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二次根式知识点总结及常见题型

资料编号 :20190802一、二次根式的定义

形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围;

（2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断:

①是否含有二次根号“” ;

②被开方数是否为非负数 .

若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 .

（ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）;

（4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B.

二、二次根式的性质

二次根式具有以下性质 :

（1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值）

（2）回归性 :

2

a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）

（3）转化性 : a 2

a(a0)

a

a(a

.（主要用于二次根式的化简）

0)

重要结论 :

（1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 .

应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 ,

A ≥0,B2≥0, C ≥0

∴ A 0, B0, C0 .

该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） A B 2 A B

A B A B

;主要用于二次根式的化简.

B A A B

A2 B A 0

（3）A B, 其中B≥ 0;

A2 B A 0

该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的.

（4） A B 2

A2 B ,其中B≥0.

该结论主要用于二次根式的计算.

例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________.

x1

分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1.

例 2.若 x, y 为实数,且y x11

1y1 x,化简 :.

2y1

分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B .

解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0

∴ x ≥1, x ≤1

∴ x1

∴ y0011

1 22

y11y

1 .

∴

1y1

y

习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________.

习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________.

习题 4.若函数 y 1 2 x

,则自变量x 的取值范围是__________. x

习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.

例 3.若a1 b 24b 4 0 则

ab 的值等于【】

,

（A ）2（ B） 0（ C）1（ D） 2

分析 : 本题考查二次根式的非负性以及结论: 若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.

解: ∵

a 1

b

2440

b

∴ a1b 2 20

∵ a 1 ≥0,b 2 2≥ 0

∴ a10,b20

∴a 1,b 2

∴ab 1 2 2 .选择【D】.

例 4. 无论x取任何实数,代数式x 26x m 都有意义,则 m 的取值范围是__________.

分析 : 无论x取任何实数, 代数式x26x m 都有意义,即被开方数 x 26x m ≥0恒成立, 所以有如下两种解法:

解法一 :由题意可知 : x26x m ≥0

∵ x26x m x 3 2m9 ≥0

∴ x 3 2≥ 9 m

∵x 3 2≥0

∴9 m ≤0,∴ m ≥9.

解法二 :设y x 26x m

∵无论 x 取任何实数,代数式 x 26x m 都有意义

∴ y x2 6 x m ≥0恒成立

即抛物线y x 26x m 与 x 轴最多有一个交点

∴ 6 24m364m ≤0

解之得 : m≥ 9.

例 5. 已知a, b, c是△ ABC 的三边长 ,并且满足 a 6 8 b c 2100 20c ,试判断△ABC

的形状 .

分析 : 非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解: ∵a68b c 210020c

∴ a6b8 c 220c100 0

∴ a6b8c10 20

∵ a 6 ≥0, b 8 ≥0, c 102

≥ 0

∴ a60,b80, c100∴ a6,b8,c10

∵a2 b ∴ a2b 2

2

6

c

2

8 2100,c 210 2100

2

∴△ ABC 为直角三角形 .

习题 6.已知实数 x, y 满足x4y 8 0 ,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长

为【】（A ） 20 或 16（ B） 20

（C） 16（ D）以上答案均不对

习题 7.当 x _________时,9x11取得最小值,这个最小值为_________.

习题 8.已知 y x24

24x2,则x y的值为 _________.

x

习题 9.已知非零实数满足22 b 1

a,b a8a 16 b 3a 5 b 1 4 a 求

a 的值

.

,提示 : 由 a 5 b2 1 ≥0,且 b 210 可得: a 5 ≥0,∴ a ≥5.