．当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=， 所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-， 不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)，所以()2a h a e a '=-．由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >． 所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a ==c = 所以2221b a c =-=， 所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-，22(2,)AQ x y =-，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-， 所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y k k k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041k k k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由121m a a a +++= 得12m a a Z m +=∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤）， 任取大于0的一项作为第一项，则满足1122m m S -+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122n m m S --+≤≤ 若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤， 若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证；否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22m m -+内的非0整数， 因为区间[1,]22m m -+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤， 那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2015丰台区高三二模数学(理)试题及答案
丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥(B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)3434．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 236．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC的中点，那么AD =(A)(B) (C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种15 则每周最高产值是(A) 30(B) 40 (C) 47.5(D) 52.58．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B，俯视图正视图且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4(B)(C) (D) 8第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是 ．11．已知函数21()sin 22f x x x =，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，则PA =_____，AC = ．14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______； （ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（理科） 第 3 页 共 10 页在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A A B C D-中，⊥1AA 底面A B C D ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ； （Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ，当cos θ=CM 的长．18.（本小题共13分）OMD 1C 1B 1A 1DCBAA 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,1log ,21n a n n n k a a n k --⎧==⎨-+=+⎩*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）写出3a ，4a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S 的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（理科） 第 5 页 共 10 页丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（二）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10．50x y +-= 11．π；1- 12．212213．4； 14．{6}；32 注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ． 因为BCD ∠为锐角， 所以cos BCD ∠==……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(91113202437)196+++++=， 由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时； B 班样本数据的平均值为1(111221252736)226+++++=， 由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分 （Ⅱ）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是13， 所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为12124()()339P C =⨯=． ……………………5分 （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．252)0(26262324===C C C C P ξ， 7526)1(2626131324231214=+==C C C C C C C C P ξ， 7531)2(26261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ， 7511)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ， 751)4(26262322===C C C C P ξ． ξ的分布列是：2263111150123425757575753E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面 O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分 （Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．B丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（理科） 第 7 页 共 10 页设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-． 所以08081=++-=⋅．所以1AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．又因为cos 25θ=， 所以2cos ,25mn <>=，即125m nn m⋅==解得3h =或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为110a =，所以110222a a ==，1032221log 1log 29a a =-+=-+=，942512a ==． ……………………3分（Ⅱ）当n 为奇数时，221221log 1log 21n a n n n a a a ---=-+=-+=-，即21n n a a --=-．所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列． 所以当n 为奇数时，1121()(1)22n n na a --=+⋅-=． 当n 为偶数时，121(1)1122222n n n n a a ----===，所以 112*2,2,(N )21,2 1.2nn n k a k n n k -⎧=⎪=∈⎨-⎪=-⎩ ……………………10分 （Ⅲ）因为偶数项11220n n a -=>，奇数项212n na -=为递减数列， 所以n S 取最大值时n 为偶数． 令2210k k a a -+≥(*N k ∈)， 即112121202kk --++≥． 所以11211k k -≥-．得11k ≤．所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，所以1c =． 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b =2a ．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，所以PTS STN PST ∠=∠=∠． 又因为S 为PM 的中点，所以12PT PS PM ==．0142x =-．因为点P 在椭圆C 上，所以2203(1)4x y =-，代入上式可得 202(1)(1)0x t t -+-=．丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（理科） 第 9 页 共 10 页因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ， 所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立． 所以21010t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =． 所以存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，此时定点T 的坐标为(1,0)． ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．因为ln 1()ax f x x +=， 所以2ln ()axf x x -'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当 1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1x a=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分 由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-，……11ln1k k k k++<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 又因为1lnln 22k k +<， 所以当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题及答案
丰台区高三数学第一学期统一练习（一）（理科）第 2 页 共 10 页
二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题 13 分） 如图， 在 ABC 中，AB =12 ，AC =3 6 ，BC =5 6 ， 点 D 在边 BC 上， 且 ADC 60O . （Ⅰ）求 cos C ； （Ⅱ）求线段 AD 的长.
7. 若 F（c,0 ）为椭圆 C ：
x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 的右焦点，椭圆 C 与直线 1 交于 2 a b a b
A,B 两点，线段 AB 的中点在直线 x c 上，则椭圆的离心率为 （A）
3 2
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）
1 2
（C）
2 2
（D）
3 3
丰台区高三数学第一学期统一练习（一）（理科）第 1 页 共 10 页
8.在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S7 =42 ,则 a2 a3 a7 =
.
.
12.在 ABC 中， AC 1, BC 3 ,点 M , N 是线段 AB 上的动点，则 CM CN 的最大值为 _______. 13.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 .
第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.在 （2x 1)7 的展开式中， x 2 的系数等于_____.（用数字作答）
2015年北京市高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式得乘除运算．专题：数系得扩充与复数．分析：利用复数得运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数得运算；关键就是熟记运算法则．注意i2=﹣1．2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式得解法及应用．分析：作出题中不等式组表示得平面区域，再将目标函数z=x+2y对应得直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示得平面区域，得到如图得三角形及其内部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y得最大值，着重考查了二元一次不等式组表示得平面区域与简单得线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到得x，y，k得值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构得程序框图，正确写出每次循环得到得x，y，k得值就是解题得关键，属于基础题．4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件得判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行得判定定理，只有α内得两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m与α，β得交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m与β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”就是“α∥β”得必要不充分条件．故选B．点评：考查线面平行得定义，线面平行得判定定理，面面平行得定义，面面平行得判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件得概念．5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体得各个面得特点，计算边长，求解面积．解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面得垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥得表面积就是2，故选：C ．点评： 本题考查了空间几何体得三视图得运用，空间想象能力，计算能力，关键就是恢复直观图，得出几何体得性质．6．（5分）（2015•北京）设{a n }就是等差数列，下列结论中正确得就是（ ） A ． 若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ． 若a 1+a 3＜0，则若a 1+a 2＜0， C ． 若若0＜a 1＜a 2，则a 2 D ． 若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0考点： 等差数列得性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 对选项分别进行判断，即可得出结论．解答： 解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3=2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确；若a 1+a 2＜0，则2a 1+d ＜0，a 2+a 3=2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n }就是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2=a 1+a 3＞2，∴a 2＞，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）=﹣d 2＜0，即D 不正确． 故选：C ．点评： 本题考查等差数列得通项，考查学生得计算能力，比较基础． 7．（5分）（2015•北京）如图，函数f （x ）得图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）得解集就是（ ）A ． {x|﹣1＜x ≤0}B ． {x|﹣1≤x ≤1}C ． {x|﹣1＜x ≤1}D ． {x|﹣1＜x ≤2}考点： 指、对数不等式得解法． 专题： 不等式得解法及应用．分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，利用数形结合得到不等式得解集．解答：解：由已知f（x）得图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）得图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）得x范围就是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式得解集；用到了图象得平移．8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数得图象与图象变化．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：根据汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶得距离比5小得很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙得燃油效率高于乙得燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象得识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为40（用数字作答）考点：二项式定理得应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式得通项公式，利用x得指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5得展开式得通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3得系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理得应用，二项式系数得求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线得简单性质．专题：圆锥曲线得定义、性质与方程．分析：运用双曲线得渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a得值．解答：解：双曲线﹣y2=1得渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．点评：本题考查双曲线得方程与性质，主要考查双曲线得渐近线方程得求法，属于基础题．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为1．考点：简单曲线得极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线得距离公式距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线得距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线得距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．考点：余弦定理；二倍角得正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．点评：本题考查余弦定理，考查学生得计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．考点：平面向量得基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量得三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．解答：解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理得运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一得实数对（x，y）使，向量等式成立．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是≤a＜1或a≥2．考点：函数得零点；分段函数得应用．专题：创新题型；函数得性质及应用．分析：①分别求出分段得函数得最小值，即可得到函数得最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a得范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）得两个交点为x1=a，x2=2a，都就是满足题意得，综上所述a得取值范围就是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数得问题，以及函数得零点问题，培养了学生得转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．考点：两角与与差得正弦函数；三角函数得周期性及其求法；三角函数得最值．专题：计算题；三角函数得求值；三角函数得图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与得正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说得周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x得范围，可得x+得范围，再由正弦函数得图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）得最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与得正弦公式，同时考查正弦函数得周期与值域，考查运算能力，属于中档题．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲得康复时间比乙得康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P （C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差得公式可得．解答：解：设事件A i为“甲就是A组得第i个人”，事件B i为“乙就是B组得第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲得康复时间不少于14天”等价于“甲就是A组得第5或第6或第7个人”∴甲得康复时间不少于14天得概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲得康复时间比乙得康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间得方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率得加法公式与方差，属基础题．17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．考点：二面角得平面角及求法；直线与平面垂直得判定；直线与平面垂直得性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直得性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直得性质，结合向量法即可求a得值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF得中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC得中点G，连接OG，∵EFCB就是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图得空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB得法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF得法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B得余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直得判定以及二面角得求解，建立坐标系利用向量法就是解决空间角得常用方法．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中得应用．专题：导数得综合应用．分析：（1）利用函数得导数求在曲线上某点处得切线方程．（2）构造新函数利用函数得单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数得单调性求参数k得取值范围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k得最大值为2．点评：本题主要考查切线方程得求法及新函数得单调性得求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线得综合问题；椭圆得标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线得定义、性质与方程；圆锥曲线中得最值与范围问题．分析：（I）根据椭圆得几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m得关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）与点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA得方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线得方程，位置关系，数形结合得思想得运用，运用代数得方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数；（Ⅲ）分a1就是3得倍数与a1不就是3得倍数讨论，即可求得集合M得元素个数得最大值．解答：解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．故集合M得所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素就是3得倍数，所以不妨设a k就是3得倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n就是3得倍数．如果k=1，M得所有元素都就是3得倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1就是3得倍数；于就是a k 就是3得倍数；﹣1类似可得，a k﹣2，…，a1都就是3得倍数；从而对任意n≥1，a n就是3得倍数；综上，若集合M存在一个元素就是3得倍数，则集合M得所有元素都就是3得倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1就是正整数，a2=，所以a2就是2得倍数．从而当n≥3时，a n就是2得倍数．如果a1就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M得元素个数不超过5．如果a1不就是3得倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不就是3得倍数．因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M得元素个数不超过8．当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M得元素个数得最大值为8．点评：本题考查数列递推关系得应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y得最大值为（）A．0B．1C．D．23．（5分）（2015•北京）执行如图所示得程序框图，输出得结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015•北京）设α，β就是两个不同得平面，m就是直线且m⊂α，“m∥β“就是“α∥β”得（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•北京）某三棱锥得三视图如图所示，则该三棱锥得表面积就是（）A．2+B．4+C．2+2D．56．（5分）（2015•北京）设{a n}就是等差数列，下列结论中正确得就是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜aD．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 1＜a2，则a27．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）得图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）得解集就是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•北京）汽车得“燃油效率”就是指汽车每消耗1升汽油行驶得里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确得就是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时得速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•北京）在（2+x）5得展开式中，x3得系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）得一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6得距离为．12．（5分）（2015•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）得最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a得取值范围就是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）得最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上得最小值．16．（13分）（2015•北京）A，B两组各有7位病人，她们服用某种药物后得康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人得康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出得人记为甲，B 组选出得人记为乙．（Ⅰ）求甲得康复时间不少于14天得概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲得康复时间比乙得康复时间长得概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间得方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF得中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B得余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a得值．18．（13分）（2015•北京）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处得切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k得最大值．19．（14分）（2015•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）得离心率为，点P（0，1）与点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C得方程，并求点M得坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上就是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q得坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M得所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素就是3得倍数，证明：M得所有元素都就是3得倍数；（Ⅲ）求集合M得元素个数得最大值．。
北京市丰台区高三上学期期末——数学(理)数学(理)
北京市丰台区2015届高三上学期期末练习数学（理）试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是 (A)（，1）(B)（，）(C)（1，）(D)（1,1） 2．等差数列的前项和为，如果，，那么等于(A)8 (B)15 (C)24 (D)303．命题，则是(A) (B) (C)(D) 4．已知，，则a ，b ，c 的大小关系是(A) a > b > c (B) c > b > a(C) c > a > b(D) a > c > b5．甲、乙两位同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 (A) (B)(C)(D)6．已知函数sin (01)y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数的图象可能是7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是8．在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点A 在x 轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) (B)(C)(D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知集合2{|20},{1,2,3,4}A x x x B =->=，那么A ∩B = ________． 10．已知向量，且，那么实数______； _______.11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是____.12．如果变量x ，y 满足条件240,280,0,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩且，那么的取值范围是_____.13．已知圆22:240C x y x y ++-=，那么圆心坐标是_______；如果圆C 的弦AB 的中点坐标是（，3），那么弦AB 所在的直线方程是__________.14．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，如果函数在区间上有个不同的零点，那么称函数和在区间上为“k 阶关联函数”.现有如下三组函数： ①(),()sin2f x xg x x π==；②()2,()ln xf xg x x -==；③()|1|,()f x x g x =-=其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是_______（写出所有．．满足条件的函数组序号）三、解答题共6小题，共80分。
2015届北京市丰台区高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届北京市丰台区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：138分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在平面直角坐标系xOy 中，如果菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 A ．{1，3} B ．{0，1，3}C ．{0，1，3，4}D ．{0，1，2，3，4}2、如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是3、2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有A．种 B．种 C．种 D．种4、已知函数（b>0且b≠1）的图象如图所示，那么函数的图象可能是5、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于A．1 B．2 C．4 D．1或46、高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同7、已知向量，，则“且”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8、设集合，，那么A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）10、过点作圆O：的切线，切点为，如果，那么切线的斜率是；如果，那么的取值范围是．11、若变量x，y满足条件且的最大值是10，则k的值是．12、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．13、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，如果a 1=2，a 3+a 5=22，那么S 3等于 ．14、在复平面内，复数，对应的点分别是A ，B （如图所示），则复数的值是 ．三、解答题（题型注释）15、已知数列满足，，，且．（1）求证：当时，数列为等比数列；（2）如果，求数列的前项和；（3）如果表示不超过的最大整数，当时，求数列的通项公式．16、已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点，且与椭圆交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为，如果△的面积为（为实数），求的值．17、已知函数．（1）求函数的极小值；（2）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围．18、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA=AB=AC=2，．（1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求二面角M-AB-C 的大小；（3）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为，求的值．19、某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，．（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）20、已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值及相应的x的值．参考答案1、D2、A3、B4、B5、C6、D7、A8、D9、①③④10、11、512、2013、1514、15、（1）证明见解析；（2）；（3）．16、（1）；（2）定值为1．17、（1）当时函数有极小值；（2）．18、（1）证明见解析；（2）；（3）1．19、（1）；（2）；（3）．20、（1）;（2）当时，函数有最大值；当时，函数有最小值．【解析】1、根据菱形的对称性，只研究点在轴上方的情况，且关于轴对称，设，则直线的方程为；易知，区域内可能有（其中，与成对出现）；若在区域内，则，即；若在区域内，则，即；若在区域内，则，即；则当时，区域内无整点；当时，点在区域内；当时，点在区域内；当时，点在区域内；当时，点在区域内；故选D.考点：平面区域的整数点.2、因为正视图与俯视图的底相同，所以排除C,D；正视图应为实线，故排除C；故选A.考点：三视图.3、先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有种不同方法；再安排其余人员，有种不同方法；所以，共有种不同方法.考点：排列组合.4、由图像，得函数在为增函数，且过，则且，即；令，则，所以排除A,C；，，排除D，故选B.考点：函数的图像与性质.5、由余弦定理，得，即，解得或（舍）.考点：余弦定理.6、无论哪种抽样方法，每个个体被抽到的可能性相同，但样本不同，其样本平均数、样本标准差以及样本频率分布直方图也不一定相同；故选D.考点：抽样方法.7、,则“且”是“”的充分不必要条件.考点：充分条件与必要条件.8、,,则.考点：集合的运算.9、试题分析：①如果“似周期函数”的“似周期”为，则，即；故它是周期为的周期函数；故①正确；②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，即；故恒成立；故不存在．故假设不成立，故②不正确；③若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，即，即；而令，作图象如下，故存在，使；故③正确；④若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，即；故或；故“，”．故④正确；故答案为：①③④．考点：抽象函数及其应用.10、设切线的斜率为，切线方程为，即，则，解得；在中，，即，解得.考点：直线与圆的位置关系.11、作出可行域与目标函数基准线（如图）；将直线化成，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大；当直线经过点时，在轴上的截距最大，即最大为，即.考点：线性规划.12、；；；，即输出的结果为20.考点：程序框图.13、设公差为，则，即；则.考点：等差数列.14、由图像，得，，则.考点：复数的几何意义、复数的除法.15、试题分析：（1）根据题意构造新数列，利用证明新数列的后一项与前一项之比为常数即可；（2）利用分组求和法与错位相减法进行求和；（3）找出的通项，利用二项式定理进行求解.试题解析：（1）当时，设，则当时，．因为，所以为常数．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 4分（2）由（1）知时为首项为，公比为的是等比数列，所以．．设，则．相减得．设，．即． 9分（3）由（1）可知．设，由二项式定理可知为整数，所以．所以.考点：1.数列的递推公式；2.等差数列；3.错位相减法；4.二项式定理.16、试题分析：（1）利用椭圆的定义求，再进一步求出椭圆的标准方程；（2）联立直线AB与椭圆的方程，求弦长与原点到直线AB的距离，求出三角形的面积，得到关于的方程求解即可.试题解析：（1）由题意知：．根据椭圆的定义得：，即．所以．所以椭圆的标准方程为． 4分（2）由题意知，△ABC的面积，整理得．①当直线的斜率不存在时，的方程是．此时，，所以．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，．由可得．显然，则因为，，所以．所以，此时，．综上所述，为定值.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题.17、试题分析：（1）求导，利用导函数的正负得出函数的极值点与极值；（2）将与无交点，等价转化为恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即可.试题解析：（1）函数的定义域为R．因为，所以．令，则．所以当时函数有极小值． 6分（2）函数．当时，，所以要使与无交点，等价于恒成立．令，即，所以．①当时，，满足与无交点；②当时，，而，，所以，此时不满足与无交点．③当时，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，．由得，即与无交点．综上所述当时，与无交点.考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与最值；3.不等式恒成立问题.18、试题分析：（1）利用勾股定理与线面垂直的判定与性质进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角；（3）设,利用空间向量求线面角，得到关于的方程，解方程即可求解.试题解析：（1）连结AC．因为在△ABC中，AB= AC=2，，所以，所以．因为∥，所以．又因为底面，所以．因为，所以CD⊥平面PAC． 4分（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为PA⊥平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角M-AB-C 为锐二面角，所以二面角M-AB-C的大小为． 10分（3）因为N是在棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以.考点：1.线面垂直的判定定理；2.利用空间向量求线面角与二面角.19、试题分析：（1）利用各小矩形的底边的中点与高之积的和求其平均数；（2）利用互斥事件的概率公式进行求解；（3）利用二项分布的期望公式进行求解.试题解析：（1）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：．2分（2）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4．6分（3）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，X可能的取值是0，1，2，3．；；；．的分布列为：12分所以．13分（或，所以．）.考点：1.频率分布直方图；2.互斥事件；3.二项分布的概率与期望公式.20、试题分析：（1）利用二倍角公式与配角公式将函数转化成的形式，再利用三角函数的周期公式求其周期；（2）利用三角函数的图像与性质求其最值.试题解析：（1）．7 分（2）因为，所以．所以当，即时，；当，即时，．13分所以当时，函数有最大值是；当时，函数有最小值是. 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.。
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2015-2016年北京丰台高三上学期理科数学试题及答案丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 2016.01第一部分 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-12.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A1 （B（C（D ）25.函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212xa dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A）2 （B ）12 （C（D）38.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答）10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.俯视图侧视图主视图二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且60OADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5.（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围.19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C A C A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．16314．1 , [)1,e -+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共13分)解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅222(36)(56)121323656+-==⋅⋅ ………6分 （Ⅱ）因为0C π<<，所以sin 0C > 22122sin 1cos 1()3C C =-=-=根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠ sin sin AC C AD ADC⋅=∠8= ……………13分16．(本小题共14分)解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ， 因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =， 又因为1,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂面ABCD ，EC ⊂面ABCD 所以PE ⊥面ABCD ……………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B，P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC = 设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =AP =，(2,1,0)AC =20000200200AP n x x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩2(1,2,n =- 由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分17．(本小题共14分)解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅==所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 ………5分 （Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 …………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-.()f x极大值极小值∴函数()y f x=的极大值为322()()()33f aa a a a-=⋅-+-=；极小值为(0)0f=.…………………………8分(Ⅱ) 若存在11(1,)(,0)22x∈---，使得1()()2f x f=-，则由（Ⅰ）可知，需要21221,1(1)()2aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）.（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a∈. (13)分19．(本小题共13分)（Ⅰ）有题意可知：RN RM=，即点R到直线1x=-和点M的距离相等.根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：22y px=，12p=，2p=所以R的轨迹方程为：24y x=. …………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)bCk-，则(,0)bQk.联立24y kx by x=+⎧⎨=⎩,消去y得222(24)0k x bk x b+-+=，222(24)416(1)0bk b k bk∆=--=->.yxOQPCBA设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -12242bk x x k -+=，1x2x =. 因为1212AP y y k x x +===-，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====-- 所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分20. （本小题共13分）（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<<.又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（. …………………………3分（Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分（Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤ (1)2n n n a -≤≤由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1，化简得1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分。