变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法

1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；

对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples :

① 光线最短路径传播；

② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③

CB AC EB AE +>+

Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方

法），是计算泛函驻值的数学理论

数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间

的（映射）关系

特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}

Examples :

① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域

‖A ‖1 = ∑=n

i ij j

a 1

max ；∑=∞=n

j ij i

a A 1

max

；21

)(11

2

2

∑∑===n

j n

i ij a A

② 函数的积分： 函数空间数域

D ⊂=⎰n b

a

n f dx

x f J )(

Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion ：

① 判定下列那些是泛函：

)(max x f f b x a <<=；

x y x f ∂∂)

,(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例

① 弹性地基梁的系统势能

i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dx

w d EJ 02

22)(21

ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l

f

⎰=∏0

221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0

iv. 系统总的势能：

00

0;})({2

2122202

1===-+=∏⎰dx

dw

w x dx qw kw dx

w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系

统势能。

泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使

系统势能泛函取最小值。

② 最速降线问题

问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使

得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法：

i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函：

x

设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得：

gy v mgy mv 22

2

1=⇒= 命ds 为曲线弧长的微分，有：

dx gy y gy ds

dt gy v dt ds 2'1222+==

⇒== 重物从A 点滑到B 点的总时间：

T =dx gy

y a

⎰

+0

22'1

泛函驻值提法：在0≤x ≤a 的区间内找一个函数y (x )使其满足端点几何条

件并使T 取最小值。

③ 圆周问题

问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。 作法：

i. 假设所考虑的曲线用参数形式表示： x = x (s ), y = y (s )

s 为参数。取s 1为曲线上的某一定点，则坐标表示x 1=x (s 1),y 1=y (s 1),因曲

线是封闭的，必存在一个s 2点使x 2 = x (s 2),y 2 = y (s 2)与点s 1(x 1,y 1)重合。 ii. 该封闭曲线的周长： L =ds ds

dy ds dx s s

⎰+2

1

2

2)()(

该曲线所围成的面积：R = ⎰⎰Ω

dxdy

iii. 转换R 的表达式 由Green 公式：

⎰

⎰⎰

+=∂∂-∂∂2

1)(s s Qdy Pdx dxdy y

P x Q Ω

取P =-2y ,Q =2x

, 则：

1=∂∂-∂∂y

P x Q ∴⎰

⎰

-=

-=

21

21

))(')('(2121s

s

s s

ds s yx s xy ydx xdy R

泛函驻值的提法：等周问题即是在满足端点条件x (s 1) = x (s 2), y (s 1) = y (s 2)