轰炸敌人军事目标的最优解决方案

轰炸敌人军事目标的最优解决方案

仇海全

（××学院××专业××级××班，学号：××××××）

一、问题复述：

某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞3千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸机一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。有关数据如表所示。

型。

二、假设：

1.每架飞机每次只携带一枚炸弹；

2.假设飞机在轰炸过程中能安全返航；

3.假设飞机按直线飞行，不考虑飞机在投掷过程中的转弯路程；

4.假设有足够的飞机执行任务。

三、模型建立

1. 问题分析

首先考虑飞机单程飞行所需要的油量，由于轰炸方案受到总油量、重型炸弹与轻型炸弹数量的限制，故可考虑建立线性约束；从另外一方面考虑，飞机轰炸要害部位是否成功带有一定的随机性，需要从概率的角度出发，建立相应的目标函数。

飞机携带一枚炸弹来回耗油量

1：重型炸弹（450/2+450/4+200）＝537.5 轻型炸弹（450/3+450/4+200）＝462.5

2：重型炸弹（480/2+480/4+200）＝560 轻型炸弹（480/3+480/4+200）＝480

3：重型炸弹（540/2+540/4+200）＝605 轻型炸弹（540/3+540/4+200）＝515

4：重型炸弹（600/2+600/4+200）＝650 轻型炸弹（600/3+600/4+200）＝550

2. 符号假设

向目标1投掷重型炸弹x11枚，投掷轻型炸弹x12枚

向目标2投掷重型炸弹x21枚，投掷轻型炸弹x22枚

向目标3投掷重型炸弹x31枚，投掷轻型炸弹x32枚

向目标4投掷重型炸弹x41枚，投掷轻型炸弹x42枚

3. 约束条件

重型炸弹只有48枚：x11+x21+x31+x41<=48;

轻型炸弹只有32枚：x12+x22+x32+x42<=32;

油量只有48000升：

537.5*x11+462.5*x12+560*x21+480*x22+605*x31+515*x32+650*x41+550*x42<=48000;

非负约束：x11,x12,x21,x22,x31,x32,x41,x42>=0

4. 目标函数

注意到目标的四个要害部位只要有一个被摧毁就可以了，也可以看作我们所投掷的

x11+x21+x31+x41+ x12+x22+x32+x42枚炸弹只要有一枚摧毁目标即可。

考虑最差的情况，所有的炸弹都没有炸毁目标，则此种情况发生的概率为：

(1-0.1)^x11*(1-0.08)^x12*(1-0.20)^x21*(1-0.16)^x22*(1-0.15)^x31*(1-0.12)^x32*(1-0.25)^x41*(1-0.2)^x42 显然，至少有一枚炸弹摧毁目标的概率可以得出

1-(0.9)^x11*(0.92)^x12*(0.8)^x21*(0.84)^x22*(0.85)^x31*(0.88)^x32*(0.75)^x41*(0.8)^x42

因此，目标函数为：

Max 1-(0.9)^x11*(0.92)^x12*(0.8)^x21*(0.84)^x22*(0.85)^x31*(0.88)^x32*(0.75)^x41*(0.8)^x42

但考虑到要建立线性规划模型，上述目标函数是非线性的，因此，转变考虑思路，将目标函数转换为Min (0.9)^x11*(0.92)^x12*(0.8)^x21*(0.84)^x22*(0.85)^x31*(0.88)^x32*(0.75)^x41*(0.8)^x42

这是多个幂指函数的乘积，可以取对数来转换成和的形式：

Min e^[x11*log(0.9)+x12*log(0.92)+ x21*log(0.8)+ x22*log(0.84)+ x31*log(0.85)+ x32*log(0.88)+ x41*log(75)+ x42*log(0.8)]

亦即：

Min x11*log(0.9)+x12*log(0.92)+x21*log(0.8)+x22*log(0.84)+x31*log(0.85)+x32*log(0.88)+x41*log(75) +x42*log(0.8)

由此转换成线性函数，此时转换为线性规划模型。

Min x11*log(0.9)+x12*log(0.92)+x21*log(0.8)+x22*log(0.84)+x31*log(0.85)+x32*log(0.88)+x41*log(75) +x42*log(0.8)

x11+x21+x31+x41<=48;

x12+x22+x32+x42<=32;

537.5*x11+462.5*x12+560*x21+480*x22+605*x31+515*x32+650*x41+550*x42<=48000;

x11,x12,x21,x22,x31,x32,x41,x42>=0

四、模型求解：

这是一个线性规划问题，可利用lingo编写程序进行求解。编写程序hongzha.lg4（附录1）求解得。

目标值：-20.54780

摧毁概率：0.99999999880820

耗油量：45690升

出动方案：

x11=0 ,x12=0 ，向1号目标不投掷炸弹；

x21=1 ,x22=1 ，向2号目标投掷重轻炸弹各一枚；

x31=0 ,x32=0 ，向3号目标不投掷炸弹；

x41=46 ,x42=31 ，向4号目标投掷重型炸弹46枚，投掷轻型炸弹31枚

剩余1枚重型炸弹。

五、问题的分析

1. 与单纯的轰炸其中一个目标相比

编写相应程序（见附录2－5）

当前轰炸方案：0.99999999880820 重型炸弹47枚，轻型炸弹32枚，耗油量45690升只轰炸1号要害：0.99955858109597 重型炸弹48枚，轻型炸弹32枚，耗油量40600升

只轰炸2号要害：0.99999991581077 重型炸弹48枚，轻型炸弹32枚，耗油量42240升

只轰炸3号要害：0.99999315215466 重型炸弹48枚，轻型炸弹32枚，耗油量40600升

只轰炸4号要害：0.99999999875365 重型炸弹48枚，轻型炸弹30枚，耗油量45300升