卡方检验()

第六章 2 检 验
一、2分布的定义
2分布是从正态分布派生出来的一个连续型分布，与正
态分布和t分布关系密切。下面的定理清楚地表明了其间的关
系。
定理1： 设Z1,…., Zn 是n 个独立的标准正态变量N(0 1),
则其平方和
Z
2 1










Z
2 n

2 (n)
服从自由度为n的2 分布。 推论1： 标准正态变量Z的平方服从自由度为1的2 分
50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较
患高血压人数 未患人数
首钢工人
386
895
石景山区农民
65
322
合计
451
1217
合计 1281 387 1668
解：
① 建立检验假设
H0：π1 =π2 (工人与农民的总体患病率相同) =0.05
② 估计总体某现象的发生或存在的概率，假定高血压的 发生和这两种工种众彼此独立无关，因此，这两组资 料是一总体中的两个随机样本，估计
A 代表“吸烟与否”， A1=“吸烟”， A2=“不吸烟”， B 代表“患肺癌与否”，B1=“患肺癌”, B2=“未患肺 癌”。 于是，A与B 相互独立，就意味着吸烟与肺癌无关联。
吸烟与不吸烟患者患肺癌的概率应当相等，
即 P(B1/A1)= P(B1/A2)=P(B1)=a+c/n
而 吸烟者出现的概率 P(A1)= a+b/n, 不吸烟者出现的概率 P(A2)= c+d/n,
（1）单侧检验 若现有样本四格表中D*>0，须计算 满足Di≥D* 和Pi≤P*条件的各种组合下四格表的累计概 率。若D*<0，则计算满足Di≤D*和Pi≤P*条件的各种组 合下四格表的累计概率。
（2）双侧检验 计算满足Di≥D*和Pi≤P*条件的各种 组合下四格表的累计概率。
若遇到a+b=c+d或a+c=b+d时，四格表内各种组 合的序列呈对称分布，此时按单侧检验规定条件只计 算单侧累计概率，然后乘以2即得双侧累计概率。
包括两种类型：
1、检验观察数与理论数之间的一致性。
2、通过检验观测数与理论数之间的一致性来判断 事物 之间的独立性。
Pearson 拟合优度（goodness of fit test ）2 检验
由于各 皆 2是正值，故自由度愈大， 值也2 会愈大；所
以只有考虑了自由度的影响， 值才2 能正确地反映实际
( ad bc n )2 * n
2

a

ba

cb
2
d c

d
(187 6 36 11 240)2 240

2
223 17 198 42
2.796
∵ 2<

2
0.05，1
∴ P 〉0.05 无显著性意义。
即不能得出使用丹参注射液降低死亡率的结论。
②
2 (187 6 36 11)2 240 4.0125
22317 198 42
③
∵

2
>
2 0.05,1
∴ P<0.05 否定原假设
④ 结论为：使用丹参可以降低死亡率。
因为本例T22=17×42/240=2.925 即 1〈T22 〈5 ， 同时df=1 ,n>40
组别
两组新生儿HBV感染率的比较
阳性
阴性
合计 感染率（%）
预防注射组
4
18
22
非预防组
5
6
11
合计
9
24
33
18.18 45.45 27.27
问两组新生儿的HBV总体感染率有无差别？
基本思想
在四格表周边合计数固定不变的条件下，计算表内4个实际 频数变动时的各种组合之概率pi ,再按检验假设用单侧或双侧 的累计概率p, 依据所取的检验水准α做出推断。
(1)
0
22
9
2
ad-bc= -198
(6)
5
17
4
7
(2)
1
21
8
3
ad-bc= -165
(7)
6
16
3
8
(3)
2
20
7
4
ad-bc= -132
(8)
7
15
2
9
(4)
3
19
6
5
ad-bc =-99
(9)
8
14
1
10
(5)
4
18
5
6
ad-bc= -66
(10)
9
13
0
11
ad-bc= -33 ad-bc=0
⑤ 查 2 分布界值表，作出统计结论。
2 3 84 005.1
2 6.63 001, 1
d.f = (r-1)(c-1)=1； 故按 p<0.01 水准拒绝Ho 接受H1 。
⑥ 结合具体问题作出专业结论：不同职业的高血压患病率极显著意 义，工人的高血压患病率显著高于农民。
应用简化公式计算:
总体患病率= 451/1668 =0.2704
未患率= 1217/1668=0.7296
50-59 岁男性工人与农民高血压患病比较
首钢工人 石景山区农民
患高血压人数
观察数
理论数
386
346.4
65
104.6
合计
451
451
患高血压人数 合 计
观察数 理论数
895
934.6 1281
322
282.4 387
ad-bc=33
ad-bc=66
ad-bc= 99
二、检验步骤
本例n 33 40 ，宜用四格表资料的Fisher确切概 率法直接计算累计概率。检验步骤为：
Fisher确切概率法计算表
四格表组合
i
a百度文库
b
c
d
Di=ad-bc
Pi
1
0
22
9
2
-198
0.00000143
2
1
21
8
3
-165
0.00009412
频数和理论频数的吻合程度。 检验2 时，要根据自由度
查界值表。当 ≥ 2 时，2, 拒p绝 0.05，接受H0 ；当 ≤H1 ，
时，尚 2没有2理, 由p 拒0.0绝5 。
H0
自由度
检验的自由度取决于可以自由取值的格子数目，而 不是样本含量n。四格表资料只有两行两列，自由度 (df)=1，即在周边合计数固定的情况下，4个基本数 据当中只有一个可以自由取值.
布。即：Z2 =2 (1) 在定理中令n=1 即得此推论。
二、2分布的性质
1、2 分布的概率密度函数f(2 ,)的图形见下图。
特点： （1） 自由度 越大，曲线越趋近于对称； （2） 当自由度，2 分布趋向正态分布。
2、若 2 ,则 E(X)= , Var(X)=2
3、2 分布具有可加性。 若 X1 2 X2 2 ， 且 X1 与 X2 独立， 则（X1+X2） 2
例2
某医院为了探索导致手术切口感染的原因，怀疑 手术时间长短可能是一个危险因素。于是，收集了 305例手术患者的情况列于下表，问手术时间长短对 患者切口是否感染有无影响？
两种手术时间下患者的切口感染情况
手术时 （小时）
感染
感染情况 未感染
合计
≤5
13
229
242
>5
7
56
63
1. 建立检验假设 （H0: 手术长短与切口感染与否 互相独立， 或两种手术时间所对应的切口感染 率相等） α=0.05
故 吸烟者同时患有肺癌的概率为： P(A1 B1)= P(A1) P(B1/ A1)
公式 P(A1 B1)= P(A1) P(B1)=(a+b)/n×(a+c)/n
故在前述独立性假设检验的前提下，与观察频数a对应的 理论频数为：
T 11

nP A1 B1


(a

b)
n
(a

c)
TRC

nR .nC n
2. 计算检验统计量2 值
2 305113 56 229 71 0 5 3052 1832 1
242 63 20 285
3. 查2 分布界值表，作出统计结论
2 3.84 2 1.832 P 0.05 005,1
4. 结合具体问题作出专业结论 :尚不能认为手术时间的 长短是导致切口感染的一个危险因素。

2

a

n(ad bc)2
bc d a cb

d

1668(386 322 895 65)2

26.75
1281 387 4511217
(2) n40, 但有1 Tij <5时，需对上述公式进行连续性 校正。

2

a
n ad
bc

bc 0.5n2
d a cb
d

2 界值表是根据连续性的理论分布计算出来的，但 原始数据属分类资料是不连续的，由此计算的2 值也 是不连续的，特别是在自由度为1的四格表时，用以 上方法计算的2 值表查2 界值表，所得概率偏低。 另一方面，由于理论数小，分数值就大，最后使2值 变得较大，易导致假阳性错误。
3
2
20
7
4
-132
0.00197656
4
3
19
6
5
-99
0.01844785
处理
属性
合计
阳性
阴性
1
A11(T11)
A12(T12) n1（固定值）
2
A21(T21)
A22(T22) n2（固定值）
合计
m1
m2
n
有时为方便用a、b、c、d分别为四格表中四个实际
频数
A11、A12、A21、A22
1.独立性假设与理论频数计算
在对22表作统计处理之前，通常都有一个笼统的检 验假设，即属性A与B 相互独立。为便于理解这个独立性假 设，不妨给上表赋予实际内容。以研究吸烟与肺癌的关系 为例，设
特例:
对240例心肌梗塞患者治疗24小时内的死亡情况 进行观察，198例用复方丹参注射液静滴治疗，死亡 11例；42例未用复丹参注射液静滴治疗，死亡6例， 问两组病死率相差是否显著?
生存
用丹参 187
不用丹参 36
合计
223
死亡
11 6 17
合计
198 42 240
死亡率 %
5.56
14.28
① H0：π1 =π2 (用不用丹参死亡率相同)
检验的基本思想
以两样本率比较的检验为例，介绍 检验2 的基本思想。 分布是一种连续型分布 分布的 2 形状依赖于自由度的大 小， 2
当自由度≤2时，曲线呈L型；随着的增加，曲线逐渐趋 于对称； 当自由度→∞时, 分 2布趋向正态分布。 分布2 的具有可 加性。
完全随机设计两样本率比较的四格表
T
度。若检验假设H 0成立，实际频数与理论频数的差值小， 则 值2 也会小；反之，若检验假设不成立，实际频数与理 论频数的差值会大，则 值2 也会大。值2 的大小还取决于 个数的多少（严格地说是自由度的大小）。
K.Pearson (1899)提出的拟合优度检验是用来检验实 际观察数于依照某种假设或模型计算出来的理论数之间 的一致性，以便判断该假设或模型是否与观察数相配合。
自由度=(行数-1)(列数-1)
(1) 四格表 2 检验
2χ2 表的计算 (1) 当n40, Tij 5的条件下 可用下列简化公式
2

a

n(ad
bc d
bc)2
a cb

d

,

1
例1
工农业高血压患病率的比较(50岁以上男性)， 首钢调查50-59岁男性工人1281人、高血压患者386 人，患病率为30.13%。石景山区农民387人，血压 血患者65人，患病率为16.80%，从事工农业生产的
(3) n<40，或T<1，需用四格表资料的 Fisher确切概率 (Fisher probabilities in 2×2 table)。
各组合的概率pi 服从超几何分布，其和为1。可按下 列公式计算
(a+b)！(c+d)!(a+c)!(b+d)!
Pi =
a!b!c!d!n!
某医师为研究乙肝免疫球蛋白预防胎儿宫内感染HBV的 效果，将33例HBsAg阳性孕妇随机分为预防注射组和非预 防组，结果见下表。
1217
1217 1668
④ 计算检验统计量 2 值
2 386 346.42 895 934.62 65 104.62 322 282.42
346.4
934.6
104.6
282.4
4.527 1.678 14.992 5.553 26.750
1．各组合概率的计算 在四格表周边合计数不变的条件下， 表内4个实际频数a,b,c,d变动的组合数共有“周边合计中最 小数+1”个。如上例，表内4个实际频数变动的组合数共有 9+1=10个，依次为：
设现有样本四格表中的交叉积差a*d*-b*c*=D*，其概 率为p*，其余情况下的组合四格表的交叉积差记为Di， 概率记为Pi。
式中TRC为第R（row）行、第C（column）列的理论 频数,nR为相应行的合计，nc为相应列的合计，n为总例 数.
基本公式(亦称Pearson 2)
R C
O T 2
ij
2 ij
i1 j 1
T ij
2 (A T )2
T
值2 反映了实际频数与理论频数的吻合程度，其中 (A T)反2 映了某个格子实际频数与理论频数的吻合程