第二章 2.2 第2课时等差数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

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高中数学第二章数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。

第二章 2.2 第2课时等差数列的性质答案

[课时作业][A 组基础巩固]1．解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n ＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝6，a 4＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.答案：D5．解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：997．解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.答案：748．解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝a ，a 10＝a 1＋9d ＝b ，解得⎩⎨⎧ a 1＝9a －4b 5，d ＝b －a 5，∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a . 法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5，∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a . 法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a9．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.10．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.[B 组能力提升]1．解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：D2．解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B3．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3n －1－2m 3n ＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－124．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：435．解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *， ∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014. 又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．6．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

2020_2021学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质同步作业含解析新人教A版必修5

等差数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6= ( )A.-1B.0C.1D.6【解析】选B.由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差数列{a n}中a2=5,a6=33,则a3+a5= ( )A.35B.38C.45D.48【解析】选B.由等差数列的性质知a3+a5=a2+a6=38.3.在等差数列{a n}中,a2 000=log27,a2 022=log2,则a2 011= ( )A.0B.7C.1D.49【解析】选A.因为数列{a n}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2=log21=0,故a2 011=0.4.等差数列{a n}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= ( )A.3B.-6C.4D.-3【解析】选B.由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6.5.已知等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0( ) A.无实根 B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根【解析】选A.因为a4+a6=a2+a8=2a5,a2+a5+a8=3a5=9,所以a5=3,则方程为x2+6x+10=0,因为Δ=62-4×10=-4<0,所以方程无实根.6.设数列{a n},{b n}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= ( )A.15B.25C.35D.45【解析】选 C.方法一:设{a n},{b n}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.方法二:因为数列{a n},{b n}都是等差数列,所以{a n+b n}也构成等差数列,所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.【解析】因为数列{a n}为等差数列,所以a7+a9=a4+a12,a12=16-1=15.答案:158.(2019·大庆高一检测)在等差数列中,若a2+a8=10.则-2a5=__________.【解析】因为数列为等差数列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以-2a5=102-10=90.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,求a n.【解析】由a6+a7+a8=3a7=75得a7=25,因为得故a n=a1+(n-1)d=-35+10(n-1)=10n-45.10.在等差数列{a n}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差数列的性质得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n}满足3+a n=且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )A.-2B.-C.2D.【解析】选C.因为-a n=3,所以{a n}为等差数列,且d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.2.(2017·全国卷Ⅱ改编)已知等差数列{a n}满足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【解析】选C.因为a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16 ①,又因为a4+a5=24 ②,②-①得a5-a3=8,故d==4.3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.1升 B.升 C.升 D.升【解析】选 B.设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则有即解得所以a5=a1+4d=,即第5节的容积为升.4.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )A. B.± C.- D.-【解析】选D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=,所以a2+a12=2a7=, 即tan(a2+a12)=-.【补偿训练】在等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()A.14B.18C.21D.27【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以a n=n+1,所以a1a6=2×7=14.5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种计量单位).这个问题中,甲所得为( )A.钱B.钱C.钱D.钱【解析】选B.依据题意,设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.又因为a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,解得a=1.则a-2d=a-2×=a=,故选B.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知数列{a n}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且a k=13,则k=________.【解析】因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.因为a4+…+a14=11a9=77,所以a9=7,d=,所以a k-a9=(k-9)d.即13-7=(k-9)×,解得k=18.答案:187.已知在等差数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11= ________. 【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延伸探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:518.在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=________.【解析】在等差数列{a n}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.答案:209.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成首项为的等差数列,则|m-n|=________.【解析】因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则不妨令x1=,所以x4=,x2=,x3=,所以m=,n=,所以|m-n|=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)10.某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)【解析】设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,则{a n},{b n}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以a n=60-3(n-1)=-3n+63,b n=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=a n b n=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.所以当n=9时,f(n)max=f(9)=864.所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.11.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】已知单调递增等差数列{a n}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{a n}的通项公式.【解析】方法一: 考虑从a1和d出发来确定a n.由题意可得则解得a1=3,d=4或a1=11,d=-4.注意到数列为单调递增数列,因此舍去a1=11,d=-4.从而等差数列{a n}的通项公式为a n=4n-1.方法二: 由于数列为等差数列,因此可设等差数列前三项为a-d,a,a+d,于是可得即即a=7,d2=16,由于数列为单调递增数列,因此d=4,从而a n=4n-1.12.已知等差数列{a n}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)令b n=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{b n}也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为等差数列{a n}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14,所以(a1+d)(a1+2d)=45,a1+a1+3d=14,解得a1=1,d=4,或a1=13,d=-4(舍),所以a n=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3.(2)b n==2n-,因为数列{b n}为等差数列,所以=0,即n(1+2c)=0,所以1+2c=0,所以c=-.。

高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质练习含解析新人教A版必修5081939

高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质练习含解析新人教A 版必修5081939知识点一等差数列的性质的运用1．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根答案 A解析由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，而3a 5＝9，∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A ． 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案 B解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝13，又a 1＝2，∴d ＝3． ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3(2＋12)＝42．3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8． 4．下列命题中正确的个数是( )(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列；(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； (4)若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能成等差数列．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案 B解析对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错误；对于(2)，a ＝b ＝c ⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ．∴(ka ＋2)＋(kc ＋2)＝k (a ＋c )＋4＝2(kb ＋2)，(3)正确；对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒1a ＝1b＝1c，(4)正确，综上选B ．5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________．答案 18解析 a 5＋a 8＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18．知识点二等差数列性质的综合运用6．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 答案 D解析由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3．故选D ．7．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________．答案 n 2解析依题意得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，∴数列a nn为等差数列，且公差d ＝1．又a 11＝1，∴a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n 2．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．答案 15 3解析不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋b －42－b ＋422b b －4＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin120°＝153．易错点忽略等差数列性质的本质10．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4＞a 2，则a 5＝________．易错分析等差数列的“下标和”性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．而学生易错算为a m ＋a n ＝a m ＋n 导致结果算错．答案 13解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，且a 3＋a 4＝a 2＋a 5， ∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17．又a 2·a 5＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4，又a 4＞a 2，∴a 4－a 2＝2d ＞0，∴d ＞0，∴a 5＞a 2，∴a 5＝13．一、选择题1．若{a n }是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ) ①{a n ＋a n ＋1}；②{a 2n }；③{a n ＋1－a n }；④{2a n }；⑤{2a n ＋n }． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 D解析设等差数列{a n }的公差为d ．对于①，(a n ＋a n ＋1)－(a n －1＋a n )＝(a n －a n －1)＋(a n ＋1－a n )＝2d (n ≥2)， ∴{a n ＋a n ＋1}是以2d 为公差的等差数列；对于②，a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1－a n )(a n ＋a n ＋1)＝d (a n ＋a n ＋1)≠常数，∴{a 2n }不是等差数列；对于③，∵a n ＋1－a n ＝d ，∴{a n ＋1－a n }为常数列； ∴{a n ＋1－a n }为等差数列；对于④，∵2a n ＋1－2a n ＝2d ，∴{2a n }为等差数列；对于⑤，(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2d ＋1，∴{2a n ＋n }为等差数列．故选D ．2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 C解析由题意知5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16．3．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40＝( ) A ．40 B ．70 C ．80 D ．90 答案 D解析在等差数列中，间隔相等的项成等差数列， ∴a 10＝30，a 20＝50，a 30＝70，a 40＝90．故选D ．4．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15 答案 D解析设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，易知a 4是3与27的等差中项，∴a 4＝3＋272＝15．5．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( ) A ．24 B ．23 C ．22 D ．21 答案 B解析由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }为首项a 1＝15，公差d ＝－23的等差数列，所以a n ＝15－23(n －1)＝－23n ＋473，则由a k ·a k ＋1＜0得a k ＞0，a k ＋1＜0，令a n ＝－23n＋473＝0得n ＝472，所以a 23＞0，a 24＜0，所以k ＝23．故选B ．二、填空题6．若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x ＝________．答案 log 25解析由题意得2lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x＋3)，所以(2x－1)2＝2·(2x ＋3)，即(2x －5)(2x＋1)＝0，所以2x ＝5，即x ＝log 25．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析易判断中位数1010是首项和末项的等差中项，故首项为2×1010－2015＝5． 8．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为________．答案－12解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 9＝2a 5＝a 2＋a 8．代入a 1＋a 5＋a 9＝π，得32(a 2＋a 8)＝π，∴a 2＋a 8＝2π3，从而cos(a 2＋a 8)＝－12．三、解答题9．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1． (1)求{b n }的通项公式；(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由．解 (1)∵a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1， ∴b n ＝a 2n －1＝2(2n －1)－1＝4n －3．(2)由b n ＝4n －3，知b n －1＝4(n －1)－3＝4n －7． ∵b n －b n －1＝(4n －3)－(4n －7)＝4， ∴{b n }是首项b 1＝1，公差为4的等差数列．10．已知等差数列{a n }，设b n ＝12an ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 ∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b n ＝12an ．∴12a 1＋12a 2＋12a 3＝218，∵b 1b 2b 3＝18， ∴12a 1·12a 2·12a 3＝18， ∴12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3．又∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，于是a 2＝1．由121－d ＋12＋121＋d ＝218． ∴1212d ＋12·12d ＝178，∴12×2d ＋12×2－d＝178， ∴2d ＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2．当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，∴a n ＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3， ∴a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5， ∴所求通项公式为当a 1＝－1，d ＝2时，a n ＝2n －3；当a 1＝3，d ＝－2时，a n ＝－2n ＋5．。

2017-2018学年高中数学(五)教师文档：第二章§2.2 等差数列(二)含答案

学习目标 1。

能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2。

能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n ｝的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1）d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n ？答案设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1）d ，变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1）d ＋（n －1）d＝a m ＋（n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝错误!,d ＝错误!，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋（a 1－d ），其图象为一条直线上孤立的一系列点，（1,a 1)，(n ,a n ),（m ，a m ）都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1），（n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ,a n ），（m ，a m ）时，有d ＝错误!.梳理等差数列｛a n｝中，若公差为d，则a n＝a m＋(n－m）d，当n ≠m时，d＝错误!。

知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列,你有什么猜想？答案利用1＋100＝2＋99＝…。

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离"的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n ＝…。

－2梳理在等差数列{a n｝中，若m＋n＝p＋q（m,n，p，q∈N*），则a m＋a n＝a p＋a q。

特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p。

知识点三由等差数列衍生的新数列思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么｛a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是,公差是多少？答案∵(a n＋1＋a n＋3)－（a n＋a n＋2）＝(a n＋1－a n)＋（a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d.∴｛a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列．梳理若{a n｝，｛b n}分别是公差为d，d′的等差数列,则有数列结论｛c＋a n}公差为d的等差数列（c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列（c为任一常数）｛a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N＊)｛pa n ＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)类型一等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列｛a n｝中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋(8－2）d,所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为a n＝a2＋(n－2）d，所以a n＝5＋（n－2）×2＝2n＋1。

课时作业27：2.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质

第2课时等差数列前n 项和的性质一、选择题1．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，那么此数列前20项的和为( )A ．160B ．180C ．200D ．220答案 B解析由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24，得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78，得a 19＝26，于是S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×(－8＋26)＝180.3．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝An 2＋Bn ，∴λ＝－1.4．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020 答案 C解析因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k 2，解得k ＝2 019.故选C. 5．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N ＋，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.6．已知{a n }为项数为2n ＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2， ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 7．已知等差数列{a n }中，a 1 009＝4，S 2 018＝2 018，则S 2 019等于( )A ．－2 019B ．2 019C ．－4 038D ．4 038答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以S 2 018＝1 009(a 1＋a 2 018)＝1 009(a 1 009＋a 1 010)＝2 018，则a 1 009＋a 1 010＝2.又a 1 009＝4，所以a 1 010＝－2，则S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＝2 019a 1 010＝－4 038.8．设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19答案 C解析对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立，即S k 为S n 的最大值．因为a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，所以a 4＝33，a 5＝31，故公差d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝41－2n ，当S n 取得最大值时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，解得1912≤n ≤2012. 即满足对任意n ∈N ＋，都有S n ≤S k 成立的k 的值为20.二、填空题9．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则它的通项公式是______________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋. 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．答案 4或5解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5且同时最大．∴n ＝4或5.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3(n ∈N ＋)，则a 7b 7＋a 9b 11＝________. 答案 463解析设A n ＝kn (7n ＋45)，B n ＝kn (n ＋3)，则n ≥2，n ∈N ＋时，a n ＝A n －A n －1＝k (14n ＋38)，b n ＝k (2n ＋2)，则a 7b 7＝k (14×7＋38)k (2×7＋2)＝172，a 9b 11＝k (14×9＋38)k (2×11＋2)＝416，所以a 7b 7＋a 9b 11＝172＋416＝463. 三、解答题12．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的自然数n 的值．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n ，n ∈N ＋.(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．13．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N ＋，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N ＋.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n 等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18 答案 B解析因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 15．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N ＋)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.。

2019_2020学年高中数学第二章数列2.2等差数列第二课时等差数列的性质及简单应用课时作业新人教A版

第二课时等差数列的性质及简单应用[选题明细表]基础巩固1.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( A )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5.故选A.2.已知等差数列{a n}:1,0,-1,-2,…;等差数列{b n}:0,20,40,60,…,则数列{a n+b n}是( D )(A)公差为-1的等差数列(B)公差为20的等差数列(C)公差为-20的等差数列(D)公差为19的等差数列解析:(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{a n+b n}是公差为19的等差数列.选D.3.(2019·烟台高二检测)等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( C )(A)20 (B)22 (C)24 (D)-8解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.4.(2019·东北三校联考)等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(··…·)等于( B )(A)10 (B)20(C)40 (D)2+log25解析:由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log2(··…·)=log2220=20.故选B.5.(2019·成都高二检测)已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( C )(A)a1+a101>0 (B)a2+a101<0(C)a3+a99=0 (D)a51=51解析:根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,所以a3+a99=2a51=0,故选C.6.一架飞机在起飞时,第一秒滑行了2 m,以后每秒都比前一秒多滑行4 m,又知离地前一秒滑行了58 m,这架飞机起飞所用的时间为.解析:飞机每秒滑行的距离组成等差数列,记为{a n},其中,a1=2,d=4,a n=58,代入等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d,得2+4(n-1)=58,解得n=15(s).答案:15 s7.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则= .解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2.则y-x=4d1=5d2,又a2-a1=d1,b4-b3=d2,所以==.答案:8.(2019·洛阳高二检测)在等差数列{a n}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列的通项公式.解:因为a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5,所以3a5=9,所以a5=3,所以a3+a7=2a5=6, ①a3·a7=-7. ②由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,所以a3=-1,d=2或a3=7,d=-2,由a n=a3+(n-3)d,得a n=2n-7或a n=-2n+13.能力提升9.(2019·黑龙江绥化期末)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a的值为( B )(A)2.5 (B)3.5 (C)1.5 (D)3解析:设公差为d,因为2,a,b,c,9成等差数列,所以9-2=4d,所以d=.又因为c-a=2d,所以c-a=2×==3.5.故选B.10.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2 500元,第5个月利润为4 000元,第m个月后该网店的利润超过5 000元,则m等于( B )(A)6 (B)7 (C)8 (D)10解析:设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{a n},则a2=2 500,a5=4 000.由a5=a2+3d,即4 000=2 500+3d,得d=500.由a m=a2+(m-2)×500=5 000,得m=7.故选B.11.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为.解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,故第5节的容积为升.答案:升12.数列{a n}为等差数列,b n=(),又已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求数列{a n}的通项公式.解:因为b1+b2+b3=()+()+()=,b1b2b3=()=,所以a1+a2+a3=3.因为a1,a2,a3成等差数列,所以a2=1,故可设a1=1-d,a3=1+d,由()1-d++()1+d=,得2d+2-d=,解得d=2或d=-2.当d=2时,a1=1-d=-1,a n=-1+2(n-1)=2n-3,当d=-2时,a1=1-d=3,a n=3-2(n-1)=-2n+5.探究创新13.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.那么位于表中的第n行第n+1列的数是.解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n。

高中数学第二章数列2.2第2课时等差数列的性质课时跟踪训练含解析新人教A版必

学习资料等差数列的性质[A组学业达标]1．已知｛a n}为等差数列,若a1＋a5＋a9＝4π,则cos a5的值为(）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：因为｛a n｝为等差数列,a1＋a5＋a9＝4π，所以3a5＝4π，解得a5＝错误!。

所以cos a5＝cos 错误!＝－错误!。

答案:A2．在等差数列｛a n｝中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝（）A．24 B．22C．20 D．－8解析：因为数列｛a n}为等差数列，所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a3＋a13－a8＝a8＝24。

答案:A3．设e，f,g,h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d 等于（）A．1 B．2C．3 D．4解析：e，f,g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1（不合题意，舍去）；所以公差d＝错误!（h－e)＝错误!×(13－1）＝4。

答案:D4．已知等差数列｛a n｝的公差为d(d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为（)A．12 B．8C．6 D．4解析:由等差数列性质得,a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32,∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8。

答案：B5．若等差数列{a n｝和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是(）A．｛λa n｝（λ为常数) B．｛a n＋b n｝C．{a错误!－b错误!｝D．{a n·b n}解析：等差数列｛a n｝和｛b n}的公差均为d(d≠0)，对于A,由λa n＋1－λa n＝λ（a n＋1－a n）＝λd为常数，则该数列为等差数列；＋b n＋1－a n－b n＝（a n＋1－a n）＋(b n＋1－b n）＝2d为常数,则该数列为对于B,由a n＋1等差数列;对于C，由a2，n－b2，n＋1－(a错误!－b错误!)＝（a n＋1－a n)(a n＋1＋a n）－(b n＋1－b n)＋1＋b n)（b n＋1＝d(2a1＋（2n－1)d)－d(2b1＋（2n－1)d）＝2d(a1－b1)为常数,则该数列为等差数列;b n＋1－a n b n＝(a n＋d）(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数,则该数对于D，由a n＋1列不为等差数列．答案：D6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.解析：法一：d＝错误!＝错误!,∴a15＝a10＋5d＝b＋5×错误!＝2b－a.法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.∴a15＝2a10－a5＝2b－a。

新教材高考数学第二课时等差数列的性质及实际应用练习含解析选修2

第二课时等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{a n }为1，3，5，7，…，2n －1，则数列{a n ＋2}，{2a n }是等差数列吗？提示因为等差数列的通项为a n ＝2n －1，则a n ＋2＝2n －1＋2＝2n ＋1，2a n ＝2(2n －1)＝4n －2，可判断数列{a n ＋2}，{2a n }都是等差数列，一般地，若{a n }为等差数列，则{a n ＋c }，{ca n }也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广 (1)a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， (3)d ＝a n －a m n －m(m ，n ∈N *，且m ≠n ). 2.若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)3.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….4.下标性质在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.拓展深化[微判断]1.等差数列{a n}中，必有a10＝a1＋a9.(×)提示反例：a n＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)提示反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)[微训练]1.在等差数列{a n}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )A.－1B.2C.4D.6解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.答案 B2.已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0D.a51＝51解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.答案 C3.在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.答案－1[微思考]1.在等差数列{a n}中，a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示是.若{a n}的公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{a n}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么a m，a n，a p，a q，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？提示成等差数列，若{a n }的公差为d ，则a m ，a n ，a p ，a q ，…的公差为(n －m )d .题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用【例1】在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 解因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1，n ∈N *.规律方法灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担.【训练1】已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 解析法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3＝12－（－2）7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8. 法二由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3·5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8. 答案 8题型二等差数列性质的应用【例2】已知数列{a n }为等差数列，且公差为d . (1)若a 15＝8，a 60＝20，求a 105的值；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2a 5＝52，求公差d . 解 (1)法一由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 105＝a 1＋104d ＝6415＋104×415＝32.法二 ∵{a n }为等差数列，∴d ＝a 60－a 1560－15＝415， ∴a 105＝a 60＋45×415＝32.法三 ∵{a n }为等差数列， ∴a 15，a 60，a 105也成等差数列，则2a 60＝a 15＋a 105， ∴a 105＝2×20－8＝32.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34， ∴a 2＋a 5＝17.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17，a 2a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.规律方法等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. (2)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________. 解析 (1)3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.(2)法一由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27. 答案 (1)20 (2)27题型三等差数列的设法与求解【例3】已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ），又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解法一根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4. 因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.规律方法等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .【训练3】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数. 解法一设此等差数列的首项为a 1，公差为d .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋3d ）＝26，（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝40.化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32，所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四等差数列的实际应用【例4】中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分).与清明之间的晷影长之差为( ) A.105.6寸 B.48寸 C.57.6寸D.67.2寸解析设晷影长构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＝130.0，a 13＝14.8，d ＝a 13－a 113－1＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a 2－a 8＝－(a 8－a 2)＝－6d ＝57.6. 答案 C规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析设n 年后该市新建住房的面积为a n 万平方米.由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在2 029年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案 2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .3.等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4D.－3解析由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.答案 B2.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A.5 B.8 C.10D.14解析法一设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.解析 (a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，则d ＝32，则a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32.答案 324.在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 解析由题意知a 3＋a 6＝10，故a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.答案 105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 解设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝6，（a －d ）·a ·（a ＋d ）＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.基础达标一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A.12 B.8 C.6D.4解析由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8. 答案 B3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12(log 27＋log 217)＝12log 2 1＝0.答案 A4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( ) A.25 B.45C.65D.75解析设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.答案 C5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10B.20C.40D.2＋log 25解析因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20. 答案 B 二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16， ∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 47.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.解析设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.答案 188.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案－32三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2. ∴这三个数是4，6，8. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由. 解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，即213－λ＝10－λ＋112－λ，解得λ＝1. 因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n －1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1＝1－a n 2（a n －1）＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误； [a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D. 答案 D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5 解析由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.答案 BCD14.(多空题)已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.解析由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎪⎨⎪⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.答案 12n －1 25。

2022年高中数学第二章数列2等差数列第2课时练习含解析人教版必修

第2课时一、选择题1．等差数列{a n}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )A．64 B．30C．31 D．15[答案]　D[解析]　解法一：∵，∴，∴，∴a11＝a1＋10d＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.2．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14B．21C．28D．35[答案]　C[解析]　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0[答案]　D[解析]　由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( ) A．－1B．1C．3D．7[答案]　B[解析]　∵{a n}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )A．　B．C．D．[答案]　C[解析]　∵a1＝a，a n＋2＝b，∴公差d＝＝.6．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )A．120 B．105C．90 D．75[答案]　B[解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.[答案]　18[分析]　利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出2a1＋11d的值．[解析]　解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.8．已知等差数列{a n}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__________.[答案]　15[解析]　∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{a n}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{a n}的通项公式．[解析]　由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴a n＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.一、选择题1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0B．37C．100D．－37[答案]　C[解析]　∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列．又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴{a n＋b n}的公差为0，∴数列{a n＋b n}的第37项为100.2．数列{a n}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( )A．　B．C．D．[答案]　A[解析]　令b n＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{b n}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝，∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2×＝，∵b4＝，∴a4＝.3．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根[答案]　A[解析]　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．4．下列命题中正确的个数是( )(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]　B[解析]　对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2B．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒＝＝，(4)正确，综上选B．二、填空题5．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.[答案]　[解析]　设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得即解得＝，即＝＝.6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]　15[解析]　设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，则＝－，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝×6×10×＝15.三、解答题7．在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，、、也成等差数列，求证△ABC为正三角形．[证明]　∵＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b，又∵a＋c＝2b，∴＝b，故(－)2＝0，∴a＝b＝C．故△ABC为正三角形．8．设数列{a n}是等差数列，b n＝()a n又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项a n.[解析]　∵b1b2b3＝，又b n＝()a n，∴()a1·()a2·()a3＝.∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，又{a n}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝，b1＋b3＝，∴或，即或，∴a n＝2n－3或a n＝－2n＋5.。

高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案

等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列，公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。

2.2等差数列的概念、通项公式、性质练习含答案

2.2 等差数列概念、通项公式、性质第1课时等差数列的概念及通项公式题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．【课堂练习】1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列 C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.【巩固提升】一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )A ．52B ．62C ．－62D ．－523．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A ．52B ．51C ．50D ．494．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．525．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A ．15B ．22 C7 D ．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．12. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________.三、解答题13．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．14．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．2.2.1答案例1.由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．跟踪训练1 .A例2. ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.跟踪训练2 解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.例3 解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5.令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.跟踪训练3 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3，由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．典例1 (1)证明由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列． (2)解由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n 3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)，∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2.当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，2n －3，n ≥2.课堂练习DCBBC巩固提升1—8 DAACABCA9. a n ＝n 4＋1 10. 6766 11. ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 12. 11013. 解设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.14． (1)证明由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2) ＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14，得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋. 15.解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.2.2第2课时等差数列的性质题型一 a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．跟踪训练1 {b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________.题型二等差数列性质的应用例2 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．引申探究1．在例2中，不难验证a 1＋a 4＋a 7＝a 2＋a 4＋a 6，那么，在等差数列{a n }中，若m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，m ，n ，p ，q ，r ，s ∈N ＋，是否有a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s ？2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.跟踪训练2 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．题型三等差数列的设法与求解例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．数列问题如何选择运算方法典例等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10.【课堂练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－32．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－324．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－825．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10＝________.1．在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【巩固提升】一、选择题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3＝6，a 9＝18，则公差d 为( )A ．1B ．3C ．2D ．42．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3003．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．12B ．8C ．6D ．44．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝－1，a 11－a 4＝21.则a 7等于( )A ．7B ．10C ．20D ．305．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 36．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 15＝30，则a 9等于( )A ．12B ．24C ．16D ．327．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或28．已知{a n }是公差为正数的等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13的值为() A ．105 B ．120 C ．90 D ．75二、填空题9．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，m ，n ∈N ＋，则a m ＋n 的值为________．10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__________．12．若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________．三、解答题13．在等差数列{a n }中，(1)若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，求a 7－12a 8；(2)已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，求2a 9－a 10.14．已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0.15．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…与{b n}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？2.2.2答案例1 在等差数列{a n}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为a n＝a2＋(n－2)d，所以a n＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.跟踪训练1 . 8例2 解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5. ①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3；或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q＋a r＋a s＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ，∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .2．20解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7，即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.跟踪训练2解方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ， (a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列． ∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝2×33－39＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39，∴a 1＋3d ＝13， ①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33.∴a 1＋4d ＝11，② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.例3. 解设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，且d >0.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，d ＝－2.∵d >0，∴a ＝6，d ＝2.∴这个数列是4,6,8.跟踪训练3. 解设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝6，(a －d )·a ·(a ＋d )＝－24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，d ＝－4.∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.典例解方法一设{a n }的公差为d .则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d ) ＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40，∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40， ∴a 10＝10.课堂练习 BCAD 30巩固提升１—８CCBCDADA９．０１０.－２１１１. n2＋n１２. an ＝2n －52１３．解 (1)a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. (2)∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1４．解 (1)因为a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24，所以a 3＝6，a 4＝8，则公差d ＝2，所以a 20＝a 3＋17d ＝40.(2)由(1)得a n ＝a 3＋(n －3)d ＝6＋(n －3)×2＝2n ，所以b n ＝32×2n －412＝3n －412. 由b n >0，即3n －412>0，得n >416，所以数列{b n }从第7项开始大于0. １５. 解因为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n ＝43k －1.而n ∈N *，k ∈N *，所以设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，且r ∈N *，可得1≤r ≤25. 所以共有25个相同数值的项．。

高二数学：等差数列的性质课后作业北师大必修

第2课时等差数列的性质课后强化作业一、选择题1.已知等差数列{a n}中，a3=5,a5=9,则a7=（）A.11B.12C.13D.14［答案］C［解析］设公差为d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.2.在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（）A.45B.75C.180D.300［答案］ C［解析］由a3+a7=a4+a6=2a5，得a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.∴a2+a8=2a5=180.3.下列命题中正确的是（）A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列，则a+2，b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列，则2a，2b,2c成等差数列［答案］C［解析］∵a,b,c成等差数列，∴2b=a+c,∴2b+4=a+c+4,即2（b+2）=(a+2)+(c+2),∴a+2,b+2,c+2成等差数列.4.已知等差数列｛a n｝中，a7+a9＝16,a4=1，则a12等于（）A.15B.30C.31D.64［答案］ A［解析］∵a7+a9=2a8=16,故a8=8.在等差数列{a n}中，a4,a8,a12成等差数列，所以a12=2a8-a4=16-1=15.5.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（）A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0［答案］D［解析］由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,∴a51=0.6.等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A.30B.27C.24D.21［答案］B［解析］解法一：设b1=a1+a4+a7=39，b2=a2+a5+a8=33，b3=a3+a6+a9，∵{a n}成等差数列，∴b1,b2,b3成等差数列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.解法二：设等差数列{a n}的公差为d,则a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴33=39+3d,∴3d =-6,∴a 3+a 6+a 9=a 2+a 5+a 8+3d =33-6=27.7.设数列{a n },{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于（）A.0B.37C.100D.-37［答案］ C［解析］ ∵a 1+b 1=100,a 2+b 2=100,∴(a 2-a 1)+(b 2-b 1)=0,设等差数列{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,则d 1+d 2=0.∴a 37+b 37=a 1+36d 1+b 1+36d 2=a 1+b 1+36(d 1+d 2)=a 1+b 1=100.8.在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为（） A.14 B.15 C.16 D.17［答案］ C［解析］由题意，得5a 8=120,∴a 8=24,∴a 9-31a 11=(a 8+d )- 31 (a 8+3d )= 32a 8=16. 二、填空题9.在数列{a n }中，a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的两根，若{a n }是等差数列，则a 5+a 8= .［答案］ 3［解析］由题意，得a 3+a 10=3,∴a 5+a 8=a 3+a 10=3.10.等差数列｛a n ｝中，a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 6+a 7= .［答案］ 18［解析］ ∵{a n }为等差数列，∴a 2+a 11=a 3+a 10=a 6+a 7,∴a 2+a 3+a 10+a 11=2(a 6+a 7)=36,∴a 6+a 7=18.11.(2012·洛阳模拟)已知｛a n ｝为等差数列，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20= . ［答案］ 1［解析］ ∵a 1+a 3+a 5=105,即3a 3=105∴a 3=35,同理a 4=33,∴d=a 4-a 3=-2∴a 20=a 4+(20-4)d =1.12.等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100= . ［答案］ 85［解析］由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d=60+25=85.三、解答题13.已知数列{a n }中，a 2+a 6+a 10=1,求a 3+a 9.［解析］ ∵a 2+a 10=2a 6,∴3a 6=1,a 6=31. ∴a 3+a 9=2a 6=32. 14.已知等差数列｛a n ｝的公差是正数，且a 3a 7=-12,a 4+a 6=-4,求｛a n ｝的通项公式.［解析］ ∵a 3+a 7=a 4+a 6=-4,又a 3a 7=-12∴a 3、a 7是方程x 2+4x -12=0的两根而d >0,∴a 3=-6,a 7=2. a 1+2d =-6∴a 1+6d =2故a 1=-10,d =2,∴a n =2n -12.15.已知数列｛a n ｝,a n =2n -1,b n =a 2n -1.(1)求｛b n ｝的通项公式；（2）数列｛b n ｝是否为等差数列？说明理由.［解析］ ∵a n =2n -1,b n =a 2n -1,∴b 1=a 1=1,b 2=a 3=5,b 3＝a 5=9，b n =a 2n -1=2(2n -1)-1=4n -3.(2)由b n =4n -3知b n -1=4(n -1)-3=4n -7.∵b n -b n -1=(4n -3)-(4n -7)=4,∴{b n }是首项b 1=1,公差为4的等差数列.16.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.［解析］设单位需购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列.设该数列为{a n }.a n =780+(n -1)(-20)=800-20n ,解不等式a n ≥440即800-20n ≥440，得n ≥18.当购买台数小于18台时，每台售价为800-20n ，在台数大于等于18台时，每台售价为440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%=600元.作差：（800-20n ）n -600n =20n （10-n ），当n <10时，600n <(800-20n )n ，当n =10时，600n =(800-20n )n ，当10<n ≤18时（800-20n ）n <600n ，当n >18时，440n <660n .答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.。

课时作业32：2.2 第2课时　等差数列的性质

2.2 第2课时等差数列的性质1．已知数列{a n }为等差数列，a 3＝6，a 9＝18，则公差d 为( )A ．1B ．3C ．2D ．4答案 C解析因为数列{a n }为等差数列，所以a 9＝a 3＋6d ，即18＝6＋6d ，所以d ＝2.2．已知数列{a n }，{b n }为等差数列，且公差分别为d 1＝2，d 2＝1，则数列{2a n －3b n }的公差为( )A ．7B ．5C ．3D ．1答案 D解析由于{a n }，{b n }为等差数列，故数列{2a n －3b n }的公差d ＝(2a n ＋1－3b n ＋1)－(2a n －3b n )＝2(a n ＋1－a n )－3(b n ＋1－b n )＝2d 1－3d 2＝1.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 A解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，∴a 3＝4.4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．12B ．8C ．6D ．4答案 B解析由等差数列的性质，得a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 15＝30，则a 9等于( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32答案 A解析令b n ＝a n n ，由题意可知b 3＝a 33＝23，b 15＝a 1515＝2，则等差数列{b n }的公差d ＝b 15－b 315－3＝19，则b 9＝b 3＋(9－3)d ＝43，所以a 9＝9b 9＝12. 6．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12＝________.答案 24解析 ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，a 4＋a 12＝a 6＋a 10＝2a 8，∴5a 8＝120，即a 8＝24，∴2a 10－a 12＝2(a 8＋2d )－(a 8＋4d )＝a 8＝24.7．在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________.答案 10解析由5是a 3和a 6的等差中项，可得a 3＋a 6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.8．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案－21解析设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4. ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴这三个数的积为－21.9．在等差数列{a n }中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解方法一 (1)直接化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48，∴4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)直接化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3. ∴d ＝3或－3.方法二 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3. 10．在等差数列{a n }中，(1)若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，求a 7－12a 8； (2)已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，求2a 9－a 10.解 (1)∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. (2)∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24.∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.11．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 12．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( ) A.53 B.103 C.56 D.116答案 A解析设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556， ∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53. 14．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________．答案 3172解析设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.15．若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________．答案 a n ＝2n －52(n ∈N *) 解析由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝4.∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12. ∴a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －52(n ∈N *)． 16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b n }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解因为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n ＝43k －1.而n ∈N *，k ∈N *，所以设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，且r ∈N *，可得1≤r ≤25. 所以共有25个相同数值的项．。

(新课标)高中数学第2章数列 2.2 等差数列第2课时等差数列的性质课时作业新人教B版必修

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课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．如果等差数列｛a n｝中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝错误!（ C ）A．14 B．21C．28 D．35[解析］∵{a n}是等差数列，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．在等差数列｛a n}中，已知a7＋a8＝16，则a2＋a13＝错误!( B )A．12 B．16C．20 D．24[解析]在等差数列{a n}中,a2＋a13＝a7＋a8＝16，故选B．3．（2015·重庆理，2)在等差数列{a n｝中,若a2＝4，a4＝2，则a6等于错误!（ B )A．－1 B．0C．1 D．6［解析］解法一：∵a2＋a6＝2a4，∴a6＝2a4－a2＝4－4＝0。

解法二：∵a4－a2＝2d，∴2d＝－2，∴d＝－1.∴a6＝a4＋2d＝2－2＝0。

4．已知等差数列{a n｝满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有错误!( D ）A．a1＋a101〉0 B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝51a51＝0,∴a51＝0.5．等差数列｛a n}中,a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为错误!( B ) A．30 B．27C．24 D．21［解析］b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9,∵｛a n｝成等差数列，∴b1,b2，b3成等差数列，∴a3＋a6＋a9＝b3＝b2＋(b2－b1）＝2b2－b1＝27。

2021秋高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质练习(含解析)新人教A版必修5

第2课时等差数列的性质A 级根底稳固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，那么a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又因为a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，所以a 5＝5.答案：A2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，那么log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解析：因为a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，所以a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，所以log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.答案：C3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…以下说法正确的选项是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．答案：C4．在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于( ) A.13 B.12 C.23 D ．1解析：依题意得1a 3＋1＋1a 11＋1＝2·1a 7＋1，所以1a 11＋1＝21＋1－12＋1＝23，所以a 11＝12. 答案：B5．?莱茵德纸草书?是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，那么最小的一份的量为( )A.52个B.54个C.53个D.56个解析：易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a 1，公差为d (d >0)，根据题意，有[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53. 故最小一份的量为53个．答案：C二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，那么a 5＋a 8＝________．解析：由得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.答案：37．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，那么a 7＝________．解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，又{a n }为正项数列，所以a n ＝3n －2，所以a 7＝19. 答案：19 8．数列{a n }满足a 1＝1，假设点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，那么a n ＝________________．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 2三、解答题9．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．解：法一因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.假设d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；假设d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .法二设等差数列的公差为d ，那么由a 1＋a 4＋a 7＝15，得 a 1＋a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，即a 1＋3d ＝5，①由a 2a 4a 6＝45，得(a 1＋d )(a 1＋3d )(a 1＋5d )＝45，将①代入上式，得(a 1＋d )×5×(5＋2d )＝45，即(a 1＋d )×(5＋2d )＝9，②解①，②组成的方程组，得a 1＝－1，d ＝2或a 1＝11，d ＝－2，即a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3，或a n ＝11－2(n －1)＝－2n ＋13.10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.B 级能力提升1．假设方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，那么|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38 解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，那么a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，那么2a 1＋3d ＝2，因为a 1＝14，所以d ＝12，所以a 2＝14＋12＝34， a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，所以|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. 答案：C2．圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1，2)的该圆的三条弦的长a 1，a 2，a 3构成等差数列，那么数列a 1，a 2，a 3的公差的最大值是________．解析：如图，由x 2＋y 2－6x ＝0，得(x －3)2＋y 2＝9，所以圆心坐标C (3，0)，半径r ＝3，由圆的性质可知，过点P (1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P 且垂直于CP 的弦的弦长，因为|CP |＝〔3－1〕2＋〔0－2〕2＝22，所以|AB |＝232－〔22〕2＝2，即a 1＝2，a 3＝6，所以公差d 的最大值为a 3－a 12＝6－22＝2.答案：23．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．又因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2. 又当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝13n －2.。

高中数学人教B版学案：第2章 2.2.1 第2课时等差数列的性质 Word版含答案

第2课时等差数列的性质学习目标：1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q 是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列．()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列．()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()[解析](1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.33[∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.]3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180[因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]4．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[在等差数列{a n}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.][合作探究·攻重难]，中间两项的积为40，求这四个数.[解] 法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝±32. ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.[规律方法] 1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列.2.当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a ＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3.当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a ＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .[跟踪训练]1．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．[解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.甲、乙两人连续同的信息图如图2-2-1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．图2-2-1请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d 1＝0.2，得a 2＝1.2；由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4，得b 2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了．[规律方法] 1.在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量.[跟踪训练]2．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为a n，则a n－a n－1＝－20，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．[探究问题]1．数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5,7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？[提示]这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．2．在等差数列{a n}中，若a n＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？[提示]由a n＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.对于任意等差数列{a n}，设其公差为d.则a m＋a n＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因m＋n＝p＋q，故a m＋a n＝a p＋a q对任意等差数列都适用．3．在等差数列{a n}中，2a n＝a n＋1＋a n－1(n>1)成立吗？2a n＝a n＋k＋a n－k(n>k>0)是否成立？[提示]在探究2的结论中令m＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2a n＝a n＋1＋a n－1成立；m＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2a n＝a n＋k＋a n－k也成立．在公差为d 的等差数列{a n }中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d .[思路探究] 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a 1和d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48.∴4a 13＝48.∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝16，d ＝－3，∴d ＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13. 得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17.解⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.[规律方法]1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.2.巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程.3.通项公式的变形形式a n＝a m＋(n－m)d，(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝a m－a nm－n，应注意把握，并学会应用.[跟踪训练]3．设数列{a n}，{b n}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.35[法一：设数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴数列{a n＋b n}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.][当堂达标·固双基]1．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是()A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a nA[∵数列{a n}是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ：b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如数列{a n }＝{n }，则b n ＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C ，D ：a n 及1a n不一定有意义，故选A.]2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45B [由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a 2＋a 3＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，2a 1＋3d ＝13，得d ＝3. 所以a 5＝2＋4×3＝14.所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42，故选B.]3．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝9，a 8＝6，则a 2＝______.4 [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，∴a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝15，∴a 5＝5，a 2＝4.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3d ＝9，a 2＋6d ＝6，解之得a 2＝4.]4．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.72 [由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.]5．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求该数列的通项高中数学课程公式.[解]因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，所以a5＝3法一：a3＋a7＝2a5＝6. ①所以a3·a7＝－7. ②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.由a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.法二：a3·a7＝－7∴(a5－2d)(a5＋2d)＝－7∴(3－2d)(3＋2d)＝－7解得d＝±2.若d＝2，a n＝a5＋(n－5)d＝3＋2(n－5)＝2n－7若d＝－2，a n＝a5＋(n－5)d＝3－2(n－5)＝13－2n ∴a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.。