常用拉普拉斯变换总结
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常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae
t f t α，其中，A 和a 为常数。 α
ααα+===⎰⎰∞+-∞
---s A t e A t e Ae Ae L t s st t t 0)(0d d ][ 2、阶跃函数
000)(><⎩⎨⎧=t t A
t f ，其中，A 为常数。 s
A t Ae A L st =
=⎰∞
-0d ][ 3、单位阶跃函数
4、斜坡函数 ，其中，A 为常数。 ⎰⎰∞-∞
-∞----==000d d ][t s
Ae s e At t Ate At L st st st
A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）
5、单位斜坡函数
000)(≥<⎩⎨⎧=t t t t f
001
0)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==
⎰∞-000)(≥<⎩⎨⎧=t t At
t f 20d s
A t e s A st ==⎰∞
-
⎰⎰
∞-∞-∞----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st
2
01d 1s t e s st ==⎰∞- 6、正弦函数
00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t
A t f ω，其中A 为常数。
根据欧拉公式：
拉式变换为： 2
20
1212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t e e e j A t A L st t j t j 同理余弦函数的拉式变换为：2
2]cos [ωω+=
s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000,000)(，其中，A 和t 0为常数。
脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成。
)()()(00
0t t u t A t u t A t f --= )1()()()]([00000000st st e s
t A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )
(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数
)(t f t
(a)(b)
00)(21sin t j t j e e j
t ωωω--=
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
t t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆=→∆,000lim )(0
[]
()A s As s e A e s A t g L s s ==∆∆-∆=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数
当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
1
d )(0
)(-000
0=-⎩⎨⎧=∞≠=-⎰∞
∞t t t t t t t t t δδ
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设，而不可能在物理系统中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数u （t-t 0）在间断点t=t 0上的导数，即 )(d d )(00t t u t
t t -=-δ 相反，如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：
)(d )(000t t u t t t t
t -=-⎰δ 积分的结果就是单位阶跃函数 u （t-t 0）
利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。
10、加速度函数
000
)(2
<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数。 拉氏变化为：
300
202212d 2d ][s A
t te e t s A t e At At L st st st =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰∞-∞-∞- 当A=2
1时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -，图像如下： 11、单位加速度函数： 00210)(2≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a )
t 00t 图单位加速度函数(a)(b) 8
6
4
2
123430020221d 211d 2
1)(21s t te e t s
t e t t u t L st st st =
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎰⎰∞-∞-∞
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