第十六讲 希尔伯特变换和解析过程分析

x(t )
wk.baidu.comh(t )
1 t
x(t )

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希尔伯特变换的冲击响应及传递函数
j 0 1 hH (t ) H H ( j ) j sgn() t j 0
证明：由对称性性质可知，若 f (t ) F ( j ) ，则
2 sgn( t ) 因为 ，所以 j 2 2 sgn( ) 2 sgn( ) jt
经傅里叶反变换，得 R ˆ ( ) RX ( ) X
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ˆ （3） RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ RXX ˆ ( ) RX ( )
ˆ (t ) 将X
X ( ) ˆ (t ) X (t )] d 代入 R ( ) E [ X ˆ XX t 1 X ( ) RXX d X (t ) ˆ ( ) E t 令 t 1 X (t ) X (t ) RXX d ˆ ( ) E 1 1 E X (t ) X (t ) d 1 RX ( ) ˆ ( ) d R X 1
希尔伯特变换
ˆ (t ) x
希尔伯特
设有一个实值函数 x(t ) ，其希尔伯特 ˆ (t ) （或记作 H [ x(t )] ） 变换记作 x
x( ) ˆ (t ) H x(t ) x d t 1

反变换为
x(t ) H
1
ˆ ( ) x ˆ (t ) d x t 1
X (t ) 为实随机过程 X (t ) 的复解析过程，简称解析过程。
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解析过程的性质
ˆ (t )也是实随 （1）若X (t ) 为实平稳随机过程，则 X 机平稳过程，且联合平稳。
因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。
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2 解析过程及其性质
ˆ (t ) 是X (t ) 的希尔伯特变换, 即 定义任一实随机过程 X (t ) ， X
1 ˆ X (t ) H [ X (t )]




X ( ) d t
复随机过程定义为
ˆ (t ) X (t ) X (t ) jX
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（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同
RX SX ˆ ( ) RX ( ), ˆ ( ) S X ( )
ˆ (t ) X (t )* h(t ) X
SX ˆ ( ) S X ( ) H ( j ) S X ( )
2
( H ( j ) 1)
2
3
希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器
x( ) x( ) 1 ˆ (t ) d d x(t )* 由 x t (t ) t
1

可知，
x(t ) 的希尔伯特变换看成是：将 x(t ) 通过一个具有冲 击响应为 h(t ) 1/ t 的线性滤波器（时不变系统） 。
F ( jt ) 2f ( )
整理得：
1 hH (t ) H H ( j ) j sgn( ) t
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j 0 H ( ) j 0
2 | H ( ) | 1 ( ) 2
反变换 hH1 (t )
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1
t
H H1 ( j ) j sgn( )
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可见，若x(t)若为t的偶函数，则 x(t )为t的奇函数。

同理，可见，若 x(t)若为t的奇函数，则 x(t ) 为t的偶函数。 2018/10/30 10

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希尔伯特变换的性质
ˆ (t )的希尔伯特变换为 X (t ) 。 1. X
ˆ (t )] H[ X
1




ˆ ( ) X d X (t ) t
连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。
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0 0
正交滤波器的传输函数
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希尔伯特逆变换
x(t ) H
hH1 (t )
1
ˆ (t ) x
1

ˆ (t ) x

d
1
t
ˆ (t ) *x
1 为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。 t
ˆ(t ) x(t )* hH (t ) 证明： 若输入信号为 x

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2
t
1 x(t ) 1 x(t )
ˆ (t ) x
ˆ (t ) ˆ (t ) 1 x 1 x x(t ) d d


d


d
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通过一个滤波器 hH 1 (t )
输出为 x(t ) x ˆ(t )* hH1 (t ) x(t )* hH (t )* hH1 (t )
显然有 H H ( j) H H1 ( j) 1 1 1 所以 H H1 ( j ) j sgn( ) H H ( j ) j sgn( )
主要内容
3.1 线性系统基本理论
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性
3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
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