函数性质、指对幂函数综合复习

函数性质、指对幂函数综合复习

【要点梳理】

要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念

2．n 次方根的性质：

（1）当n

a =；当n

,0,

,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

（2

）

n

a =

3．分数指数幂的意义：

)0,,,1m

n

a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n

m n

a

a m n N n a

-

=

>∈>

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：

()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()

r

r r ab a b =

要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x

y a

a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

2

要点三：对数与对数运算 1．对数的定义

（1）若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，

N 叫做真数．

（2）负数和零没有对数．

（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =⇔=>≠>．

2．几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

3．常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质

如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N

-=；③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈ ④log a N

a

N =；

⑤log log (0,)b n

a a n M M

b n R b

=≠∈；⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 要点四：对数函数及其性质

1．对数函数定义

一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2

要点五：幂函数

1．幂函数概念：形如()y x R α

α=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质

（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第___________象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第_________象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点________________．

（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在

[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为

减函数，在第一象限内，______________________________． 【直击考点】

1． 如果3x ＝4，则x ＝________． 2．2log 510＋log 50.25＝________．

3． 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________． 4．函数y ＝log 1

2(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．

5． lg 52＋2lg 2＋1

5

1-⎪⎭

⎫

⎝⎛＝________．

6．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________． 【重点难点突破】

考点1 幂函数的概念、图象与性质 【1-1】已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3

，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？

【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)2

2

m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________．

【1-3】设424

999

244(),(),()999

a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．

考点2 指数函数的概念、图象与性质

【2-1】若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.

【2-2】设f (x )＝|3x －1|，c f (a )>f (b )，由在关系式①3c >3b ；②3b >3a ；③3c ＋3a >2；④3c ＋3a <2中一定成立的是 .

考点3 对数函数的概念、图象与性质

【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 .

【3-2】已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．

(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的单调性．

【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．

(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；

(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

【易错试题常警惕】

由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若()

()2

2

132a a --+>-，则a 的取值范围是 ．

分知识点练习： 函数的定义域： 1．.函数x

x y --=

2)

12ln(的定义域为______________________;