第五章 测量误差及测量平差.
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求 ? m ？
解：
B
8957'59''
m m m
舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。
2.系统误差： 按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。
（1）用计算的方法加以改正； （2）用一定的观测方法加以消除；
（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）
3.偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影
响。 测量平差
§3.2 衡量精度的标准
• 精度：在相同的观测条件下，对一个量进行一组
例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，
一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认
为两段距离观测结果的精度相同？
• 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入 相对误差的概念。
三、相对误差
相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为 1 的分式来表示，称其为相对 （中）误差。即:
因其符合正态分布，也称为正态分布曲线。
密度函数法
正态分布曲线的数学方程式：
1 f () e 2 2
2 2 [ ] 2 ... 1 2 n lim lim n n n n 2 2
2
[ 2 ] lim n n
式中σ >0，表示与观测条件有关的参数。 观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。
二、极限误差
• 根据偶然误差的第一个特性，在一定观测 条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值，该限值称为极限误差（限差、允 许误差）。
• 极限误差是偶然误差限制值，用作观测成 果取舍的标准。
1 2 2 e d 0.683 68.3% 2 2 1 2 2 2 P 2 2 e d 0.955 95.5% 2 2 2 3 1 2 2 P 3 3 e d 0.997 99.7% 3 2 P
n
在测量中常用m来代替中误差的估值，即
m
n
• 设有不同精度的两组观测值 m1=2.7，m2=3.6
1 f () e 2 2 2
• 结论：说明中误差值越小，观测精度越高。
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。
式中：
K2
m2
D2
0.01
200
1
20000
K1>K2,说明： 第二组的量距精度高于第一组的精度。
或然误差：将一组误差按其绝对值的大小排序，
取居中的一个误差值作为精度指标，以表示。
平均误差：误差绝对值的平均值，用v表示。
[] v n 实践数据表明：
2 m v 4m 3 5 从数值大小看，或然误差和平均误差都小于 中误差，所以常用中误差来作为衡量精度的指标。
2
• 理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误 差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然 误差个数约占总数的0.3%。 • 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容 许误差；即 Δ
容=2m
或Δ
容=3m
• 极限误差的作用：区别误差和错误的界限。
返回
•
中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小 与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差 并不能全面反映观测精度。
频率密度
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 真误差
•每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对
个数（频率）。所有长方形面积之和等于1。
密度函数法
当 n 时，如果将误差区间 (d 0) 无限缩小， 则矩形上部的折线，就趋向于一条以纵轴对称的光滑 曲线，称为误差分布曲线。
lt l0 l (t t 0 )l0
思考： 水准仪—— i角
分析产生的主要原因：是仪器设备制造不完善。
水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）
hAB
i ( S后 S前）
结论：i角误差与前后视距差成正比。
注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；
2 y
mZ m m
2 x
2 y
• 推广到n个独立观测值代数和差：
Z x1 x2 ..... xn
m m m ... m
2 Z 2 x1 2 x2 2 xn
• 当n个独立观测值是等精度观测时：
m nm
2 Z
2 x
mZ nmx
3624'31'' 2.1'' 5333'28'' 1.7''
解：第一组观测值的中误差：
02 (2)2 (1)2 32 (4)2 (3)2 22 12 (2) 2 42 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
12 (2)2 62 02 12 (7)2 (1)2 02 32 12 m2 3.2 10
B C
水准测量
大量测量实践发现，测量结果中不可避免的普遍存在 误差，具体表现在： 1. 对同一量多次观测，其观测值不相同。——不符值 2. 观测值之和不等于理论值 ——闭合差
误差的定义
• 真误差：观测值与客观真实值之差。 • 公式：
lx
• 目的: 找出误差产生的原因，制定减弱误
差的措施，保证测量成果达到必需的精度。
§5.3 误差传播定律
直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或 改正数（5.4节内容讲述）计算出观测值中误差，作为衡 量观测值精度的标准。
S
D S cos
概念
误差传播定律： 阐述观测值的中误差与观测值函数
中误差的关系的定律。
倍数函数 函数形式
和差函数
一般线性函数 非线性函数
一、线性函数
三、测量误差的分类
测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的 不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差 。
粗差 系统误差 偶然误差
定义 特点 消除办法
1. 系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行 了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号均相 同或按一定的规律变化。
举例 ： 钢尺—— 尺长、温度、倾斜改正
三、测量误差的分类
3. 粗差
• 在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错 等），统称为粗差。 • 杜绝办法：认真仔细作业，采取必要的检核措施 – 对距离进行往、返测量，对角度重复观测 – 对几何图形进行必要的多余观测，用一定的几何条 件来检核
四、误差处理的原则
1.粗差 ： 通过检核的方法发现粗差；
n n n n
• 由于x、y是相互独立的，偶然误差x、 y出现正负符号
的机会相等，且正负符号互不相关，乘积x y也具有正
负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性， 当n趋于无穷大时，第三项趋于零。即
x y 0 lim n n
• 所以
m m m
2 Z 2 x
地平距SAB和中误差mSAB。
• 解：
S AB M Sab 500 23.4mm 11.7m
mSAB M mSab 500 (0.2mm) 0.1m
最后结果：
S AB 11.百度文库m 0.1m
2. 和差函数
• 设有函数Z= x y，x、y是两个相互独立的观测 值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误 差关系式为
二、测量误差来源
（1）仪器的原因
原因：固定的精确度、仪器构造不完善
（2）人的原因
原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度
（3）外界环境的影响
原因：温度、气压等的变化 • 通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为 观测条件。
• 等精度观测 –观测条件相同的各次观测。 • 不等精度观测 –观测条件不同的各次观测。
K m D 1 D m
一般情况，角度、高差的误差用 m表示，量距误 差用K表示。 与相对误差相对应，真误差、中误 差、容许误差称为绝对误差。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m,
m2=±0.01m，求： K1, K2
m1=±0.01m ， D2=200m,
解：
K1 m1 D1 0.01 1 100 10000
Z 2 x2 y2 ................ Z n xn yn
Z1 x1 y1
• 将上述关系式平方、求和、除以n得：
Z Z x x y y 2 x y
观测，各观测值之间的密集和离散程度。
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们 对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个 观测值，都称为是同精度观测值。
中误差 评定精度的标准
极限误差
相对误差
一、中误差
• 设对某一未知量x进行了n次等精度的观测，其
观测值为l1、l2、……、ln，相应的真误差为Δ 1、
偶然误差的特性
• 有界性
• 密集性
• 对称性 • 抵偿性：即
注意：
• 就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其 大小和符号。
• 但就大量偶然误差总体来看，具有一定的统计
规律。随着观测次数的增多，统计规律越明显。
• 偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加
以控制。
频率直方图
0.45 0.4 0.35 0.3 -3.0以下 -3.0_-2.5 -2.5_-2.0 -2.0_-1.5 -1.5_-1.0 -1.0_-0.5 -0.5_0.0 0.0-0.5 0.5-1.0 1.0-1.5 1.5-2.0 2.0-2.5 2.5-3.0 3.0以上
（2）用一定的观测方法加以消除；
（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）
2. 偶然误差
举例 ：读数误差、瞄准误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进
行了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号
均不定，称为偶然误差（随机误差）。
分析产生的主要原因： 观测者的技术水平，外界
环境的影响
三角形内角和误差分布表
Δ 2、…Δ n，则定义该组观测值的方差D为：
[ ] D lim n n
式中：[Δ Δ ]＝ Δ 12+ Δ 22+……. + Δ n2
Δ i=li－x（i＝1、2、3、…….、n）
x为未知量的真值。
• 由于D＝σ2，所以
D lim
n
n
σ称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。 • 当n为有限时，σ的估值为
• 将上述关系式平方、求和、除以n得：
Z Z k 2 x x
n n
2 x
式中：
m
2 Z
Z Z n
,m
xx n
m k m
2 Z 2
2 x
mZ kmx
在1：500地形图上,量得A,B两点间的距
离Sab=23.4mm，其中误差mSab=±O.2mm，求实
1. 倍数函数
• 设有函数Z=kx，x为直接观测值，中误差为mx，k为常数，
Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差
分别为x1、 x2、…. xn，对应的函数真误差为Z1、 Z2、…. Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系：
Z1 k x1 Z 2 k x2 ................ Z n k xn
m1 m2 说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高。
• 用中误差作为衡量精度的指标，代表了观测值 的密集和离散程度。 • 相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同 一种误差分布，即一组观测值中的每一个观测 值都具有相同的精度。 • 中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组 真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一 观测值的精度，通常把m称为观测值中误差或 一次观测中误差。
第五章 测量误差及测量平差
• §5.1 测量误差概述 • §5.2 衡量测量精度的指标 • §5.3 误差传播定律
• §5.4 等精度观测的直接平差
§5.1 测量误差概述
一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类
误差现象
A
距离多次丈量 三角形内角和
l1≠ l2≠ l3 , … ∠A+∠B+∠C≠180°
解：
B
8957'59''
m m m
舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。
2.系统误差： 按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。
（1）用计算的方法加以改正； （2）用一定的观测方法加以消除；
（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）
3.偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影
响。 测量平差
§3.2 衡量精度的标准
• 精度：在相同的观测条件下，对一个量进行一组
例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，
一段为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认
为两段距离观测结果的精度相同？
• 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入 相对误差的概念。
三、相对误差
相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为 1 的分式来表示，称其为相对 （中）误差。即:
因其符合正态分布，也称为正态分布曲线。
密度函数法
正态分布曲线的数学方程式：
1 f () e 2 2
2 2 [ ] 2 ... 1 2 n lim lim n n n n 2 2
2
[ 2 ] lim n n
式中σ >0，表示与观测条件有关的参数。 观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。
二、极限误差
• 根据偶然误差的第一个特性，在一定观测 条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值，该限值称为极限误差（限差、允 许误差）。
• 极限误差是偶然误差限制值，用作观测成 果取舍的标准。
1 2 2 e d 0.683 68.3% 2 2 1 2 2 2 P 2 2 e d 0.955 95.5% 2 2 2 3 1 2 2 P 3 3 e d 0.997 99.7% 3 2 P
n
在测量中常用m来代替中误差的估值，即
m
n
• 设有不同精度的两组观测值 m1=2.7，m2=3.6
1 f () e 2 2 2
• 结论：说明中误差值越小，观测精度越高。
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。
式中：
K2
m2
D2
0.01
200
1
20000
K1>K2,说明： 第二组的量距精度高于第一组的精度。
或然误差：将一组误差按其绝对值的大小排序，
取居中的一个误差值作为精度指标，以表示。
平均误差：误差绝对值的平均值，用v表示。
[] v n 实践数据表明：
2 m v 4m 3 5 从数值大小看，或然误差和平均误差都小于 中误差，所以常用中误差来作为衡量精度的指标。
2
• 理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误 差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然 误差个数约占总数的0.3%。 • 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容 许误差；即 Δ
容=2m
或Δ
容=3m
• 极限误差的作用：区别误差和错误的界限。
返回
•
中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小 与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差 并不能全面反映观测精度。
频率密度
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 真误差
•每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对
个数（频率）。所有长方形面积之和等于1。
密度函数法
当 n 时，如果将误差区间 (d 0) 无限缩小， 则矩形上部的折线，就趋向于一条以纵轴对称的光滑 曲线，称为误差分布曲线。
lt l0 l (t t 0 )l0
思考： 水准仪—— i角
分析产生的主要原因：是仪器设备制造不完善。
水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）
hAB
i ( S后 S前）
结论：i角误差与前后视距差成正比。
注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；
2 y
mZ m m
2 x
2 y
• 推广到n个独立观测值代数和差：
Z x1 x2 ..... xn
m m m ... m
2 Z 2 x1 2 x2 2 xn
• 当n个独立观测值是等精度观测时：
m nm
2 Z
2 x
mZ nmx
3624'31'' 2.1'' 5333'28'' 1.7''
解：第一组观测值的中误差：
02 (2)2 (1)2 32 (4)2 (3)2 22 12 (2) 2 42 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
12 (2)2 62 02 12 (7)2 (1)2 02 32 12 m2 3.2 10
B C
水准测量
大量测量实践发现，测量结果中不可避免的普遍存在 误差，具体表现在： 1. 对同一量多次观测，其观测值不相同。——不符值 2. 观测值之和不等于理论值 ——闭合差
误差的定义
• 真误差：观测值与客观真实值之差。 • 公式：
lx
• 目的: 找出误差产生的原因，制定减弱误
差的措施，保证测量成果达到必需的精度。
§5.3 误差传播定律
直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或 改正数（5.4节内容讲述）计算出观测值中误差，作为衡 量观测值精度的标准。
S
D S cos
概念
误差传播定律： 阐述观测值的中误差与观测值函数
中误差的关系的定律。
倍数函数 函数形式
和差函数
一般线性函数 非线性函数
一、线性函数
三、测量误差的分类
测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的 不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差 。
粗差 系统误差 偶然误差
定义 特点 消除办法
1. 系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行 了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号均相 同或按一定的规律变化。
举例 ： 钢尺—— 尺长、温度、倾斜改正
三、测量误差的分类
3. 粗差
• 在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错 等），统称为粗差。 • 杜绝办法：认真仔细作业，采取必要的检核措施 – 对距离进行往、返测量，对角度重复观测 – 对几何图形进行必要的多余观测，用一定的几何条 件来检核
四、误差处理的原则
1.粗差 ： 通过检核的方法发现粗差；
n n n n
• 由于x、y是相互独立的，偶然误差x、 y出现正负符号
的机会相等，且正负符号互不相关，乘积x y也具有正
负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性， 当n趋于无穷大时，第三项趋于零。即
x y 0 lim n n
• 所以
m m m
2 Z 2 x
地平距SAB和中误差mSAB。
• 解：
S AB M Sab 500 23.4mm 11.7m
mSAB M mSab 500 (0.2mm) 0.1m
最后结果：
S AB 11.百度文库m 0.1m
2. 和差函数
• 设有函数Z= x y，x、y是两个相互独立的观测 值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误 差关系式为
二、测量误差来源
（1）仪器的原因
原因：固定的精确度、仪器构造不完善
（2）人的原因
原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度
（3）外界环境的影响
原因：温度、气压等的变化 • 通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为 观测条件。
• 等精度观测 –观测条件相同的各次观测。 • 不等精度观测 –观测条件不同的各次观测。
K m D 1 D m
一般情况，角度、高差的误差用 m表示，量距误 差用K表示。 与相对误差相对应，真误差、中误 差、容许误差称为绝对误差。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m,
m2=±0.01m，求： K1, K2
m1=±0.01m ， D2=200m,
解：
K1 m1 D1 0.01 1 100 10000
Z 2 x2 y2 ................ Z n xn yn
Z1 x1 y1
• 将上述关系式平方、求和、除以n得：
Z Z x x y y 2 x y
观测，各观测值之间的密集和离散程度。
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们 对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个 观测值，都称为是同精度观测值。
中误差 评定精度的标准
极限误差
相对误差
一、中误差
• 设对某一未知量x进行了n次等精度的观测，其
观测值为l1、l2、……、ln，相应的真误差为Δ 1、
偶然误差的特性
• 有界性
• 密集性
• 对称性 • 抵偿性：即
注意：
• 就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其 大小和符号。
• 但就大量偶然误差总体来看，具有一定的统计
规律。随着观测次数的增多，统计规律越明显。
• 偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加
以控制。
频率直方图
0.45 0.4 0.35 0.3 -3.0以下 -3.0_-2.5 -2.5_-2.0 -2.0_-1.5 -1.5_-1.0 -1.0_-0.5 -0.5_0.0 0.0-0.5 0.5-1.0 1.0-1.5 1.5-2.0 2.0-2.5 2.5-3.0 3.0以上
（2）用一定的观测方法加以消除；
（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）
2. 偶然误差
举例 ：读数误差、瞄准误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进
行了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号
均不定，称为偶然误差（随机误差）。
分析产生的主要原因： 观测者的技术水平，外界
环境的影响
三角形内角和误差分布表
Δ 2、…Δ n，则定义该组观测值的方差D为：
[ ] D lim n n
式中：[Δ Δ ]＝ Δ 12+ Δ 22+……. + Δ n2
Δ i=li－x（i＝1、2、3、…….、n）
x为未知量的真值。
• 由于D＝σ2，所以
D lim
n
n
σ称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。 • 当n为有限时，σ的估值为
• 将上述关系式平方、求和、除以n得：
Z Z k 2 x x
n n
2 x
式中：
m
2 Z
Z Z n
,m
xx n
m k m
2 Z 2
2 x
mZ kmx
在1：500地形图上,量得A,B两点间的距
离Sab=23.4mm，其中误差mSab=±O.2mm，求实
1. 倍数函数
• 设有函数Z=kx，x为直接观测值，中误差为mx，k为常数，
Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差
分别为x1、 x2、…. xn，对应的函数真误差为Z1、 Z2、…. Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系：
Z1 k x1 Z 2 k x2 ................ Z n k xn
m1 m2 说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高。
• 用中误差作为衡量精度的指标，代表了观测值 的密集和离散程度。 • 相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同 一种误差分布，即一组观测值中的每一个观测 值都具有相同的精度。 • 中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组 真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一 观测值的精度，通常把m称为观测值中误差或 一次观测中误差。
第五章 测量误差及测量平差
• §5.1 测量误差概述 • §5.2 衡量测量精度的指标 • §5.3 误差传播定律
• §5.4 等精度观测的直接平差
§5.1 测量误差概述
一、误差的现象及定义 二、误差来源 三、误差的分类
误差现象
A
距离多次丈量 三角形内角和
l1≠ l2≠ l3 , … ∠A+∠B+∠C≠180°