换元法第二类换元法

a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
a2 x2
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
例2. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
ln
a2 x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
2 倒代换
当分母的阶较高时, 可采用倒代换 x 1.
1
t
例4
求
x(
x7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
1
t 7
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
(2) a2 x2 (3) x2 a2
可令x a tant; 可令x a sec t.
例1. 求 a2 x2 dx (a 0) .
解:
令
x asin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cos t d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 x2 , a2 x2 , x2 a2
中一种 ,再套公式或利用三角代换积分.
配方成
例5. 求
解: 原式 =
d (x 12)
(
5 2
)2
(x
1 2
)2
(P203 公式 (22) )
例6. 求
解: 原式
(x
1 1)2 (
22
)2
dd(xx
1)
1 arctan x 1 C (P203 公式 (20) )
则有换元公式
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t 1( x)
其中 1( x) 是 x (t )的反函数.
常用第二类换元法 • 三角代Βιβλιοθήκη Baidu • 倒代换 • 根代换（第四节）
1 三角代换
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) a2 x2 可令x a sin t;
令
则
原式 =
三、小结
两类积分换元法：
（一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换
基本积分表(2)
• P 205—2
作业
2
2
例7. 求
解:
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C
(P203 公式 (23) )
例8. 求
解: 原式
dx
ex d x
ex 1 e2x
1 e2x
d ex arcsin ex C 1 e2x (P203 公式 (22) )
例9. 求 解: 原式 =
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec
t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
例3. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sect
,
t
(0,
2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(22)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(23)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
(24)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
说明: 当遇到
时, 先将
14
14
2
基 (16)
本 积 (17)
分 表
(18)
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln(sec x tan x) C;
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C;
(20)
a2
1
x 2 dx
∴
原式
asect tan t a tant
dt
sect d t
ln sect tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是
du ln u
u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
二、第二类换元法
第一类换元法基本思想
f [(x)](x)dx
做变量替换u (x)
易求
[ f (u)du]u ( x)
第二类换元法基本思想
f [ (t)] '(t)dt
做变量替换x (t) f (x)d x
难求
易求
求出积分后，用t 1(x)换回原始变量。
定理2 设 x (t )是单调的、可导的函数， 并且 (t) 0，又设 f [ (t)] (t)具有原函数，