常微分方程阶段(2)复习题

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常微分方程习题二

x c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) （4.5）
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数，且通解（4.5）包括方程（4.2）的所有解。
定理7
设x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 为方程（4.2）
的基本解组，而x(t ) 为方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为
记 lim n ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
n
(3.5)定义于 [ x0 , x0 h]上连续解 . 命题4 ( x)是积分方程
(3.5)定义于[ x0 , x0 h]上的命题5 设 ( x)是积分方程一个连续解 , 则 ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
5.解对初值和参数的连续性定理
设f ( x, y, )在区域G 连续, 且在G内一致地关于 y满足局部Lipschitz条件, 则方程(3.1) 的解y ( x, x0 , y0 , ) 作为x, x0 , y0 , 的函数在它们存在范围内是连续的 .
6.解对初值可微性定理
有复值解x U (t ) iV (t ), 其中ai (t )(i 1,2, n),
u (t ), v(t ) 都是实值函数，则U(t)和V(t)分别是方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x u (t ) n dt dt dt d x d x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x v(t ) 和 n dt dt dt
z (t ) 的实部 (t ) 和虚部 (t ) 以及共轭复数 z(t )

河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．方程y”＋4y’＝x2－1的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝x(ax2＋b)B．y＝x(ax2＋bx＋c)C．y＝ax2＋bx＋cD．y＝ax2＋b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程2．微分方程x ln x．y”＝y’的通解是[ ]．A．y＝C1xln x＋C1B．y＝C1x(ln x—1)＋C2C．y＝xln xD．y＝C1x(ln x—1)＋2正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．函数y＝3e2x是微分方程y”－4y＝0的[ ]．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．方程y”＋y＝cosx的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝axcosxB．y＝acosxC．y＝a cosx＋b sin xD．y＝x(a cos x＋bsin x)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．若某二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1e－2x＋C2ex，则该微分方程为[ ]．A．y”＋y’＝0B．y”＋2y’＝0C．y”＋y’－2y＝0D．y”－y’－2y＝0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题6．已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x，则原方程为_______．正确答案：y”－y＝0 涉及知识点：常微分方程7．以y＝e3x，y＝xe2x为特解的二阶常系数齐次微分方程为_______．正确答案：y”－4y’＋4y＝0 涉及知识点：常微分方程8．已知微分方程y”＋y＝x的一个解为y1＝x,微分方程y”＋y＝ex的一个解为，则微分方程y”＋y＝x＋ex的通解为_______．正确答案：y＝C1cosx＋C2sinx＋＋x。

涉及知识点：常微分方程9．微分方程xy’－yln y＝0的通解为_______．正确答案：y＝eCx 涉及知识点：常微分方程10．微分方程y”＝2y’的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2e2x 涉及知识点：常微分方程11．微分方程y’＝e2x－y满足初始条件的特解为_______。

常微分方程复习

Particular solution (proof)
y p ' x p x y p exp p t dt g s exp p t dt ds x s x p x exp p t dt g s exp p t dt ds x x s exp p t dt p x g s exp p t dt ds x s x exp p t dt g x exp p t dt x x p x exp p t dt g s exp p t dt ds x s x exp p t dt g x exp p t dt g x x x
y( n) pn1 y( n1) pn2 y( n2) .......... p1 y ' p0 y g x
Independent variable; Dependent variable; Order, linearity, homogeneity; Initial conditions or bounst order ODE
y ' x p x y g x
y exp p t dt C g s exp p t dt ds x x s
Ordinary Differential Equations
Brief Review

《常微分方程》练习题二

常微分方程练习题二一、填空题1．方程y y xy ln d d =所有常数解是（ y=1 ）． 2．方程y x x y cos cos d d +=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（全平面）．3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ n ）维线性空间．4．方组0y y ''+=的基本解组是（ y 1=cos x, y 2=sin x ）．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上（恒等于零）． 6．方程d cos d x y y xe x+=的任一解的最大存在区间必定是 (,)-∞+∞ ． 7．方程sin cos dy x y dx =⋅满足解的存在惟一性定理条件的区域是 xoy 平面．8．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．9．方程2sin dy x y dx=的所有常数解是 ,0,1,2,y k k π==±± ． 10．方程20y y y '''++=的基本解组是 y=ex - y=xe x - ．一、单项选择题 1．方程t t x x xcos 2=++ 的任一解的最大存在区间都是（ B ）．（A ）),0(∞+ （B ）),(∞+-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）)2,1(2. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ A ）条件．（A ）充分（B ）必要（C ）充分必要（D ）必要非充分3．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ C ）．（A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+4．方程03=+x x的任一非零解在),,(x x t 空间中（ A ）．（A ）不能与t 轴相交（B ）可以与t 轴相交（C ）可以与t 轴横解相交（D ）可以与t 轴相切5．用待定系数法求方程x y y sin 2=+''的非齐次特解1y 时，应将特解1y 设为（ D ）．（A ）x A y sin 1= （B ）x B x A y cos sin 1+=（C ）x B y cos 1= （D ）)cos sin (1x B x A x y +=6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的( B )条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分7．方程0x x +=的任一非零解在tox 平面上（ A ）与t 轴横截相交．（A ）可以（B ）不可以（C ）只能在0t =处可以（D ）只能在2t π=处可以8. 方程1y '=（ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无9．方程y '=(0,0)解sin y x =，这个解的存在区间是（ C ）．（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[,]22ππ-（D ）(,)-∞+∞ 10．线性齐次微分方程组的解组12(),(),,()n Y x Y x Y x 在区间I 上线性相关的（ B ）条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式()0W x =．（A ）充分（B ）充分必要（C ）充分非必要（D ）必要三、简答题1. 用分离变量法求解方程()()dy f x y dxϕ=的步骤和原理是什么？化成积分方程求解且二者等价1. 该方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件,因此该方程任一解可以延展到平面的无穷远处，为什么该方程的所有解不能都在(,)-∞+∞上存在,这与解的延展定理矛盾吗?为什么？不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。

考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B 涉及知识点：常微分方程与差分方程2．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程3．微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程填空题4．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程6．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：常微分方程与差分方程7．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程8．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x 涉及知识点：常微分方程与差分方程9．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t 涉及知识点：常微分方程与差分方程10．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6) 涉及知识点：常微分方程与差分方程11．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程阶段复习题2

《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +；（B ）bx axe x +；（C ）bx ae x +；（D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（）（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（）（A ）x e x C C y -+=)(21；（B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-；（C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。

常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.()()()t A t t Φ=Φ，.1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x=和.()T x A t x =-的解，所以111()()()nk k k nnk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，11211111122222*121()()()nn k k k n n kn kn n n nnk a a a a a a a d t A t t dta a a a ψψψψψψ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-ψ=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑ 因而1111112211(,)(,)(,),,nnk k k k k k nnkn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 11111111()0nnn n nnnnn n nnm m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑所以(),()()()1nt t t t k kk ϕψϕψ≡≡∑=常数。

3.证明：设)t Φ(为系统.()x A t x=的一个基本解矩阵，则由定理2.11知[]1()Tt -Φ是系统.()Tx At x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.()x A t x=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1()Tt -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0k k t ∃=>和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞⎪⎨Φ≤≤<+∞⎪⎩,利用常数变易法公式（2.32），可知式.()()y A t y B t y=+的初始条件为00()y t y =的解满足1()()()()()()tt y t t t s B s y s ds ϕ-=+ΦΦ⎰因为1111()()(Ttttt---ΦΦ≤Φ所以12120()()(),tt y t k kx k k B s y s≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12()120().tt k k B s dsy t k k x e⎰≤记12()12tt k k B s dsC k k e ⎰=设0()B t dt M +∞=<+∞⎰则()()tt B s ds B t dt M+∞≤=⎰⎰有1212k k MCk k e≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统.()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷 (1)一、填空题( 30%)1、方程 M (x, y)dx N(x,y)dy 0有只含 x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含 y 的积分因子的充要条件是 ___________________________________ 。

２、 _______________ 称为黎卡提方程，它有积分因子 _____________ 。

３、 ____________________ 称为伯努利方程，它有积分因子 _______ 。

４、若 X 1(t), X 2(t),L ,X n (t) 为n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件５、形如 _____________________ 的方程称为欧拉方程。

６、若 (t)和 (t)都是 x' A(t)x 的基解矩阵，则 (t)和 (t)具有的关系是７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 ______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 ____________ 。

二、计算题(６０％) 1、 ydx (x y 3)dy 0２、 xx sint cos2t211A1 4 试求方程组 x(t), (0)３、若Ax 的解2 并求 expAt(d d y x )3 4xy dy 8y 2 0dyx y 2４、 dxdx５、求方程 dx 经过0，0)的第三次似解三、证明题(１０％)１、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷 (2)、填空题 30%1、形如 _____________ 的方程，称为变量分离方程，这里 . f (x). (y)分别为 x.y 的连续函数。

2、形如 _______________ 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函数.n 0.1是常数。

引入变量变换，可化为线性方程。

3、如果存在常数 L 0,使得不等式________________________________________ 对于所有(x,y 1),(x,y 2) R 都成立， L 称为利普希兹常数。

常微分方程阶段(2)复习题

《常微分方程》第二阶段试题一. 单选题1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ；)sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。

2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是（）（A ）线性无关（B ）朗斯基行列式为零（C ）12()=()x C x ϕϕ（常数）（D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=不是基本解组的充要条件是（）（A ）线性无关（B ）朗斯基行列式不为零（C ）12()()x C x ϕϕ≠（常数）（）线性相关 4.线性齐次微分方程组()dx A t x dt=的一个基本解组的个数不能多于（）（A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（）个．（A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1，则此方程通解为（）（A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-；（B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-；（C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-；（D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=-7.方程xxe y y 2'2"=-的特解具有形式（）。

（A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=;（C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。

考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程第2章习题答案

习题２-4１．求解下列微分方程：（１）yx xy y --='22；解：令ux y =，则原方程化为uu u dx du x --=+212，即x dxdu u u =--122，积分得：c x u u u +=--+-ln 1ln 2111ln2 还原变量并化简得：3)()(y x c x y +=-（２）4252--+-='y x x y y ；解：由⎩⎨⎧=--=+-042052y x x y 得 ⎩⎨⎧-==21y x令2,1+=-=y v x u ，则有vu u v du dv --=22，由第一题的结果知此方程解为3)()(v u c u v +=-，还原变量并化简得：.)1(33++=+-y x c x y（３）14212-+++='y x y x y ；解：令y x v 2+=，则1212121-++=+=v v dx dy dx dv ，即1214-+=v v dx dv ，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：c x v v +=+-14ln 8321，还原变量并化简得：c y x x y =++--184ln 348．（４）xy y x y -='33．解：①当0≠y 时，方程两边同时乘以32--y ,则233222--+-='-xy x y y ，令2-=y z ，则322x xz dxdz-=, 此方程为一阶线性方程，由公式得：122++=x ce z x还原变量得：122)1(2-++=x ce y x . ②0=y 也是方程的解．2. 利用适当的变换，求解下列方程：（１）)cos(y x y -='；解：令y x u -=，则u dx dy dx du cos 11-=-=， ①当1cos ≠u 时，有dx udu =-cos 1，即 dx u du=2sin 22，两边积分得：c x uctg +=221还原变量化简得：2sin 2sin 22cos yx c y x x y x -+-=-． ②当1cos =u 时，即πk x y 2+=)(Z k ∈也是方程的解．（２）0)()3(22=+++dv uv u du v uv ；解：方程两边同时乘以u 则原方程化为：0)()3(2322=+++dv v u u du uv v u ，即 0)()3(2232=+++vdv u du uv dv u vdu u 此方程为全微分方程，则原方程的解为：c v u v u =+22321．（３）)2(2)3(222yx y x dx dy y x -=++；解：原方程即为324222222++-=y x x y xdx ydy ，令u y v x ==22,，则324++-=v u vu dv du ,由⎩⎨⎧=++=-03024v u v u 得⎩⎨⎧-=-=21v u ，令⎩⎨⎧+=+=21v n u m ，则有n m n m dn dm +-=24令z n m=，则zn m =， 124+-=+=z z z n dn dz dn dm ，则有1)2)(1(+--=z z z n dn dz ，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：n c zz ln 2)1(ln32+=--，还原变量并化简得：322222)32()1(-+-=+-y x c y x .（４）yy y x xxy x dx dy 8237323223-+-+=．解：原方程即为823732222222-+-+=y x y x xdx ydy ，令22,x v y u ==,则823732-+-+=u v u v dv du ，由⎩⎨⎧=++=-+08230732u v u v ⎩⎨⎧==⇒21v u ，令⎩⎨⎧-=-=21v n u m ，则m n m n dn dm 2332++=，令z n m=，可将方程化为变量分离形方程， n dn dz zz =-+)2223(2，两边积分得：c n z z z +=---+ln 1ln 2111ln 432，还原变量并化简得：)3()1(22522-+=--y x c y x ．3. 求解下列微分方程：（１）．2241xy y --='；解：令xy z =，则原方程可化为：)41(12-+-=z z x dx dz ， ①当21≠z 时，即21≠xy 时方程为x dxdz z =--2)21(1 ，此方程为变量分离方程，两边积分得：c x z +=-ln 211还原变量并化简得：cxx x x y ++=ln 121； ②当21=z 时，xy 21=是方程的特解．（２）．1222++='xy y x y x ；解：原方程即为：221x x y y y ++='，令xy z =，则2)1(1+=z xdx dz ，此方程为变量分离方程，分离变量积分得：c x z +=+-ln 11，还原变量并化简得：cxx x x y +--=ln 11． 4. 试把二阶微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 化为一个黎卡提方程．解：令⎰=udxe y ，则⎰='udxue y ，+⎰=''udxe u y 2⎰'udxe u ，代入原方程可得：=+'+''y x q y x p y )()(+⎰udxe u 2⎰'udxe u ＋)()(x q ue x p udx+⎰⎰udxe ＝０，即有：0)()(2=++'+x q u x p u u ，此方程为一个黎卡提方程．5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45．解：设此曲线为)(x y y =，由题意得：1451==+-tg xy dx dy x y dx dy ，化简得：y x y x dx dy -+=，此方程为齐次方程，解之得：c y x x y arctg =+-)ln(2122．6. 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．设所求曲面由曲线⎩⎨⎧==0)(z x f y 绕x 轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数)(x f y =所应满足的微分方程式：22yx x ydx dy ++=，此方程为齐次方程，解之得：)2(2x c c y +=，（其中c 为任意正常数）．)2(2x c c y +=就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22x c c z y +=+．习题２-5１．求解下列微分方程：（１）．0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ；解：方程两边同乘xe33，则)33()369(233323323=++++dy y e dx y e dy x e xydx e ydx x e x x x x x ，此方程为全微分方程，即 c y e y x e x x =+33233．（２）．0)2(2=-+-dy e xy ydx y ；解：方程两边同乘y e y 21，则 0)12(22=-+dy yxe dx e y y即01)2(22=-+dy ydy xe dx e yy 此方程为全微分方程，即有 c y xe y =-ln 2 ．（３）．0)3()63(2=+++dy xyy x dx y x ；解：方程两边同乘 xy ，则0)3()63(232=+++dy y x dx x y x即 0)36()3(232=+++dy y xdx dy x ydx x 此方程为全微分方程，即有c x y y x =++2333 ．（４）．22()0ydx x y x dy -++=; 解：方程两边同乘221y x +，则 022=-+-dy yx xdyydx ，此方程为全微分方程，即 c y yxarctg=- （5）．0)1(2223=-+dy y x dx xy ；解：方程两边同乘21y ，则0)1(222=-+dy y x xydx ，此方程为全微分方程，即c y x y=+21. （6）．0)1(=-+xd y dx xy y ；解：方程两边同乘21y ，则0)1(2=-+dy y xdx y xdx ，此方程为全微分方程，即c x y x =+221. （7）0)(2223=-+dy xy x dx y ；解：方程两边同乘y x 21，则 02)2(22=+-dy y dy x y dx x y ，此方程为全微分方程，即 c y xy =+-ln 22（8）．0)c o s2(=++dy y y ctgy e dx e xx解：方程两边同乘y sin ，则02sin )cos sin (=++ydy yc ydy e ydx e x x ，此方程为全微分方程，即 11cos cos 2sin 224xe y y y y c -+=. 2. 证明方程（5.1）有形如)),((y x φμμ=的积分因子的充要条件是)),((y x f yP P x Q Q xQy P φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂，并写出这个积分因子。

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1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））．（A ）上半平面）上半平面（（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面（（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解．（A ）一）一（B ）无数）无数（C ）两）两（D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有三个）有三个（（B ）无）无（（C ）有一个）有一个（（D ）有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维（（B ）1+n 维（（C ）1-n 维（（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））．（（A ）有无数个解）有无数个解（（B ）只有三个解）只有三个解（（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分（（B ）充分必要）充分必要（（C ）必要）必要（（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））．（（A ）构成一个2维线性空间维线性空间（（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间（（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））．（（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件．（A ）必要）必要（（B ）必要非充分）必要非充分（（C ）充分必要）充分必要（（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有一个）有一个（（B ）有两个）有两个（（C ）无）无（（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到２，２，所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出可解出 41=A ．故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．正确答案：A解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A．知识模块：常微分方程2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是【】A．y〞－y′－2y＝3χeχ．B．y〞－y′－2y＝3eχ．C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．D．y〞＋y′－2y＝3eχ．正确答案：D解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选D．知识模块：常微分方程3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是【】A．＋y〞－4y′－4y＝0．B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．C．－y〞－4y′＋4y＝0．D．－y〞＋4y′－4y＝0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0 故应选D．知识模块：常微分方程4．(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ) 即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：常微分方程5．(2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为【】A．aχ(eλχ＋e－λχ)．B．aχ(eλχ＋e－λχ)．C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．正确答案：C解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为r2－λ2＝1 r1＝λ，r2＝－λ方程y〞－λ2y＝eλχ的特解形式为aχeλχ方程y〞－λ2y＝e－λχ的特解形式为bχe－λe 则原方程的特解形式为y＝χ(aχeλχ＋bχe－λχ) 故应选C．知识模块：常微分方程填空题6．(2006年)微分方程y′＝的通解是_______．正确答案：y＝Cχe－χ．解析：则ln｜y｜＝ln｜χ｜－χ＝ln｜χ｜＋lne－χ＝ln(｜χ｜e－χ) y＝Cχe－χ．知识模块：常微分方程7．(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－4y′＋3y＝2e2χ的通解为y＝_______．正确答案：y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ．解析：齐次方程特征方程为ρ2－4ρ＋3＝0 解得ρ1＝1，ρ2＝3，则齐次方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ设非齐方程特解为＝Ae2χ，代入原方程得A＝－2，则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ知识模块：常微分方程8．(2008年)微分方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0的通解是y＝_______．正确答案：y＝χ(C－e－χ)．解析：方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0可改写为知识模块：常微分方程9．(2010年)3阶常系数线性齐次微分方程－2y〞＋y′－2y＝0的通解为y ＝________．正确答案：y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．解析：方程y″′＝2y〞＋y′－2y＝0的特征方程为r3－2r2＋r－2＝0 即r2(r－2)＋(r－2)＝0 (r－2)(r2＋1)＝0 r1＝2，r2，3＝±l′则原方程通解为y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．知识模块：常微分方程10．(2011年)微分方程y′＋y＝e－χcosχ满足条件y(0)＝0的解为y＝_______．正确答案：e－χsinχ．解析：由一阶线性方程的通解公式得y＝＝e－χ[∫cosχdχ＋c]＝e－χ[sinχ＋C] 由y(0)＝0知，C＝0，则y＝e－χsinχ知识模块：常微分方程11．(2012年)微分方程ydχ＋(χ－3y2)dy＝0满足条件y｜χ＝1＝1的解为y＝_______．正确答案：解析：由ydχ＋(χ－3y2)dy＝0 得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y＝1时，χ＝1，解得C＝0，故χ＝y2．y＝知识模块：常微分方程12．(2013年)已知y1＝e3χ－χe2χ，y2＝eχ－χe2χ，y3＝－χe2χ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜χ＝0＝0，y′｜χ＝0＝1的解为y＝_______．正确答案：C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．解析：由题设知y1－y3＝e3χ，y2－y3＝eχ为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．知识模块：常微分方程13．(2015年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ．解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。

２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。

３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。

5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。

二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。

2、形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程答案一二章

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解；(3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈ ；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12y d x =⎰即得53c =，故满足条件12ydx =⎰的解是25y x =+； (5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

常微分方程习题2.doc

常微分方程习题2・11.— = 2xy，并求满足初始条件：x=O,y=l的特解.dx解：对原式进行变量分离得丄dy = 2衣仕，两边同时积分得：111卜|=兀2 +(?,即『=(?幺兀把x = 0, y = 1代入得c = 1,故它的特解为y =幺“。

22.y dx + (兀+ l)dy = 0,并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.解：对原式进行变量分离得：dx =当y北0时，两边同时积分得;ln|x + l| = —+ c,即丁 = \x + 1 y y c + ln|x +1|r当y = 0时显然也是原方程的解。

当兀=0』=1时，代入式子得c = l,故特解是1歹 1 + ln|l + x|23 4 = Idx兀》+兀、解：原式可化为：2 2空=•丄显然工0,故分离变量得~^dy = —^dxdx y x+x y i+y~ x + x两边积分得*lnl+)/ =ln|x|-|ln|l + %2|+ ln|c|(c 0),即(1+才)(1 + %2) = c/ 故原方程的解为(1 +)/)(1+ +)= d4：(1 + x)ydx + (1- y)xdy = 0解：由y = 0或兀=0是方程的解，当xy ^0时，变量分离^-^-dx = -― dy = 0两边积分In卜| + 兀 + In卜| 一y = c,BPln|xy| + x - y = c.故原方程的解为ln|兀y| = x-y = c;y = 0;x = 0.解：^ — = u, y = ux, — = u + x —,则原方程化为：x dx dx du 二 sgn x^^-dx 兀 / 2 2、du_Jx(1~U\分离变量得 dx x /i2 两边积分得:arcsinu = sgnx • ln|x| + c 代回原来变量，得arcsin — = sgn x • ln|x| + c另外,y=x 也是方程的解。

7： tgydx - ctgxdy = 0 解：变量分离，得：ctgydy = tgxdx 两边积分得:ln|sin y\ = - ln|cos x| + c.dx y解：变量分离，得-=-扎％ + c y 3e9: x(ln x - In y)dy 一 ydx = 0解：方程可变为：-\n — 9dy-—dx = 0x x令u =—,贝U 有丄必 = dlnux x 1 + In w代回原变量得：cy = 1 +In —ox10：红厂dx解：变量分离$ dy = d dx5: (y + x)dy + (y - x)dx = 0解:史,令“ 坯空斗+二空 dx y + x x dx dx 贝I 拉+ x —= U +\变量分离，得:_弘?+1 du = — dxdx w +1 眈 +1 x两边积分得：arctgu + *ln(l + /) = —ln|T + c 。

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

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将 y,y,y 代入方程,
A 1 , y1xe3x
4
4
原方程通解： yYy
C 1e3xC 2ex
1 4
xe3
x
12
二阶线性微分方程
例9 求方 y3y 程 2yxe2x的通 . 解
解 f(x)xe2x，2
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2320
特征根 11 ， 22
对应齐次方程通解 YC 1exC 2e2x
(2) 求特征根，1,2
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。
特征根的情况
通解的表达式
实根 12
y C 1 e 1 x C 2 e 2 x
实根 12
复根 1， 2i
y (C 1 C 2 x )e1 x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
3
二阶线性微分方程
例2 求方 y4y程 4y0的.通解
解特征方程 2440
特征根 2（二重根）
通解： y(C 1C 2方 y2y程 5y0的.通解
解特征方程 2250
特征根 1,212i,
通解： y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
5
二阶线性微分方程
例4
解初值问题
16y24y9y0, yx04, yx02.
的解, 求此方程的通解.
非齐次线性方程的两个特解之差
是对应齐次方程的特解.
解
y2y1x2,y3y2ex，
x e
2 x
常数
x2,ex 线性无关.
齐次线性方程的通解：YC1x2C2ex，
非齐次方程的通解： yYy.
2

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