几个常用函数的导数ppt课件

y=x3 的单调性,要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同
学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，
如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明y=x3 的单调性是某年的高考
题，得分很低。
有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学
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们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍
所以
y
lim
x0
y x
lim (
x0
x2
1) x x
1 x2
1、从图像上看，求出导数我们就可以求出图像的切线，但不用导 数法用旧方法可以求出切线吗？
2、我们知道(xn )’ =nxn-1 ，问这种情况还可以归入吗？即n可以是负 数吗？
答：n可以是负数，有理数，无理数，即全体实数。
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探 究
画出函数
几种常见的函数的导数求法
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导数的几何意义的应用
例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
2x x2
lim
2
x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数 的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法 已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。
意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。
4
5
我国著名数学家 华罗庚曾说过： “数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。”
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练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 y f (x x) f (x) c c 0
x
x
x
所以 y lim y lim 0 0
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探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有 关？
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练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 y f (x x) f (x) (x x)2 x2
x
x
x
x2 2x x (x)2 x2
x 2x x
所以 y lim y lim (2x x) 2x
x0 x x0
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你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
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基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c, 则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x, 则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x , 则f '(x) a x ln a(a 0);
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
其实就算不用归纳法，直接求y=xn 的导数也是可以求的，我们 不做要求，历史上是牛顿的功劳。
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练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为
y
f (x x)
f (x)
1 xx
1x
x
x
x
x (x x) 1 x(x x)x x2 xx
x0 x x0
同学们看，从几何角度结论明显不明显？ 答：从几何角度是非常显然的事实。
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练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 y f (x x) f (x) x x x 1
x
x
x
所以 y lim y lim 1 1
x0 x x0
同学们看，从几何角度结论明显不明显？
答：从几何角度是非常显然的事实。
来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出 14
发明新方 3 法，那就
P
3 x0
x
是导数 2
lim { 1 [3x2 3xx (x)2 ]} x2. 3 x0
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
1
-2 -1 O -1 -2
x 12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
3
结论：根据导数的几何意义，
当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线 是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线 是下降的，即函数在这点附近是单调递减；
当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。
这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结
论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断y=x2 、
2
练习:如图,已知曲线
y
1 3
x3上一点P(2,
8) 3
,
求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解：(1) y 1 x3, 3
y lim y
lim
1(x 3
x)3
1 3
x3
x x0
x0
x
这是导数 非常非常 小的应用。 原来方法 没有效果
y y 1 x3
了，必须 4
3
lim { 1 3x2x 3x(x)2 (x)3 }
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
loga
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x, 则f '(x) 1 ; x
注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，
大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义
y
1 x 的图象。根
据图象，描述它的变化情
？ 况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0，) 得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).