高考数学直线与圆

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]

一、选择题

1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )

A ．0 B. 3 C.3

3或0

D.3或0

解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2

＋(－1)

2

＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.

2．(2019·宁波模拟)直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析：选C 因为圆心(0,0)到直线的距离为d ＝

|23|3＋1

＝3，圆的半径为2，

所以可知直线截圆所得弦长为2，所以可知该直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为π

3，故选C.

3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直

线l 的距离等于22，即有

1

k 2＋(－1)

2＝2

2，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”

的充分不必要条件．

4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有()

A．2个B．3个

C．4个D．6个

解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线

相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－1

4；若l2∥l3，则m的值不存

在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－5

3.故实数m的取值最多有4个，故

选C.

5．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝()

A.1

4 B.

3

4

C．1 D.4 3

解析：选B设直线AC的倾斜角为β，直线AB的倾斜角为α，

即有tan β＝tan 2α＝

2tan α1－tan2α

.

又tan β＝1

a，tan α＝

1

2，

所以1

a＝

2×

1

2

1－

1

4

，解得a＝

3

4.

6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2

解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝

|6＋6－2|

2

＝52，故最小圆的

半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2

＋(y

－2)2＝2.

7．若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )被圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )

A. 2 B ．2 C ．2 2

D ．4

解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )可化为λ(2x ＋y ＋1)＋(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R )，若⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，

y ＝－1，所以直线恒过圆

C ：(x －1)2＋y 2＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )与直线CP 垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝2

4－(2)2＝2 2.

故选C.

8.(2019·绍兴调研)设圆M 、圆N 的半径分别为1,2，且两

圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M 、圆N 上的两动点，则P A →·P B →的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－8，12 B.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－16，34 C ．[－8,1]

D ．[－16,1]

解析：选C 连接MN 并延长，分别交两圆于点E ，F ，

因为两圆相切于点P ，所以点P 在直线MN 上，由题意得当

点A 与点E 重合，点B 与点F 重合时，P A →·P B →取得最小值(P A →·P B →)min ＝P E →·P F

→

＝－2×4＝－8.设∠APB ＝ α，∠APE ＝β，∠BPF ＝γ，则α＋β＋γ＝π，P A →·P B →＝2cos α×cos β×4cos γ＝8cos αcos βcos γ，因为8cos αcos βcos γ＝4cos α[cos(β－γ)＋cos(β＋γ)]＝4cos α[cos(β－r )－cos α]≤4cos α(1－cos α)≤1，所以P A →·P B →∈[－8,1]，故选C.

9．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )

A ．3 2

B ．－3 2

C ．6

D ．－6

解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝

a 2＋

b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2，得(a ＋b )2≤18，所以－32

≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.

10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )

A ．(4,6)

B ．[4,6]

C ．(4,5)

D ．(4,5]

解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|

5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.

二、填空题

11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到直线l 的