四边形性质探索总结及其综合习题

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．

②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形． ④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形． 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题

分割、拼接

转化

三角形或平行四边形问题，

这种思路常通过平移或旋转来实现． 6、多边形的内外角和与外角和 n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°． 7、平面图形的密铺

对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺． 8、中心对称图形

如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形．

例5 如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作

等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

例6 如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有

一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．

（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．

（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，

如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；

若不存在，也请你给出理由．

例7 阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2））．

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1______S2，S3________S4；

（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

例8如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作

直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

平分线于点F．

（1）试探索OE与OF之间的数量关系．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理

过程．

（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．

1、如图2，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是_______.

2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是 .

3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形面积是

49cm 2

，则AF= ；

4、已知：如图，矩形ABCD 的长和宽分别为2和1，以D 为圆心，AD 为半径作AE 弧，再以AB 的中点F 为圆心，FB 长为半径作BE 弧，则阴影部分的面积为 ；

5、如图14，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个

条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由． 解：添加的条件：

理由：

6、如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为

1平方厘米，则这个长方形的面积为 ；

7、已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,则梯形的高是_______cm.

8、已知梯形的中位线长为6㎝，高为4㎝，则此梯形的面积为 ㎝2

. 9、正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n =_____. 10、若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形；

11、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条

A

B

C D

C ′

E

B

C

D

A

E P F

（图2） A B C D E F

G H

图14

平行四边形道路RSTK 。若c RS LM ==，则花园中可绿化部分

的面积为（ ）

（A ）2

b a

c ab bc ++- （B ）ac bc ab a -++2

（C ）2

c ac bc ab +-- （D ）ab a bc b -+-2

2

12、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配..

A.①

B.②

C.③

D.①和②

1、如图13，四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n .

（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；

（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.

2、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

D

Q P

③ ① ②

（图13）

图13—2