数学高考导数难题导数零点问题导数

含参导函数零点问题的几种处理方法

方法一：直接求出，代入应用

对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。

（1）因式分解求零点

例1 讨论函数)(12)2

1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分

方法二：猜出特值，证明唯一

对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。

例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+

--=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就

是01=-+x e x

的根，不能解。

例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2

（Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数），

方法三：锁定区间，设而不求

对于例5，也可以直接设函数来求，

①当10≤

e a e e

e +≤≤-由'()()(2ln 1)a

f x x a x x

=-+-，但这时会发现0)('=x f 的解除了a x =外还有x a x -

+1ln 2=0的解，显然无法用特殊值猜出。 令()2ln 1a h x x x

=+-，注意到01)1(<-=a h ，0ln 2)(>=a a h ，

且(3)2ln(3)12ln(3)13a h e e e e =+-

≥+-

=2(ln 30e f 。 故0)('=x f 在),1(a 及（1，3e ）至少还有一个零点，又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在]3,1(e 内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为0x ，则a x <<01。 从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x f ；当0(,)x x a ∈时，'()f x a f ；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x f ，即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增。所以要使2()4f x e ≤对](1,3x e

∈恒成立，只要

2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩成立。

000

()2ln 10a h x x x =+-=，知002ln a x x =+（3）将（3）代入（1）得232004ln 4x x e ≤，又01x f ，注意到函数23ln x x 在[1,+∞)内单调递增，故01x e ≤p 。再由（3）以及函数x x x +ln 2在（1.+ +∞)内单调递增，可得13a e ≤p 。由（2）解得，33

e a e ≤≤+33e a e ≤≤综上，a 的取值范围为33

e a e ≤≤。 例6 已知函数||ln )(b x x ax x

f ++=是奇函数，且图像在))(,(e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3

（1） 求b a ,的值

（2） 若Z k ∈，且1

)(-x 恒成立，求k 的最大值。 例7 （2009高考全国Ⅱ理科）设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，

且12x x <，（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224

In f x -> 方法四：避开求值，等价替换。

对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。

避开方法：放缩不等式

例8 设函数2

1)(ax x e x f x ---=

（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间

（Ⅱ）若当,0)(,0≥≥x f x 时求a 的取值范围。

与例8类似，下面的2010高考全国Ⅱ理科的最后一题，也是这样的处理方法。

设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥

+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围．