黑龙江省牡丹江市高考数学一轮复习：34 合情推理与演绎推理
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
高考数学一轮复习专题训练—合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理考纲要求1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识梳理1．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)类比推理的结论不一定正确．(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．如图，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()A．12 B．48 C．60 D．144答案 D解析由题干图中的数据可知，每行除首末两数外，其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积．所以a＝12×12＝144.3．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)．4．(2020·贵阳一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确答案 A解析大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．故选A.5．(2021·郑州质检)某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：甲说：丙或丁竞选成功；乙说：甲和丁均未竞选上；丙说：丁竞选成功；丁说：丙竞选成功．若这四人中有且只有两人预测的正确，则成功竞选学生会主席职位的是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案 D解析若成功竞选的是甲，则甲、乙、丙、丁四人的预测均错误，故不合题意；若成功竞选的是乙，则甲、丙、丁三人的预测错误，乙的预测正确，故不合题意；若成功竞选的是丙，则甲、乙、丁三人的预测正确，丙的预测错误，故不合题意；若成功竞选的是丁，则甲、丙两人的预测正确，乙、丁两人的预测错误，符合题意．故选D.6．(2020·桂林模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝f(2)＝1，且对任意n∈N*恒有f(n＋2)＝f(n＋1)＋f(n)，观察下列等式：f(1)＋f(2)＝2＝3－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1，可推测f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝________.答案f(n＋3)－1解析根据题意可得f(3)＝2，f(4)＝3，f(5)＝5，f(6)＝8，f(7)＝13，因为f(1)＋f(2)＝2＝3－1＝f(4)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1＝f(5)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1＝f(6)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1＝f(7)－1，可推测f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝f(n＋3)－1.故答案为f(n＋3)－1.考点一归纳推理角度1与图形变化有关的推理【例1】中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为()答案 B解析各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，则8 335用算筹可表示为.故选B.角度2与数字或式子有关的推理【例2】 已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，……，3 2 021＋mk＝2 0213m k ，则k ＋1m 2＝________.答案 2 021解析 由已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，……，可归纳出3n ＋n n 3－1＝n 3nn 3－1， 又因为32 021＋mk ＝2 0213m k，所以m ＝2 021，k ＝2 0213－1， 所以k ＋1m 2＝2 0213－1＋12 0212＝2 021.感悟升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )A ．81B ．121C ．364D ．1 093(2)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 (1)C (2)4n n ＋13解析 (1)由图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1； n ＝2时，a 2＝3＋1＝4； n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13； n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40； n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121； n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364，故选C. (2)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n n ＋13.考点二 类比推理【例3】 (1)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为________．(2)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e 1，则sin A ＋sin C sin B ＝1e 1，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，双曲线的离心率为e 2，则有________．答案 (1)P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1(2)|sin A －sin C |sin B ＝1e 2解析 (1)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.(2)因为△ABC 的顶点B 在双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)上，顶点A ，C 分别是双曲线的左、右焦点，所以有|BA －BC |＝2a 2， 所以1e 2＝2a 22c 2＝|BA －BC |AC，由正弦定理可得BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ，所以|sin A －sin C |sin B ＝1e 2.感悟升华 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；实数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】(2020·赣州一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________．答案x＋2y－z－4＝0解析将平面中的运算类比到空间中的运算得：经过点B(2,3,4)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0，即平面的方程为x＋2y－z－4＝0.考点三演绎推理【例4】(2020·河南六校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟．根据上述调查结果，下列结论错误的是()A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟答案 D解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝∅，B⊆C，D∩C＝∅，∁U D＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝∅.选项A，B∩D＝∅，正确；选项B，B＝C，正确；选项C，A⊆D，正确，故选D.感悟升华解决逻辑推理问题的两种方法：(1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．(2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案．【训练3】(1)(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙(2)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案(1)A(2)①6②12解析(1)由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，故若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.(2)设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z 均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6. ②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.基础巩固一、选择题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n －1答案 C解析 a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )答案 D解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．3．(2020·合肥一模)2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”“国富民强”“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一个是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是()A．小明B．小红C．小金D．小金或小明答案 B解析依题意，三个人制作的所有情况如下所示：12345 6鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足．故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选B.4．(2021·安徽六校测试)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案 D解析(1)由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)，故选D.5．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S1，S2，S3猜想出数列{a n}的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.6．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.7．若等差数列{a n}的前n项之和为S n，则一定有S2n－1＝(2n－1)a n成立．若等比数列{b n}的前n项之积为T n，类比等差数列的性质，则有()A．T2n－1＝(2n－1)＋b n B．T2n－1＝(2n－1)－b nC．T2n－1＝(2n－1)b n D．T2n－1＝b2n－1n答案 D解析 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n ，…，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n. 8．(2020·昆明质检)斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，在数学上，斐波那契数列{a n }定义为：a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据a n ＋2＝a n ＋a n ＋1可得a n ＝a n ＋2－ a n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n ＋2－a n ＋1)＝a n ＋2－a 2＝a n ＋2－1，类比这一方法，可得a 21＋a 22＋…＋a 210＝( )A ．714B ．1 870C ．4 895D ．4 896答案 C解析 将a n ＋1＝a n ＋2－a n 两边同乘a n ＋1，可得a 2n ＋1＝a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 210＝a 21＋(a 2a 3－a 2a 1)＋(a 3a 4－a 2a 3)＋…＋(a 10a 11－a 9a 10)＝1－a 2a 1＋a 10a 11＝1－1＋55×89＝4 895.故选C. 二、填空题9．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0202<________. 答案4 0392 020解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，分子是一个以3为首项，2为公差的等差数列中的项，可以推出1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n ，所以1＋122＋132＋…＋12 0202<2 020×2－12 020＝4 0392 020. 10．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案 55解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.11．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________． 答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.12．如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，……，则第40组的第21个数对为________． 答案 (22,20)解析 由题意可得第1组数对中的各数的和为3，第2组数对中各数的和为4，第3组数对中各数的和为5，第4组数对中各数的和为6， ……第n 组数对中各数的和为n ＋2，且各个数对中无重复数字， 可得第40组数对中各数的和为42， 则第40组的第21个数对为(22,20)．能力提升13．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70周年时为( ) A ．“丙酉”年 B ．“戊申”年 C ．“己申”年 D ．“己亥”年答案 D解析 中华人民共和国成立70周年时为2019年，从1949到2019共有71个数，若把天干排成一列，记为{a n }，且a 1＝“己”，则a 71＝a 7×10＋1＝a 1＝“己”；若把地支排成一列，记为{b n }，且b 1＝“丑”，则b 71＝b 5×12＋11＝b 11＝“亥”．所以中华人民共和国成立70周年时为“己亥”年，故选D.14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x求得x ＝5＋12.类比上述过程，3＋23＋2…＝( ) A ．3 B ．13＋12C ．6D ．2 2答案 A解析 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)， 令3＋23＋2…＝m (m >0)，则两边平方得，3＋23＋23＋2…＝m 2，即3＋2m ＝m 2，解得m ＝3或m ＝－1(舍去)．故选A. 15．(2021·武汉模拟)观察下列数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …设数100为该数表中的第n 行，第m 列，则mn ＝________. 答案 114解析 观察数表可知第n 行的数的个数为a n ＝2n －1，则前n 行的所有数的个数之和S n ＝1－2n1－2＝2n －1，数表中的数是由正偶数排列而成的，而数100是第50个数，令2n －1＝50，解得5<n <6，则100在这个数表中的第6行，S 5＝31，则100在这个数表中的第19列，即n ＝6，m ＝19，所以mn ＝6×19＝114.16．(2021·豫南九校质量考评)已知函数f (x )＝1x ＋1x ＋1＋1x ＋2，由f (x －1)＝1x －1＋1x ＋1x ＋1是奇函数，可得函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，类比这一结论，可得函数g (x )＝x ＋2x ＋1＋x ＋3x ＋2＋…＋x ＋7x ＋6的图象关于点________对称．答案 ⎝⎛⎭⎫－72，6 解析 由题意得g (x )－6＝x ＋2x ＋1－1＋x ＋3x ＋2－1＋x ＋4x ＋3－1＋x ＋5x ＋4－1＋x ＋6x ＋5－1＋x ＋7x ＋6－1＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4＋1x ＋5＋1x ＋6， 则g ⎝⎛⎭⎫x －72－6＝1x －72＋1＋1x －72＋2＋1x －72＋3＋1x －72＋4＋1x －72＋5＋1x －72＋6＝1x －52＋1x －32＋1x －12＋1x ＋12＋1x ＋32＋1x ＋52， 令g ⎝⎛⎭⎫x －72－6＝h (x )， ∴h (－x )＝1－x －52＋1－x －32＋1－x －12＋1－x ＋12＋1－x ＋32＋1－x ＋52＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，∴函数g (x )＝x ＋2x ＋1＋x ＋3x ＋2＋…＋x ＋7x ＋6的图象关于点⎝⎛⎭⎫－72，6对称.。
高考数学第一轮总复习知识点课件 第一节 合情推理与演绎推理
举一反三
3. 用三段论证明函数f(x)=- +x22x在(-∞,1]上是增函数.
证明 设 ∈x1 (-∞,1], ∈(x-2∞,1],
则 x x2 x1,
x1 x2
y f x2 f x1 x22 2x2 x12 2x1
x12 x22 2x2 2x1
x1 x2 x1 x2 2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 2.
4
猜想:若β-α=30°,则β=30°+α,
sin2 cos2 sin cos 3
4
也可直接写成sin2 cos2 300 sin cos 300 3 4
下面进行证明:
左边 1 cos 2
1 cos
2 600
sin cos 300
2
2
1 cos 2 1 cos 2 cos 600 sin 2 sin 600 sin cos cos 300 sin sin 300
分析 在用演绎推理证明问题时，一定要按“三段论”的形式推理，当然有 时可以省略大前提或小前提. 证明 如图,（1）等腰三角形两底角相等（大前提）， △DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰（小前提）， ∠1=∠2(结论). （2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等（大前提）， ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提）， ∠1=∠3（结论）. （3）等于同一个量的两个量相等（大前提）， ∠2和∠3都等于∠1（小前提）， ∠2=∠3（结论），即AC平分∠BCD. （4）同理DB平分∠CBA.
分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加 以比较.
解 （1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量; （2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：
高三数学(文)一轮复习课件：合情推理与演绎推理
1.合理推理
（1）归纳推理:由某类事物的 部分对象具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出 一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到 整体,由个别 到 一般的推理. （2）类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. （3）合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察 ，分析，比较， 联联想想，再进行 归纳，类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
项和 Sn 是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理. 【答案】B
2/18/2020
4.(2013·南京调研)将正奇数排列如图形式，其中第 i 行第 j 个数表示 aij(i ∈N*，j∈N*)，例如 a32＝9，若 aij＝2 013，则 i＋j＝____.
1
35
7 9 11
13 15 17 19 【解析】根据正奇数排列的…正三角图表知，2013 是第 1007 个奇数，应排 在 i 行(其中 i∈N*)，
2/18/2020【答案】62
5.对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3×3 方格，接着
用中心和四个角的
5
个小正方形，构成如图
1
所示的几何图形，其面积 S1
5； 9
第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，
得到图
2；依此类推，到第
n
步，所得图形的面积 Sn
（2）(2014·济宁模拟)给出下列命题：
命题 1：点(1，1)是直线 y＝x 与双曲线 y＝ 1 的一个交点； x
高考数学合情推理与演绎推理一轮复习
2.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质;
C
)
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出
所有三角形的内角和都是180°; ③李锋某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分;
④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,
由此得凸n边形内角和是(n-2)·180°. (A)①② (B)①③
(C)①②④
(D)②④
解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理,所以①②④为合情 推理.故选C.
3.下面给出了四个类比推理: (1)由“若a,b,c∈R则(ab)c=a(bc)”类比推出“若a,b,c为三个向量,
则(a·b)·c=a·(b·c)”;
知识链条完善
【教材导读】
1.归纳推理与类比推理的主要特点是什么?
把散落的知识连起来
提示:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是特
殊到特殊的推理.
2.演绎推理的主要形式是什么? 提示:三段论,即大前提、小前提和结论. 3.演绎推理所获得的结论一定可靠吗? 提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真 实的,错误的前提则可能导致错误的结论.
第 3节
合情推理与演绎推理
最新考纲
1.了解合情推理的含义,能进含义,掌握演绎
推理的“三段论”,并能运用“三 段论”进行一些简单的演绎推理.
会并认识合情推理在数学发现中
的作用.
3.了解合情推理和演绎推理的联
系和差异.
知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析
S1 1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的 S2 4 V1 = V2
2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心素养测评三十四合情推理与演绎推理
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核心素养测评三十四合情推理与演绎推理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.“三段论”是演绎推理的一般模式,下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 ( )①矩形是平行四边形;②矩形对角线互相平分;③平行四边形对角线互相平分.A.③②①B.①③②C.③①②D.②①③【解析】选C.根据题意,按照演绎推理的三段论,应为:大前提:平行四边形对角线互相平分,小前提:矩形是平行四边形,结论:矩形对角线互相平分;所以正确的排列顺序是③①②.2.(2019·顺德模拟)若点P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)内,则被P0所平分的弦所在的直线方程是+=+,通过类比的方法,可求得:被P(1,1)所平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是( )A.x-4y+3=0B.x+4y-5=0C.x-4y-5=0D.x+4y+3=0【解析】选A.点P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)内,被P0所平分的弦所在的直线方程是+=+,通过类比的方法可得,点Q(x1,y1)在双曲线-=1(a>0, b>0)内,被Q所平分的弦所在的直线方程是-=-,所以被P(1,1)所平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是-y=-1,即x-4y+3=0.3.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”; 乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”; 丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选A.由四人的预测可得下表:1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.【变式备选】在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是( )A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意;若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意;若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意;若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.4.等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,则数列为等差数列,公差为.类似地,若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q,前n项的积为T n,则等比数列{}的公比为( )世纪金榜导学号A. B.q2 C. D.【解析】选C.由题设,得T n=b1·b2·b3·…·b n=b1·b1q·b1q2·…·b1q n-1 =q1+2+…+(n-1)=.所以=b1,所以等比数列{}的公比为.5.(2020·泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,记此数列为{a n},则a2 019= ( )世纪金榜导学号A.1B.2C.4D.8【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为20,第2组为20,21,第三组为:20,21,22,…,则数列的前n组共有项,由于=2 016,故数列的前63组共有2 016项,数列的第2 017项为20,数列的第2 018项为21,数列的第2 019项为22,所以a2 019=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·丰台模拟)已知数列{a n}的通项a n=2n-1,把{a n}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵.13 57 9 1113 15 17 19……(1)数阵中第5行所有项的和为________.(2)2 019是数阵中第i行的第j列,则i+j=________.【解析】(1)21+23+25+27+29=125.(2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+…+44=990,故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65.答案:(1)125 (2)657.(2020·孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=________.【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,因为(2πr4)′=8πr3,所以“超球”的四维测度W=2πr4.答案:2πr48.(2020·佛山模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是________. 世纪金榜导学号【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.答案:60(15分钟25分)1.(5分)图①是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”,重复图②的作法,得到图③为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )A.nB.n2C.n-1D.n+1【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1.2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于世纪金榜导学号( )A. B. C.-1 D.+1【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为-=1(a>0,b>0),则B(0,b), F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中因为⊥,所以·=0.又=(c,b),=(-a,b).所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e=(负值舍去).3.(5分)(2020·清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下: 世纪金榜导学号安全出口编号A,B B,C C,D D,E A,E疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是( )A.AB.BC.DD.E【解析】选C.同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s,同时开放D、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s, 得到D疏散乘客比A快;同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s, 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,得到B疏散乘客比E快;同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s, 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,得到A疏散乘客比C快;同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s, 同时开放C、D两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s,得到D疏散乘客比B快.综上,疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D.4.(10分)(2019·龙岩模拟)已知函数f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1),(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值.(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.【解析】(1)f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=×+×=+==g(3),因为函数g(x)是单调函数,所以k=3.(2)由g(3)=g(1+2)=f(1)·g(2)+f(2)·g(1),猜想:g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).证明:f(x)·g(y)+f(y)·g(x)=×+×=+==g(x+y),所以g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高三数学一轮复习 6.4合情推理与演绎推理课件
理．
第三页，共50页。
(2)类比推类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某
些已知特征，推出另一类对象也具有 ②特点：类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)是由
的推这理些．(zhèxiē) 到 特的征推理．
[探究]
绎推理的基本模式，并能运用 2.对演绎推理(tuīlǐ)的考查
它们进行一些简单推理.
则渗
3.了解合情推理和演绎推理之间的
透在解答题中，侧重于
联系和差异.
对推理(tuīlǐ)形式的考查.
第二页，共50页。
[归纳 知识(zhī shi)整合]
1．合情合理 (1)归纳推理： ①定义：由某类事物的部分对象(duìxiàng)具有某些特 征，推出该类事全物部的(quánbù)对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事实概括出一般结论的推理．
(2)f(0)＋f(1)＝ 33，f(－1)＋f(2)＝ 33， f(－2)＋f(3)＝ 33，猜想 f(x)＋f(1－x)＝ 33，
第十二页，共50页。
证明：∵f(x)＝3x＋1
， 3
∴f(1－x)＝31－x＋1
3＝3＋3x3·3x＝
3
3x 3＋3x.
∴f(x)＋f(1－x)＝3x＋1
＋ 3
3
3x 3＋3x
第八页，共50页。
4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平 行于平面，则直线平行(píngxíng)于平面内所有直线；已 知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直 线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为________. 解析：大前提是错误的，直线平行(píngxíng)于平面，则 不一定平行(píngxíng)于平面内所有直线，还有异面直线 的情况．
高考数学新一轮总复习 12.3 合情推理与演绎推理考点突破课件 理
A．dn＝c1＋c2＋n …＋cn
B．dn＝c1·c2n·…·cn
()
n C．dn＝
c1n＋cn2＋…＋cnn n
D．dn＝n c1·c2·…·cn
第二十一页，共41页。
• (2)(2014·江西八所重点高中模拟)半径为r的 圆的面积(miàn jī)S(r)＝π·r2，周长C(r)＝ 2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则 (π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆 的面积(miàn jī)函数的导数等于圆的周长函 数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋ ∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ____________，此式可用语言叙述为
• (1)归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
•
结论：∀d∈M，d也具有某属性．
•
(2)类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
•
B：具有属性a′，b′，c′；
•
结论：B具有属性d′
•
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
第十二页，共41页。
• 4．应用三段论解决问题时，应首先明确什 么是大前提，什么是小前提，如果大前提 与推理表式是正确的，结论必定是正确 的．如果大前提错误，尽管推理形式是正 确的，所得结论也是错误的．
第二页，共41页。
• (二)命题趋势 • 1．从考查内容看，类比推理、演绎推理是
考查的重点，其中归纳推理与数列结合的问 题是考查的热点． • 2．从考查形式看，三种题型都可能出现， 常以选择题、填空题的形式考查合情推理； 以选择题或解答(jiědá)题的形式考查演绎推 理，题目多属中低档题．
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比数列，则
c1·c2·…·cn
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第二节 合情推理与演绎推理(课件)
角度3 与图形有关的推理 [例3] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立 的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供 了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树 形 图 ； 记 图 乙 中 第 n 行 黑 圈 的 个 数 为 an ， 则 (1)a4 ＝ _1_3___ ； (2)2an ＝ __3_n－_1_－__1_．
A．66
B．55
C．45
D．38
答案：B
反思感悟 演绎推理的论证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三 段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是 显然的，则可以省略，本例题中，等比数列的定义在解题中是大前提， 由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段 论才能完成．
·考向预测· 考情分析：以类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常 以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．在 高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题． 学科素养：通过合情推理与演绎推理的应用考查逻辑推理的核心素 养．
必备知识—基础落实
合情推理 演绎推理
2．合情推理
反思感悟 1．归纳推理的常见类型及求解策略 (1)数的归纳，包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细 心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知 识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳，主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的 关键是抓住相邻图形之间的关系．
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黑龙江省牡丹江市高考数学一轮复习：34 合情推理与演绎推理
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线
∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（）
A . 大前提错误
B . 小前提错误
C . 推理形式错误
D . 非以上错误
2. （2分） (2017高二下·长春期末) 下列四个推理中，属于类比推理的是（）
A . 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电
B . 一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2 整除
C . 在数列中，，可以计算出，所以推出
D . 若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为
3. （2分） (2020高三上·泸县期末) 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（）
A . 甲
B . 乙
C . 丙
D . 丁
4. （2分） (2020高二下·郑州期末) 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）
A . 甲
B . 乙
C . 丙
D . 丁
5. （2分）①已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；②由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，可得到1+3+5+…+2n﹣1=n2 ，则①﹑②两个推理依次是（）
A . 类比推理﹑归纳推理
B . 类比推理﹑演绎推理
C . 归纳推理﹑类比推理
D . 归纳推理﹑演绎推理
6. （2分）三角形的内角和为180º，凸四边形内角和为360º，那么凸n边形的内角和为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·海淀模拟) 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，大圆盘上所写的实数分别记为y1 ， y2 ， y3 ， y4 ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90° ，记Ti（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1 ．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）
A . T1 ， T2 ， T3 ， T4中至少有一个为正数
B . T1 ， T2 ， T3 ， T4中至少有一个为负数
C . T1 ， T2 ， T3 ， T4中至多有一个为正数
D . T1 ， T2 ， T3 ， T4中至多有一个为负数
8. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 由“ ，，”得出：“若且，则”这个推导过程使用的方法是（）
A . 数学归纳法
B . 演绎推理
C . 类比推理
D . 归纳推理
9. （2分） (2018高二上·陆川期末) 如下图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）
A . 12
B . 48
C . 60
D . 144
10. （2分） (2017高二下·中山期末) 大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”
的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：，如果把这个数列{an}排成如图形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为（）
A . 1200
B . 1280
C . 3528
D . 3612
11. （2分）观察这列数：1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4，则第2013个数是（）
A . 403
B . 404
C . 405
D . 406
12. （2分）下列说法正确的是（）
A . 由合情推理得出的结论一定是正确的
B . 合情推理必须有前提和结论
C . 合情推理不能猜想
D . 由合情推理得出的结论无法判断正误
二、填空题 (共5题；共6分)
13. （1分） (2020高二下·吉林期中) 类比圆的特征，可以得到 ________相关特征.
14. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 观察如图等式，照此规律，第n个等式为________．
15. （1分） (2019高一上·重庆月考) 现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a，b，c……，z这26个字母，依次对应1，2，3……，26这26个正整数.（见下表）
a b c d e f g h i j k l m 12345678910111213
n o p q r s t u v w x y z 14151617181920212223242526
用如下变换公式：将明文转换成密码．如．即
h变成q；再如：，即y变成m；按上述变换规则，若将明文译成的密码是gano，那么原来的明文是________．
16. （1分）(2017·佛山模拟) 所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22 ， 28=22+23+24 ，…，按此规律，8128可表示为________．
17. （1分） (2015高二下·宜春期中) 观察下列等式：13+23=32 ， 13+23+33=62 ， 13+23+33+43=102 ，…，根据上述规律，得到一般结论是________．
三、解答题 (共3题；共30分)
18. （10分）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．
（1）求出，，，的值；
（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；
（3）猜想的表达式，并写出推导过程．
19. （10分） (2017高二下·鞍山期中) 中山已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=﹣，满足Sn+ +2=an （n≥2）．
（1）计算S1 ， S2 ， S3 ， S4；
（2）由（1）猜想Sn的表达式．
20. （10分） (2017高二下·太和期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=2，3Sn=an（n+2），n∈N* ．
（Ⅰ）求a2 ， a3并猜想an的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共5题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
17-1、
三、解答题 (共3题；共30分) 18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
20-1、。