2020届天津市高考数学文科模拟试题有答案(Word版)

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2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.3.2锥体中的线面关系及计算 Word版含答案

1.3.2 锥体中的线面关系及计算一、选择题1．对于空间的两条直线m ，n 和一个平面α，下列命题中的真命题是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ⊥α，则m ∥n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：对于A ，直线m ，n 可能平行、异面或相交，故A 错误；对于B ，直线m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；对于C ，m 与n 可能垂直，也可能异面，故C 错误；对于D ，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确．答案：D2．“直线l 垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( ) A ．直线l 与平面α内的任意一条直线垂直 B ．过直线l 的任意一个平面与平面α垂直 C ．存在平行于直线l 的直线与平面α垂直 D ．经过直线l 的某一个平面与平面α垂直解析：A ，B ，C 均为充要条件，因为“直线l 垂直于平面α”可以推得“经过直线l 的某一个平面与平面α垂直”，反之未必成立．故选D. 答案：D3．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC ＝90°，则AMMO的值为( ) A ．1 B.2 C.12D.23解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝12AO ，则AM MO＝1.4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n B ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β解析：用排除法，B 错，因为m ，n 有可能异面；C 错，因为α∥β时，同样有m ⊥n ；D 错，因为满足条件时，α与β也有可能相交．故选A. 答案：A5．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( ) A ．4π B.12π C.16πD.64π解析：∵AB ＝1，AC ＝2， ∠BAC ＝60°，∴AB ⊥BC .∵SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥SB ，∴SC 是球O 的直径．∵SA ＝23，AC ＝2， ∴SC ＝4.球O 的表面积为16π.故选C. 答案：C6．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3B.32C.1D.32解析：∵D 是等边三角形ABC 的边BC 的中点， ∴AD ⊥BC .又ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，∴AD ⊥平面BB 1C 1C . ∵四边形BB 1C 1C 为矩形，∴S △DB 1C 1＝12S 四边形BB 1C 1C ＝12×2×3＝ 3.又AD ＝2×32＝3， ∴VA －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×3×3＝1.7．(2019·南宁摸底联考)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C ．273πD.27π解析：本题考查三棱锥的性质、球体的体积．因为PA ＝PB ＝3，PA ⊥PB ，所以AB ＝32，又因为△ABC 为等边三角形，所以△ABC 的外接圆的半径r ＝322sin 60°＝6，则顶点P 到底面ABC 的距离d ＝PA 2－r 2＝3，则三棱锥P －ABC 的外接球的半径R 满足R 2＝r 2＋(R －d )2，解得R ＝332，所以三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝43πR 3＝2732π，故选B.答案：B8．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的有( ) A ．①②④ B.①②③ C ．②③④D.①③④解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B. 答案：B9．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B.8π27 C.π3D.2π9解析：如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V .由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8π27. 答案：B10．如图，圆锥的底面直径AB ＝2，母线长VA ＝3，点C 在母线VB 上，且VC ＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )A.13B.7C.433D.332解析：把圆锥的半侧面展开，侧面展开图中AB ︵＝π，半径r ＝3，故圆心角∠AVB ＝π3.如图．在△VAC 中，根据余弦定理得AC ＝32＋12－2×3×1×12＝7，此即为蚂蚁爬行的最短距离．答案：B11．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( )A.125π6B.8πC.25π4D.25π16解析：∵AB ＝BC ＝2，AC ＝2，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的圆心为边AC 的中点O 1，如图所示．若使四面体ABCD 体积取得最大值只需使点D 到平面ABC 的距离最大，又OO 1⊥平面ABC ，∴点D 是直线OO 1与球上方的交点时体积最大．设球的半径为R ，则由体积公式有O 1D ＝2.在Rt △AOO 1中，R 2＝1＋(2－R )2，解得R ＝54，故球的表面积S ＝25π4.故选C.答案：C12．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是( )A.63 B.66 C.62D.36解析：如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点D ′作D ′F ⊥AC 于点F ，在平面ABC 内过点F 作FG 綊BE .连接BG ，D ′G ，则BG ⊥D ′G ，∠D ′BG 就是AC 与BD ′所成的角．设∠D ′FG ＝θ.经计算得D ′F ＝306， BE ＝FG ＝302， CF ＝66，EF ＝BG ＝63，在△D ′FG 中，由余弦定理得 D ′G 2＝D ′F 2＋FG 2－2·D ′F ·FG ·cos θ＝253－5cos θ.∴在Rt △D ′GB 中，BD ′＝D ′G 2＋BG 2＝9－5cos θ，∴cos ∠D ′BG ＝BG BD ′＝639－5cos θ. 当cos θ＝1时，cos ∠D ′BG 有最大值为66. 答案：B 二、填空题13．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的正弦值为 .解析：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线与轴所成角为θ，则S 侧＝12·2πr ·r 2＋h 2，S 底＝πr 2.因为S 侧＝3S 底，所以πr ·r 2＋h 2＝3πr 2，得r 2＋h 2＝3r ，即8r 2＝h 2，所以tanθ＝122，sin θ＝13.答案：1314．设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若n ⊂α，n ∥β，α∩β＝m ，则n ∥m ； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β. 其中正确的命题序号为 .解析：由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m ，n 相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n ⊂β，所以④错误，即正确命题是①③. 答案：①③15．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，则四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －QBM 的体积之比是 .解析：过点M 作MH ∥BC 交PB 于点H . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ，∴PQ ⊥平面ABCD .∵PA ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴PQ ＝BQ ＝ 3.∴V P －ABCD ＝13PQ ·S 菱形ABCD ＝13×3×2×3＝2.又PQ ⊥BC ，BQ ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BQ ⊥BC ，又QB ∩QP ＝Q ，∴BC ⊥平面PQB . 由MH ∥BC 得，MH ⊥平面PQB ，MH BC ＝PM PC ＝23.∵BC ＝2，∴MH ＝43，∴V P －QBM ＝V M －PQB ＝13×12×3×3×43＝23.∴V P －ABCD ∶V P －QBM ＝3∶1. 答案：3∶116．如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为______．解析：因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF .又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB .又DB ⊥AE ，AE ∩AF＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D －AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，DE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D －AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)．答案：26三、解答题1．如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD ，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故 BC ∥平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得，四边形ABCM为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥平面ABCD . 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝2, 于是AB ＝BC ＝2, AD ＝4, PM ＝2 3. 所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×2×(2＋4)2×23＝4 3. 2．(2019·长春模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD ＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点．(1)证明：DM ∥平面PAB ； (2)求四面体M －ABD 的体积．解析：(1)证明：取PB 中点N ，连接MN ，AN . ∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC .又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綊AD .∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN . 又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ， ∴DM ∥平面PAB .(2)取AB 中点O ，连接PO .∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD .取BC 中点H ，连接AH .∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ， ∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°.Rt△ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2，∴AO ＝1，又AD ＝1，在△AOD 中，由余弦定理得，OD ＝ 3. 在Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6. 又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32，∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A －BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ； (2)若三棱锥A －BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长．解析：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AO ，BD ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ，AO ，CO ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面AOC ⊥平面BCD . (2)由(1)知BD ⊥平面AOC ， ∴V A －BCD ＝13S △AOC ·BD ，∴13×12OA ·OC ·sin∠AOC ·BD ＝63，即13×12×2×2×sin∠AOC ×22＝63， ∴sin ∠AOC ＝32. 又∵∠AOC 是钝角，∴∠AOC ＝120°. 在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos∠AOC＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6， ∴AC ＝ 6.4．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积．解析：(1)∵平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，∴过E 作EQ ⊥平面BCD ，交CD 于Q ，过A 作AP ⊥平面BCD ，交BC 于P ，∴EQ ∥AP ，过Q 作QO ∥BC ，交BD 于O .则直线OQ 就是在平面BCD 内所求的直线，使得直线OQ 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行．证明如下：∵EQ ∥AP ，QO ∥BC ，EQ ∩QO ＝Q ，AP ∩BC ＝P ，EQ ，QO ⊂平面EQO ，AP ，BC ⊂平面ABC ，∴平面EQO ∥平面ABC ，∴直线OQ 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行．(2)∵△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，且平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，∴AP ＝32－12＝2 2.∴S △ABC ＝12×2×22＝22，连接DP 交OQ 于点N ，连接EN .∴点E 到平面ABC 的距离d ＝NP ＝12DP ＝1222－12＝32， ∴三棱锥E －ABC 的体积 V E －ABC ＝13×d ×S △ABC ＝13×32×22＝63.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文(天津卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷，含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。

必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：S 表示底面积，h 表示底面的高如果事件A 、B 互斥，那么棱柱体积 V Sh = P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V Sh = 第I 卷(选择题共50分)一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，52ii=- A.12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+2.设变量x,y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A. 6B. 7C.8D.23 3.设,x R ∈则"1"x =是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.设双曲线()22220x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A.2y x =±B. 2y x =±C. 22y x =±D. 12y x =± 5.设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B.a c b <<C. b c a <<D.b a c << 6.阅读右面的程序框图，则输出的S =A. 14B.20C.30D.55 7.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是A.2πB.38πC. 4πD.8π8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是A.()()3,13,-+∞UB. ()()3,12,-+∞UC. ()()1,13,-+∞UD. ()(),31,3-∞-U9.设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,23x ya b a b ==+=，则11x y+的最大值为 A.2 B.32 C. 1 D.1210.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第二卷二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置。

天津市六校2020学年度高三数学文科联考试卷

天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是（） A ．)(1)(1R x e x f x ∈+=- B ．)(110)(1R x x f x ∈+=-C ．)1(110)(1>+=-x x fxD ．)1(1)(1>+=-x e x fx2．已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件，则q p ⌝⌝是的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设α是三角形的一个内角，且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示（）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆4．设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．)2,(-∞B ．)2,1[C ．),1[+∞D ．]1,(-∞5．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）6．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ（）A ．9B ．10C ．－9D ．－107．若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8．如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点，且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是（）A ．41 B ．21 C ．1 D ．29．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（）A ．)18(72-nB ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(724-+n第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）11．已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12．向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13．点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ，则△ABC 的边长为 . 14．设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,42则此时a = ，x = .15．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689），则五位“渐升数”共有个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 16．函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为2,32=⋅- （1）求A tan 的值；（2）求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖。

2020年天津市部分区高考数学一模试卷文科版含解析

2017年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+24．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=15．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f （a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n）﹣f（x n）|=16（n ≤4π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=3﹣i，则z的实部为．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为．11．已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．12．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．13．已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，b=7，sinA ﹣sinC=．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求cos（2A﹣B）的值．16．某人欲投资A，B两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A，B两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A股的投资额不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x万元，y万元投资A，B两支股票．（Ⅰ）用x，y列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该人对A，B两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．17．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．18．已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，前n项和S n，且满足+=﹣2（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅱ）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值．20．已知函数f（x）=x3（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点．（i）当t=1时，求a的取值范围；（ii）当t=a时，设x1，x2，x3是函数g（x）=（x﹣a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x1，x2，x3，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由．2017年天津市部分区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩B为（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：B．2．从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．3．底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A． +2 B． +C．πD．π+2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：1×1×2=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A4．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．=1 B．x2﹣=1 C．=1 D．x2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．5．已知p：|x﹣1|＜2，q：f（x）=的最小值为2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：由|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3，故p：﹣1＜x＜3；f（x）==x+的最小值为2，得x＞0，故q：x＞0，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．6．设函数f（x）=（λ∈R），若对任意的a∈R都有f（f（a））=2f （a）成立，则λ的取值范围是（）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，2）【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据分段函数解析式的特点，分类讨论求出函数f（x）的值域，再求出f（f（a））和2f（a）成立，即可求出λ的取值范围【解答】解：方法一：∵函数f（x）=（λ∈R），任意的a∈R都有f（f（a））=2f（a）成立，∴f（a））≥1恒成立∴λ﹣1≥1即可，∴λ≥2，方法二：当x＜1时，f（x）＞f（1）=λ﹣1，当x≥1时，f（x）=2x，f（x）≥21=2，当λ﹣1≥2时，即λ≥3时，f（x）≥2，当λ﹣1＜2时，即λ＜3时，f（x）≥λ﹣1，∴①当λ≥3时，2f（a）∈[4，+∞），f（f（a））≥22=4∴f（f（a））=2f（a）恒成立②当λ＜3时，2f（a）∈[2λ﹣1，+∞），当2≤λ＜3时，f（f（a））≥2λ﹣1，∴f（f（a））=2f（a）恒成立，当λ＜2时，f（f（a））=﹣（λ﹣1）+λ=1，f（f（a））=2f（a）不恒成立，综上所述λ≥2，故选：C7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=cos（2x+），若存在x1，x2，…x n满足0≤x1＜x2＜…＜x n）﹣f（x n）|=16（n ≤4π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1≥2，n∈N*），则n的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】数列与函数的综合．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小n值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+）对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，n）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x n≤4π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣f（x n）|=16，﹣1按下图取值即可满足条件，即有|1+|+2×7+|1﹣|=16．则n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=3﹣i，则z的实部为1．【考点】复数的基本概念．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z 的实部可求．【解答】解：由z（1+i）=3﹣i，得，则z的实部为：1．故答案为：1．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为5．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时，满足条件i≥6，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：s=﹣2，i=0＜6第一次循环，s=﹣1，i=2，第二次循环，i=2＜6，s=1，i=4，第三次循环，i=4＜6，s=5，i=6≥6，输出s=5，故答案为：5．11．已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为2．【考点】导数的运算．【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．【解答】解：=；∴．故答案为：2．12．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为（x﹣2）2+y2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆的圆心的坐标为（a，0），则圆的方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离，由此可得1+（a）2=5，解可得a的值，将a的值代入圆的方程可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的圆心坐标为（a，0），则其标准方程为（x﹣a）2+y2=5，（a＞0），则圆心到直线x+2y=0的距离d==a，又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2，则有1+（a）2=5，解可得a=±2，又由a＞0，则a=2，故要求圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故答案为：（x﹣2）2+y2=5．13．已知x＞0，y＞0，x+y2=4，则log2x+2log2y的最大值为2．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．【解答】解：∵实数x，y＞0，x+y2=4，∴4=x+y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x=2，y=时取等号．则log2x+2log2y=log2（xy2）≤log24=2．因此log2x+2log2y的最大值是2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图象，由图求解【解答】解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解⇔方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图象如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，b=7，sinA ﹣sinC=．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求cos（2A﹣B）的值．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程组求得a的值；（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和差的三角公式求得cos（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=60°，b=7，sinA﹣sinC=，由正弦定理可得==，即==，∴a﹣c=（sinA﹣sinC）=•=3 ①．再由余弦定理可得b2=49=a2+c2﹣2ac•cos60°，即a2+c2﹣ac=49=（a﹣c）2+ac=9+ac，∴ac=40 ②．由①②求得a=8，c=5．（Ⅱ）由于cosA==，∴sinA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣B）=cos2AcosB+sin2AsinB=﹣•+•=﹣．16．某人欲投资A，B两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A，B两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A股的投资额不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x万元，y万元投资A，B两支股票．（Ⅰ）用x，y列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该人对A，B两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立约束条件，画出约束条件的可行域如图，（Ⅱ）利用数形结合，结合线性规划的应用即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，约束条件为，画出约束条件的可行域如图：（Ⅱ）设利润为z，则z=0.4x+0.8y，即y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得x=9，y=6，此时Z=0.4×9+0.8×6=8.4，故对A股票投资9万元，B股票投资6万元，才能使可能的盈利最大．盈利的最大值为8.4万元17．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接OG，FG．∵对角线AC与BD的交点为O，∴OG∥DC，OG=，∵EF∥DC，DC=2EF，∴OG∥EF，OG=EF，∴OGFE为平行四边形，∴OE∥FG，∵FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，∴OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，∵FD=FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，∵OF∩OC=O，∴BD⊥平面AFC，∵⊂P⊂平面ABCD，∴平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）解：作FH⊥AC于H．∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，由题意，△BCD为正三角形，OA=，BD=AB=2，∵FD=FB=2，∴△FBD为正三角形，∴OF=．△AOF 中，由余弦定理可得cos ∠AOF==﹣，∴∠AOF=120°， ∴∠FAH=∠FAO=30°，∴AF 与平面ABCD 所成角为30°．18．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，前n 项和S n ，且满足+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n ）的通项公式；（Ⅱ）记c n =，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：≤T n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）整理得（S n +1+S n ﹣1）2=（2S n ）2，结合题意，得S n +1+S n ﹣1=2S n ，可判断出数列{S n }为等差数列，继而可得S n =2n ﹣1，从而可求数列{a n ）的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可得c n ==（﹣），从而可求得数列{c n }的前n 项和为T n ，即可证得：≤T n ．【解答】解：（本小题满分13分）（Ⅰ）由+=﹣2（n ≥2，n ∈N*）得． +2S n +1S n ﹣1+=4，即（S n +1+S n ﹣1）2=（2S n ）2，由数列{a n }的各项为正数，得S n +1+S n ﹣1=2S n ，…3分所以数列{S n }为等差数列，…4分由a 1=1，a 2=2，得S 1=a 1=1，S 2=a 1+a 2=3，则数列{S n }的公差为d=S 2﹣S 1=2，所以S n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1…6分当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n ﹣1）﹣（2n ﹣3）=2，而a 1=1不适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得c n===（﹣）…8分则T n=c1+c2+c3+…+c n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）…11分另一方面，T n=（1﹣）是关于n的增函数，则T n≥T1=，因此，≤T n…13分19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可在：a﹣c=b，平方，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；（Ⅱ）将M代入椭圆方程，求得a和b的值，求得椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，代入求得k的值，利用弦长公式即可求得|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由a﹣c=b，则（a﹣c）2=b2，由b2=a2﹣c2，整理得：2a2﹣3ac+a2=0，由e=，∴2e2﹣3e+1=0，解得：e=1或e=，由0＜e＜1，∴椭圆得离心率e=，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，则b2=3c2，将M（，）代入椭圆方程，则，解得：c=1，∴椭圆的方程为：，直线OM的方程为y=x，当直线l的不存在时，AB的中点不在直线y=x，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，则，整理得：（3+4m2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，则△=64k2m2﹣4（3+4m2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）+2m=，则AB的中点N（﹣，），由N在直线y=x，则﹣=2×，解得：k=﹣，则△=48（12﹣m2）＞0，解得：﹣2＜m＜2，则丨AB丨=•=•，=•，当m=0，则丨AB丨最大，且丨AB丨max=，|AB|的最大值．20．已知函数f（x）=x3（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点．（i）当t=1时，求a的取值范围；（ii）当t=a时，设x1，x2，x3是函数g（x）=（x﹣a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x1，x2，x3，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，则f（x）=x3﹣3x，f′（x）=x2﹣3，令f′（x）=0，解得：x=±，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上可知：当x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，f（x）单调递增，当x∈（﹣，）时，f（x）单调递减；（Ⅱ）（i）g（x）=（x﹣t）f′（x）=（x﹣t）[x2+（a+2）x+a﹣1]，由当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则需要h（1）=2a+2＜0，即a＜﹣1，∴a的取值范围（﹣1，+∞）；（ii）假设存在b满足条件，不妨x2=a，x1＜x3，则x1＜x2=a＜x3，则x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，则x1+x3=﹣（a+2），x1x3=a﹣1，则x1=，x3=，①当x1，a，x3，b成等差数列，则x1+x3=2a=﹣a﹣2，解得：a=﹣，则x3﹣x1=b﹣a=，则b=a+=﹣+=，②当b，x1，a，x3成等差数列，同理求得x3﹣x1=a﹣b=，则b=a﹣=﹣﹣=﹣，③当x1，b，a，x3成等差数列，同理求得x3+x1=a+b=﹣（a+2），则a=﹣b﹣1，x1=2b﹣a=2b++1=+1，x3=2a﹣b=﹣b﹣2﹣b=﹣2b﹣2，∴x1x3=（+1）（﹣2b﹣2）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，整理得：5b2+b=0，解得：b=0或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，④当x1，a，b，x3成等差数列，x1+x3=a+b=﹣（a+2），则2a=﹣b﹣2，x1=2a﹣b=﹣2b﹣2，x3=2b﹣a=2b++1=+1，则x1x3=（﹣2b﹣2）（+1）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，解得：b=0，或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，综上所述：b的取值为，﹣，0或﹣．2017年4月14日。

天津市北辰区2020届高三高考二模数学试题 Word版含解析

北辰区2020年高考模拟考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，祝各位考生考试顺利！注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：共9小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B ＝（）A. {}0,2,3,4B. {}0,3,4C. {}2D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据补集与并集的定义与运算,即可求得()U C A B .【详解】全集{}0,1,2,3,4,5,集合{}1,5A = 则{}0,2,3,4U C A = 集合{}2B =所以(){}0,2,3,4U C A B ⋃= 故选:A【点睛】本题考查了集合并集与补集的运算,属于基础题. 2.“sin 0x =”是“cos 1x =-”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】sin0x=时，22cos1sin1x x=-=，cos1x=±，不充分；cos1x=-时，22sin1cos0x x=-=，sin0x=，是必要的，故是必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．3.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（）A. 180里B. 170里C. 160里D. 150里【答案】C【解析】【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a，其首项为1a，分析可得{}n a是以为1a首项，1 2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得6315S=，解可得1a的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设此人每天所走的路程为数列{}n a，其首项为1a，即此人第一天走的路程为1a，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a是以为1a首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =；故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题． 4.函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据题意得到()()2ln1f x x x=+-为奇函数，从而排除B ，C ，再根据3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f π>即可得到答案. 【详解】令())2ln 1g x x x =+，则()()))22ln 1ln 1ln10g x g x x x x x +-=+++==，()g x 为奇函数.又因为cos y x =为偶函数，()()2ln1f x x x=+-的定义域为0x ≠，故()()2ln1f x x x=+-为奇函数，排除B ，C.因为3022f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()2211ln1ln1f g g πππππππ====>--+-++，排除D.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象，利用函数的奇偶性和特值法为解题的关键，属于中档题. 5.m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列说法正确的是（） A. 若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若//αβ，//m α，则//m βD. m ，n 是异面直线，若//m α，//m β，//n α，βn//，则//αβ 【答案】D 【解析】【分析】利用空间面面平行的判定和性质定理对选项进行分别分析判断，得出答案. 【详解】选项A. 若m ，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ;当//m n 时，可能有l αβ=，故A 不正确.选项B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ，或m ，n 是异面直线，故B 不正确. 选项C. 若//αβ，//m α，则//m β，也可能m β⊂，故C 不正确. 选项D. 在空间取一点(),A A m n ∉，过A 作//m a ，//n b .则相交直线m n ，确定一个平面γ，由条件可得////，γβγα，所以//αβ,故D 正确.，故选：D【点睛】本题考查直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系，属于基础题.6.已知函数()xxg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A. b a c << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A 【解析】【分析】判断出函数()y f x =是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，然后比较ln3、140.2、 1.25三个数的大小，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x x e e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln 355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于中等题.7.若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移6π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度【答案】D 【解析】【分析】由条件先求函数的解析式，再化为同名函数，再按照平移变换规律求解【详解】由条件可知函数的最小值为-1，即1A =，对称中心和相邻的对称轴间的距离为4T，即1274123πππω⨯=-，解得：2ω= 当712x π=时，7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈,2πϕ<，3πϕ∴=()sin 2cos 2cos 23326f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22266366x x x πππππ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭，根据平移变换规律可知，只需向左平移6π个单位. 故选：D【点睛】本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的解析式和性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.8.已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一个交点是M ，且12F MF △的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（） A.2B.3C. 5D. 8【答案】C 【解析】【分析】设点M 为第一象限的点，设点1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，设1MF m =，可得22MF m a =-，则1222F F m a c =+=，利用勾股定理可求得m 与a 的等量关系，由此可得出a 与c 的等量关系，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设点M 为第一象限的点，设点1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，设1MF m =，由双曲线的定义可得122MF MF a -=，则22MF m a =-，由已知条件可得2MF 、1MF 、12F F 成等差数列，且公差为2a ，122F F m a ∴=+，易知12MF F △为直角三角形，且12F MF ∠为直角，由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()()22222m m a m a +-=+，解得8m a =，122102F F m a a c ∴=+==，即5c a =，因此，该双曲线的离心率为5ce a==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当02x ≤≤时，(){}2min 2,2f x x x x =-+-，若方程()()210f x t x -+=恰有两个根，则t 的取值范围是（） A. 3211,,2332⎡⎤⎡⎤--⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 3211,,2332⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 3211,,2332⎛⎤⎡⎫--⋃- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D. 3211,,2332⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()222x x f x x⎧-+=⎨-⎩ 0112x x ≤≤<< ，根据函数的对称性和周期性，作出函数的图象，将问题转化为函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，解决问题. 【详解】当02x ≤≤时，222x x x -+>-，解得：12x <<所以()222x x f x x⎧-+=⎨-⎩ 0112x x ≤≤<< ，又因为函数是偶函数，关于y 轴对称，并且周期4T=，若方程()()210f x t x -+=恰有两个根，即函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，如图，画出函数()y f x =和()21y t x =+的图象，当01x ≤≤时，()22f x x '=-+，()02f '=，当直线过点()3,1时，此时直线的斜率13k =，由图象可知若函数()y f x =与()21y t x =+的图象有2个交点，只需满足12123t <+< ，解得：1132t -<<或3223t -<<- 即t 的取值范围是1132,,3223⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查函数与方程的应用，重点考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是正确画出函数的图象，并能运用临界分析的思想求参数的取值范围.第Ⅱ卷二、填空题：10.若复数12a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为________．【答案】2 【解析】【分析】将复数12a ii+-化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出a 的值即可．【详解】解：由题知()()()()()()122121212125a i i a a ia i i i i ++-+++==--+，因为复数12a ii+-是纯虚数，所以20a -=且120a +≠，解得2a =. 故答案为：2.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．11.若22nx x ⎛⎝的展开式中常数项为第9项，则此时所有项的二项式系数和为________．【答案】1024 【解析】【分析】首先求出二项式展开式通项，再根据第9项为常数得到10n =，再求二项式系数之和即可.【详解】由题知：22nx x ⎛ ⎝的展开式通项()5222122(3)rn r n rrn r r r nT C xxx ---+⎛==⋅-⋅ ⎝，因为第9项为常数，所以52802-⨯=n ，解得10n =. 所以1022x x ⎛- ⎝的所有项的二项式系数和为1021024=.故答案为：1024【点睛】本题主要考查二项式各项系数之和，熟记二项式展开式的通项为解题的关键，属于中档题.12.圆222x y +=与圆224440x y x y +-+-=的公共弦长为________．【答案】302【解析】【分析】两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．【详解】两圆方程相减得4420x y -+=，即2210x y -+=，原点到此直线距离为221242(2)d ==+-，圆222x y +=2，所以所求公共弦长为222302(2)42⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：302．【点睛】本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．13.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记X 表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量X 的数学期望为________．【答案】 (1). 57 (2). 127【解析】【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；第二空，随机变量X 服从超几何分布，计算即可.【详解】解：设事件A 表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”，事件B 表示“抽取的3天空气质量都不为良”，则事件A 与事件B 互为对立事件，所以()()35375117C P A P B C =-=-=；随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，概率为()()343370,1,2,3k k C C P X k k C -===，所以随机变量X 分布列为：X123P13512351835435随机变量X 的数学期望为()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：57；127【点睛】本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题. 14.已知0x >，0y >，且11229x y x y+++=，则x y +的最大值为________．【答案】4 【解析】【分析】先利用基本不等式化已知等式为关于x y +的不等式，然后解不等式得结论．【详解】∵0,0x y >>，21142292()2()2()()4x y x y x y x y x y x y x y x y xy x y +++++==++≥++=++++，当且仅当x y =时等号成立，22()9()40x y x y +-++≤，[2()1](4)0x y x y +-+-≤，142x y ≤+≤，所以x y +的最大值为4，此时2x y ==．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结论．当然要注意等号成立的条件． 15.如图，在ABC 中，3BAC π∠=，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC 的面积为332，则AP 的最小值为________．3【解析】【分析】由三角形的面积公式可求得6AB AC ⋅=，设CP CD λ=，可得()314AP AC AB λλ=-+，结合12AP mAC AB =+可求得13m =，可得出1132AP AC AB =+，进而可得出222111cos 493AP AB AC AB AC BAC =++⋅∠，利用基本不等式可求得AP 的最小值.【详解】1333sin 242ABC S AB AC BAC AB AC ∆=⋅∠=⋅=，6AB AC ∴⋅=， 3AD DB =，34AD AB ∴=，设CP CD λ=，()()314AP AC CP AC CD AC AD AC AC AB λλλλ∴=+=+=+-=-+，又12AP mAC AB =+，则13142m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2313m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1132AP AC AB =+，因此，22221111123493AP AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭2222111111cos 264933632AB AC AB AC BAC AB AC =++⋅∠≥⋅+⨯⨯ 1133AB AC =⋅+=，即3AP ≥，当且仅当6AB AC ==时，等号成立，因此，AP 的最小值为33【点睛】本题考查线段长最值的求解，同时也考查了利用向量的线性运算求参数，也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.已知函数2()23cos 2sin 1f x x x x =+-. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2,C ,24f A c π===，求ABC∆的面积.【答案】(1),,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；33+. 【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）＝2sin （2x 6π-），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin （2A 6π-）＝1，结合范围2A 6π-∈（6π-，116π），可求A 的值，由正弦定理可得a ，由余弦定理b ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵()223213f x sinxcosx sin x =+-=sin2x ﹣cos2x ＝2sin （2x 6π-），令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ， ∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 322622c sinA sinC ⨯⋅===， ∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝13+，（负值舍去）， ∴S △ABC 12=ab sin C 162=⨯⨯（13+）23322+⨯=．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析【解析】【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M .【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π，即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,4,231GM λλ=-- 所以23coscos ,32467GM m πκλ==-+，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.18.椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长与其焦距相等，且四个顶点构成面积为2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点1,0A 且斜率不为0的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，记MN 中点为B ，坐标原点为O ，直线BO 交椭圆于P 、Q 两点，当四边形MPNQ 215l 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）210x y +-=或210x y --=．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得出b c =，可得出2a b =，再由椭圆的四个顶点构成面积为22的菱形可求得a 、b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求得线段MN 的中点B 的坐标，进而可求得直线OB 的方程，将直线OB 的方程与椭圆的方程联立，求得PQ ，并计算出点M 、N 到直线BO 的距离，由此可求得四边形MPNQ 的面积关于m 的表达式，结合已知条件求出实数m 的值，由此可求得直线l 的方程.【详解】（Ⅰ）因为短轴长与其焦距相等，所以22b c =，又222a b c =+，所以2ab c ==2a b =，由于椭圆的四个顶点构成面积为222122222222a b ab b ⨯⨯=== 所以1b =，2a =故所求椭圆的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点M 、N 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，设直线MN 的方程为1x my =+，将直线MN 的方程与椭圆方程联立，得()22221221012x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩． ()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理得12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，设点B 坐标为(),B B x y ，则有12222B y y m y m +==-+，2212B B x my m =+=+，因此2B OB B y mk x ==-，所以直线OB 的方程为2m y x =-，将直线OB 的方程与椭圆方程联立，得()2222222222242224122m x y x m m x x m y y m ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪+⇒+=⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪+⎩⎩．所以弦长2222222224422222m m PQ x y m m m +=+=+=+++ 不妨设点M 在直线:2m OB y x =-上方，则点N 在直线:2mOB y x =-下方，点()11,M x y 到直线PQ 的距离为()2111112222122444m y m m my y mx y d m m m +++++===+++点()22,N x y 到直线PQ 的距离为2222222244my m mx y d m m +++==++．所以()()22222121212122222222224422444m y y m m m d d y y y y m m m m m +-++⎛⎫+==+-=-+ ⎪++⎝⎭+++221224m m +=+ 所以四边形MPNQ 面积为()2221222211411215222222222423m m m S PQ d d m m m m +++=⋅+=⨯==⇒=±+++．因此，直线l 的方程为210x y +-=或210x y --=．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用四边形的面积求直线的方程，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题. 19.已知数列{}n a 满足()()()12311412316n n n n n a a a n a na -+-++++-+=．（1）求2a 的值；（2）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值；（3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设112n a n n c b λ++=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）3；（2）20204041；（3）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）首先根据已知条件求出21n a n =-，再求2a 即可. （2）利用裂项求和得到21n nT n =+，再求2020T 即可. （3）根据题意得到13n n b -=，23n n n c λ=-⋅，又因为{}n c 是递减数列，得到1n n c c +<，从而得到*N n ∀∈，1223n λ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭恒成立，再求1223n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最大值即可得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n na 的前n 项和()()1416n n n n S +-=．当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =．当2n ≥时，()()()()114114566n n n n n n n n n na S S -+---=-=-()()()()()141145216nn n n n n n =+----=-⎡⎤⎣⎦．所以，当2n ≥时，21n a n =-又11a =符合2n ≥时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-．故2a 的值为3．（2）由（1）可知21n a n =-．则()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，所以12233114111111nn i i i n n T a a a a a a a a a a ++==++=++∑ 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪-+⎝⎭．所以2020T 的值为20204041．（3）由111b a ==，359==b a 得29q =．又1q >，所以3q =．所以1113n n n b b q --==，11223n a n n n n c b λλ++==-⋅．因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅>．所以*N n ∀∈，1223nλ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭恒成立．又1223n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是递减数列，所以1223n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大值为第一项1121233a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．所以13λ>，即实数λ的取值范围是1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题为数列综合题，主要考查了裂项求和，同时考查了数列的单调性，属于中档题. 20.设R k ∈，设函数()1ln xf x x=-，()g x kx ke =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若1k =-，记()()()F x f x g x =-，则判断函数()F x 在区间(e 上是否有零点；（Ⅱ）证明：对任意的R k ∈，函数()f x 的切线不可能是直线()y g x =；（Ⅲ）设()2ln n x x ke =--，试判断函数()()()h x x n x g x =+⎡⎤⎣⎦是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）函数()F x 在区间(e 上有零点；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，0k >且12k e≠．. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据零点存在定理判断；（Ⅱ）假设存在R k ∈，使得直线y kx ke =-是曲线()y f x =的切线，设切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞，利用导数几何意义求出切线方程，由切线方程求切点坐标，求出如果存在，切线横坐标只能为e ，从而说明不存在；（Ⅲ）()22ln 2h x x x x kx kex =-+-，0x >，()()1ln 2h x x k x e '=-+-，令()()1ln 2m x x k x e =-+-，则()1212kx m x k x x-'=-=，()()0m e h e '==，然后分类12k e =，102k e <<，12k e>，分别研究()h x 的最小值，得出结论．【详解】解：（Ⅰ）当1k =-时，函数()g x x e =-+，令()()()1ln xF x f x g x x e x=-=+--，(x e ∈，则()120F e =-<，30Fe e e =>，故()10F F e ⋅<，又函数()F x 在区间(e 上的图象是连续不间断曲线，故函数()F x 在区间(e 上有零点，（Ⅱ）证明：假设存在R k ∈，使得直线y kx ke =-是曲线()y f x =的切线，设切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞，22ln ()(1ln )xf x x -'=-,则切线()y f x =在点0x x =切线方程为()()()000y f x x x f x '=-+，即()()0000220002ln 2ln 1ln ln 1ln 1x x x x x y x x x x --=-+---，从而()202ln ln 1x k x -=-，且()000202ln 1ln ln 1x x x x ke x x --+=---，消去k ，得002ln x e e x =-，故0x e =满足等式，令()0002ln s x x e e x =-+，所以()001es x x '=+，故函数()0s x 在()0,e 和(),e +∞上单调递增，又函数()0s x 在0x e =时()0s e =，故方程002ln x e e x =-有唯一解0x e =，又()()00,,x e e ∈+∞，故0x 不存在，即证．（Ⅲ）由于()2ln n x x ke =--，所以()()22ln 2ln 2h x x x x xg x ekx x x x kx kex =-+-=-+-，0x >，()()1ln 2h x x k x e '=-+-，令()()1ln 2m x x k x e =-+-，则()1212kx m x k x x-'=-=，()()0m e h e '==，（ⅰ）当0k ≤时，()m x '恒负，故当()00,x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，故()h x 在x e =处取得极大值，无极小值，不合题意；（ⅱ）0k >时，则()m x 在10,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，①若12k e =，12e k=，故()h x '在()0,e 递减，在(),e +∞递增，故()0,x ∈+∞时，()0h x '≥，()h x 在()0,∞+递增，无极值，不合题意； ②当12k e>时，102e k <<，当1,2x e k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0h x '<，()h x 递减，在(),x e ∈+∞时()0h x '>，在()h x 递增，故()h x 在x e =处取极小值，符合题意， ③当102k e <<时，12e k >，故()m x 在10,2k ⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得当()0,x e ∈时，()0h x '>，当1,2x e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∵()111122lnk k k e e m ke e kk ⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，易证112k e k k >，令()112ln k k e m k e k =-，1,2k e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12t e k =>，故()2ln n t e t t '=--则()1210n t e t'=--> 故()n t 在()2,e +∞递增，则()()()210n t n e n >>>，即102k e <<时，故在112k e k k ⎛⎫ ⎪⋅ ⎪ ⎪⎝⎭内存在0x ，使得()00m x =，故()h x 在012x k ⎛⎫⋅⎪⎝⎭上递减，在()0,x +∞递增，故()h x 在0x x =处取得极小值．综上，实数k 的范围是0k >且12k e≠．【点睛】本题考查用导数研究函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的最值问题，解题关键是掌握导数与单调性的关系，极值与最值的定义，考查分类讨论思想，等价转化思想，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，难度较大，属于困难题．。

【精品高考数学】[2020年天津高考仿真模拟卷-数学]+答案

2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-．（1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值；（2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<．故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ，故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数，故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==，故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=，即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ，又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高，在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3，得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=；（Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ．证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=，在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=，则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-，若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ，所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。

2020年高考数学模拟试题(二)参考答案

高考使用2020年参考答月中.生教浬化1T■i_ri rin nrnq^p年高考数学模触霾)参考答圍—、选择题4.B提示：第一天共挖1+1=2,前二门+曰一"时亠11+2i天共挖2+2+0.5=4.5,故前3天挖通，所以1.B提示：依题意z=：=3—41两鼠相遇在第3天。

(1]+2)3+4)=25+50i=4+2i虚部 5.D提示：回归直线必过样本数据中(3—4i)(3+4O25心点，但样本点可能全部不在回归直线上，为P2_故A错误；所有样本点都在回归直线y=bx2.D提示:因为集合A=+a上，则变量间的相关系数为士1,故B错{x|y=1Og2(x—2)={x|x>21'B=山误；若所有的样本点都在回归直线y=bx+a y=』2—x}=y l y>0}，所以A n B=上，则bx+a的值与y,相等，故C错误；相关{x|x>21。

系数『与b符号相同，若回归直线y=bx+a3.D提示：设p=a+話，则a=p—話，的斜率b>0,则t>0,样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D 所以2a——=2/3—丁。

因为cos(a+]0)=正确。

：：3” 6.C提示：由函数单调递减可得0< 2,所以cos3=44,贝0sin(2a—4|)=a<1,当x=0时，一1<1+b<0,解得一2<sin(2/?----—)=一cos2/?=1一2cos23=1一b<1°可知函数y=x+a+b+1的定义123域为{x|x鼻一a},值域为{y|y鼻b+1}。

因22525。

为一1<一a<0,一1<b+1<0,结合选项知耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳耳(2)射线l分别与C：,C2联立得(x<—2,[—2W x W1,或]或p2(3sin20+1)=4,4(1一工一2工一4三511—工+2工+4三51贝U OA|2=；0=a,3sm a+1(x>1,8，解得x W—8或0W x Wip=4cos0,22{x—1+2x+4^5,3{0=a,则l OB|=16Cos£a o或x>1,所以原不等式的解集为所以|OB4t=4cos2a(3sin2a+1)(一x，一U[0,+x)o=4(1—sin2a)(3sin2a+1)要证f<mn)—|2mn十以“”一川, =—12sin*a+8sin2a+4只要证mn—1>l n—m■，只需证(m"—1)2由于0Wsin2a W1,根据二次函数的性质>(n—m)。

2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A.23 B.25 C.43 D. 45 【答案】B7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】310. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3m . 【答案】411. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值. 【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）编号分别为1216,,,A A A L 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分 1726253322123138区间 [10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 23b a =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4A π+的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=o,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=o,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM 与平面ABCD【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点. 【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-=2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论:(1)若0t <,则2tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: x(,)2t -∞ (,)2t t -(,)t -+∞'()f x + - + ()f x所以()f x 的单调递增区间是(,)2t -∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2t +∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, (0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)x(,)t -∞-(,)2t t -(,)2t+∞ '()f x +- + ()f x内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈L .。

全国卷Ⅱ2020届高三高考压轴卷数学试题(文)(含解析)

【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．故选：A． 2. 答案 A
解析
，则，则复数的虚部是 z
=
1− i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
−
3i 5
z =−1+3i 55
z
3
.
5
故选：A. 3. 答案 D
命题，使的否定是：均有 C. “∃x∈ R x2 + x −1 < 0 ”
“ ∀x ∈ R x2 + x −1 > 0 ”
D. 命题“若 x = y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
D. − 3 i 5
sin (α −π ) + cos(π −α )
角4. α 的终边在直线 y = 2x 上，则 sin (π +α ) − cos(π −α ) = （）
线方程．
23. （本小题 10 分）
设函数 f (x) = x +1 − x 的最大值为 m.
（1）求 m 的值；
（2）若正实数，a b 满足 a + b = m，求 a2 + b2 的最小值. b+1 a +1
6 / 17
2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析
参考答案
1. 答案 A 解析可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
（）
A.
B.
C.
D.
2 / 17
11.双曲线
C：

【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(文史类)2【附详细答案和解析_可编辑】

【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（文史类）2【附详细答案和解析可编辑】真水无香陈 tougao33学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分，）1. 已知全集U=R，集合A={x|x<1}，B={x|−1≤x≤2}，则(∁U A)∩B=( )A.{x|1<x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|−1≤x<1}D.{x|x≥−1}2. 设x，y满足约束条件{0≤x≤2，−2≤x−y≤2，则z=x+y的最大值是()A.6B.5C.4D.33. 已知a，b∈R，则“a>b”是“a2(a−b)>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知实数x∈[0, 12]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A.1 4B.12C.34D.455. 已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a6. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60∘的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.√13B.√213C.2√33D.√57. 若cosα+sinα=tanα(0<α<π2)，则α∈()A.(0,π6) B.(π6,π4) C.(π4,π3) D.(π3,π2)8. 已知函数f(x)={|log2x|,0<x≤22x2−12x+18,x>2，若函数g(x)=f(x)−a有4个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则(x3+x4)x1x2的值为( )A.12B.2√3C.36D.69. 已知x,y>0，则(x+y)(1x+4y)的最小值为( )A.6B.7C.8D.910. 在正方形ABCD中，设AB→=a→，AD→=b→，已知E，F，G分别是AB，DE，CF的中点，则EG→=（）A.18a→+23b→B.18a→−34b→C.14a→+12b→D.18a→+34b→二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）11. 已知复数玄满足|z+2−2i|=1，则z−2−2i的最小值为________（i是虚数单位）.12. 不等式−3x2+x+2>0的解集为________.13. 曲线y＝(x2+x)ln x在点(1, 0)处的切线方程为________．14. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 12 分，共计72分，）15.某节目邀请全国各年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼，“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，其人数按照年龄分组统计如表：（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者人数；（2）从（1）中抽取的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a>b，a=5，c=6，sin B=35．(1)求b和sin A的值；(2)求sin(2A+π4)的值．17. 如图，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AF⊥面ABCD，AD⊥CD，AB // CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．(1)求证：BM // 平面ADEF；(2)求证：BC⊥平面BDE，并求直线CE与平面BDE所成角的正弦值.18. 已知在等比数列{a n}中，a2=2，a4a5=128，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且{b n+12a n}为等差数列．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.19. 已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:mx−y−√3m=0(m∈R)与椭圆C交于M,N两点(点M在x轴的上方).(1)若m=−1，求△MF1F2的面积；(2)是否存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数f(x)=ln x−ax+a（a为常数）的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)设函数F(x)=m(x−1)ln x−f(x)+1−3e，当m>0时，求证：函数F(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2)，且x2−x1<e−e−1．参考答案与试题解析【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷（文史类）2【附详细答案和解析可编辑】一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分） 1.【答案】B【解答】解：∵ 全集U =R ，A ={x|x <1}， ∴ ∁U A ={x|x ≥1}，又B ={x|−1≤x ≤2}，则(∁U A)∩B ={x|1≤x ≤2}．故选B . 2.【答案】A【解答】解：由题可知，画出可行域：当l:y =−x +z 平移到过点A(4,2)时，z max =6. 故选A . 3.【答案】 B【解答】解：当a =0，b =−1时，由a >b 不能得到a 2(a −b)>0 成立；反过来，a 2(a −b)>0 成立时，由于此时a 2>0，故a >b 一定成立，故 a >b 是 a 2(a −b)>0 的必要不充分条件. 故选B .4.【答案】 B【解答】设实数x ∈[0, 12]，经过第一次循环得到x ＝2x +1，n ＝2，经过第二循环得到x ＝2(2x +1)+1，n ＝3，经过第三次循环得到x ＝2[2(2x +1)+1]+1，n ＝4此时输出x ，输出的值为8x +7，令8x +7≥55，得x ≥6，由几何概型得到输出的x 不小于55的概率为=12−612=12．5.【答案】 B【解答】此题暂无解答 6.【答案】 B【解答】解：如图，设A(x 0,y 0)，则|AF|=2(x 0−p2)．又∵ |AF|=x 0+p2， ∴ 2(x 0−p2)=x 0+p 2，解得x 0=32p ，y 0=√32|AF|=√32⋅2p =√3p ．又∵ A (32p,√3p)在双曲线的一条渐近线上， ∴ √3p =ba⋅32p ，∴ b 2=43a 2，由a2+b2=c2，得a2+43a2=c2，∴c2a2=73，∴双曲线的离心率e=ca =√213．故选B．7.【答案】C【解答】cosα+sinα=√2sin(α+π4)，当0<α<π2时，π4<α+π4<3π4，则√2sin(α+π4)∈(1, √2]⊂(1, √3)，∴tanα∈(1, √3)．得α∈(π4,π3 )．8.【答案】D【解答】解：函数g(x)=f(x)−a有4个不同的零点，等价于方程f(x)=a有4个不同的实根x1,x2,x3,x4,作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得−log2x1=log2x2,x3+x4=3×2,即x1x2=1,x3+x4=6,所以(x3+x4)x1x2=6. 故选D.9.【答案】D【解答】解：∵x>0，y>0，∴(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy≥5+2√yx⋅4xy=9，当且仅当yx=4xy即y=2x时取等号，∴(x+y)(1x+4y)的最小值为9.故选D．10.【答案】D【解答】解：由几何图形可知：EG→=EF→+FG→=12ED→+12FC→=12(EA→+AD→)+12(12(EA→+AD→)+DC→)=12(−12AB→+AD→)+14(−12AB→+AD→)+12AB→=18AB→+34AD→=18a→+34b→．故选D．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）11.【答案】3【解答】解：已知复数z满足|z+2−2i|=|z−(−2+2i)|=1，所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(−2,2)为圆心，1为半径的圆，因为|z−2−2i|=|z−(2+2i)|表示复数z在复平面内对应的点到点(2,2)的距离，即圆上的点到点(2,2)的距离，所以最小点为圆心到点(2,2)的距离减去半径，则|z−2−2i|的最小值为3.故答案为：3.12.【答案】{x|−2<x<1}。

2020年天津市五区县高考数学二模试卷(文科)含答案解析

2020年天津市五区县高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20203．已知命题p：∀x∈R，sin2x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin2x0≥1 B．￢p：∀x∈R，sin2x≥1C．￢p：∃x0∈R，sin2x0＞1 D．￢p：∀x∈R，sin2x＞14．已知a=log0.32，b=log20.3，c=0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+的图象关于点（a，b）成中心对称图形，若a∈（﹣，0）则a+b=（）A．πB．C．D．08．已知函数f（x）=，若函数g（x）=ax﹣+3（a＞0），若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞）二、填空题：本大题共/6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9．从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为_______．10．一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为_______m211．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，则输出的S的值是_______．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（m）＞f（1﹣m），则实数m的取值范围是_______．13．O是△ABC的外接圆的圆心，若AC=3，•=2，则AB=_______．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C（单位/kg）300 500 300维生素D（单位/kg）700 100 300成本（元/kg） 5 4 3某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0．（1）求B的值；（2）求sinA+sinC的最大值及此时A，C的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°（1）求证：PA⊥AB；（2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；（3）求二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．19．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k＞b k，求n的最大值（用﹣1a，b表示）．2020年天津市五区县高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．【解答】解：，故选：D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2020【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．3．已知命题p：∀x∈R，sin2x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，sin2x0≥1 B．￢p：∀x∈R，sin2x≥1C．￢p：∃x0∈R，sin2x0＞1 D．￢p：∀x∈R，sin2x＞1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：：∃x0∈R，sin2x0＞1，故选：C．4．已知a=log0.32，b=log20.3，c=0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】由已知条件利用对数函数和指数函数的单调性能比较a，b，c的大小关系．【解答】解：∵﹣1=＜a=log0.32＜log0.31=0，∴b=log20.3=＜a，0＜c=0.20.3＜0.20=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设两圆相切时的切点为A，∵|F1F2|=c，∴PA=c，∴|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PF2|=|AF1|=2a，∵|AF1|=c，∴c=2a，即离心率e==2，故选：B．6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．【考点】弦切角．【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由已知可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．故选：D．7．已知函数f（x）=sin2x+cos2x+的图象关于点（a，b）成中心对称图形，若a∈（﹣，0）则a+b=（）A．πB．C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cos2x+=．由，得x=．∵a∈（﹣，0），取k=0，得x=．又f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称图形，∴，则a+b=0．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=ax﹣+3（a＞0），若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞）【考点】全称命题．【分析】函数f（x）=，当时，f（x）∈.时，f（x）=，利用导数研究函数的单调性可得：f（x）∈．可得∀x1∈[0，1]，f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax﹣+3（a＞0）在[0，]上单调递增，由于对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[0，1]∈{g（x）|x∈}，即可得出．【解答】解：函数f（x）=，当时，f（x）∈．时，f（x）=，f′（x）==＞0，∴函数f（x）在上单调递增，∴f（x）∈．∴∀x1∈[0，1]，∴f（x1）∈[0，1]．由于函数g（x）=ax﹣+3（a＞0）在[0，]上单调递增，若对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴[0，1]∈{g（x）|x∈}，∴，解得a≥6．故选：B．二、填空题：本大题共/6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9．从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根，得到△=1﹣4a＜0，解得：a＞，从而求出符合条件的事件的概率．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根，则△=1﹣4a＜0，解得：a＞，设事件“从区间[0，1]上随机取一个实数a，则关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根”为事件A，则P（A）==，故答案为：．10．一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为12π+12m2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径r=3m、圆锥的高是4m，则母线l==5（m），∴此几何体的表面积S===12π+12（m2），故答案为：12π+12．11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，则输出的S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得N=10，S=0，k=1执行循环体，S=，满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，…满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++…++，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=++…+=（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）=．故答案为：．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（m）＞f（1﹣m），则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称．∵f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，若f（m）＞f（1﹣m），则|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．13．O是△ABC的外接圆的圆心，若AC=3，•=2，则AB=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把=代入•=2，再转化为与的等式求解．【解答】解：如图，•=，∵AC=3，∴，则，∴AB=．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是a≤0或1≤a＜2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数f（x）=的图象，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．【解答】解：函数f（x）=，图象如图所示，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，由图可得a≤0时，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，（1，1）代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．故答案为：a≤0或1≤a＜2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C（单位/kg）300 500 300维生素D（单位/kg）700 100 300成本（元/kg） 5 4 3某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】（1）根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．（2）根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：（I）因为x≥0，y≥0，则，化简为，结合100﹣x﹣y≥0，可列出x，y满足的数学关系式为，在xOy平面中，画出相应的平面区域如图所示；…（II）这100kg混合食物的成本z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A（37.5，25），B（50，50），C（75，25），目标函数z=2x+y+300在经过点A（37.5，25）时，z取得最小值400元．…16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0．（1）求B的值；（2）求sinA+sinC的最大值及此时A，C的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cosB，由内角的范围求出B；（2）由（I）和内角和定理求出C，代入sinA+sinC后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA+sinC的最大值，以及此时A，C的值．【解答】解：（1）由已知得，（a﹣c）sinA+csinC﹣bsinB=0，根据正弦定理得（a﹣c）a+c2﹣b2=0，化简得b2=a2+c2﹣ac …由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，由0＜B＜π得B=…（II）由（I）得：C=π﹣A﹣B=，sinA+sinC=sinA+sin（）==…当时，所以当A=时，且C=，sinA+sinC取得最大值．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°（1）求证：PA⊥AB；（2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；（3）求二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．（Ⅱ）过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，…而AB⊂底面ABC，所以PA⊥AB．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，则∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；…取AC的中点E，连接BE，DE，则DE∥PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE==，，所以…因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，…在直角三角形△BDM中，，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．…（Ⅲ）过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，则∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，…在△EBC中，，则BC==，，，…，即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．…18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；（2）设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），求得M，代入椭圆方程，求得P的坐标，求出直线BP的方程，可得N的坐标，设Q（x Q，y0），求得向量QM，QN的坐标，运用向量数量积计算即可得证．【解答】解：（1）由椭圆定义可得2a=4，又b=c且b2+c2=a2，解得a=2，b=c=，即椭圆C的标准方程为，则圆O的方程为x2+y2=2；（2）证明：设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），令x=0可得M（0，2k）．将和y=k（x+2）（k≠0）联立可得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，则，，，故，直线BP的斜率为，直线BP：，令x=0可得．设Q（x Q，y0），则，由，，可得，所以，即∠MQN是定值90°．19．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定出a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=2x﹣，因为f'（1）=1，f（1）=1，所以切点为（1，1），切线方程为y=x．（2）由已知得f′（x）=2ax﹣．①若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤恒成立，所以2a≤=1，即a≤．即a≤时，f（x）在（0，1]单调递减，（f（x））min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．②当a＞时，令f′（x）=2ax﹣=0，得x=∈（0，1]，所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以（f（x））min=f（）=（1+ln2a），由|f（x）|≥1得，（1+ln2a）≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞）．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k﹣1≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1＞b k，求n的最大值（用a，b表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意可直接写出答案；（Ⅱ）分情况计算b k﹣a k，得{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，从而可得S n；（Ⅲ）由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，结合（Ⅱ）知，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；（Ⅱ）∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n）=；（Ⅲ）∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，∴a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，由（Ⅱ）知b k﹣a k=，∴b k=a+，所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．2020年9月8日。

2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)

2020年天津市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|2<x <4}，B ={x|−2≤x ≤3}，则A ∩(∁R B)等于( )A. (1,2)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)∪(3,4) 2. 若复数z =4−i ，则z −z =( ) A. −1517+817i B. 1+817i C. 1517+817i D. 1517−817i 3. 在平行四边形ABCD 中，BC⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 下列有关命题的说法中错误的是( )A. 随机变量ξ～N(3,4)，则“c =3”是“P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)”的充要条件B. △ABC 中，“A >B ”的充要条件为“sinA >sinB ”C. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是(−∞,2)∪(6,+∞)D. 命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”5. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )．A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个6. 函数f(x)=e x −e −xx 2的图象大致为( ) A. B.C. D.7. 三个数a =0.43, b =(2.9)0.4, c =30.4之间的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. a <b <cD. b <c <a8.已知直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)与圆(x−1)2+(y−2)2=25交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是()A. [4,10]B. [3,5]C. [8,10]D. [6,10]9.函数y=sin2x−6sinx+1,x∈[π6,2π3]的最大值是()A. 1B. −4C. 74−3√3 D. −74二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．11.已知f(x)=xln(x−1)，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是____．12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，坐标原点为O，若以线段A1A2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且∠PFO=45°，则双曲线的离心率为______．13.(2x+x2)8的展开式中x的系数为______．14.已知P为球O球面上的一点，A为OP的中点，若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，则球O的表面积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(1)，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.设等差数列{a n}的公差为d>1，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和T n．17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知√3bcosA=asinB．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PA=AB=2，点Q为线段PC的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值；(3)求二面角A−PC−D的大小．19. 已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．20. 设函数f(x)=2lnx −x 2，g(x)=−x 2+x +2+a ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵B ={x|−2≤x ≤3}=[−2,3]，全集U =R ，∴C R B =(−∞,−2)∪(3,+∞)，又A ={x|2<x <4}=(2,4)，则A ∩C R B =(3,4)，故选：B ．由全集U =R ，找出R 中不属于集合B 的部分，求出B 的补集，找出B 补集与A 的公共部分，即可求出所求的集合此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型．学生求补集时注意全集的范围． 2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：A解析：本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．根据CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简可得结果．解：因为在平行四边形ABCD 中CD⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A ．4.答案：C解析：解：A.若P(ξ>c +2)=P(ξ<c −2)，则x =c +2与x =c −2关于x =3对称，则c+2+c−22=3，即c =3，故A 正确，B .△ABC 中，“A >B ”的充要条件为a >b ，由正弦定理得sinA >sinB ，故B 正确，C.若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则若命题“∀x∈R，使得x2+mx+2m−3≥0”恒成立，即判别式△=m2−4(2m−3)≤0，即m2−8m+12≤0，得(m−2)(m−6)≤0，得2≤m≤6，即C为假命题，D.命题“无理数的平方是有理数”的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”正确，故错误的命题是C，故选：C．A.根据正态分布的对称性与概率的关系进行判断B.根据正弦定理以及大边对大角的性质进行判断C.根据命题真假关系以及一元二次不等式恒成立与判别式△的关系进行判断D.根据全称命题的否定是特称命题进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5.答案：D解析：当三点在平面α一侧，一点在另一侧时，有4种情况；当两点在平面α一侧，另两点在平面α另一侧时，有3种情况．∴这样的平面α共有7个，故选D．6.答案：B解析：本题考查由函数解析式判断函数图象，属于基础题．利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案，选出正确选项．解：因为函数f(x)=e x−e−xx2的定义域是{x|x≠0}，且f(−x)=e −x−e xx2=−e x−e−xx2=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A；当x>0时，e x−e−x>0，即f(x)>0，排除D;当x→+∞时，e−x→0，由指数函数y=e x和二次函数y=x2的图象特征，可知此时f(x)→+∞，排除C;故选B．7.答案：C解析：利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：∵a=0.43∈(0,1)，1<2.90.4<30.4 ，∴a<b<c.故选C．8.答案：D解析：本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，属于中档题．通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．解：由直线l：(2k+1)x+(k+1)y+1=0(k∈R)得：(x+y+1)+k(2x+y)=0，故l恒过定点D(1,−2)．因为(1−1)2+(−2−2)2=8<25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．圆心C(1,2)，半径为5，|CD|=4，当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2√25−16=6．再由l经过圆心时弦长最长为2r=10，则|AB|∈[6,10]．故选：D．9.答案：D解析：本题主要考查了函数的最值，三角函数的定义域与值域的应用，属于基础题．由题意，可得y=(sinx−3)2−8，由正弦函数及二次函数的性质，可求出该函数的最大值．解：，又，∴sinx∈[12,1]，∴当sinx=12时，y max=(12−3)2−8=−74．故选D．10.答案：18解析：本题考查分层抽样方法，根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丁专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丁专业要抽取的人数．解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取60名学生进行调查，∴每个个体被抽到的概率是601000，∵丁专业有300人，∴要抽取300×601000=18，故答案为18．11.答案：y=2x−4解析：本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线的方程的运用，考查运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：f(x)=xln(x−1)的导数为f′(x)=ln(x−1)+xx−1，可得曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为k=ln1+2=2，切点为(2,0)，则切线的方程为y−0=2(x−2)，即为y=2x−4．故答案为：y=2x−4．12.答案：√2解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=−(x−c)，联立渐近线方程，可得P(aca+b ,bca+b)，由|OP|=a，可得(aca+b )2+(bca+b)2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有(a−b)(2a2+ab+b2)=0，可得a=b，则e=ca =√1+b2a2=√2．故答案为√2．13.答案：1792解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．解：(2x+x2)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅28−r⋅x3r−8，令3r−8=1，求得r=3，可得展开式中x的系数为C83⋅25=1792，故答案为：1792．14.答案：16π解析：解：∵过点A 且与OP 垂直的平面截球O 所得圆的面积为3π，∴截面圆的半径为√3，设球O 的半径为R ，则R 2=(12R)2+(√3)2，∴R =2，∴球O 的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．解析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球O 的半径，利用球的面积公式求出球O 的表面积即可．本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O 的半径是关键． 15.答案：(0,1)10解析：解：由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，|AB|=|AF|+|FB|=y A +y B +p=2×(4+1)=10．故答案分别为：(0,1)；10．由抛物线x 2=4y ，可得焦点F(0,1)，由|AB|=|AF|+|FB|═y A +y B +p ，再利用梯形的中位线定理即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式、梯形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：(本小题(12分)，第1小题(6分)，第2小题6分)解：(1)由题意可得：{10a 1+45d =100a 1d =2，解得{a 1=9d =29(舍去)或{a 1=2d =2，所以a n =2n −1，b n =2n−1．(2)∵c n=a nb n ，c n=2n−12n−1，∴T n=1+32+522+723+⋯+2n−12n−1…①，12T n=12+322+523+724+925+⋯+2n−12n…②①−②可得12T n=2+12+122+⋯+12n−2−2n−12n=3−2n+32n，故T n=6−2n+32n−1.(12分)解析：(1)利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．(2)化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．本题考查数列的通项公式的求法，等差数列以及等比数列的应用，考查数列求和的方法，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)asinB=√3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=√3sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴tanA=√3，A是三角形内角，∴A=π3．(Ⅱ)∵a=√7，b=2，A=π3．∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：7=4+c2−2×2×c×12，整理可得：c2−2c−3=0，解得：c=3或c=−1(舍去)，∴S△ABC=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32．解析：本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A 的大小即可．(Ⅱ)利用余弦定理可求c 的值，通过三角形面积公式即可得解．18.答案：(本小题9分)证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，………………(1分)正方形ABCD 中AC ⊥BD ，PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，………………(2分)所以BD ⊥平面PAC.………………(3分)解：(2)正方形ABCD 中AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，所以以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)．因为PA =AB =2，所以P(0,0，2)，D(0,2，0)，C(2,2，0)，因为点Q 为线段PC 的中点，所以Q(1,1，1)，所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)．………………(4分)设n ⃗ =(x,y,z)是平面PCD 的法向量，则有{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以{x =02y −2z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，………………(5分)因为cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63，………………(6分)所以直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值等于√63．(3)由(1)可知BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)是平面PAC 的法向量，由(2)n ⃗ =(0,1,1)是平面PCD 的法向量，因为cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，………………(8分)由图可知，二面角A −PC −D 为锐二面角，所以二面角A −PC −D 的大小为π3. ………………(9分)解析：(1)由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥BD ，再由AC ⊥BD ，能证明BD ⊥平面PAC ．(2)以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的大小求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b2a 2=23，则b 2a 2=59，① 由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a +259b =1，②解得：a 2=9，b 2=5，∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1； (2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，{x =my 5x 2+9y 2=5a2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2， ∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a √5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ，则{x =my −a 5x 2+9y 2=5a2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0，由y =0，或y 1=10am 5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1，则√5a√5m 2+9=2×10am 5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35，则直线AB 的斜率1m =5√33；方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1，由B ，C 在椭圆上，∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2，解得：x 2=a 4，y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ；方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2(1−x 2)x ，x >0，由f′(x)>0，可得{x >01−x 2>0，即x ∈(0,1)， ∴函数f(x)的单调递增区间是(0,1)；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，则ℎ′(x)=2−x x ，∴x ∈(1,2)时，ℎ′(x)>0，x ∈(2,3)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,2)上为增函数，在(2,3)上为减函数，∴ℎ(2)是ℎ(x)的极大值，也是ℎ(x)在(1,3)上的最大值．∵函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点，∴函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，则有ℎ(2)>0，ℎ(1)<0，ℎ(3)<0．∴有{2ln2−4−a >0−3−a <02ln3−5−a <0，解得：2ln3−5<a <2ln2−4，∴a 的取值范围是(2ln3−5,2ln2−4)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．(1)求出f(x)的导函数，由导函数大于0求得x 的范围可得函数f(x)的单调递增区间；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx −x −2−a ，把函数f(x)与g(x)在区间(1,3)内恰有两个交点转化为函数ℎ(x)在区间(1,3)内有两个零点，利用导数求ℎ(x)在(1,3)上的最大值，结合函数零点的判定列式求解．。

2020年天津市高考数学试卷(有详细解析)

2020年天津市高考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______．13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值； (Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20. 已知函数f(x)=x 3+klnx(k ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k =6时，(ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9x 的单调区间和极值；(Ⅱ)当k ≥−3时，求证：对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，有f′(x 1)+f′(x 2)2>f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2．答案和解析1. C解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}，2. A解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，3. A解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，4. B解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5. C解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R =√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R =3，S =4πR 2=36π．6.D解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，7.D解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，8.B解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．9.D解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k 的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．10. 3−2i解：i 是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i 5=3−2i ，11. 10解：∵(x +2x 2)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r x 5−r 2r x −2r =2r C 5r x 5−3r ，令5−3r =2，得r =1，∴x 2的系数是2×C 51=10，12. 5解：根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ；则圆心到直线x −√3y +8=0的距离d =8√1+3=4，若|AB|=6，则有r 2=d 2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5；13. 16 ；23解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，14. 4解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b ，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，15. 16 ；132解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16， ∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，16. 解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=8+25−132×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313，则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513， ∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．17. 解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)， (Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66，∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．18. 解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)， ∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0，解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．19. 解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1，∴a n =1+n −1=n ， ∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1；证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①，由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n ，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．20. 解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ，故f′(x)=3x 2+6x ， ∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1，当0<x<1，g′(x)<0，当x>1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．。

2020年天津市高考数学模拟试卷(含解析)

2020年天津市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，集合B={3,5}，则集合B∩(C U A)等于()A. {5}B. {1,2，3，4，5}C. {1,3，5}D. ⌀2.已知a∈R，则a2>3a是a>3的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.如图是容量为200的样本的频率分布直方图，那么样本数据落在[10,14)内的频率，频数分别为()A. 0.32； 64B. 0.32； 62C. 0.36； 64D. 0.36； 725.正方体的棱长为2，且它的8个顶点都在同一球面上，则球的表面积是()A. 16πB. 8πC. 4πD. 12π6. 设a =30.1,b =(13)−0.2,c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为 ( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x +√3y =0，则该双曲线的方程为( )A. x 23−y 2=1B. x 2−y 23=1C. x 26−y 22=1D. x 22−y 26=18. 将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y =g(x)的图象 ( )A. y =g(x)是奇函数B. g(x)在的周期为2πC. g(x)的图象关于直线x =π4对称D. g(x)在[0,π2]上单调递减9. 已知函数f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =_________．11. 在(x 2√x )5的展开式中，x 2的系数为______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A,B 两点．若|AB|=6，则r 的值为_________．13. 甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_______． 14. 已知a >0，b >0，且12a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为________．15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°, AB =3，BC =6，且AD →=λBC →, AD →⋅AB →=−32，则实数λ的值为_________，若M,N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM →⋅DN →的最小值为_________．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足sinA−sinCb =sinA−sinBa+c．(1)求C；(2)若cosA=17，求cos(2A−C)的值．17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC1=3，点D, E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1 CE=2, M为棱A1B1的中点．(Ⅰ)求证：C1M⊥B1D；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；18. 已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知等差数列{a n }满足a 3=5，a 2+a 6=14，等比数列{b n }满足b 1=1，b 4=8．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ii)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9x的单调区间和极值；(Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，属于基础题．根据补集与交集的定义，求出∁U A ，即可得到B ∩(∁U A)．解：全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={2,3，4}，B ={3,5}， ∴∁U A ={1,5}， ∴B ∩(∁U A)={5}．故选A ．2.答案：B解析：解：由a 2>3a ，解得a >3或a <0． ∴a 2>3a 是a >3的必要不充分条件．故选：B ．由a 2>3a ，解得a >3或a <0.即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，故选：A ．4.答案：D解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，是基础题目．小矩形的面积即为样本数据落在[10,14)内的频率，频率乘以样本容量即为样本数据落在[10,14)内的频数．解：根据频率分布直方图，得：样本数据落在[10,14)内的频率为：4×0.09=0.36；样本数据落在[10,14)内的频数为：200×0.36=72．故选：D．5.答案：D解析：本题主要考查正方体外接球的表面积，是基础题．正方体的对角线就是该球(外接球)的直径2R，求出R，即可求出该球的表面积．解：由题意，正方体的对角线就是该球(外接球)的直径2R，∴2R=√22+22+22=2√3，∴R=√3，∴该球的表面积S=4πR2=12π．故选D．6.答案：D解析：本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．)−0.2=30.2，解：a=30.1，b=(13则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.答案：A解析：解：抛物线的准线方程为x=−2，∴(−2,0)为双曲线的一个焦点，∴a2+b2=4，又双曲线的渐近线方程为y=±bax，且双曲线的一条渐近线方程为x+√3y=0，∴ba =√33，∴a=√3，b=1．∴双曲线方程为x23−y2=1．故选：A．根据焦点坐标和渐近线方程求出a、b的值即可．本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，属于中档题．8.答案：D解析：【试题解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质，函数平移，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)图象变换规律得函数g(x)，即可得到答案．解：将f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位，可得g(x)=sin2(x+π4)=sin(2x+π2)=cos2x，则y=g(x)为偶函数，故A错误；g(x)的周期为π，故B错误；当x=π时，g(x)=0，故C错误；4]时，2x∈[0,π]，当x∈[0,π2]上单调递减，故D正确．故g(x)在[0,π2故选D．9.答案：D解析：本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，(x2<x1)当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k图象如图所示，。

2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年天津市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。