第十六讲 希尔伯特变换和解析过程分析
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary dat》a 中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA 方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD) 、与希尔伯特-黄变换(HHT) 。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫•希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1) 希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2) 对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3) 对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。
图1傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄铐院士在 1998年提出希尔伯特-黄变换 (HHT)。
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为ττπτd t f t f ⎰+∞∞-∧-=)()()(， (1) 常记为)]([)(t f H t f =∧(2)由于)(t f ∧是函数)(t f 与πt 1的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *πt 1(3)2) 2π相位设])([)(∧∧=t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧是)(t f ∧的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。
由⎩⎨⎧<>-=-=.0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4)得).()]sgn([)(f F f j f F -=∧)sgn(f j -可表达为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-=--.0,0,)sgn()(22f f f j f B e e jj ππ或者ef jf B )sgn(2)(π-=所以)(f B 是一个2π相移系统，即希尔伯特变换等效于2π±的相移，对正频率产生2π-的相移，对负频率产生2π相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。
因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z :∧+=)()()(t f j t f t Z (5)也可以写成)()()(t j e t A t Z φ-= (6)其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。
希尔伯特变换包络)(t A 定义为)()()(22t f t f t A ∧+=(7)相位定义为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8)瞬时频率定义为dtf d f )(210φπ=(9)根据傅里叶变换式)]([)(1f Z F t Z -=)()(t f j t f ∧+=⎩⎨⎧==∧)](Im[)()](Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧知)()]sgn(1[)(f F f f Z +=)()(1f F f B = (11)其中⎩⎨⎧<>=0,00,2)(1f f f B因此，可以简单地从)(f F 得到)(t Z ，而)(t Z 的虚部即)(t f ∧。
常见函数的希尔伯特变换
常见函数的希尔伯特变换希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种非常常见的空间变换，经常被用来处理数字信号、图像、数据驱动系统，以及许多其他应用领域。
它是一种大小取决于源信号数据的差分运算，用以将空间信号转换为时间信号，最终产生特殊的效果。
希尔伯特变换的目的是创建一个具有更深层次理解和更广阔视野的空间信号。
它也可以在某些情况下用于提取信息，如图像特征，以及在有模式的环境中区分信号的不同组件（如语音识别的分离）等。
当输入信号被变换成希尔伯特变换时，产生的特殊效果导致从源数据中获得地面实况图像，分离不同频谱（低频段、高频段），并根据用户请求提供图像锐化，掩膜等功能。
希尔伯特变换也可以用于数字信号处理，如滤波、分析和压缩。
它将输入信号转换为另一种更高维度的信号，以便充分利用周围空间的所有信息，并充分提取信息。
例如，其中一种可行的方法是采用Hilbert变换将音频信号转换为功率频谱或有效功率，从而使得信号分析和滤波计算变得更加容易。
在数据驱动系统中，希尔伯特变换可用于动态数据分析，即空间变换-时间变换-空间变换这一过程，其中最后的空间变换把所有时间空间的失真，噪声，脉冲和抖动都转换为频率信号，从而有效地消除它们，最终得到用于分析或模拟系统支持的输出。
另外，希尔伯特变换还可以用于支持压缩，拍摄电影或视频时，将空间图像变换成更小的图像，然后恢复出原图像，即可以利用它以获取更多信息，从而以更小的带宽压缩视频数据。
总而言之，希尔伯特变换在处理多种数据驱动系统的时候都会派上用场，因为它的转换和处理方式都不一样，且可以有效有效地消除噪声、抖动和失真。
而且，它还可以用于许多其他不同的应用领域，以便提取出一些独特和新颖的信息以及提升图像和视频的品质。
希尔伯特黄变换和经验模态分解
希尔伯特黄变换和经验模态分解下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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希尔伯特 相位解调
希尔伯特相位解调一、希尔伯特变换及其意义希尔伯特变换是一种数学工具，用于将一个实数函数转换为解析信号，即同时具有幅度和相位信息的复数信号。
在信号处理中，希尔伯特变换具有重要的意义，因为它能够提供原始信号的完全解析表示，使得信号的相位信息和幅度信息得以分离。
这种解析表示形式使得信号处理算法更加灵活和高效，因此在通信、雷达、声呐、振动分析等领域有着广泛的应用。
二、希尔伯特相位解调方法希尔伯特相位解调是一种基于希尔伯特变换的信号处理方法。
其基本原理是将一个调相信号（相位调制信号）通过希尔伯特变换转换为解析信号，从而方便地提取出原始相位信息。
具体步骤如下：1.对接收到的调相信号进行希尔伯特变换，得到解析信号。
2.从解析信号中提取相位信息，即得到原始的相位调制信号的相位。
3.根据需要，可以对相位信息进行进一步的处理，如解调、滤波等。
希尔伯特相位解调方法的主要优势在于其简单、有效的特性，同时能够实现相位信息的精确提取。
在许多应用场景中，希尔伯特相位解调是一种非常重要的信号处理手段。
三、希尔伯特相位解调的应用领域希尔伯特相位解调方法在许多领域都有着广泛的应用，以下是其中一些主要的领域：1.通信系统：在通信系统中，相位调制是一种常见的调制方式。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对接收信号的相位提取和解调，从而恢复出原始的信息。
2.雷达和声呐：在雷达和声呐领域，目标回波通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对目标距离、速度等参数的测量。
3.振动分析：在机械振动分析中，振动信号通常包含丰富的相位信息。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和分析，进而实现对机械状态的监测和故障诊断。
4.光学成像：在光学成像领域，光的干涉和衍射现象产生的相位信息对于图像质量有着重要的影响。
通过希尔伯特相位解调，可以实现对这些相位信息的提取和控制，进而提高成像质量。
5.生物医学工程：在生物医学工程领域，生理信号如心电、脑电等通常包含丰富的相位信息。
第十六讲希尔伯特变换和过程介绍
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
第十六讲 希尔伯特变换和解析过程
ˆ 输出为 x(t ) = x(t ) * hH −1 (t ) = x(t ) * hH (t ) * hH −1 (t )
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希尔伯特变换
正交滤波器
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有 冲击响应为 h(t ) = 1/ π t 的线性(时不变系统)滤波器。 ⎧ π ⎪− 2 ω ≥ 0 ⎧− j ω ≥ 0 ⎪ H (ω ) = ⎨ | H (ω ) |= 1 ϕ (ω ) = ⎨ ⎩+ j ω < 0 ⎪+ π ω < 0
H [a (t ) cos ω0t ] = a (t ) sin ω0t H [a (t ) sin ω0t ] = a (t ) cos ω0t
2012-05-15
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证
设 s (t ) = a (t ) cos ω0t 其频谱为：
⎧1 ⎪ 2 [ A(ω − ω0 ) ω ≥ 0 1 S (ω ) = [ A(ω − ω0 ) + A(ω + ω0 )] = ⎨ 1 2 ⎪ A(ω + ω0 ) ω < 0 ⎩2
RXX (0) = − RXX (0) ˆ ˆ
RXX (0) = 0 ˆ
ˆ 表明在同一个时刻t，随机变量 X t 和 X t 正交，即
ˆ E[ X t X t ] = 0 ˆ 注意，上式并不意味着 X t 和 X t 两个随机过程正交。
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ˆ （8） RX (τ ) = 2[ RX (τ ) + jRXX (τ )] = 2[ RX (τ ) + jRX (τ )] ˆ
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为 τττπd t x t x H t x⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ 用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt xHt x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即 tt x t xπ1*)()(ˆ= 于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为11)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为)(<≥-=ωωωjj H即 1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为 )()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x 的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TTT ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim)(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
Hilbert变换及谱分析
Hilbert变换及谱分析(2012-03-24 18:37:21)转载▼标签：hilbert希尔伯特变换包络分析分类：学科知识Hilbert变换是一个很有用的变换，用它来做包络分析更是一种有效的数据处理方法。
现用代码测试其变换效果第一个程序效果如下% Hilbert变换测试clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;f = 50;k = 0:N-1;t = k*ts;% 信号变换% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号y = sin(2*pi*f*t);yh = hilbert(y); % matlab函数得到信号是合成的复信号yi = imag(yh); % 虚部为书上定义的Hilbert变换figuresubplot(211)plot(t, y)title('原始sin信号')subplot(212)plot(t, yi)title('Hilbert变换信号')% 检验两次Hilbert变换的结果（理论上为原信号的负值）% 结论：两次Hilbert变换的结果为原信号的负值yih = hilbert(yi);yii = imag(yih);max(y + yii)% 信号与其Hilbert变换的正交性% 结论：Hilbert变换后的信号与原信号正交sum(y.*yi)% 谱分析% 结论：Hilbert变换后合成的复信号的谱没有大于奈氏频率的频谱，即其谱为单边的NFFT = 2^nextpow2(N);f = fs*linspace(0,1,NFFT);Y = fft(y, NFFT)/N;YH = fft(yh, NFFT)/N;figuresubplot(211)plot(f,abs(Y))title('原信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|Y(f)|')subplot(212)plot(f,abs(YH))title('信号Hilbert变换后组成的复信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|YH(f)|')第二个效果如下第一个包络测试可以看到，此包络分析得到的包络信号频率为20Hz，包络信号的波形为余弦信号的绝对值信号，这是因为计算包络时是取绝对值得到的，从而使信号频率加倍。
第十六讲希尔伯特变换和解析过程分析
第十六讲希尔伯特变换和解析过程分析希尔伯特变换（Hilbert transform）是一种在信号处理和解析过程分析中常用的数学工具。
它是由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）于20世纪早期提出的。
希尔伯特变换可以将一个实函数转换为另一个实函数，使得原始函数和转换后的函数在频率域上是正交的。
这种变换的基本思想是通过引入一个90度相移的相位因子，将原始函数的频谱转移到正交补空间中。
希尔伯特变换的具体定义是通过傅里叶变换来实现的，用于计算一个函数的希尔伯特变换的公式如下：H\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau其中，x(t)表示原始函数，H\{x(t)\}表示x(t)的希尔伯特变换。
利用希尔伯特变换，我们可以将复杂的时间域分析问题转化为简单的频域分析问题。
例如，可以使用希尔伯特变换来计算信号的瞬时频率、瞬时幅值和相位等。
此外，在通信系统、医学信号处理和音频处理等领域中，希尔伯特变换也被广泛应用于信号分析和滤波等问题中。
解析过程分析（Analytic Signal Processing）是一种利用希尔伯特变换进行信号处理的方法。
解析过程分析可以将一个实信号转换为一个复信号，其中包含了原始信号的全部信息。
具体来说，通过将原始信号与它的希尔伯特变换相加，我们可以得到原始信号的解析信号。
原始信号和解析信号在频域上是相同的，唯一的区别是它们在时域上的相位。
解析信号的相位总是比原始信号滞后90度。
这意味着我们可以利用解析信号来分析信号的相位、频率和幅值特性，而无需考虑相位问题。
对于一个实信号x(t)，它的解析信号z(t)可以通过以下公式计算得到：z(t)=x(t)+jH\{x(t)\}其中，j表示虚数单位。
解析信号z(t)可以分解为实部和虚部，即z(t) = A(t)e^{j\phi(t)}，其中A(t)表示瞬时幅值，\phi(t)表示瞬时相位。
希尔伯特变换 稳态 输入 负频率
希尔伯特变换稳态输入负频率希尔伯特变换：从稳态到输入，探索负频率的奥秘1. 引言在信号处理领域中，希尔伯特变换是一种十分重要的数学工具和技术。
它可以帮助我们从另一个角度理解和处理信号的特性和行为。
本文将围绕希尔伯特变换展开探讨，从稳态到输入，以及负频率这些方面展开深入探究。
2. 希尔伯特变换的基本概念希尔伯特变换是一种将实数域的信号转换为在复数域中具有类似振幅和相位的变换方式。
它广泛应用于信号分析、调制解调、滤波器设计等领域。
在希尔伯特变换的领域中，稳态、输入和负频率都是值得深入研究的主题。
3. 从稳态到输入的变化稳态是指系统在特定的外部激励下，经过一段时间后，系统各个物理量的变化趋于固定的状态。
而输入则是指在系统中施加的外部激励信号。
希尔伯特变换从稳态到输入的变化过程是一个值得探讨的重要话题。
在这个过程中，我们可以深入分析信号的特性和变化规律。
4. 探索负频率的意义在频谱分析中，频率通常是非负的实数。
然而，希尔伯特变换却引入了负频率的概念。
这种引入负频率的方式对信号分析和处理有着独特的启示和帮助。
我们需要对负频率进行深入理解，以充分挖掘希尔伯特变换在实际应用中的潜力。
5. 个人观点和理解在我看来，希尔伯特变换是一种非常有价值的信号处理工具，它具有深厚的理论基础和广泛的应用前景。
在实际应用中，我们需要充分了解稳态、输入和负频率等概念，以更好地使用和理解希尔伯特变换的特性。
6. 总结与回顾通过对希尔伯特变换的深度探讨，我们不仅对其理论基础有了更深入的理解，而且对其在实际应用中的价值和意义也有了更清晰的认识。
希尔伯特变换将稳态、输入和负频率这些概念融为一体，为信号处理领域带来了新的思路和方法。
在本文中，我们从稳态到输入，探索了希尔伯特变换的奥秘。
通过对负频率的认识，我们不仅深化了对希尔伯特变换的理解，也为信号处理领域的发展开辟了新的方向。
希望本文能够对读者对希尔伯特变换有所启发和帮助。
（以上内容仅供参考，实际撰写内容还需根据具体要求进行调整），丰富了文章内容，包括对希尔伯特变换在不同领域中的应用案例和具体方法等。
转matlab信号处理——Hilbert变换及谱分析
转matlab 信号处理——Hilbert 变换及谱分析前言Hilbert 通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert 可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。
本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。
一、基本理论 A-Hilbert 变换定义对于一个实信号x(t)x(t)，其希尔伯特变换为：x~(t)=x(t)∗1πtx~(t)=x(t)∗1πt式中*表示卷积运算。
Hilbert 本质上也是转向器，对应频域变换为：1πt ⇔j ⋅sign(ω)1πt ⇔j ⋅sign(ω)即余弦信号的Hilbert 变换时正弦信号，又有：1πt ∗1πt ⇔j ⋅sign(ω)⋅j ⋅sign(ω)=−11πt ∗1πt ⇔j ⋅sign(ω)⋅j ⋅sign(ω)=−1即信号两次Hilbert 变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert 是负的余弦。
对应解析信号为：z(t)=x(t)+jx~(t)z(t)=x(t)+jx~(t)此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。
B-Hilbert 解调原理设有窄带信号：x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]x(t)=a(t)cos [2πfst+φ(t)]其中fsfs 是载波频率，a(t)a(t)是x(t)x(t)的包络，φ(t)φ(t)是x(t)x(t)的相位调制信号。
由于x(t)x(t)是窄带信号，因此a(t)a(t)也是窄带信号，可设为：a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]a(t)=[1+∑m=1MXmcos (2πfmt+γm)]式中，fmfm 为调幅信号a(t)a(t)的频率分量，γmγm 为fmfm 的各初相角。
对x(t)x(t)进行Hilbert 变换，并求解解析信号，得到：z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos (2πfmt+γm)]设A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]A(t)=[1+∑m=1MXmcos (2πfmt+γm)]Φ(t)=2πfst+φ(t)Φ(t)=2πfst+φ(t)则解析信号可以重新表达为：z(t)=A(t)ejΦ(t)z(t)=A(t)ejΦ(t)对比x(t)x(t)表达式，容易发现：a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)−−−−−−−−−−√a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctanx(t)x~(t)−2πfstφ(t)=Φ(t)−2πfst=arctan x (t)x~(t)−2πfst由此可以得出：对于窄带信号x(t)x(t)，利用Hilbert 可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)a(t)和相位解调φ(t)φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)f(t)。
希尔伯特变换将信号解调到基带
希尔伯特变换将信号解调到基带希尔伯特变换将信号解调到基带一、引言在通信和信号处理领域，希尔伯特变换是一种重要的数学工具，它在信号解调到基带方面起着至关重要的作用。
本文将深入探讨希尔伯特变换的相关概念和原理，以及其在信号处理中的应用。
通过对希尔伯特变换的全面评估，我们将能更好地理解这一重要的信号处理技术。
二、希尔伯特变换的基本概念希尔伯特变换是一种线性、因果、时变、非定常、正交变换，其重要性在于它可以将复信号解调至其包络线。
在信号处理中，复信号通常由实部和虚部组成，而希尔伯特变换可以将这样的信号转换为解调后的基带信号，从而简化信号处理的复杂度。
三、希尔伯特变换的数学原理希尔伯特变换通过Hilbert变换器对信号进行处理，其数学表达式为H(f(t))=1/πt∫f(τ)/(t-τ)dτ，其中f(t)为要处理的信号，H(f(t))为变换后的信号。
希尔伯特变换主要通过将信号和其希尔伯特变换进行卷积来实现信号的解调到基带。
四、希尔伯特变换在通信中的应用希尔伯特变换在通信领域起着至关重要的作用，它广泛应用于调制解调、信号调理、频谱分析等方面。
通过希尔伯特变换，可以将复杂的信号转换为基带信号，便于进一步的处理和分析。
在调制解调中，希尔伯特变换可以将调制后的信号解调至基带，使其更容易进行解码和分析。
五、希尔伯特变换的个人观点和理解从个人角度看，希尔伯特变换是一种十分强大的数学工具，它为信号处理和通信领域提供了重要的支持。
通过希尔伯特变换，我们可以更好地理解信号的特性，提取信号中的关键信息，从而实现对信号的高效处理和分析。
希尔伯特变换的应用将进一步推动通信和信号处理技术的发展，为人类社会的信息交流和传输提供更高效、更可靠的支持。
六、总结希尔伯特变换是一种重要的信号处理技术，它在通信和信号处理领域发挥着重要作用。
通过本文的全面探讨，我们更深入地理解了希尔伯特变换的基本概念、数学原理和在通信中的应用。
希望本文能够帮助读者更好地掌握希尔伯特变换的相关知识，并促进其在实际应用中的进一步发展和应用。
北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程
北⼤随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程第四章窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ?-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
希尔伯特变换
Definition of Hilbert Transform
~ ~ s(t ) Re s(t ) j Im s(t )
~ defined as
s(t ) j s (t )
^
S ( ) 2S ( )U ( )
~
FT [S ( )] FT 1[2S ( )U ( )]
This is defined as Hilbert Transform
Properties of Hilbert Transform
1 2 3
Hilbert变换等价于对信号进行正交滤波
两次Hilbert变换等价于倒相器
Hilbert逆变换等于负的Hilbert正变换
s(t ) j s (t )
^
defined as ~ jwt 1 s(t ) Re S ( )e dw Re s(t ) 2 0
S ( ) 2S ( )U ( )
~
Conclusion：实信号可以用仅含有其正频率分量的解析信号的实部来表示
1
^ 1 1 defined as s(t ) s(t )*[ (t ) ] s(t ) j[ s(t )* ] s(t ) jH [ s(t )] s(t ) j s(t ) j t t ~
~
s(t )
^
defined as
1 H [ s(t )] s(t )* t
Preliminary knowledge of Hilbert Transform
实信号的频谱是具有正负频率的双边谱，且关于0 点偶对称，故分析其单边谱信号形式即可满足分析问题、 恢复原信号的要求。 单边谱信号在时域是复信号。 那么如何从实信号中分解出单边谱信号呢？ 基于右边推导可以定义解析信号的表示方法：
希尔伯特变换_信号与系统分析_[共2页]
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3第章连续时间信号与系统的频域分析101另一方面，由于无线频谱的有限性并且要避免通信间的干扰，现有的无线通信系统分配频谱的方法主要是基于固定分配方式，这一分配模式并不能为未来的无线通信系统提供更多可用的带宽，而实际频谱利用情况也表明许多已经分配的频段在空间和时间上并没有被充分利用。
图3-4-8为美国联邦通信委员会FCC（The Federal Communications Commission）在美国伯克利州市内0～6GHz频段使用的频谱覆盖图，频谱利用率为15%～85%，尤其3～6GHz频谱浪费明显，这表明传统的特定授权频带频谱利用率很低，大量授权的无线频谱被闲置，这已大大阻碍了无线通信的应用和发展。
图3-4-8 0～6GHz的频谱利用率情况这表明，目前频谱资源的缺乏在很大程度上是由于低效率的静态频谱分配方案引起的，而不是物理上频谱本身的短缺，因此，导致这些矛盾的根本原因在于固定分配频谱方案和独占频谱使用权（即业务接入权或频谱准入权）原则，但由于固定频谱分配方案过去在频谱规范管理方面曾发挥过很好的作用，同时存在巨大的经济和政治背景，短期内改变这种状况很困难。
因此，现阶段最实际的办法是通过改变业务接入权或频谱准入权，以开放频谱使用、提高频谱使用率和充分利用空闲频谱。
与不断开放新的频段满足新增业务的需求相比，改变频谱资源的分配方式是更具有前景的一种方法。
建立在软件无线电基础上的无线智能通信系统—认知无线电CR（Cognitive Radio）是解决上述无线低频谱利用率，实现无线频谱复用的最佳方案。
CR通过对周围环境的认知，根据环境干扰的变化，自适应实时调整发射功率、载波频率和调制策略等参数，达到系统最佳性能。
认知无线电目前还处于预研阶段，距实际应用还有很长一段路要走。
3.5 希尔伯特变换及小波变换简介3.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换（Hibert transform）反映了傅里叶正反变换之间存在单边特性与解析性的对应关系。
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x(t )
h(t )
1 t
x(t )
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4
希尔伯特变换的冲击响应及传递函数
j 0 1 hH (t ) H H ( j ) j sgn() t j 0
证明：由对称性性质可知，若 f (t ) F ( j ) ，则
2 sgn( t ) 因为 ，所以 j 2 2 sgn( ) 2 sgn( ) jt
希尔伯特变换
ˆ (t ) x
希尔伯特
设有一个实值函数 x(t ) ，其希尔伯特 ˆ (t ) （或记作 H [ x(t )] ） 变换记作 x
x( ) ˆ (t ) H x(t ) x d t 1
反变换为
x(t ) H
1
ˆ ( ) x ˆ (t ) d x t 1
经傅里叶反变换，得 R ˆ ( ) RX ( ) X
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17
ˆ （3） RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ (t ) 将X
X ( ) ˆ (t ) X (t )] d 代入 R ( ) E [ X ˆ XX t 1 X ( ) RXX d X (t ) ˆ ( ) E t 令 t 1 X (t ) X (t ) RXX d ˆ ( ) E 1 1 E X (t ) X (t ) d 1 RX ( ) ˆ ( ) d R X 1
反变换 hH1 (t )
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1
t
H H1 ( j ) j sgn( )
7
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8
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9
可见，若x(t)若为t的偶函数，则 x(t )为t的奇函数。
同理，可见，若 x(t)若为t的奇函数，则 x(t ) 为t的偶函数。 2018/10/30 10
主要内容
3.1 线性系统基本理论
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性
3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
1
0 0
正交滤波器的传输函数
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6
希尔伯特逆变换
x(t ) H
hH1 (t )
1
ˆ (t ) x
1
ˆ (t ) x
d
1
t
ˆ (t ) *x
1 为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。 t
ˆ(t ) x(t )* hH (t ) 证明： 若输入信号为 x
X (t ) 为实随机过程 X (t ) 的复解析过程，简称解析过程。
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15
解析过程的性质
ˆ (t )也是实随 （1）若X (t ) 为实平稳随机过程，则 X 机平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。源自2018/10/30
2018/10/30
11
希尔伯特变换的性质
ˆ (t )的希尔伯特变换为 X (t ) 。 1. X
ˆ (t )] H[ X
1
ˆ ( ) X d X (t ) t
连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。
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F ( jt ) 2f ( )
整理得：
1 hH (t ) H H ( j ) j sgn( ) t
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j 0 H ( ) j 0
2 | H ( ) | 1 ( ) 2
通过一个滤波器 hH 1 (t )
输出为 x(t ) x ˆ(t )* hH1 (t ) x(t )* hH (t )* hH1 (t )
显然有 H H ( j) H H1 ( j) 1 1 1 所以 H H1 ( j ) j sgn( ) H H ( j ) j sgn( )
3
希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器
x( ) x( ) 1 ˆ (t ) d d x(t )* 由 x t (t ) t
1
可知，
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有冲 击响应为 h(t ) 1/ t 的线性滤波器（时不变系统） 。
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14
2 解析过程及其性质
ˆ (t ) 是X (t ) 的希尔伯特变换, 即 定义任一实随机过程 X (t ) ， X
1 ˆ X (t ) H [ X (t )]
X ( ) d t
复随机过程定义为
ˆ (t ) X (t ) X (t ) jX
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2
t
1 x(t ) 1 x(t )
ˆ (t ) x
ˆ (t ) ˆ (t ) 1 x 1 x x(t ) d d
d
d
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（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同
RX SX ˆ ( ) RX ( ), ˆ ( ) S X ( )
ˆ (t ) X (t )* h(t ) X
SX ˆ ( ) S X ( ) H ( j ) S X ( )
2
( H ( j ) 1)
2