如何对几何习题拓展变式
例说立体几何中的变式教学
２ １ 年第 １ ０１ ２期
例说 立体几 何 中 的变 式 教学
宋 咏梅
（ 江苏省溧 阳市第三中学 ，１ ３０ ２３０）
“ 变式 教 学 ” 是课 堂 教 学 中学 生 获 取 知识 的 重 要 途径 之一 ， 有 着 变 式 潜 能 的 问 题 中， 以多 角 在 可 度 、 方位地 折射 出该 问题 的内涵． 全 通过 变式 教学 有 意 识地 引导 学 生从 “ ” 变 的现 象 中 发现 “ 变 ” 不 的本
．
‘
．
多次变革， 但却没有删去， 以说明这一例题蕴含 着 足 丰 富的 立体 几何 中点 、 面、 线、 角及距 离等知 识 ， 尤其 是在 立体 几何 中重要 的点 、 、 线 面的载体—— 三棱 锥
中体 现 的更 突 出．因此 ， 怎样 才能 最大 限度 地发挥 该 题 的功 能呢？ 下 面通 过 这 道例 题 的 变式教 学设 计 ， 使 其例 题功 能发 挥到 最 大．
．
‘ ．
Ｒｔ ＰＡＥ Ｒｔ Ｐ ａ ａ Ａ ． ＡＥ ＝Ａ ‘ ． ＡＯ ＝ＡＯ．’ Ｒｔ ＡＯＥ￣ Ｒｔ ＡＯＦ． ． ． Ａ Ａ
‘ ． ．
Ｒｔ ＡＯ Ｒｔ Ａ ． ａ Ｅ ａ Ｄ ‘ 曰（ ＝ Ｃ Ｄ． ． Ａ
‘ ．
‘
反 思 ： 于这 一例题 ， 中立体 几何 的教 材 经过 对 高
时也 引 出 另 一 个 变 式 ：
１ 改 变 条 件 ， 掘 内在 联 系 挖
变 式 １ 经 过 一个角 的顶点 引这 个 角所 在 平 面 的斜射 线 ， 它 和 已知角两 边 的夹角为 锐角且 相等． 设 求 证 这 条 斜 射 线 在 平 面 内 的 射 影 是 这 个 角 的平 分 线． 证 法 同题 目一样 ， 用全 等 力
巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题
巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题摘要：几何变式题一直是学生比较害怕的题型，文章通过三个例题的分析，让学生感受“复制、粘贴法”在几何变式题中的应用，从而得到推理能力的提升．培养和发展学生的数学推理能力不仅是数学学科价值的体现，同时也是“核心素养”的基础性条件．关键词：几何变式题、解法研究、核心素养初中阶段尤其是基础不好的学生对于几何压轴题往往都有畏难情绪，一看到冗长的题目，连题目都还没看清，就开始打退堂鼓，更不用说好好思考并解决了．现在我来介绍一类几何压轴题，并没有那么难“对付”，相信你能从中得到一点启发．接下来我从几个题目入手讲解如何用“复制、粘贴法”解决几何变式题．1.点的移动带来的变式例1．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_________．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．此题是2019年抚顺的中考题，是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；此题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．第1、2小题的区别在于点E是否为CD的中点，学生可以通过测量图1与图2中的BP、QC、EC的长度，初步猜想这三条线段都存在BP+QC=EC。
由于正方形的四边相等，只要满足PQ=DE即可证明猜想，线段EG又是由线段EP绕点E顺时针旋转90°得到的，可得EP=EG，只要证明△PEQ≌△EGD即可完成，证明过程如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，∴∠PEQ+∠GEH＝90°，∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，∴∠PEQ＝∠G，又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，∴∠EPQ＝∠GED，在△PEQ和△EGD中，，∴△PEQ≌△EGD（ASA），∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；第1、2小题的解题过程是一模一样的，完全可以用“复制、粘贴”的方式来完成证明。
变式教学在解析几何中的应用
问题 的最简捷的方法 ， 而提高解题能力． 从
知圆的方程是 ＋ ｒ， ｙ ： 求经过 圆上一点 Ｍ（。 ，
Ｙ） ｏ 的切 线 的方 程． 教学 中 ， 引 导学生解 答 ， 出切 线 方 程 为 ：Ｏ 先 得 ＸＸ
＋Ｙ Ｙ ＝Ｆ ｏ ２
，
３ 注意 问题衔接 。 改造条件或 结论
例 ３ 高中《 数学 》 第二册 （ ） ｌ９页第 ７ 上 第 １ 题 ： 抛物 线 ｙ ＝ 过 ２ 的焦 点 的一 条 直 线 和 此 抛 物
当合理的变式能营造一种生动活泼、 宽松 自由的氛 围． 开拓 学生 的 视 野 ， 发 学 生 的 思 维 ， 助 于 培 能 激 有 养学生 的探索精神与创新意识． 同时 ， 学生可以多层 次 、 视角 、 方 位 地认 识 数 学 问题 ． 文 笔 者 将通 广 全 本 过“ 解析几何 ” 教学中的几个具体例题 ， 谈谈变式教 学 中问 题 的选 择 与变 式认 识．
ＭＮ的 内分点 或端 点．
１ 利用 问题 系列 。 识辩 问题本 质
例 １ （ 曲线 第一 定义 的教 学） 双 曲线 概 念 双 在 教 学 中 ， 于第 一 定义 ： 平 面 内 与 两定 点 Ｆ ， 的 对 “
令 Ｑ分 的 比为 Ａ 则 Ａ≥Ｏ或 Ａ不存在 （ ， Ｑ
（） ｜ 时 ， １当 ｉ Ｉ ＝ Ａ不存在 ；
（ ） 绝对值” ３ 将“ 去掉 ， 其余条件不变 ， 点的轨迹 是什么？ （） ４ 若令“ 常数” 等于零 ， 其余条件不变， 点的轨 迹是什么？（ 让学生认识定义中的常数应大于零 ）
通 过以上变式问题 的讨论和探索 ， 学生对双 曲
浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练
浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练初中数学课文是我们学习数学知识的重要教材，在实际的学习过程中，我们除了要掌握课文中所讲的内容，还要多运用套路和技巧，多做题，不断拓展自己的思维和能力，才能真正地掌握数学知识。
本文将从初中数学课文中例题的变式拓展训练方面入手，为大家介绍一些实用的方法和技巧。
1. 基本运算法则的练习课本中的基本运算法则，如加减乘除、多项式展开、整式乘法等，是我们数学学习的基础。
所以，在练习这些题目时，我们需要注重掌握基本的意义和规律。
例如，在乘法分配律的练习中，可以通过以下题目进行拓展：（1） $2(x+y)=2x+2y$，则 $5(x+y)=$通过类似的题目，我们可以巩固乘法分配律的知识，同时提高计算速度和准确度。
2. 图形的拓展和应用在初中数学中，图形的认识和分析是非常重要的一部分。
在课文中，我们可以学习到关于点、直线、角度、圆等方面的知识，通过不断地实践和应用，可以帮助我们更加深入地理解这些概念，进而掌握相关的技巧。
（1）如图，在正方形 $ABCD$ 中，$BF$ 平分 $\angle ABD$，证明 $BF=BD$。
通过对这些题目的分析和思考，我们不仅可以掌握正方形的性质，还可以拓展到其他多边形的性质，进一步提高自己的图形分析能力。
3. 立体图形及其应用在初中数学中，我们不仅需要掌握平面图形的知识，还需要了解立体图形，尤其是对于几何体的计算及其应用。
（1）已知正方体 $ABCDA_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $a$，求它的体积和表面积。
通过以上题目的练习，我们可以掌握立体图形的基本计算公式，同时培养立体图形的观察和分析能力。
总之，初中数学课文例题的变式拓展训练可以帮助我们更好地掌握数学知识和技巧，提高自己的思维和能力。
在实际的学习过程中，我们要注重思维的多元化，多角度地去分析问题，不断拓展自己的思考范围和解题技巧。
立体几何中利用图形变式解题
也说立体几何中利用图形变式解题在解答立体几何问题时，许多学生常因空间想象能力差、空间概念模糊，导致计算、论证等方面出现障碍。
但若能注意到几何图形的变式及应用，则可以化难为易。
下面就常见的几种利用图形变式解题的方法予以归纳，以飨读者。
一 空间图形平面化在立体几何解题时，为了解题目的需要，常把空间图形变式为平面图形。
利用平面化后的图形与空间的关系，对比、寻觅图中“变”与“不变”的位置关系与元素，常可以巧妙地解决一些问题。
常见的平面化的方法有：（1）展开直观图在解决一些几何体表面上的最短问题时，常采用“以直代曲”，展开直观图形，使空间问题平面化的方法。
例：长方体1AC 中，AB 15,4, 3.BC CC ===现有一只小虫从A 点出发沿长方体表面爬行到达1C 点，求小虫爬行的最短路程，并指 出与最短路线相对的路线的条数。
解析：如图为长方体侧面展开图，在矩形11ABC D 中，1AC 在矩形11AA C C 中，1AC 依题意，小虫爬行的最短路程为由图知与最短路线对应的路线有两条。
（2） 利用射影法平面化将立体图形中的元素位置影射到某平面中，使之转化为平面图形中的线线、点线关系，常可以达到化简之目的。
例：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,BB CD 的中点，设12,AA =求11.F A ED V -解析：由于直观图中空间元素之间相互遮掩、交错， 1A 1D 1C 不易寻找问题的突破口。
现利用影射法作图变式，即 1B 向面11ABB A 作垂直射影，则问题转化为在正方形11ABB A中，E 为1BB 中点，G 为AB 中点，○1求证：1,AE AG ⊥ D C A○2求E 到1A G 距离即EH 的长。
从而迅速找到了解题思路，A B 优化了解题过程。
（3） 利用“隔离”法平面化为了排除直观图中的空间元素之间的干扰因素，可以应用隔离法把要研究的对象从直观图抽出来，在平面内单独研究，可以花繁为简。
一道几何题的变式与拓展
ｍ — ｎ
题的过程变成探索 、发现的过程．将思维 变成流动、活跃 的过程 ，是创新 思维教学 所追求 的更 为重要的 目标 ，它是灵活应用 知识 、创造性地 由已知信息推断隐含信息
Ｂ
Ｍ Ｈ Ｃ
变 换 题 型 ，合 理 选 法 ，对 学 生 思 维 的 的等式就是 图 ｌ ４中的等式 ，所 以图 １ ８中
图 ｌ ６
灵活性 、敏捷性 的培养具有积极的作用． 变 式 ４ （） 图 １ １在 ８中 ，若 四边 形
Ｉ 明】初 中学生 的几何 思维 能力不 说 意一 点 ，０为正 五边形 的 中心 ，点 ０到 Ｒ Ｃ Ｂ Ｓ是 等腰 梯 形 ， ＝ ／Ｃ：６ 。 强 ，无 法 作 出恰 当的 辅 助 线 来 证 明 问题 ， ０， 边 的距离 为 １ ＂ ５ ，点 Ｐ到 ＡＢ Ｃ、Ｃ Ｒ 、Ｂ Ｄ、 Ｓ＝ｎ Ｃ＝ｍ，点 Ｐ在梯形 内，且 点 Ｐ 本题对创新 能力提 出了较高的要求，学生 ，Ｂ Ｄ 、Ｅ 的 距 离 分 别 为 ｈ，ｈ，ｈ，ｈ， 到 四边 Ｂ Ｅ Ａ 。 ３ Ｒ、Ｊｓ ｃ、ｃ Ｒ 、ｓ Ｉ 的距 离分 别 为 可 以通 过 模 仿 来 创 新 ．
一
从这个 角度引导学 生进行思维 拓展 ，
、
引 导 学 生 反 思题 设 的条 件 、结 论 就 可 以得 到 原 题 的 变式 问题 １ ．
学生熟悉 的一个基本问题 ，谈一谈如何引 和解题策 略 变式 １ 如果将图 １中的等边 ＡＡ Ｄ Ｂ 导学生对一个几何图形进行旋转变化 、条 条件 ：此题的基本条件是有公共顶点 固定 ，将 等边 △Ａ Ｃ绕点 Ａ按 逆时针 旋 Ｅ 件变化 ，使之形成新的几何 问题． 的两个等边三角形． 转到 图 ２的位置． 基本题 （ 原题 ） ：如 图 ｌ ，△ＡＢ Ｄ和 ， ） 结 论 ： △Ａ Ｅ Ｂ ａＡＤ ，Ｂ ＝ＤＣ Ｃ Ｅ ，
化归与转化思想视角下几何问题的变式与探究
若存在， 请求出Ｉ Ｉ 若不存在， 尸 请说明理由． 并判
断在棱锥体内部这样 的点存在吗？
变式意图 借助固有的研究思路 ，代数与几何交
２ １ 年 第 ３期 ０２
福 建 中学数 学
５
汇 ，将平 面 的“ 距 问题” 等 拓展 到 空 间 ．
变式五 试一试 ， 若是从旋转、最短路线、 概率、 线性规划等角度 出发 ，本题还可 以设计出什么样 的 数学 问题 ？ 变式意图 探究与立体几何有 关的知识 交汇方 式 ，换 一 个角 度重新 审 视空 间几 何体 ．
变式三 若 Ａ ＝１ （ Ｂ ， 其余不变） 点 ，在线段 Ａ ， Ｃ
上 ，求 Ａ Ｅ Ｄ Ｆ周长 的最小 值 ．
变式设计与探究，其遵循的原则是一定 开 放度 的
变式意图 怎样 利用空 间图形 的几何性 质探究
最值 问题 ？
变式意图 在没有现成 的三线强两垂直 的情况 下 ，如何建立空间坐标系解题？
变式二 改 Ｅ为线段 Ｂ Ｃ的一动点 ，试求 Ａ Ｅ与 Ｄ Ｂ夹角余 弦值 的取值 范 围 ． 变式意图 如何选择参变量写出点的坐标 ，并构
造 函数模 型求 函数 的值 域？
１ ． ３空间几何问题的变式设计原则 在化归与转化思想视角下进行空间几何问题的
领域 ．” 本文拟以几何问题为例，探讨在化归与转化 思想视角下进行问题的变式与探究的原则和方法 ． １ 空间几何问题 的变式与探究 １ ． 间几何 问题 的特点分析 １空 空间几何问题的特点是题干的信息多，空间点、 线 、面 的位 置 关 系复 杂 ，图形抽 象 ，单 个例 题 一 般
教 师能 够拿 出一个 有 意义 的但 不 太复 杂 的题 目，去 帮 助学 生发掘 问题 的各 个方 面 ，使 得通 过 这道 题 ， 就好 像 通 过一 道 门户 ，把 学 生引入 一 个完整 的理论
浅谈初中数学教材几何习题的变式教学
浅谈初中数学教材几何习题的变式教学摘要：初中数学具有较强的抽象性和逻辑性，必须让学生深入理解知识的本质，才能够提高学生学习效果，实现知识的迁移运用。
习题变式教学有助于学生深入理解知识本质，落实一题多解、多题一法。
为强化初中几何教学效果，本文通过文献法和经验法对几何习题变式教学进行了研究，从变式教学的意义和策略两方面展开详细研究，以供参考。
关键词：初中数学；几何习题；变式研究引言：随着教育教学改革的深入，提升学生的核心素养变得愈发重要。
在这样的教育背景下，教师应该注重教学模式的优化，提高学生学习自主性，让学生在学习知识、训练技能的过程中，核心素养能够得到提升。
几何习题变式教学在核心素养培养上具有积极作用，赋予了学生更多的思考空间，在一定程度上加强了学生对几何基础知识的理解，能够促使学生深度学习，进行几何习题的探索。
基于此，教师应当注重初中数学教材几何习题的变式教学，以提高学生学习效果。
一、初中数学教材几何习题变式教学的意义在初中数学几何教学中，教师进行习题变式教学对学生核心素养的提升具有积极意义。
在传统的几何教学中，关于结合概念等知识学生习惯死记硬背，这样的学习模式下，学生的思维十分固定，只能解决标准化习题。
当题目出现一定的变形时，很多学生就会不知所措，主要原因在于不能理解知识的本质。
教师通过几何习题变式教学，可以让学生通过不同的习题深入感知几何概念，提高学生举一反三的能力。
除此之外，几何习题变式教学强调以学生为中心，引导学生主动进行知识的探索和分析，有助于学生学习兴趣的提升，强化学习效果。
二、初中数学教材几何习题变式教学的策略（一）注重习题典型资源的收集与分析从近几年中考数学几何习题上分析，很多题目源于教材中的习题，对教材中的习题进行了变式，难度并不大。
但是从学生们做题的实际情况上看，教材中涉及的几何题目，大部分学生都能够进行正确解答，但是对于中考的变式题目，很多学生在做题中出现了问题。
基于此，教师在进行教材中几何习题教学的过程中，不应该局限在教材题目中，应该适当进行习题变式，让学生以递进的形式进行习题练习，以此来促使学生深入理解知识的本质，对几何变形题有深刻的认识。
以变助学，彰显魅力——初中数学教学中习题的变式拓展探究
教学创新新课程NEW CURRICULUM在初中数学的习题教学过程中采用的教学模式通常是一成不变的，时间一长，学生就会对习题教学产生枯燥、烦闷的心情，这对于学生的数学成绩的提升并没有帮助，为此初中数学教师应当对其进行适当的完善，也就是在习题教育的过程中采取变式教学的方式，在习题课中引入变式教学的模式，初中数学教师可以培养和训练学生的思维能力以及数学技巧，并且在习题教育的时候对数学问题进行多样化的变化，在不断变化习题形式的时候帮助学生探索和掌握数学问题的本质，巩固学生对数学问题以及同类型知识点的掌握，并且促进学生在数学方面的创新意识，提高学生的数学思维品质。
一、在习题课中采用变式设问训练学生对数学知识思维概况的能力初中数学教师在讲授数学知识点的时候应当引导学生掌握知识点的内涵以及知识的本质属性，在设置数学习题课程的时候也应有这样的目的，在习题课中利用变式教学的概念引导学生由浅入深地思考数学知识点，辅助学生培养思维概括的总体能力。
例如，在数学教师引导学生复习“中点四边形”这一知识点的时候，学生对这一概念的认知常常处于模糊不清的状态，为此，数学教师在习题课上设置习题引导学生复习相关知识点的时候，可以在变式教学教育理念的基础上，以“问题链”的形式逐步加深学生对这一知识点的认知，“依次连接任意四边形的各个中点得到的图形是什么？”“各边中点连接后得到的图像的特点有什么？”就初中数学中常见的几何图形分别以这一方法进行探索，掌握各个图形的中点图形的几何特征，这些几何图形包括菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形、梯形、正方形，学生在亲自画出中点四边形的时候就能够在脑海中加深对相关知识点的印象，之后数学教师就可以引导学生重新对相关知识进行逆向提问，这样学生就能够灵活地应用这些几何知识，应对初中数学多变的几何题型的时候就能够做到应对自如，并且在变式教学理念之中，学生能够从更多的角度理解中点四边形的知识点，尤其是对中点四边形的外延以及几何知识点的内涵，深刻地认识到几何知识的本质属性，同时提高学生自主数学学习能力，尤其是学生对数学的概括及归纳的能力。
初中数学教材例题的变式教学策略探究
初中数学教材例题的变式教学策略探究1. 引言1.1 研究背景初中数学教材例题是学生学习数学知识的重要工具，通过解题能够帮助学生深入理解数学概念和方法。
在教学中，有时候教材中的例题可能显得单一和呆板，无法激发学生的学习兴趣，也无法帮助学生拓展思维和提高解题能力。
对初中数学教材例题进行变式教学策略探究显得尤为重要。
传统的数学教学模式往往只是单纯地讲解概念和公式，然后让学生通过例题进行机械式的练习。
这种教学方法在一定程度上限制了学生的发散性思维和创造力。
通过对例题进行变式教学，可以让学生在解题过程中灵活运用所学知识，提高解决问题的能力。
变式教学也能够激发学生的兴趣，增加学习的趣味性，促进学生成为主动学习者。
针对初中数学教材例题的变式教学策略探究具有重要的现实意义，能够提高教学质量，激发学生学习的热情，促进学生全面发展。
通过对例题的改编和创新，可以为学生提供更多元化的学习经验，帮助他们更好地理解和应用数学知识。
【研究背景】1.2 研究目的研究目的是为了探究初中数学教材例题的变式教学策略，帮助学生在学习数学的过程中更好地理解和掌握知识点。
通过分析教材中的例题特点，揭示变式教学策略的基本原理，提出基于例题的具体变式教学策略，并探讨实施步骤与方法，以及通过案例分析验证教学效果。
通过这项研究，旨在帮助教师更好地选择和设计例题，提升教学效果，激发学生学习数学的兴趣，促进他们的学习动力和数学素养的提升。
也为教育教学研究领域提供新的思路和方法，促进教育教学改革和提高教学质量。
通过此研究，希望能为未来的教学实践提供有益的参考和借鉴，推动数学教育的发展和进步。
1.3 意义初中数学教材例题的变式教学策略探究具有重要的意义。
通过对例题的变式教学，可以帮助学生更深入地理解数学知识，培养他们的解决问题的能力和创新思维。
变式教学能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，从而提升学习效果。
变式教学还可以帮助教师更好地发现学生的学习情况，及时调整教学方法，促进教学质量的提升。
几何图形的拓展性技巧
几何图形的拓展性技巧几何图形是我们在学习数学过程中经常遇到的一个重要概念。
它们不仅能够帮助我们理解空间关系和形状特征，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
然而，对于许多学生来说，几何图形的拓展性技巧往往是一个难以把握的问题。
在本文中，我们将探讨几何图形的拓展性技巧，并提供一些实用的方法和示例。
首先，我们来谈谈几何图形的拓展性。
拓展性指的是将一个图形进行变形或扩展，使其具有新的特征或性质。
通过拓展，我们可以更好地理解图形的结构和关系，并且能够在解决问题时灵活运用。
下面我们将介绍一些常见的拓展性技巧。
1. 平移：平移是指将一个图形沿着平行于某一方向的直线移动一定距离，而保持其形状和大小不变。
平移可以帮助我们观察图形的对称性和平行性质。
例如，我们可以通过平移来证明两个平行线之间的距离是恒定的。
2. 旋转：旋转是指将一个图形绕着某一固定点旋转一定角度，而保持其形状和大小不变。
旋转可以帮助我们观察图形的对称性和角度特征。
例如，我们可以通过旋转来证明两个角度相等或互补。
3. 缩放：缩放是指将一个图形按照一定比例进行放大或缩小，而保持其形状和相似性质不变。
缩放可以帮助我们观察图形的比例关系和相似性质。
例如，我们可以通过缩放来证明两个三角形相似或同比例。
4. 反射：反射是指将一个图形沿着某一直线进行镜像，而保持其形状和大小不变。
反射可以帮助我们观察图形的对称性和镜像特征。
例如，我们可以通过反射来证明两个图形相等或全等。
除了以上几种常见的拓展性技巧外，还有一些其他的方法可以帮助我们更好地理解和运用几何图形。
例如，我们可以通过拆分图形、组合图形或者应用平行线、垂直线等特性来解决问题。
这些方法都可以帮助我们发现图形中隐藏的规律和性质，并且能够提高我们的思维灵活性和创造力。
在实际应用中，几何图形的拓展性技巧也发挥着重要的作用。
例如，在建筑设计中，我们可以通过平移、旋转和缩放来调整建筑物的形状和尺寸。
在工程测量中，我们可以通过反射和投影来确定物体的位置和大小。
小学数学思维拓展小学生几何变换的解决训练
小学数学思维拓展小学生几何变换的解决训练小学数学思维拓展——小学生几何变换的解决训练数学是一门需要灵活思维和严谨逻辑的学科，而几何变换是数学中的一部分，它能够帮助小学生拓展思维、培养创造力和解决问题的能力。
在小学数学教学中，几何变换是一个富有趣味性和挑战性的内容。
本文将介绍一些针对小学生的几何变换的解决训练方法，帮助他们巩固数学基础、拓展思维。
1. 翻折变换：翻折变换是最基础的几何变换之一。
通过将图形按照某条线对称折叠，使得原本的图形与折叠后的图形完全重合。
这是非常直观和易于理解的一种变换方法，适合小学生的学习。
示例题目：两个小朋友，小明和小华，手中拿着相同的纸张，上面画了同样的图形。
小明将纸张按照某条线折叠后得到了一个新的图形，现在请小华将自己的纸张也按照同样的方法折叠，使得两个图形完全重合。
请你画出小华需要的折叠方法。
2. 平移变换：平移变换是将图形在平面上沿着某个方向进行移动，使得图形的形状、大小、方向不变。
平移变换培养了小学生的空间想象力和几何直观，也能帮助他们理解向量的概念。
示例题目：在三角形ABC中，点D是边BC上的一个点。
当将三角形ABC沿着向量AD平移时，使得点A到达新位置A'，求点B、C、D在平移后的位置。
3. 旋转变换：旋转变换是将图形沿着固定点旋转一定角度，使得图形的形状、大小、方向不变。
旋转变换能够培养小学生的空间观察能力和几何想象力。
示例题目：将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转45度，以得到新的正方形A'B'C'D'，求A'、B'和D'分别在哪里。
4. 对称变换：对称变换是将图形围绕某个中心进行镜像翻转，使得图形的形状、大小、方向不变。
对称变换培养了小学生的空间想象力和几何直观。
示例题目：将图形A通过某个镜像线，得到新的图形A'。
现在请你找出镜像线的位置，并画出图形A'。
通过以上四种几何变换的解决训练，小学生能够得到数学思维的拓展，并且培养创造力和解决问题的能力。
一道几何题的证明尝试与变式拓展
３ ＝ ｚ ｘ３．
．
③
Ａ Ｅ Ｂ
因为Ｅ ／ＡＣ， 以聒 Ｕ 的距离也为ｈ， ￣／ 所 ＡＣ ：从而
ｓ ： △ —ｓ ｍ △ ｓｍ △ １ １
１
２ ＝
把③代入① 得
２ ＝ｙ ｘ， ｘ ＋
Ｖ＝ ．
ｙ ＋ ． （ １ｈ）
图６
④
又 因在￣Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中， 是Ａ Ｅ Ｂ中点 ，： Ｃ Ｆ￣Ｂ 中点 ，
同理 ， 延长Ⅳｃ 使Ｃ ＮＣ 延 长Ⅳ 到 日 ， Ｈ ＝ 连 到Ｇ ， Ｇ ＝ ， 使Ｆ ＾
接 ＧＨ （ 图６ ， 如 ）最后 可得２＝ ＋ ． ｚｘ ｙ
解方程组
’
６ Ⅱ —ｎ １ ＝ ． ｍ
－
—
所 以
Ｃ ＝ａ 。—
ｎ ． ＋１ ｍ＋ｌ
— ．
由③ 、 ④得
， Ｍ＝ Ｎ Ｎ ． Ｍ ＝Ｃ
所 ｓ ５ ，』寺 ・ 以△ ｓ『 ｓ Ａ 寺 △ ）
所 以Ｊ ＝ △ ． ｓ Ⅲ Ｓ
整理一下“ 尝试２ 与“ ” 尝试４ ， ” 可以发现 ：
（ ） 面积 法 ， ｉｘ ｚ １由 能 Ｅ ＝．
（） ２ 由全 等知识 ， 能证２ ＝ ＋ ， ｘ ｙ ｚ 事实上 ， 上述 三个 等式 ， 只需 获证 任意两个等式 ， 均可推导
出 ｙ ｚ Ｉ＿．
所以 ＋２ ｌ （＋ ） 去 （ ｈ： ｈ ＾． ） ｙ １２
因ｈ＋ ２ ０ １ｈ＞ ， 所 以 ｙ ￣ Ａ Ｎ ． ＝ ， ［ Ｍ＝ Ｃ Ｊ
三、 拓展—— 命 题变 式 的不 断涌现
拓 展 １让 Ｅ、 动 起来 ． ： 腹
证 出Ａ Ｎ 令人 信心倍 增． Ｍ＝ Ｃ， 再接 再厉 只 要再 证 出ｓ ＝ Ｓ 即可 ， 是 由于少 了相似知识 相助 ， 但 面积法 的 威力弱 了不 少， 要证Ｓ 也非易事． 尝试３ 考虑到 “ ： 尝试２ 中证 明Ａ ＮＣ 的是面积法 ， 没 ” Ｍ＝ 用 并 有用 到相似 ， 故直 接思考Ａ ＭＮ、 Ｍ＝ ＭＮ＝ 两 者任 选一个 ， 用 ＮＣ 不
如何对几何习题拓展变式
如何对几何习题拓展变式“变式” 原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。
在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。
在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。
通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。
通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。
“变式训练” 的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：—、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法.....1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展, 培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
已知：点0是等边△ ABC 内一点,0A=4, 0B=5, 0C=3求/ AOC 的度数。
在厶 ABC 中，AB=AC / BAC=900A=4, 0B=6 0C=2求/ AOC 的度数。
一道立体几何题的变式与拓展
一道立体几何题的变式与拓展吴康【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)018【总页数】2页(P14-15)【作者】吴康【作者单位】山东省邹城市第二中学【正文语种】中文从近几年高考数学试卷来看,立体几何试题的题型绝大多数为一大二小,注重基础,强调能力,常见的考点有: 1)空间几何体的三视图、直观图、表面积、体积等; 2)点、线、面的位置关系; 3)平行和垂直关系; 4)角和距离; 5)与其他知识的交会与综合问题等.下面就一道立体几何题加以分析,并通过变式加以拓展与应用.例1 一个多面体的直观图和三视图如图1所示,其中M是AB的中点.图1(1)求几何体ADF-BCE的表面积;(2)求几何体F-AMCD的体积.分析从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,进而求解相应几何体的表面积与体积.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a,进而可得(1) SADF-BCE=S矩形ABCD+S矩形DCEF+S矩形ABEF+(2)变式1 一个多面体的直观图和三视图如图1所示,其中M是AB的中点.求证:CM⊥平面FDM.分析本题将例1从线面关系的角度来进行变式.从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,结合线面垂直的性质进行转化得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理加以证明.证明由三视图可得直观图为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a.因为FD⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,所以FD⊥CM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,所以CM⊥DM,而F D∩DM=D,所以CM⊥平面FDM.变式2 一个多面体的直观图和三视图如图2所示,其中M、G分别是AB、DF的中点.图2(1)求证:CM⊥FM;(2)求证:GA∥平面FMC;(3)一只小飞虫在几何体ADF-BCE内自由飞,求它飞入几何体F-AMCD内的概率. 分析本题是对变式1中证明线面垂直的进一步深化,证明线线垂直.第3问是在例1中求解几何体体积的基础上进一步与几何概型交会.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a,(1) 同变式1可得CM⊥平面FDM,而FM ⊂平面FDM,所以CM⊥FM.(2)取DC中点S,连接AS、GS、GA,因为G是DF的中点,GS∥FC,AS∥CM,所以平面GSA∥平面FMC,而GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC.(3) 由于所以根据几何概型的概率公式可得所求的概率为变式3 一个多面体的直观图和三视图如图2所示,其中M、G分别是AB、DF的中点.(1) 求直线CD与平面FDM所成的角的大小.(2) 在线段AD上(含A、D端点)确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.分析本题是变式2的进一步拓展,线面角的求解是变式1中线面垂直的进一步应用,而第2问是对变式2中线面平行证明的进一步探究.从多面体的直观图和三视图入手,确定空间几何体的性质特征,结合线面垂直的性质与判定加以转化,进而利用线面角的定义先确定线面角,再进行求解;最后结合几何体的位置关系,通过确定点的位置来判定线面平行问题.解由三视图可得几何体为直三棱柱,且在底面ADF中,AD⊥DF,DF=AD=a,AB=2a, (1) 因为FD⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,所以FD⊥CM.在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M为AB中点,所以CM⊥DM,而FD∩DM=D,所以CM⊥平面FDM,则直线CD在平面FDM内的射影为DM,所以直线CD与平面FDM所成的角为∠CDM.在Rt△CDM中,则∠CDM=45°,故直线CD与平面FDM所成的角的大小为45°. (2) 点P在点A处.方法1 取DC中点S,连接AS、GS、GA,因为G是DF的中点,GS∥FC,AS∥CM,故平面GSA∥FMC,而GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC.方法2 取FC中点N,连接AG、GN、NM,由GN又AM所以AMGN,所以四边形AGNM为平行四边形,所以AG∥NM.又NM⊂平面FMC,故AG∥平面FMC.故点P与A重合.上述几例通过线面垂直关系的进一步深化,综合利用线面垂直的性质与判定来证明相关的线线垂直、线面垂直、线面角等问题,同时把线线平行、线面平行问题加以交会,考查了考生探究思维与应用能力.涉及立体几何的交会与综合问题,高考复习时要做到: 1)重基础，立体几何复习的首要任务就是强化基础知识的训练,确实掌握基本概念、性质、定理、公理、推论等,建立知识框架和网络; 2)突出重点，高考的落脚点是几何体的主视图、证明平行或垂直、求解空间角度或距离等,对这几方面的问题要熟练掌握其解题思路; 3)总结规律和解题方法.总之,无论其题目如何变换、交会,都离不开基本知识与基本技能的综合与应用.。
初中数学拓展题解题技巧
初中数学拓展题通常是在基础知识的基础上，要求学生进行更深入的思考和运用。
以下是一些解题技巧，帮助学生应对初中数学拓展题：
1. 仔细阅读题目：拓展题往往会给出一些额外的条件或者引导学生思考不同的解法。
学生需要认真阅读题目，理清题目的要求和给定条件。
2. 思路灵活多样：对于拓展题，解题思路并不唯一，学生可以尝试不同的方法和角度来解决问题。
鼓励学生从不同的方面入手，运用已有的知识和技巧进行推理和分析。
3. 利用辅助线、图形和表格：对于几何类的题目，学生可以通过画图来辅助思考。
合理利用辅助线、图形和表格等工具，有助于发现问题的规律和特点。
4. 分析问题关键：在解答过程中，要注重分析题目中的关键信息，找出问题的核心点。
解题时要将注意力集中在关键点上，避免被无关信息所困扰。
5. 运用逻辑推理：拓展题可能需要学生进行推理和逻
辑思考。
学生可以利用前提条件、已知信息和推理规律，运用逻辑推理的方法来解答问题。
6. 反证法和归纳法：拓展题中有些问题需要通过反证法来证明或推断。
学生可以假设某一情况成立，然后根据该情况进行推理，如果得出矛盾或不符合实际的结论，则可以得出正确的结论。
此外，归纳法也是一种常用的解题方法，通过找到问题的规律和模式，从而推断出通用的结论。
7. 多做练习：拓展题需要灵活运用数学知识和技巧，在解答上需要较高的思维能力和分析能力。
因此，多做相关类型的练习题，培养自己的解题能力和技巧。
总之，初中数学拓展题是培养学生综合素质和应用能力的重要环节。
通过灵活运用解题技巧和方法，学生可以更好地应对拓展题，并提升他们的数学思维和解决问题的能力。
习题变式在初中几何教学中的应用
图 Ｉ１ 一
图 １２ —
图 １３ －
图１４ －
变 式 一 ： 图 １ ２在 四边 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｂ Ｂ ＝ Ｄ Ｄ Ｅ、 如 － ＢＤ Ａ ＝ Ｃ Ｃ ＝ Ａ，
Ｆ Ｇ、 、 Ｈ分别 是 Ａ 、 Ｃ、 Ｄ、 Ａ的中点 ， ＢＢ Ｃ Ｄ 求证 ： 四边形 Ｅ Ｇ Ｆ Ｈ是
总第 ２５ ４ 期
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习题变式在初中几何教学中的应用
钟 学森
（ 阳市 胥 口镇 中学 ， 江 富 浙 杭州 ３ １０ ） １４ ０
一
、
数 学 习题 变 式 的作 用
等 ， 是解答题一般只能用直接解法 。 但
２变条 件 ．
１ 学生的数 学学习触类旁通 。“ ． 使 习题变式” 教学往往是围
绕一两道数学习题进行 ， 变式提 问深浅适度 ， 由表及里 ， 由浅入 深， 层层深入 ， 环环 紧扣 ， 给学生清晰 的层次感 ， 从层层 递进 的 变式 中激活学生的思维 ， 使学生学会知识 的迁移 ， 学一 道题 ， 会
一
①增加条件。 当增添条件 ， 适 从一般到特殊 ， 以得到更多的
２可行 性原 则。在 选择 课 本 习题 进 行变 式 时要 变 得有 “ ” ． 度 ， 恰 到 好处 。
３参与性原则。在变式教学中 ， ． 要鼓励学生大胆地“ ”有 变 ， 目的 、 有意识地 引导学生从“ 的现象 中发 现“ 变” 不变 ” 的本 质 ，
一
②减少条件 。适当删减条件 ， 往往把题 目从特殊转化为 般， 更加考验 了学生对知识 的灵活运用 ， 这对提高学生 的解
八年级数学上册第十二章关于几何图形的变式探究数学活动
D
B
E
C
变式一 如图，AE⊥BE于E，DE⊥EC于E，AE=BE，
DE=CE，将△CDE绕点E顺时针旋转一定角度后，
BD与AC的关系是否发生变化呢？并说明理由.
A
2
O
FD
1
B
E
C
三、深入探究，揭示本质
变式二 如图，若将变式一中的等腰直角三角形 △ABE和△CDE 都变成等边三角形，则BD与AC 数量关系还会相等吗？BD与AC的所夹的锐角是 多少度呢？
练1 如图，等腰直角三角形ACD的直 角顶点C在直线PQ上，AE⊥PQ于 E，DF⊥PQ于F，且AE=4，CE=6， 则梯形AEFD的面积是__5_0__.
42
1
6
4
6
3
4
例2 如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，
且DE=CE，试探究BD、AC的关系？并说明理由.
1
B
证明：∵AE⊥BC
作业
四、合作探究，灵活运用
如图，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，
△OAB为等边三角形，点C为y轴正半轴上一动点，
以AC为边在AC下方作等边△PCA，连接BC，OP.
（1）求证：△AOP≌△ABC
（2）求OP的最小值.
y
B
C
O
转化思想，建模思想
P
x A
帮助别人就是帮助自己！ 师友互助，共同进步！
二、图形变换，探索研究
请问AC、CD的数量和位置关系. A
D
C1
E
2
E
F
A
谢谢
数学活动
一、创设情境，引出课题
请同学们猜想AC、CD的关系，如何来证明呢？
巧妙变换图形，提升解答立体几何题的效率
备考指南立体几何问题都与图形有关，对同学们的空间想象、直观想象以及逻辑思维能力有较高的要求.在解题时，可将一些图形进行巧妙的变换，如平行变换、翻折变换、伸缩变换、旋转变换等，利用平行变换、翻折变换、伸缩变换、旋转变换图形的性质来解题，这样可起到化难为易、化繁为简的效果，有利于提升解题的效率.一、平移变换平移变换是指将图形或其中的一部分平行移动.在此过程中，平移前后图形的大小、形状、面积都不改变，但是图形中的点、线段、曲线的位置都发生改变，且改变的方向向量相等.通过平移变换，可将图形平移到一些特殊的位置，这样便可通过讨论这些特殊的情形，找到解题的思路和方向.例1.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都是2，D 为BC 中点，求点A 1到平面ADC 1的距离．解：如图1，连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，易知OD ∥A 1B ，又OD ⊂平面C 1AD ，则A 1B ∥平面C 1AD ，则A 1到平面ADC 1的距离是A 1B 上任意一点到平面ADC 1的距离，即为B 到平面ADC 1的距离，由D 为BC 中点知，B 到平面ADC 1的距离即为C 到平面ADC 1的距离，由AD ⊥BC 知，平面ADC 1⊥平面BB 1C 1C ，过C 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则CH 的长是A 1到面ADC 1的距离，在RtΔCC 1D 中，由勾股定理可得CH．确定点到平面的距离是解答本题的关键.通过添加辅助线，使得OD ∥A 1B ，这样便将点A 1平移到B 点，根据中点的性质将B 到平面ADC 1的距离转化为点C 到平面ADC 1的距离，于是所求的距离为CH ，根据勾股定理即可解题.通过平移变换，将点A 1平移到特殊点B ，就能将点到面的距离转化为两点之间的距离，这样便将问题简化.二、旋转变换旋转变换是指将图形或其中的某一部分绕着一个点或一条直线旋转.在此过程中，旋转前后图形的大小、形状、面积都不改变，但是图形中的点、线段、曲线的位置都发生了改变，且旋转的角度相等.将图形旋转到某一特殊位置，从而将不规则的几何图形变为规则的几何图形，把问题转化为简单的几何性质或运算问题，这样能使问题变得更加简单，易于求解.例2.若四面体的一条棱长为x cm ，其余棱长都为2cm ，则(1)x ∈；(2)当该四面体的体积最大时，x 的值是多少？解：如图2，设PA =x cm ，其余棱长都为2cm ，现让ΔPBC 绕着直线BC 旋转.(1)当P →A 时，x →0，当ΔPBC绕BC 沿顺时针方向旋转时，x 越来越大；当P →D 时，x →AD =23，因为点D 为菱形ACDB 的一个顶点，故x ∈(0,23)．(2)设点P 到平面ABC 的距离为d ，则V P -ABC =13∙S △ABC ∙d ，所以要使四面体的体积最大，需使点P 到平面ABC 的距离d 最大，观察旋转图形ΔPBC ，易知当平面PBC ⊥平面ABC 时，点P 到平面ABC 的距离取得最大值，此时ΔPBC 中，BC 边上的高为3cm ，此时x =6cm ．通过旋转变换，可将图形在旋转过程中的变化规律揭示出来，此时我们只要抓住旋转图形过程中的不变元素，据此列出关系式，利用极限思想就能快速求得问题的答案.三、翻折变换翻折变换是指将图形或其中的某一部分沿着某一条直线翻折.在此过程中，翻折前后图形的大小、形状、面积都不改变，图形中点、线段、曲线的位置都发生了改变，但其相对位置不变.通过翻折图形，便可改变图形及其中点、线段、曲线的位置，再抓住翻折过程中的变量和不变量，即可快速解题.例3.如图3，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将ΔADE 和ΔBEC 沿DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P .(1)求证：PE ⊥平面PDC ；(2)求二面角P -CD -E 的度数．(1)证明：因为ABCD 是正方形，将其翻折后使AE 与BE 重合，此时PE ⊥PD ，PE ⊥PC ，故PE ⊥平面PDC ．王进图1图251备考指南(2)解：取CD 中点F ，连接PF ，PE ，如图4，在图3中，AD =BC ，ED =EC ，而翻折后A ，B 重合为P ，故PD =PC ，可知PF ⊥CD ，EF ⊥CD ，则∠PFE 是二面角P -CD -E 的平面角．设正方形的边长为a ，得PE =a2，EF =a ，故sin ∠PFE =a2a =12，则二面角P -CD -E 的度数为30°．从正方形的性质入手，结合图形，便可快速找到一些垂直关系和相等关系，这也是将ΔADE 和ΔBEC 翻折过程中的不变关系，再根据翻折后图形中点、线、面之间的位置关系进行分析，便可快速找到二面角P -CD -E 的平面角，求得该角的大小.例4.如图5，四边形ABCD 为正方形，E ,F 分别为AD ,BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解：如图5，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴的正方向，|BF |为单位长，建立如图5所示的空间直角坐标系H -xyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又因为DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF ，PHEH ＝32.则H (0,0,0)，P æèçø，D æèöø-1,-32,0， DP =æèçø1,32， HP =æèçø.又HP 为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ=| HP ⋅DP ||HP || DP |34=.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为.解答本题的关键是了解翻折前后线、面位置关系的变化情况，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后图形的结构特征，据此便可建立关系式，顺利解题.四、伸缩变换伸缩变换是指将图形或其中的某一部分伸长或缩短.伸缩前后图形的大小、形状、面积、周长都发生改变，图形中点、线段、曲线的位置也发生了改变，但其相对位置不变.通过伸缩变换，可将不规则图形变为规则图形，把不特殊、不熟悉的情形变成特殊的、熟悉的的情形，这样便将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题.例5.如图6，在多面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为3，EF ∥AB ，EF =32，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积是（）．A.92B.5C.6D.152解：当EF →0时，V 多面体→V 四棱锥E —ABCD =13×32×2=6；当EF →3时，V 多面体→V 直三棱柱ADE —BCF =S △BCF ·AB =12×3×2×3=9．所以6<V 多面体<9，所以本题应选D ．此解法是抓住了选择题的特点，并通过伸缩变换EF ，得到一些容易计算的特殊情形，据此求得几何体体积的最值，结合所给的选项就能快速求得问题的答案．由此可见，运用这四种变换图形的性质来解答立体几何问题，能收到意想不到的效果.在解题时，同学们可根据题意和图形的特征，将图形或其中的某一部进行平移、伸缩、翻折、旋转，寻找到特殊的情形，便可由此找到解题的思路.但是无论怎么变换图形，同学们都要把握其中的变量和不变量.（作者单位：安徽省无为严桥中学）图3图4图5图652。
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如何对几何习题拓展变式“变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。
在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。
在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
通过变式练习，可以使学生在全面、深刻的理解和掌握知识的同时，思维品质也获得良好的发展。
通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。
通过变式训练，可以帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，搞清问题的内涵和外延，提高数学能力。
“变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法……1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。
这方面的例子很多，尤其是几何证明题。
例如：已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的B CAB COAB CO形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。
探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索五：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，△ACM 和△BCN 分别变为正方形ACME 和正方形BCNF ，其它条件不变，AN=BM 成立吗？这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。
MACB练习：（1）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上任意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，BD ⊥AC 于D 求证：BD=PE+PF变式1：△ABC 变为等边三角形变式2：P 在△ABC 内 变式3：P 在△ABC 外（2）轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。
BC PP CBBCABCG变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家； 方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2：已知: AB 、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从P 点出发,先到AB 河取点水样, 然后再到AC 河取点水样, 最后回到P 处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P 点笔直向A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。
”化验员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一想, 小吴走怎样的路线？小华家河流ABAl变式3：变式4：如图,在定直线XY 外有一点P ,试于XY 上求两点A 、B,使PA+PB 为最短,而AB 等于定长a.aXY·PXY· ·P /a aBA PAB CBABPBCAD B C变式5：如图，在河的两侧有A 、B 两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A 村到B 村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为m)解:(1)过B 作BC ⊥a,且使BC = m; (2)连接AC 交b 于P;(3)过点P 作PQ ⊥a,垂足为点Q,那么PQ 就是桥的位置.（3）如图，公路MN 和PQ 在P 点处交汇，且∠QPN=30°点A 处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。
（拖拉机的速度是12米/秒）变式1：如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方300千米处，以107千A ··Ba bMPAQNa b·BA ·C PQ·P //米/时的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。
（1）问A 城是否受到台风影响？为什么？（2）若A 城受到台风影响，那么A 城受到台风影响的时间多长？变式2：据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。
（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？3、一题多思，培养思维的独创性B牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。
”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。
例如：如图, 过线段AB的两个端点作射线AM、BN, 使AM∥BN, 请照图思考下列问题, 并证明你的猜想。
(1) ?MAB, ?ABC的平分线AE、BE交于点E, 则?AEB是什么角, 并证之。
(2)过E点任作一条直线交AM于D, 交BN于C, 请问线段DE, CE什么关系, 并证明。
(3)请证明: 无论DC的两个端点在AM、BN上如何移动, 只要DC过点E，AD+ BC是个定值。
1、题型有何特征，解法有何规律？2、题目有哪些证法，其中哪些方法最简便？3、题目的几种证法中，辅助线添置有何规律？4、在题目的解决过程中，解题的关键何在？涉及哪些基础知识？5、在题目的解决过程中，有哪些地方容易发生错误？应注意什么问题？通过一题多思，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律”。
从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。
4、多题一法，培养思维的深刻性初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。
例如：（1）一个多边形除一个内角外，其余所有内角和等于2200°，则这个多边形的边数为_____。
（2）一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___。
以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。
避免“只见树木不见森林”的现象。
练习：（1）如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.(1)请在左图中分别画出长度为26、25、32的线段.(2)已知△ABC的三边长分别为AB=26cm、BC=25cm、AC=32cm,求△ABC的面积.(可以利用右图,也可以用其它方法)6与17+5+10变式：比较大小：2（2）勾股定理：1、如图①，一架梯子长2.5米,顶端A 靠在墙AC 上,梯子下端B 与墙角C 相距1.5米.(1) 这架梯子的顶端距地面多高?(2)如果这架梯子滑动后停留在DE 位置(如图②所示),测得BD 长为0.5米,这时梯子顶端下落多少米?图① 图②变式：梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A 、等于1米；B 、大于1米；C 、小于1米；D 、以上结果都不对。
注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。
2、小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）3、有一个长、宽各2米，高3米且封闭的长方形纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到与A 点相对的顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）米。
A 、3；B 、4；C 、5；D 、6。
变式1：一个圆柱的高为36，底面圆的半径为5，一只蚂蚁从上底面的点A 处爬到与点A 相对应的下底面点B 处的最端路程是多少？Π值取3。
变式2：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A A C CB B DEA 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________.变式3：如图，沿OA 将圆锥侧面剪开，展开成平面图形是扇形OAB.(1) 扇形的弧AB 的长与圆锥底面圆周的长是怎样的关系？点A 和点B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系？(2) 若角∠AOB=90°,则圆锥底面圆半径r 与扇形OAB 的半径R 之间有怎样的关系？(3) 若点A 在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位，则点A 运动的最短路程应该怎样设计？若5.02 x ,且∠AOB=90°,求点A 运动的最短路程。