巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(四)数学试题
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考(一)数学试题(解析版)
解：首先从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，
同理可得选第二名同学到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，依此类推，
由分步计数原理可得6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者共有 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的分步计数原理，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题型.
12．已知函数 若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是（）
（1） ， ，
，
，
令 ，解得 ，
当 或 ， ，
当 时， ，
在区间 上， 为减区间，在 上为增区间，
；
（2） ，
使 无极值，即使 无解或只有一个解，
，
.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，考查利用函数的极值求参数，属于中档题.
18．“云课堂”是一类面向教育的互联网服务，通过网络互动直播技术服务的方式，就可以实现面向全国的高质量的网络同步和异步教学，是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取1000人对“云课堂”倡议的了解程度进行了问卷调查，并对参与调查的1000人的性别以及是否了解“云课堂”倡议情况进行了分类，得到的数据如下表所示：
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面 的法向量 ，可得 ，取平面 的法向量为 ，利用 ，即可得出.
【详解】
（1）证明：如图所示的等腰梯形 中，经过点 分别作 、 ，垂足为 ，
则 为正方形，在 中，可得 ，故 ，
在 中，利用余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，故 ，
又∵ 平面 ，而 平面 ，即 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
【答案】
【解析】所拨数字共有 种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，然后分个位数字为5和个位数字为0两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的概率公式求解即可
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)数学试卷答案
语文参考答案·第5页（共27页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ABDCBDBB【解析】1．【“山城学术圈”解析】由{|N y y ==，得[0)N =+∞，，所以[06)M N = ，，故选A ．中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）语文参考答案·第6页（共27页）语文参考答案·第7页（共27页）【解析】13．【“山城学术圈”解析】15i (15i)(1i)1i 5i 523i 1i (1i)(1i)2z +++++-====-+-+-，则||z =语文参考答案·第8页（共27页）17．（本小题满分10分）解：（1）设{}n a 公差为d ，依题意得11133425a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，，所以1(1)21n a a n d n =+-=-*()n ∈N ．…………………………………………………（5分）所以224()1142(41)2143n n T n n -=+=+--⨯ ．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）语文参考答案·第9页（共27页）解：（1）因为222()sin ()sin a c C bc c B -=-，所以222()()a c c bc c b -=-，即222122b c a bc +-=，………………………………………………………………………（3分）所以1cos 2A =.又0πA <<，所以π3A =．………………………………………………………………（6分）1322所以2bc =．………………………………………………………………………………（8分）故ABC △的周长为2a b c ++=+………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）甲通过初试的概率431442146C C C 93C 155P +===，…………………………………（2分）乙通过初试的概率为3133246C C 1C 5P ==，……………………………………………………（4分）所以甲、乙至少一人通过初试的概率为24171.5525P =-⨯=……………………………（6分）语文参考答案·第10页（共27页）（2）甲合格的概率431234423334466C C C 11391(C C )C 8C 8120P ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭ ，………………………（9分）34大.…………………………………………………………………（12分）12015k a a ===，，．………………………………………………………………（2分）当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，43n a n =-．…………………………………………………………………………（5分）语文参考答案·第11页（共27页）当2n ≥时，1111111111(21)22(1)212n S n n n n n nn n ⎛⎫==<=-⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，………………………………………………………………………………………（7分）且2111111111112224222n n n n n ⎛⎫⎪>=- ⎪⎛⎫ ⎪--+- ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………（10分）4133212n T n -<+≤．………………………………………………………………（12分）解得2243a b ==，，所以椭圆C 的方程为143+=．………………………………（4分）语文参考答案·第12页（共27页）韦达定理得：121222693434m y y y y m m -+=-=++，．……………………………………（6分）T (40)，．…………………………………………………………………（9分）1(4TABS x =-△()(4f x x =-，(20)x ∈-，，……………………………………………………………………………………（10分）（12分）21e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………（4分）语文参考答案·第13页（共27页）1x =t e 1-0e 1t <-≤（6分）令2()2ln(1)1h x x x =+-+，则2()0(1)h x x '=<+，…………………………………（9分）。
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考卷
B.图甲实验中的淀粉溶液和淀粉酶需要先混合再调节相应的pH
C.β-淀粉酶在pH=3时和50℃条件下处理1h，均因肽键断裂而变性失活
D.图乙实验中Ca2+、淀粉与淀粉酶共存时，有利于较长时间维持β-淀粉酶的热稳定性
7.图为细胞内葡萄糖分解的过程图（字母代表物质，数字代表生理过程），细胞色素c（Cytc）是位于线粒体内膜上直接参与细胞呼吸的多肽。正常情况下，外源性Cytc不能通过细胞膜进入细胞，但在缺氧时，细胞膜的通透性增加，外源性Cytc便能进入细胞及线粒体内，提高氧气的利用率。下列相关分析错误的是（）
A.该DNA分子复制完成后，子代DNA分子中的氢键数目减少
B.若进行有丝分裂，只有一个子细胞中含有羟化胞嘧啶
C.若进行减数分裂，初级精母细胞中有2条姐妹染色单体含有羟化胞嘧啶
D.若进行减数分裂，精子中发生了C-G碱基对替换为T-A碱基对的改变
16.水稻为一年生植物，其花非常小，去雄非常困难。袁隆平发现一株雄性不育系（花粉不育）野生稻，从而解决了该问题。水稻花粉可育与否由核基因R/r以及细胞质基因N/S共同控制，当植株中只有S基因与r基因共存时表现为雄性不育。下列相关叙述正确的是（）
A.运用该检测仪计数的前提是每个微生物体内的ATP含量基本相同
B.该检测仪可以检测样品中残留的需氧型微生物、厌氧型微生物和病毒
C.荧光素转化为荧光素酰腺苷酸的过程是一个放能反应
D.ATP脱掉两个磷酸基团后的产物AMP可作为合成DNA的原料
6.淀粉酶有多种类型，如α-淀粉酶可使淀粉内部随机水解，β-淀粉酶则使淀粉从末端以两个单糖为单位进行水解。图甲为pH对淀粉酶活性的影响，图乙为β-淀粉酶在50℃条件下的热稳定性实验结果。下列有关叙述正确的是（）
2021届重庆巴蜀中学高考适应性月考数学(四)数学试题
秘密★启用前巴蜀中学 2021 届高考适应性月考卷( 四）数 学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 ．3.考试结束后， 请将木试卷和答题卡一并交回．满分 150 分， 考试用时 120 分钟．一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题5 分， 共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B. - 1C. 2D. -22.已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1- e3. 已知集合 {|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题 q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4. 复数 z 满足| z -1|=1,则| z | 的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25. 在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1, 2, 3, 4 这4个跑道上， 每个跑道安排一名同 学，则甲不在 1 道，乙不在 2 道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186. 如图1,在四棱锥 P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为 P C 的中点，则异 面直线 P D 与 BE 所成角的余弦值为 A.35 B.3010 C.1010D.310107. 科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的变得比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A. 23243B. 43243C. 163243D.398. 已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f ( x )与 g ( x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9. 函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于 g ( x ) 下列说法正确的是 A.定义域为( 0 , +∞) B. 值域为(0, +∞) C. g ( x )为减函数 D. g ( x )为非奇非偶 函数10. 已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A.f ( x )为奇函数B. 2π为f ( x )的周期C.f ( x ) 的值域为[ -2, 2]D. f ( x ) 的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11. 如图3, 在棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确 的有A. 三棱锥 P – A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的而积 为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]33图 3 D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12. 设a >0, b >0, a +b = 1, 则A. a 2 +b 2的最小值为12B.4a +1b的范围为[ 9 , +∞)c,C. (1)(1)++a b ab的最小值为2 2 D.若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 二项式51()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14. 某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额 y (万元)的几组对应数据如下表所示:x1 2 3 4 y356a若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为y =2x +0.75,则表中a 的值为 . 15. 已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且S n =2a n -1. 则数列{S n }的前n 项和T n = .16. 在在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b =_ , a +2c 的最大值为．（第一空 2 分，第 二空 3 分 ）四、 解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. ( 本小题满分10分）2020年10月 4 日，第 29 届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 50 至 100 之间 ，将数据按照[ 50, 60) , [ 60, 70) , [ 70, 80) , [ 80 , 90) , [ 90, 100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示.(1) 求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数 ；( 2 ) 若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了 6 人 ，再从这 6人中随机抽取3 人，记ξ为 3 人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18. ( 本小题 满分 12 分）在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②cos 13sin +=c C a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积 ，若 . ( 1 ) 求角C 的大小 ；( 2 ) 点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为 2 , 求△ABC 的面积S 的最大值. （注： 如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19. ( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． ( 1 ) 求数列{a n }的通项公式； (2)S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .20. ( 本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = ax 2-2ln x .( 1 ) 当 a = 1时，求 y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； ( 2) 若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21. ( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为 2 的菱形，且∠B =π3 ，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面 EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段 EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于 l . (l) 求证：l //MN ;(2)P 为 l 一个动点， 求平面 PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22. ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A , 右焦点为F , 过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A , B ,且AB ⊥OB ,O 坐标原点． (1) 求椭圆的离心率e ;( 2 )若b =l,过点F 作与直线AB 平行的直线 l , l 与椭圆C 相交于P , Q 两 点，( i ) 求 k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为 N , 求NMNQ的值．巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）【解析】1．(0)[1)(0+)A B =-∞+∞=∞，，，，，所以(0)AB =-∞R，，故选A.2．由2(1i)1i z -=+，得551i cos πisin π44z ⎫⎫=--==+⎪⎪⎪⎭⎭，所以5π4θ=，故选C. 3．因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，令n n b n S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}n b 也为等差数列，设其公差为d '，由2021202021202001202120S S b b -=-=，得1d '=，又2023202312023S b ==，得1112023=20221Sb a b d '==- 120222021=-=-，故选A.4．(ln ln )0()ln ()(1ln )0y z a a b y z x z a b b a b a b b x z -=->>-=-+-=--<<，∴；，∴，所以x z y <<，故选D.5．C ：22(1)(2)2x y ++-=，圆心(12)C -，，半径为r =所以||||CA CB ==，又120ACB ∠=︒，所以C 到直线l 的距离为d =即2d ==解得1k =，故选B. 6．根据题意，画出草图，由图可知122[)x x ∈，，[02]t ∈，时，位移取到极大、极小值共56或次，故选D.7．设()M x y ，，则22344164MA MBy y y k k x x x ===-+--， 即C ：221(4)1612x y x +=≠±，(20)F -，为C 的左焦点，设C的右焦点为(20)F '，，则||||8MF MF '+=，从而88|||||||||86|MF MN MF MN NF ''+=-+-=≥，当M N F '，，共线，且N 在线段MF '上时取等号，故选B.8．由分布列的归一性：1201121212121212C )1C (C C ka a +++++==，得122a =，121()2E X =012121212121212(01212C C C C C )kk ++++++①，121110121212121()[1211102C C C E X =+++1201212(120C )]C kk -+-++012121212121212121[121110(12)0C C ]2C C C kk +++++=-+②，由①+②得012121212121212121212C C C C C 12122()()21222k E X =++++==++，所以()6E X =，故选C. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）【解析】9．令3(0)x t t =>，则222()2222(1)1()x f x t t t t t g t =-+=-+=-+=，由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =；由()2g t =，得0()2t =舍或，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，3(log 2]M ⊆-∞，，故选BCD.10．由||||||a b a b +=+，可得向量a b ，的方向相同，此时向量a b ，共线，所以A 正确；若//C B D A ，则//AB CD 或A B C D ，，，四点共线，所以B 不正确；由A B C ，，三点不共线，对空间任意一点O ，若111244OP OA OB OC=++，则1144OP OA OB OA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1144OC OA ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即1144AP AB AC =+，有P A B C ，，，四点共面，故C 正确；若P A B C ，，，为空间四点，且有P A B PC P λμ=+(PB PC ，不共线)，当1λμ+=时，即1μλ=-，可得()P PB PC A PC λ-=-，即CA CB λ=，所以A B C ，，三点共线，反之也成立，即1λμ+=是A B C ，，三点共线的充要条件，所以D 不正确，故选AC.11．设12C C ，的焦距为2c ，由12C C ，共焦点知222221122a b a b c -=+=，故A 正确；12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形知2122||||PF F F c ==，由P 在第一象限知：11222|||||2|2PF a PF a PF =-=+，即122222a c a c -=+，即122a a c -=，即12112e e -=，故B ，C 错；由12112e e -=，得12112e e =+，又21e >，得2101e <<，所以1123e <<，从而11132e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故D 正确，故选AD. 12．由()()ln xf x f x x x '-=，得2()()ln xf x f x x x x '-=，即2()1ln 2f x x x ''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得2()1ln 2f x x C x =+（其中C 为常数），即21()ln 2f x x x Cx =+，由e (e)e e 2f C =+=，得12C =，所以22111()ln (ln 1)222f x x x x x x =+=+>0，故A 正确；又21()(ln 1)2f x x '=+≥0，从而()f x 在(0)+∞，上单调递增，故C 正确；令()()g x f x x =+，则()g x 在(0)+∞，上递增，不等式()2e ()(e)f x x g x g +>⇔>，得(e )x ∈+∞，，故B 正确；由ln 1()x f x x +''=得，当10e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x ''<；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x ''>，所以()f x 的图象在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，部分上凸，在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，部分下凸，故D 不正确，故选ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由π8sin 217α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得8cos 17α=，从而2161cos22cos 1289αα=-=-．14．若1号格子涂红色则2号格子有13C 种涂法，3号格子与2号格子不同色有13C 种涂法，4号格子与3号格子不同色有13C 种涂法，共有111333C C C 27=种；若1号格子和4号格子都涂红色，则3号格子不涂红色，有13C 种，2号格子不涂红色且不与3号格子同色有12C 种涂法，共有1132C C 6=种；故所求概率为62279P ==． 15．由4454x y xy ++=，得24454()x y xy x y ++=+，≤解得5x y +≥或1x y +-≤（舍）；不等式221210x xy y ax ay a x y x y ++--+⇔+++≥≤恒成立，令(5)t x y t =+≥，则由1z t t=+在[5)t ∈+∞，上单调递增，当5t =时，min 155z =，所以155a ，≤又a ∈Z ，从而max 5a =．16．设正四面体S ABC -的外接球球心为O ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，且SH ABC H ⊥平面于，则AH，SH =；由SH R r AH ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩得R r ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2222()()()()||||||PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO R =++=+-=-=-22163r R -=-≥，当P 为该正四面体的内切球与各面的切点时取等号． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）（1）解：由条件，3452a a a =+，即2341112a q a q a q =+，由于210a q ≠，所以220q q +-=，解得1q =或2q =-．………………………………………………（4分）（2）证明：由已知，10a >，0q >，即证：2435S S S >． 当1q =时，显然成立；当1q ≠时，由公式，222423511435(1)(1)(1)11a a S S S q q q q q ⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得32(1)q q -，由0q >，所以32(1)0q q ->，得证．…………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：连接BD ，和AC 交于点O ， 在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，连接PO ， 由PA PC =，可得PO AC ⊥，由PO BD O =，所以AC PBD ⊥平面，而PD PBD ⊂平面，则有AC PD ⊥．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知PO AC ⊥且PO BD ⊥，所以PO 垂直于底面． 1132P ABCD V PO AC BD -=，111111111332A B CD OB D V AC S AC B D h -==△，而1112B D BD =，12h PO =，所以11111342A B CD V AC BD PO -=，则有11A B CD V -∶1P ABCD V -=∶4．………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）1sin 2ABC S AB CB ABC =∠△，得AB =，由余弦定理可得1AC =． ………………………………………………………………（4分）（2）由圆的周角定理可知：1112B B A A B BA ∠∠=∠=，1112CC A A C CA ∠∠=∠=， 则122C B A ∠∠∠=+，同理：122C A B ∠∠∠=+，122B AC ∠∠∠=+． 由（1）知，ABC △为直角三角形，其外接圆22r BC ==，111A B C △的外接圆为同一圆， 所以11121112sin sin sin A B C S r A B C =∠∠∠=△2sinsin sin222B C C A B A∠+∠∠+∠∠+∠=2cos cos cos 222C A B ∠∠∠=πππ2cos cos cos 6412=12分）20．（本小题满分12分）（1）解：将直线与抛物线方程联立有：2210ax x -+=，则=，解得14a =或13a =-，由于0a >，所以14a =．…………………………………………………………………（5分） （2）证明：由抛物线214y x =进行求导，得12y x '=，所以在点00()P x y ，的切线斜率为02x ，所以点P 处的法线n 的方程为0002()y y x x x --=-，焦点(01)F ，，设()Q x y ''，，则0000121222x y x y x y x x '-⎧=⎪'⎪⎨''+-⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，，由1式可得0122x y x ''+=+，且20014y x =， 代入2式可知：2000111244x x x x x -''+-=+，可求得0x x '=，即PQ x ⊥轴.……………………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）由1()1f x x'=-+，可得()f x 的单调减区间为(01)，，()f x 的单调增区间为(1)+∞，.……………………………………………………………………………………………（4分）（2）由()0g x ≥，可得e ()ln x a x x a x ----≥，即ln e ()e ln ax x x a x ----≥①，考虑()e t h t t =-，由()e 1t h t '=-得，当0t <时，()h t 递减，当0t >时，()h t 递增， 所以①即为()(ln )h x h a x -≥，由于求实数a 的最小值，考虑化为0a <，所以ln x a x -≤，即ln x a x-≥， 令()ln xl x x=-，分析单调性可得()l x 的最大值为e -，所以a 的最小值为e -．……………………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分） 解：（1）X 的可能值为1和1n +，(1)(1)n P X p ==-，(1)1(1)n P X n p =+=--，所以随机变量X 的分布列为：所以()1(1)(1)[1(1)]1(1)n n n E X p n p n n p =⨯-++⨯--=+--．……………………………………………………………………………………………（5分）（2）方案乙总费用的数学期望： ()() 2.5[1(1)] 2.5n E Y aE X a a n n p a =+=+--+，当1101ep -=-时，110()1e 2.5n E Y a n n a -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎭103.5e n a n n -⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-，又方案甲的总费用为Z an =，令()E Y Z <，得103.5e na n n an -⎛⎫ ⎪⎝⎭+-<，所以103.5e n a n n an -⎛⎫ ⎪⎝⎭+-<，即10e 3.5nn ->，设10()e [2)xf x x x -=∈+∞，，，所以10()e1[2)10x x f x x -⎛⎫'=-∈+∞ ⎪⎝⎭，，， 令()0f x '>，得210x <≤，()0f x '<，得10x >，所以()f x 在区间[210)，上单调递增，在区间(10)+∞，上单调递减， max 10()() 3.679 3.5e10f x f ==≈>， 且 1.11()11e 3.663 3.15f -=≈>， 1.21()12e 3.612 3.25f -=≈>，1.31()13e 3.549 3.35f -=≈>， 1.41()14e 3.458 3.45f -=≈<，所以使得采用方案乙总费用的数学期望低于方案甲的n 的最大值为13．……………………………………………………………………………………………（12分）数学第11 页（共 4 页）。
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(四)数学-答案
6 62
5
30 ，故 10
选 B．
7．由观察可知：第一个图形有 3 条边，第二个图形有 12 条边（不算里面绿色的这条边，每
一条边变为 4 条边），第三个图形有 48 条边，第四个图形有 192 条边，后一个图形与前一
个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的 1 的小三角形，故第二个图形比第一 3
3．集合 A {x | x ≥ 0} ，此时，B (， 3) (1， ) ， p 能推出 q ，q 不能推出 p ，所以 p
是 q 的充分不必要条件，故选 A．
4． |z 1| 1，复数 z 表示以 (1，0) 为圆心，半径为1的圆上的点， |z| 的最大值为 2，故选 D．
5．解 1：①甲在 2 道的安排方法有： A33 6 种；②甲不在 2 道，则甲只能在 3 或 4 号道，乙 不能在 2 道，只能在剩下的 2 个道中选择一个，丙丁有 2 种，所以甲不在 2 号跑道的分配
4，
由余弦定理
ab a2
b2 c2 2ab
bc b2
c2 a2 2bc
4，
所以
b 2，
由正弦定理
a sin
A
c sin C
b sin B
2 3
4 3
，
a
4 3
sin
A，c
4 3
sin
C，
a
பைடு நூலகம்
2c
4 3
(sin
A
2
sin
C
)
2
4 3
sin
A
2
sin
2π 3
A
4 (2sin A 3
5
x
5 2
r
，
重庆市巴蜀中学高三第四次月考(数学理).doc
重庆市巴蜀中学高三第四次月考（数学理）数学试题卷共4页。
考试时间1。
第1至10题为选择题，50分；第11至21题为非选择题，100分。
满分150分。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答第1至10题时，必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第11至21题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（有且只有一个正确的选项，每小题5分，共50分）1、若集合},,{},,{},,,{x B A x B x A 311312=== ，则满足条件的实数x 的个数有（ ） (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 42、在空间中，有下列四个命题：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一个平面的两条直线平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一个平面的两个平面平行；其中真命题的个数为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43、若函数)cos()(ϕ+=x x f 22是奇函数，且在),(40π上是增函数，则实数ϕ可能是（ ） (A)2π-(B) 0 (C) 2π(D) π4、下列四个条件中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）(A) p ：22b a q b a >>:, (B) ba qb a p 22>>:,:(C) p ：c by ax =+22为双曲线，0<ab q : (D) 0022>++>++a x bx c q c bx ax p :,:5、设函数)(x f y =存在反函数)(x fy 1-=，且函数)(x f x y -=的图象过点（1，2），则函数x x fy -=-)(1的图象一定过点（ ）(A) (2,-2) (B) (-2,2) (C) (1,-2) (D) (-1,2)6、已知A(1,2),B(3,2),C(2,2+3)，则向量→--→--CB AC ,的夹角为（ ）(A) 3π (B) 32π (C) 6π(D) 65π7、已知椭圆)(012222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点为F(c ，0)，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21x x ,，则点P(21x x ,)（ ）(A) 必在圆222=+y x 内 (B) 必在圆222=+y x 上 (C) 必在圆222=+y x 外 (D) 以上三种情形都有可能 8、已知,)(lim 2122=--+∞→b an n n n 其中R b a ∈,，则=-b a （ ）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 69、已知函数a xb a x a x x f +++++=)()()(2312131有两个极值点21x x ,，且21021<<<<x x ，则ab的取值范围为（ ）(A) ),(211-- (B) ),(123-- (C)),(232-- (D) ),(212-- 10、已知点),(y x P 在椭圆3222=+y x 上运动，则22121y x ++的最小值是（ ） (A) 5104 (B) 59(C)5221+(D) 2 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（把最后结果填写在答题卡上，每小题5分，共25分）11、函数⎩⎨⎧>-≤+-=01012x x x x x f ,|,|)(那么不等式0<)(x f 的解集是__________________ 12、已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球表面积为_________13、已知)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()(13-=+x f x f ，当),(20∈x 时，22x x f =)(，则=)(7f _________________C14、已知三角形ABC 的三个内角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,，且321222+==-+b c a bc c b ;.则tanB=____________15、设P 为双曲线C: ),(0012222>>=-b a b y a x 的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F 为双曲线C的右焦点，A 为双曲线C 的右准线与x 轴的焦点，若APF ∠的最大值为3π，则双曲线的离心率为_________________ 三、解答题（写出主要解题过程，共6个小题，满分75分）16. 本小题满分13分已知函数)(sin )sin(sin sin x x x x y -+-+=2332222ππ（1）若21=x tan ，求y 的值；（2）若,[20π∈x ，求y 的值域；17. 本小题满分13分 已知}{n a 为等比数列，1211253a n a a a b n n n n )(-++++=-- ，已知5121==b b ,，记数列}{n a 的前n 项和为nS 。
重庆市巴蜀中学2023届高三第四次月考数学试题及答案
数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B C B A D C B【解析】1．22a b a b >⇔>，2222ln ln 0a b ab >⇔>>，故选D.2．2(2i)34i 12i 12i 12i z ++===-+--，则2||5z z z == ，故选B. 3．由12l l m ⊥⇒=，则d ==，故选C. 4．可采用插空法，2223A A 23212=⨯⨯=，故选B.5．22||()9a b a b -=-= ，则有2229a b a b +-= ，可得2a b =- ，则a 在b 方向上的投影为1||a b b =- ，则a 在b 上的投影向量为12b - ，故选A. 6．天干可看成周期为10的周期数列，地支可看成周期为12的周期数列，而2023是以1933为首项的第91项，则天干为癸，地支为卯，故选D.7．当1121222n n n n a a a a ---=-= ≥，，，，则12112(12)2222212n n n n a a ----=+++==-- ，解得：21n n a =-．而1111112111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n a a a -+++++⎛⎫==- ⎪-----⎝⎭，则有1111221n n S +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．又n S 是单调递增数列，所以有1111232n S S ⎡⎫⎡⎫∈=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，. 对任意的正整数n ，都有n k S >，则12k ≥，故选C ． 8．由2212211122()()()()x x x f x x x x f x ->-，有121212()()()0f x f x x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，可得()f x x 在(0)+∞，上单调递增．于是(ln 2)(ln 4)(ln 4)(2)ln 2ln 42ln 22f f f f <=<，化简可得a c b <<，故选B.数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 题号9 10 11 12 答案AC ACD BCD BC【解析】 9．对于A ：n l n l αα⇒∃⊂∥，∥，而m α⊥，m l m n ⊥⇒⊥，故A 正确；对于B ：若m β⊂，同样满足条件，故B 错误；对于C ：m ，n 可以分别看作α，β的法向量，m n ⊥，则αβ⊥，故C 正确；对于D ：若αβ⊥，设l αβ= ，当m l ∥，m α⊄时，满足m α∥，但m β⊥不成立，故D 错误，故选AC.10．由cos()sin b B C R B +=，有2sin 1cos cos 22RB A A b-=⇒=-．而(0π)A ∈，，可得2π3A =，故A 正确，B 错误；又由2sin a R A=，有12sin a R A ===，故C 正确；利用余弦定理有：2222232cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+++=≥，当且仅当b c =时取等号，则1bc ≤，可得1sin 244S bc A bc ==≤，故D 正确，故选ACD. 11．对于A ：由直接法有：2222(2)(1)2[(1)(1)]x y x y ++-=-+-，化简得228210xy x y +---=，其标准方程为22(4)(1)18x y -+-=，故A 错误；对于B ：r =2DG =到直线的距离d ===，计算可得19c =--或，故B 正确；对于C ：四边形QEMF 的面积1222QEM S S QE r === △．而QM =24=，故C 正确；对于D ：3l 始终平分圆M 的面积，则3l 过圆心(41)，，得41a b +=．则(1)(1)2112a b b a ab a b ab ab a b+++++==++ 1142(4)77411b a a b a b a b ⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，故D 正确，故选BCD.数学参考答案·第3页（共8页）12．对于A ：1a =时，1()e x f x x -=-，1()e 1(1)2x f x f -'=--⇒'=-，则切线方程为2(1)y x =--，化简得22y x =-+，故A 错误；对于B ：令1e 0x a x --=，化为11e e x xx a x --==，设1()e x h x x -=，111()e e e (1)0x x x h x x x ---'=+=+>在(1)x ∈+∞，恒成立，所以()h x 在(1)+∞，上单调递增. 而(1)1()h x h x =→+∞→+∞，时，. 利用图象可得，若()f x 没有零点，则1a ≤，故B 正确；1ln 1()(e 1)ln e(1)e eln ln e e e e e(ln 1)x a x g x a x a x a a x x a x --=----+=--+-+=-+ ln 1e (ln 1)1a x a x -+---++，令ln 1[1ln 1ln ]t a x a a =-+∈-++，，()e e 1t m t t t =--+，则()e e 1t m t '=--，令()0m t '>，解得ln(e 1)t <-，则()(ln(e 1))m t -∞-在，上单调递增，在(ln(e 1))-+∞，上单调递减. 注意到(0)(1)00ln(e 1)1m m ==<-<，且，令()0m t ≥，可得01t ≤≤.对于C ：若()0g x ≥在[02]，上无解，则1ln 01ln 1a a +<-+>或，解得210e e a a <<>或，则当()0g x ≥在[02]，上有解时，21e ea ≤≤，故C 正确；对于D ：若()0g x ≥在[02]，上恒成立时，1ln 0e 1ln 101a a a a -+⎧⎧⇒⎨⎨+<⎩⎩≥≥，≤≤，无解，故D 错误，故选BC. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．利用特殊值法有(1)(1)f f =--，则有12212112a a ++=---，解得1a =，代入检验可得()f x 为奇函数，符合题意.14．圆1C 可化为22(2)(2)8x y m ++-=-，由80m ->，有8m <．设2()C a b ，与1(22)C -，关于直线20x y -+=对称，则有212222022b a ab-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，，解得00a b =⎧⎨=⎩，，则2C ：228x y m +=-，6m ≤，6m ≤∴.数学参考答案·第4页（共8页）15．由题意可知在ABC △中，3ππ5π4126ADC ADB BDC ∠=∠+∠=+=则5ππ6DAC ∠=- ππ1212-=，300AD DC ==，在BDC △中，DCB ACD ACB ∠=∠+∠π2π3π1234=+=，有3ππππ4126DBC ∠=--=，故有sin sin BD CD DCB DBC =∠∠，可得sin sin CD DCB BD DBC ∠=∠300212==，则在ADB △中，22223π2cos 3004AB AD BD AD BD =+-=+223004500002+⨯⨯=，故AB =（米）． 16．由0TN TP MT TN TP TM +=⇒++= ，可得：T 是MNP △的重心．又有PQ x ∥轴，则有2PQ PT MF TF==，可得24PQ MF ==．设00()P x y ，，由抛物线的定义得014x +=，解得03x =．设P在第一象限，则有0y =．可得11123323TMF PMF S S ==⨯⨯⨯=△△． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）3(0)2f =-∵，1sin 2ϕ=-∴，由π||2ϕ<得π6ϕ=-， 2π()3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，()f x ∴关于π3x =对称， ∴ππππ362k k ω-=+∈Z ，，解得32k k ω=+∈Z ，， 因此，当0k =时，ω取到最小的正数为2， 此时π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………………………………………………（5分）（2）ππππ()3sin 23sin 23cos 26662g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，π3π9()()3sin 23cos 232cos 226232f x g x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，即πsin 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[0π]x ∈，∵，ππ5π2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴，π3x =∴或π2， ππ32A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，∴. ……………………………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）解：由122n n a S +=-得2n ≥时，122n n a S -=-，两式相减得11(2)2n n a a n +=≥， 又令1n =，得2122211a S =-=-=，解得212a =，2112a a =∴， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴． ………………………………………………………………（6分）（2）证明：1142n n n n b a n +⎛⎫== ⎪⎝⎭∵， 2311112222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， 342111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得：13122211182111111111(2)124222422212n n n n n n T n n n -++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ， 111(2)12n n T n +⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭∴． …………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设3人中女驾驶员人数为X ，则(30.3)X B ，， ………………………（3分）所以P （3人中恰有1人为女性）123(1)C (0.7)0.30.441P X ==== .……………………………………………………………………（6分） （2）设事件A ：驾驶员为女性，事件B ：驾驶员发生了交通事故，则()0.3P A =，(0.7P A =，4(|)0.2510P B A -=⨯，4(|) 2.2010P B A -=⨯，()()(|)0.075(|)0.046()()(|)()(|) 1.615P AB P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ===≈+. ……………………………………………………………………（12分）数学参考答案·第6页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图所示，取P A 中点的N ，连结MN ，DN ，则MN 12AB ，又CD 12，所以MN CD ，故四边形CDNM 为平行四边形，CM DN ∥∴，又CM ⊄平面PAD ，ND ⊂平面PAD ，所以CM ∥平面PAD ． …………………………………………………………（5分） （2）解：取AB 的中点E ，连结CE ，BD ，设CE ，BD 交于点O ，由条件易知四边形BCDE 是边长为2的正方形.PB PC PD ==∵，P ∴在平面ABCD 内的射影是△BCD 的外心，即点O .PO ⊥∴平面ABCD .如图，以O 为原点，分别以OE ，OB ，OP 所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， ∴可得后面点的坐标：(00)(00)00)(00)D B E C ，，，，，，，0)A ，设(0)OP a a =>，则(00)P a ，，，00)(0)0)0)DA DP a CB CP a ==== ，，，，，∴，设平面PAD PBC ，的法向量分别为111222()()m x y z n x y z == ，，，，，，则1110000DA m DP m az ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨=+=⎪⎩ ，，取(0m a =- ，，，22220000CB n CP n az ⎧+==⎪⇒⎨=+=⎪⎪⎩⎩ ，，取(n a a =-- ，，， ∵平面PAD 与平面PBC 的夹角为45︒，|||cos |2||||m n m n m n <>== ，∴ 解得227a =，从而22222167PC PO OC a =+=+=， 所以侧棱PC的长为7. ………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）21．（本小题满分12分）解：（1）易知(0)(0)A a B a -，，，，设()P x y ，，则22221x y a b+=，由2222222222114PA PBx b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭====-=-+--- ， 得224a b =，∴椭圆C 的方程为222214x y b b+=， ∵点12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆C 上，2231414b b +=∴，解得1b =，2a =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………（4分）（2）直线b y x a =±，即12y x =±，显然直线l 的斜率存在.设1122()()M x y N x y ，，，，直线l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，由22222(14)844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，由于l 与椭圆相切， 其2216(41)0k m ∆=+-=，故2241m k =+．由2112122y kx m m m M k k y x =+⎧⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪--=⎝⎭⎪⎩，，2112122y kx mm m N k k y x =+⎧-⎪⎛⎫⇒⎨⎪++=-⎝⎭⎪⎩，， 2212221122214||||||222121214|14|OMNm m k S m x x m m k k k k +=-=+==-+--△， 当2104k <≤时，2222(14)2211414OMN k S k k +⎛⎫==-+ ⎪--⎝⎭△， 因为20141k <-≤，所以21114k-≥，2OMN S △≥∴； 当214k >时，2222(14)22124141OMN k S k k +⎛⎫==+> ⎪--⎝⎭△． 综上，OMN △面积的最小值为2． …………………………………………（12分）数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分12分）解：（1）2()ln f x ax bx x =-+∵，1()2(0)f x ax b x x'=-+>∴，因为()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为2230x y --=，1(1)2(1)1f f ⎧=-⎪⎨⎪'=⎩，即12211a b a b ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩， 解得：112a b ==.…………………………………………………………（4分） （2）21()()ln (1)(0)2g x f x mx x x m x x =-=+-+>， 则21(1)1()(1)x m x g x x m x x-++'=+-+=，由()0g x '=，得2(1)10x m x -++=，因为1122()x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，所以方程2(1)10x m x -++=有两个不相等的正实根12x x ，， 所以121x x m +=+，121x x =，这样211x x =， 因为32m ≥，所以111512x m x +=+≥，解得1102x <≤或12x ≥，因为12110x x x <<=，所以1102x <≤， 所以221211122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x m x x x m x -=+-+--++ 221121221ln()(1)()2x x x m x x x =+--+- 21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，……………………………………………………（9分）令22111()2ln 022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤，则223321(1)()0x F x x x x x --'=--=<， 所以()F x 在102⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减，所以当12x =时，()F x 取得最小值，即min 11115()2ln 42ln 22248F x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 3231ln 4ln e 2<<=∵，31572ln 2888<-<∴， 所以满足条件的实数λ的最大整数值为0. ……………………………（12分）。
重庆市巴蜀中学2021届高三数学上学期适应性月考试题二
重庆市巴蜀中学2021届高三数学上学期适应性月考试题（二）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时l20分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合{}280x A x =-≥，{}27100B x x x =-+≤，则A B ⋂=（ ）．A ．{}23x x ≤≤B ．{}35x x ≤≤C ．{}5x x ≤D ．{}2x x ≥2．设i 为虚数单位，已知12iz i =+，则z 的虚部为（ ）． A ．25B ．25-C ．15D ．15-3．“0AB AC ⋅>”是“ABC △为锐角三角形”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为()f v dB ，那么满足：()1210lg110vf v -=⨯⨯．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A ．40 B ．100 C ．40000D ．100005．设单位向量a ，b 满足：21a b +=，则2a b -=（ ）． A ．1 B ．2 C ．3D ．46．某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（ ）种不同的结果．A ．36B ．27 D ．24 D ．187．522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为（ ）．A ．60B ．60-C ．80-D ．808．设函数()()*sin N sin nxf x n x=∈，则下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()1f x ≤9．设()0,πθ∈，若22cos cos 21θθ+=，则θ=（ ）．A ．π5π,66B ．ππ,63C ．πππ,,632D ．ππ5π,,62610．设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列式子一定成立的是（ ）． A ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=+- B ．2222cos a b c bc A =++⋅C ．222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=． D ．22cos cos cos b c ab C ac B bc A +=++11．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：12y x =-，239y x =-分别与该曲线相切于()0,0，()3,0，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．A ．()3215233f x x x x =-+- B ．()3211233f x x x x =--C ．()3211293f x x x x =+- D ．()32123f x x x x =--+12．如图，设在ABC △中，AB BC AC ==，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得30DAE ∠=︒，若16BD =，5CE =，则边长AB =（ ）．A ．38B ．40C ．42D ．44二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()3,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则m =______． 14．设函数()π3sin 213f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为______． 15．去年底，新一代的无线网络技术WIFI6发布。
重庆市巴蜀中学2021届高三高考适应性月考卷(二)数学试题 Word版含答案
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷〔二〕数学考前须知：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.总分值150分，考试用时120分钟.一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设集合那么AB=A. B. C. D.2.设i为虚数单位，,那么的虚部为A.3.“〞是“ABC为锐角三角形〞的4.交通运输部发布了?城市轨道交通客运组织与效劳管理方法?，对乘客在地铁内一系列行为进行标准，其中就包括“使用电子设备时外放声音〞，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单〞，该方法已于2021年4月开始施行.通常我们以分贝〔dB)为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病。
如果强度为v的声音对应的分贝数为dB,那么满足：假设在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能到达90dB,那么90dB的声音与50dB的声音强度之比为5.设单位向量满足：,那么=A6.某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，假设甲不选足球，乙不选篮球，那么共有〔〕种不同的结果.7.的展开式中，含项的系数为奇函数 C.的图象关于点对称 D.9.假设,那么=A. B. C. D.10.设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下式子一定成立的是A. B.C.+D.=11.为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路〔如图1中虚线处〕,要求该道路与两条直线道路平滑连接〔注：两直线道路：分别与该曲线相切于,该弯曲路段为三次函数图象的一局部，那么该解析式为A. B.C. D.12.如图2,设在中，,从顶点连接对边上两点,使得,假设那么边长A.38二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.设向量,假设,那么m=14.设函数,那么在上的最大值为_15.去年底，新一代的无线网络技术WIF16发布。
2021年重庆市巴蜀中学高考数学临考预测卷-含答案与解析
2021年重庆市巴蜀中学高考数学临考预测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2＝4}，则∁M N＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据补集的运算即可求出．【解答】解：由题意，M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，2}，则∁M N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】本题考查了补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z的共轭复数是，若，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi，则，代入已知等式，再利用复数相等的定义求出a，b的值，得到复数z，再利用复数模长公式求解．【解答】解：设z＝a+bi，则，由题意可得：﹣2a+4bi＝1+2i，则，，所以，故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数相等的定义，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．已知二面角α﹣l﹣β，若直线m⊂α，直线n⊥β，则m，n的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上情况都有可能【分析】由题意画出图形（以二面角α﹣l﹣β为直二面角为例），由图分析得答案．【解答】解：如图，在正方体AC1中，取平面AA1D1D为α，底面ABCD为β，则AD为交线l，取AA1为n，则n⊥β，取DD1为m，则m∥n；取A1D1为m则m与n相交；取BB1为n，则n⊥β，取A1D1为m，则m与n异面．故m，n的位置关系可能平行、可能相交、可能异面．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于（）A．B．C．D．【分析】甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．由此能求出结果．【解答】解：甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A，B，C，三家医院接种新冠疫苗的情况有n＝种，其中甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的情况有：m＝3．∴甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率为：，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，则切点的纵坐标为（）A．e B．1 C．D．【分析】设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），求出函数在切点处的切线方程，把（0，0）代入求得x0，即可求出切点的纵坐标．【解答】解：设切点P（x0，lnx0）（x0＞0），由y＝lnx，得，∴，∴曲线在点P处的切线l方程为，又l过（0，0），∴，解得x0＝e，∴切点P（e，1），纵坐标为1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．6．已知，其中α是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的正切公式化简已知等式可得tan2α﹣tanα﹣＝0，解得tan α的值，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．【解答】解：由＝﹣2，且α是第三象限角，可得tan2α﹣tanα﹣＝0，可得：，，，因此．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想是，属于基础题．7．城市道路由于通勤造成道路交通的早晚高峰．一般地，工作日早高峰时段通常在7：00﹣9：00，晚高峰时段通常在17：00﹣19：00．为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行程速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度．路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行程速度，可将拥堵程度分为1到5级．等级划分如表（单位：km/h）：等级1 2 3 4 5快速路＞65 （50，65] （35，50] （20，35] ≤20 主干路＞45 （35，45] （25，35] （15，25] ≤15 次干路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 支路＞35 （25，35] （15，25] （10，15] ≤10 重庆市的黄花园大桥横跨嘉陵江之上，是连接渝中区和江北区的主干路．今在某高峰时段监测黄花园大桥的汽车平均行程速度，将得到的数据绘制成频率分布直方图如图，根据统计学知识估计该时段黄花园大桥拥堵程度的等级为（）A．2级B．3级C．4级D．5级【分析】根据题中给出的信息，确定组距和组数，由频率之和为1，求出速度在[50，60]内的频率，利用平均数的计算公式求解出平均速度，结合题中的信息判断即可．【解答】解：由题意可知，组距为10，共6组，由六个矩形面积之和为1，可得速度在[50，60]内的频率为0.05，因此平均速度为5×0.1+15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.05＝30（km/h），根据表格中的信息可知，其拥堵等级为3．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的算法以及平均数公式的应用，考查了数据分析能力与运算能力，属于基础题．8．已知圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3交直线于A，B两点，则对于θ∈R，线段AB长度的最小值为（）A．1 B．C．D．2【分析】由题意画出图形，求出圆心C到直线的最大距离，再由垂径定理求线段AB长度的最小值．【解答】解：由圆C：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝3，知该圆的半径，圆心C（cosθ，sinθ）在单位圆上，∵原点O到直线的距离为，则点C到直线的距离d的最大值为，由可知，当d取最大值时，线段AB长度的最小值为，故选：C．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（）A．B．a2+b2＜1 C．D．【分析】利用基本不等式的性质即可求解，注意一正，二定，三等的应用．【解答】解：∵，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确，∵a2+b2＜a2+b2+2ab＝（a+b）2＝1，∴B正确，∵，当且仅当a＝b时取等号，∴C错误，∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴0＜a＜1，∵，当且仅当a＝1时取等号，∴a+＞2，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．函数f（x）＝，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）是R上的单调递增函数B．对于任意实数a，不等式f（a2+1）≥f（﹣a）恒成立C．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0D．方程f（x）﹣f（﹣x）＝0有3个不相等实数解【分析】利用函数的单调性判断A；通过a的范围，结合函数的单调性，判断B；反例判断C；求出函数的零点，判断D．【解答】解：函数f（x）是（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调递增函数，但是，f（x）在R上不单调，A错误；当a≥0时，f（a2+1）≥f（1）＝0，f（﹣a）≤f（0）＝0，f（a2+1）≥f（﹣a）；当a ＜0时，a2+1＞﹣a＞0，由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增知f（a2+1）＞f（﹣a）；B正确；令x1＝0，x2＝1，f（x1）＝f（x2），且x1+x2＞0，C错误；当x＝0时，f（x）﹣f（﹣x）＝0；当x＞0时，在（0，+∞）上单调递增，，，故存在1个解；同理知x＜0时也存在1个解；x＝0是函数的一个零点，故方程f（x）﹣f（﹣x）＝0共有3个解，D正确，故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，则（）A．数列{a n}是公比为2的等比数列B．S6＝47C．既无最大值也无最小值D．【分析】直接利用赋值法和数列的递推关系式求出数列的通项，进一步利用求和公式的应用和取值范围确定A、B、C、D的结论．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2＝2，a n+1＝S n+1，令n＝1，知a2＝S1+1＝a1+1，结合a1+a2＝2，知，，a n+1＝S n+1⇒a n＝S n﹣1+1，所以a n+1﹣a n＝a n（n≥2），但，，，当n≥2，，S6＝3×16﹣1＝47，故A错误，B正确；由于，n≥2，时，，故C错误；所以无最小值，有最大值，，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线交右支于P，Q两点，以F1Q为直径的圆过点P，则（）A．若△PF1Q的内切圆与PF1相切于M，则|F1M|＝aB．若双曲线C的方程为，则△PF1Q的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若3|PF2|＝|QF2|，则双曲线C的离心率为【分析】利用三角形的内切圆以及双曲线的定义，转化求解判断A；利用双曲线的标准方程，转化求解三角形的面积判断B；通过双曲线的离心率，判断直线与双曲线的位置关系判断C；利用已知条件转化求解双曲线的离心率判断D．【解答】解：记内切圆与PQ相切于N，与F1P相切于M，与F1Q相切于K，则|PM|＝|PN|，|QK|＝|QN|；故|F1P|+|F1Q|﹣|PQ|＝|F1M|+|F1K|+|PM|+|QK|﹣|PN|﹣|QN|＝|F1M|+|F1K|＝2|F1M|＝4a，A不正确；由以F1Q为直径的圆过点P，知PF1⊥PQ；若双曲线C的方程为，则a＝2，，；设|PF1|＝x，|QF2|＝y，则|PF2|＝x﹣4，|QF1|＝y+4，故，62+（2+y）2＝（4+y）2⇒y＝6；故△PF1Q的面积为，B正确；若，则，故渐近线为y＝±2x，设|PF1|＝y，|PF2|＝x，由得y＝2x，则k＝±2，此时直线不可能与右支交于两点，故C不正确；若3|PF2|＝|QF|，设|PF2|＝x，|QF2|＝3x，则|PF1|＝x+2a，|QF1|＝3x+2a，故（x+2a）2+（4x）2＝（3x+2a）2⇒x＝a，故，D正确，故选：BD．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是难题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平面内的，两个向量同时满足：，，则向量与的夹角等于120°．【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，对于，由数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，若，则，变形可得：﹣8•＝22+22，由于，则有﹣8||2cosθ＝4||2，因此，则θ＝120°，故答案为：120°．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．14．已知椭圆C：的右焦点为F，若过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，则的取值范围是[，2] ．【分析】判断当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．然后求解即可．【解答】解：由椭圆性质可知，当A，B分别为椭圆的顶点时，取最值．当A为椭圆的右顶点时，|AF|最小，此时|AF|＝3﹣1＝2，此时B恰为椭圆的左顶点，|BF|最大，此时|B|F＝3+1＝4，此时的最小值为，同理可得的最大值为2，即的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的表面积等于．【分析】将正四面体放置在正方体中，求出正方体的内切球的表面积，则答案可求．【解答】解：设题中的正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，如图所示，此时可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切．设正方体棱长为x，则，解得，因此正方体的内切球直径2r＝x，得，因此正方体内切球的表面积．故答案为：．【点评】本题考查正方体的内切球，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C+2c cos B＝a2，则a＝ 2 ；若又知△ABC的面积为S满足4，则S＝﹒【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sin A≠0，可得a的值，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式即可求解S的值．【解答】解：因为2b cos C+2c cos B＝a2，由正弦定理得2sin B cos C+2sin C cos B＝a sin A，可得2sin A＝a sin A，因为sin A≠0，所以可得a＝2，因为，因此，即，由于，可得，当且仅当，b＝c，时等式成立，因此a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝4，解得b＝c＝2，所以．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a n＞0，数列{a n}的前n项和为S n，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：①；②数列{c n}满足：，a1＝3，且{c n}的前n项和为；③．问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．【分析】（1）选①②③，根据数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用数列的单调性的应用求出结果．【解答】解：（1）选①：当n＝1，a1＝3，当n≥2，，作差有，则a n＝2n+1，又a1＝2+1＝3，符合，所以a n＝2n+1．选②：，又a1＝3，所以a n+1＝2n+3，所以a n＝2n+1．选③：当n＝1，a1＝3，n≥2，，作差：，所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，a n＞0，有a n﹣a n﹣1＝2，故数列{a n}为等差数列，a1＝3，d＝2，所以a n＝2n+1．（2），，易知为单调递增数列，又210＝1024＜2021，211＝2048＞2021，所以n+1≤10，n≤9，n∈N*，所以有9项符合．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（12分）已知函数，的最小值为0．（1）求常数a的值；（2）若把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在区间上有且仅有2个零点，求ω的取值范围．【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）＝2sin（x+）+a+1，由，可得，利用正弦函数的性质即可求解a的值．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可得，令g（x）＝0，令，则，，作出y＝sin t 和的图象，观察交点个数，可得，即可解得ω的取值范围．【解答】解：（1），当时，可得，可得，由f（x）min＝1+a+1＝0，可得a＝﹣2．（2）因为，则把y＝f（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中ω＞0），得到，令g（x）＝0，令，则，由于，可得，则问题转化为y＝sin t在区间上有且仅有2个t，使得，求ω的取值范围．作出y＝sin t和的图象，如图2，观察交点个数，由题意列不等式：，解得．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．19．（12分）如图2，在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），点M（x0，2）（x0＞0）是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过C上异于点M的两点A，B分别作x轴的垂线交直线BM，AM于点P，Q，求直线PQ的斜率．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）求得M的坐标，设A，B的坐标，求得直线AM、BM的方程，可得交点P，Q的坐标，由两直线的斜率公式可得所求值．【解答】解：（1）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，由抛物线的定义可得，，则p＝1，所以抛物线的方程为x2＝2y；（2）∵M（x0，2）在抛物线C上，且x0＞0，∴，即x0＝2，M（2，2），设，，则直线AM的方程为，即y＝（x1+1）x﹣2x1，同理直线BM的方程为y＝（x2+1）x﹣2x2，由AP，BQ分别垂直于x轴，得点P（2x1，2（x1x2+x1﹣x2）），Q（2x2，2（x1x2﹣x1+x2）），则直线PQ的斜率．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）随着校运会的临近，某班甲、乙两名同学开始记录自己100米短跑的成绩，他们二人的某10次的成绩（单位：秒）如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 （1）请完成如图3的样本数据的茎叶图（在答题卡中），并分析甲、乙二人的成绩情况；（2）从甲、乙两人的10次成绩中各随机抽取一次分别记为x，y，定义随机变量ξ＝，求ξ的分布列和期望．【分析】（1）将表格中的数据转化为茎叶图表示即可，由统计图求出平均数相同，再由方差的作用分析甲乙成绩的稳定性即可；（2）先确定随机变量ξ的可能取值，然后分别求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【解答】解：（1）茎叶图如图所示，，，从统计图中可以看出，甲、乙的平均水平是一样的；乙的成绩较为集中，差异程度较小，所以乙的成绩更稳定；（2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0，﹣1，1，则，，，所以ξ的分布列为：ξ﹣1 0 1P故．【点评】本题考查了茎叶图的理解和应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，时，求直线AA1与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．【分析】（1）作AC的中点M，连接DM，BM，证明AC⊥DM，AC⊥BM，推出AC⊥平面BDM，即可证明AC⊥BD．（2）以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，说明∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，求出平面BB1C1C的法向量，，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD．（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以，，，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），，，，设平面BB1C1C的法向量为，，，则有，又，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22．（12分）已知函数，g（x）＝ln（x+1）﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；（2）若g（x）＜f（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）问题转化为e x＞x+1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为，令，求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）证明：当x＞0时，，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h'（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，∴e x＞x+1．（2）解：由题g（x）﹣f（x）＜0，即，令，易知F（0）＝0，且，要满足题意，必有F'（0）≤0，则1﹣2a≤0，∴，当时，，记，x＞0，＝，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递减，则φ（x）＜φ（0）＝0，即当时，F（x）＜φ（x）＜0，满足题意，综上：．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题。
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考(一)数学试题解析
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考（一）数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}012345A =，，，，，，{}3B x x =<，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}45，B ．{}345，，C ．{}012，，D ．{}0123，，，答案：B由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为UA B ，再利用集合的基本运算即可求解．解：由韦恩图可知，阴影部分表示的元素属于A 且不属于B ， 所以阴影部分表示的集合为UAB ，全集U =R ，集合{}012345A =，，，，，，{|3}B x x =<， {|3}U B x ∴=， {3UA B ∴⋂=，4，5}，故选：B ． 点评：本题主要考查了韦恩图的应用，以及集合的基本运算，是基础题． 2．命题p ：所有高三学子学习态度都是认真的，则p ⌝是（ ） A ．所有高三学子学习态度都是不认真的 B ．有的高三学子学习态度是认真的 C ．有的高三学子学习态度是不认真的D ．学习态度认真的不都是高三学子 答案：C根据全称命题的p ⌝是特称命题，可得出答案. 解：命题p ：所有高三学子学习态度都是认真的。
根据全称命题的p ⌝是特称命题，所以p ⌝是：有的高三学子学习态度是不认真的 故选：C 点评：本题考查全称命题的p ⌝的书写，属于基础题. 3．函数()()1xf x x e =+的极值点是（ ）A ．21e -B ．212e ⎛⎫--⎪⎝⎭， C ．2- D ．1-答案：C先求出函数()f x 导函数，得出函数的单调区间，从而得出函数的极值点. 解：由函数()()1xf x x e =+可得()()2x f x x e '=+令()0f x '>，得2x >-，令()0f x '<，得2x <-，所以()f x 在()2-+∞，上单调递增，在()2-∞-，上单调递减. 所以当2x =-时，()f x 取得极小值. 所以()f x 极值点为2x =-. 故选：C 点评：本题考查求函数的极值点，注意极值点的概念，属于基础题. 4．若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A B C ．2D 答案：A设复数(,)z a bi a b R =+∈，则za bi ，然后将其代入213z z i -=+中可求出,a b 的值，从而可求出z 解：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则za bi ，因为213z z i -=+，所以2()()13a bi a bi i +--=+， 即313a bi i +=+，所以1,1a b ==，所以1z i =+，所以z =故选：A 点评：此题考查复数的加减法运算，考查共轭复数，考查复数的模，属于基础题5．用最小二乘法得到一组数据(),i i x y （其中1i =、2、3、4、5）的线性回归方程为3y bx =+，若5125ii x==∑，5165i i y ==∑，则当8x =时，y 的预报值为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21答案：B求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得b 的值，再将8x =代入回归直线方程可得结果. 解：由题意可得5155ii xx ===∑，51135ii yy ===∑，由于回归直线过样本的中心点(),x y ，所以，5313b +=，解得2b =. 所以，回归直线方程为23y x =+，当8x =时，28319y =⨯+=. 故选：B. 点评：本题考查利用回归直线方程对总体进行估计，考查计算能力，属于基础题. 6．设2log 9a =，0.64b =，0.83c =，则（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<答案：A借助中间变量3及幂函数15 yx=的单调性比较大小.解：2log93a=>，()()1150.605.8436481b c=<===，0.833c=<，a c b∴>>.故选：A点评：本题考查幂指数、对数比较大小，属于基础题.7．已知函数()()y f x x=∈R的图象如图所示，则不等式()1f xx'<-的解集为（）A．()1022⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，，B．()()1113-⋃，，C．11222⎛⎫⎛⎫-∞⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，D．()1122⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭，，答案：D判断函数()f x在各区间上的单调性从而确定导数符号，原不等式可转化为()1xf x'>⎧⎨<⎩或()1xf x'<⎧⎨>⎩，解不等式组即可.解：函数()f x在1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴x∈1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()2,+∞时，()0f x'>；x∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<.()1f xx'<-，()1xf x'>⎧∴⎨<⎩或()1xf x'<⎧⎨>⎩，解得()1122⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭，，.故选：D点评：本题考查根据函数图象判断导数符号，属于基础题. 8．若()828012812x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01237a a a a a +++++=（ ）A ．8832+B ．82C ．83D ．8832-答案：D利用二项式定理可知1a 、3a 、5a 、7a 为负数，0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，可得出0123801238a a a a a a a a a a +++++=-+-++，然后令1x =-可求得所求代数式的值，可以求得882a =，从而求得结果.解：二项式()812x -的展开式通项为()81882,2rrr T C x a +=⋅-=，所以，x 的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数， 即1a 、3a 、5a 、7a 为负数，0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数， 所以()0123801283881213a a a a a a a a a a +++++=-+-+⎡⎤=-⨯-=⎣⎦+. 所以88701230123732a a a a a a a a a a +++++=-+-=-+-，故选：D. 点评：本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中档题目.9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且()10x ∈-，时，()129x f x =+，则()2log 18f =（ ）A ．1-B ．89-C ．1D ．89答案：C由()()22f x f x -=+，则有()()4f x f x =-，结合函数为偶函数可得()()4f x f x =+，所以()f x 是以4为周期的周期函数，利用周期和偶函数的性质可求解出答案. 解：由()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，又()()22f x f x -=+，则有()()()4f x f x f x +=-=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数.2224log 16log 18log 325=<<=则()()28lo 29g 222181log 18log 184log log 988219999f f f f ⎛⎫⎛⎫=-===+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C. 点评：本题考查函数周期的推导，考查利用周期和偶函数的性质求解函数值，属于中档题. 10．甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为,,,A B C D ，所以有景点构成的全集为U ，记集合,,,A B C D 的元素的个数依次为(),(),(),()n A n B n C n D ，则由已知条件可分析得A B C D U ==,()()()1n B C n A D n B D ===，从而可得答案 解：设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为,,,A B C D ， 所以有景点构成的全集为U ，记集合,,,A B C D 的元素的个数依次为(),(),(),()n A n B n C n D ， 则()()()()2n A n B n C n D ====，()4n U =，,,()1A B CD n A C =∅=∅=，则AB C D U ==,()()()1n B C n A D n B D ===，所以每个景点都有2人去， 故选：B点评：此题考查逻辑推理问题，利用了集合进行求解，考查推理能力，属于中档题11．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只能去1个场馆，则不同的安排方法共有（ ） A ．729 B ．726 C ．543 D ．540答案：A由题意可得从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有133C =种，同理可得从6名同学中选第二名到甲、乙、丙三个场馆，也有133C =种方法，由分步计数原理可得答案. 解：解：首先从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有133C =种， 同理可得选第二名同学到甲、乙、丙三个场馆，方法有133C =种，依此类推，由分步计数原理可得6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者共有63=729， 故选：A. 点评：本题主要考查排列组合中的分步计数原理，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题型.12．已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，，，.若函数()()23g x f x mx m =--+有四个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1323e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．1323e -⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1323e ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1323e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：B转化条件得直线23y mx m =+-与函数()f x 的图象有四个交点，作出函数图象，结合导数的几何意义，数形结合即可得解. 解：函数()()23g x f x mx m =--+有四个零点等价于方程()23f x mx m =+-有四个解，即直线23y mx m=+-与函数()f x的图象有四个交点，因为直线23y mx m=+-过定点21,3⎛⎫--⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中作出直线23y mx m=+-与函数()f x的图象，如下图所示，当直线23y mx m=+-过原点时，23m=；当直线23y mx m=+-与函数()()ln1,0y x x=+>的图象相切时，对函数()()ln1,0y x x=+>求导得11yx'=+，设切点为()()00,ln1x x+，则()002ln11311xmx x++==++，解得131x e+=，13m e-=，数形结合可知，当132,3m e-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线23y mx m=+-与函数()f x的图象有四个交点，即函数()g x有四个零点.故选：B.点评：本题考查了函数与方程的综合应用，考查了导数几何意义的应用及数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．函数2xyx x+=-的定义域是______.答案：{|0x x<且}2x≠-.根据函数的表达式其定义域满足的条件为20x x x +≠⎧⎨->⎩ ，解出不等式即可. 解： 由函数2x y +=，则定义域满足：200x x x +≠⎧⎨->⎩解得：0x <且2x ≠-.所以函数2x y +=的定义域是{|0x x <且}2x ≠-.故答案为：{|0x x <且}2x ≠-. 点评：本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题.14．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()11f f '+=______.答案：3-求出导函数，分别将1x =代入原函数、导函数，得到关于()()1,1f f '的方程组，求得()()1112f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩即可得答案. 解：()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()()()()()111'2ln 2412ln 24122f f f x x x f x x f x x x ⎛⎫''=+-⋅+=+-+ ⎪⎝∴⎭ ()()()()()112412121f f f f f '''⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，解得()()1112f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩， ()()113f f '=-+故答案为： 3-. 点评：本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，属于基础题,15．算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518．若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为______.答案：12所拨数字共有124424C C =种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，然后分个位数字为5和个位数字为0两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的概率公式求解即可 解：解：所拨数字共有124424C C =种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有233C =种；当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各拨一颗下珠，有12339C C =种，所以所拨数字能被5整除的概率为391242+= 故答案为：12点评：此题考查古典概型的概率的求法，考查分类思想和计算能力，属于中档题16．定义在()0，+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()11f =且()()21xf x f x x '-<-，则当()01x ∈，时，()f x ______34.（用>，<，≥，≤填空） 答案：≥构造函数()()()210f x g x x xx --=>，由已知，利用导数证明()g x 在()0,∞+单调递减，可得()()1g x g >，进而得()21f x x x >-+，再利用配方法可得结果.解：设()()()210f x g x x xx --=>，()()()()22110xf x f x x xf x f x x -<⇒-'--+<'则()()()()2222()'21(1()0)f x x x f x xf x x g f x x x x x'--+'=----<=()()221f x xg x x--∴=在()0,∞+单调递减， ∴当()0,1x ∈时，()()()()21111111f x x f g x g x ---->===-，即()221233144f x x x x ⎛⎫>-- ⎪⎝+⎭+=≥ 故()34f x ≥， 故答案为：≥. 点评：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题17．设函数()32292f x x ax x =-+--.（1）若3a =，求()f x 在区间[]22-，上的最小值； （2）若()f x 在()-∞+∞，无极值，求a 的取值范围. 答案：（1）6-；（2）22a -≤≤. （1）利用导数可判断[)2,1-为减区间，在[]1,2上为增区间，从而可得极值，进而可得最小值；（2）()f x 无极值，等价于()'=0f x 无解或有两个相等解，利用判别式的符号列不等式求解即可. 解： （1）()32292f x x ax x =-+--，3a =，()32692f x x x x ∴=-+--，()2'3129f x x x ∴=-+-，令()'0f x =，解得121,3x x ==， 当1x <或3x >，()'0f x <， 当13x ≤≤时，()'0f x ≥，()f x 在区间[]22-，上，[)2,1-为减区间，在[]1,2上为增区间， ()()()min 16f x f x f ∴===-极小值；（2）()32292f x x ax x =-+--，()2'349f x x ax ∴=---使()f x 无极值，即使()'=0f x 无解或只有一个解，2161290a ∴∆=-⨯≤，a ≤≤. 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，考查利用函数的极值求参数，属于中档题.18．“云课堂”是一类面向教育的互联网服务，通过网络互动直播技术服务的方式，就可以实现面向全国的高质量的网络同步和异步教学，是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取1000人对“云课堂”倡议的了解程度进行了问卷调查，并对参与调查的1000人的性别以及是否了解“云课堂”倡议情况进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对“云课堂”倡议的了解程度与性别有关系；（2）现按照分层抽样从不了解“云课堂”倡议的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送“云课堂”倡议解读宣传画，求抽取的2人中恰有1人是女性的概率参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：答案：（1）能；（2）815. （1）代入公式计算出2K ，再与10.828比较即可得解；（2）由分层抽样可得抽取的男性、女性人数，再由超几何分布概率公式即可得解. 解：（1）由题意可得()221000400200300100100047.61910.82870030050050021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对“云课堂”倡议的了解程度与性别有关系；（2）由分层抽样的性质可得抽取的男性人数为10062300⨯=，女性人数为20064300⨯=， 则所求概率112426815C C P C ⋅==. 点评：本题考查了独立性检验、分层抽样及超几何分布概率公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60DAB ∠=︒，//AE CF ，AE CF =，CF ⊥平面BCD ，1DC BC AD CF ====.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）若FM EF λ=，是否存在实数λ，使平面MAB 与平面ABC 所成锐二面角为3π？若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析；（2）存在实数3λ=. （1）如图所示的等腰梯形ABCD 中，经过点D C 、分别作DQ AB ⊥、CP AB ⊥，垂足为Q P 、，在ABC 中，利用余弦定理可得3AC =，再利用勾股定理可得AC BC ⊥，进而利用线面垂足的定理即可证明.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面ABM 的法向量(),,m x y z →=，可得00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取平面ABC 的法向量为()0,0,1n →=，利用1cos 32m n m n π→→→→⋅==⋅，即可得出. 解：（1）证明：如图所示的等腰梯形ABCD 中，经过点D C 、分别作DQ AB ⊥、CP AB ⊥，垂足为Q P 、，则CDQP 为正方形，在Rt BCP △中，可得12AQ BP ==，故2AB =， 在ABC 中，利用余弦定理可得3AC =∴222AC BC AB +=，即90ACB ︒∠=，故AC BC ⊥， 又∵CF ⊥平面ABC ，而AC ⊂平面ABC ，即AC CF ⊥，而BC CF C =，BC ⊂平面BCF ，CF ⊂平面BCF ，∴AC ⊥平面BCF ，又//,AE CF AE CF =，则//EF AC ， 故EF ⊥平面BCF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，由FM EF λ=，设(),0,1M λ，故()3,1,0BA →=-，(),1,1BM λ→=-，设平面ABM 的法向量(),,m x y z →=，则00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x y x y z λ-=-+=⎪⎩，取1x =，解得3,3y z λ==，即()3,3m λ→=，取平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n →=，由213cos 32723m n m nπλλλ→→→→⋅-===-+⋅，即236350λλ-+=， 解得3λ=53λ=（舍）， 即存在实数33λ=，使平面MAB 与平面ABC 所成锐二面角为3π.点评：本题考查了空间位置关系、等腰梯形的性质、直角三角形的边角关系、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知抛物线()2:20C y px p =>，Q 为C 上一点且纵坐标为4，QP y ⊥轴于点P ，且12QP QF =，其中点F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点122M ⎛⎫-⎪⎝⎭，，A ，B 是抛物线C 上不同的两点，且满85AM BM k k +=-，证明直线AB 恒过定点，并求出定点的坐标. 答案：（1）28y x = （2）证明见解析 (1) 设()0,4Q x ,根据条件可得00122p x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即02px =，代入抛物线方程，即可求出答案.(2) 设AB 的方程为：x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ,由方程联立可得12128,8y y m y y n +=⋅-，根据128822AM BM k k y y +-=+-，可得32n m =-，从而得答案. 解：（1）设()0,4Q x ，根据抛物线的定义可得02QF p x =+ 又QP y ⊥轴于点P ，则0QP x =12QP QF =，所以00122p x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则02px =所以,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由Q 在抛物线C 上，1622p p =⨯⨯，解得4p =所以抛物线C 的方程为28y x = （2）证明：点122M ⎛⎫-⎪⎝⎭，在抛物线28y x =上. 设AB 的方程为：x my n =+，()()1122,,,A x y B x y由28x my ny x=+⎧⎨=⎩ 得2880y my n --= 12128,8y y m y y n +=⋅-121222121222221111228282AM BM y y y y k k y y x x +++++=+=+----()()121212128328864328222+4816+45y y m y y y y y y n m +--=+===----+-- 所以()()6432581648m n m -⨯=+-⨯，整理得32n m =-将32n m =-代入x my n =+得32x my m =+-，即()23x m y +=+.所以直线AB 恒过定点()23--，点评：本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题.21．为了提高学生复习的效果，某中学提出了两种学习激励方案，其中甲方案：课前提前预习并完成同步小练习可以获得70分，课前提前预习但没有完成同步小练习可以获得10分，课前没有提前预习也没有完成同步小练习则扣除20分（即获取20-分），其中对学生调查发现甲方案中三种情况的概率分别为16、13、12；乙方案：每天多做一套试题则获得80分，若不能按时多做一套试题则扣除20分（即获取20-分），若每天多做一套试题的概率为()01p p <<，每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖. （1）若14p =，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由； （2）当p 在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？答案：（1）选择乙方案，理由见解析；（2）1,14⎛⎫⎪⎝⎭.（1）记事件:A 学生参与两次甲方案获得奖品，记事件:B 学生 参与两次乙方案获得奖品，并设学生参与两次甲方案后获得的分数为X ，设学生参加两次乙方案后获得的分数为Y ，计算出事件A 和事件B 的概率，由此可得出结论；（2）求出随机变量X 和Y 的数学期望，由已知条件得出()()E X E Y <，可得出关于p 的不等式，解出即可. 解：设学生参与两次甲方案后，获得的分数为X ，设学生参与两次乙方案后，获得的分数为Y .（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有：140、80、50、20、10-、40-， 当X 取140、80、50、40时，学生参与两次甲方案获得奖品，()211140636P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()111802639P X ==⨯⨯=，()111502626P X ==⨯⨯=，()2112039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，()()()()()514080502012P A P X P X P X P X ==+=+=+==. 随机变量Y 的可能取值有：160、60、40-， 当Y 取160、60时，学生参与两次乙方案获得奖品. ()211160416P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()133602448P Y ==⨯⨯=，所以，()()()71606016P B P Y P Y ==+==. ()()P A P B <，因此，当14p =时，学生选择乙方案更容易获得奖品；（2）由题意可得()111102323P X =-=⨯⨯=，()2114024P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()11111114080502010401036960934E X =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=. 由题意得()2160P Y p ==，()()6021P Y p p ==-，()()2401P Y p =-=-，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，()()()22160120140120040E Y p p p p p =+---=-. 由题意可得()()E X E Y <，即2004010p ->，解得14p >，又01p <<，则114p <<. 因此，p 的取值范围是1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点评：本题考查利用独立事件的概率公式计算事件的概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题. 22．已知函数()ln nf x x mx x=--，其中0m >，0n >. （1）当1n =时，()f x 在[]1,2上是单调函数，求m 的取值范围；（2）若()f x 的极值点为0x ，且()()()1212f x f x x x =≠0x <. 答案：（1）304m <≤或2m ≥；（2）证明见解析； （1）()f x 在[]1,2上是单调函数，利用其导数在此区间内的函数值恒正或恒负即可求m 的范围；（2）由极值点的导函数为0，有20011m x nx n +=即得201mx n<，又()()()1212f x f x x x =≠知112212ln()()x nm x x x x x =--0x <； 解：（1）当1n =时，1()ln f x x mx x =--，故211()f x m x x'=+-， [1,2]x ∈，令11[,1]2t x =∈，则由题意，若2()g t t t m =+-有对称轴12t =-，g t 在1[,1]2t ∈上恒正或恒负即可，∴102g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭或()10g ≤，解得：304m <≤或2m ≥；（2）由题意：21()n f x m x x'=+-且(0,)x ∈+∞，又()f x 的极值点为0x ，且,0m n >， ∴02001()0n f x m x x '=+-=，即20011m x nx n +=，故有201m x n<， 而()()()1212f x f x x x =≠知：112212ln =ln n nx mx x mx x x ----，有112212ln()()x nm x x x x x =--即知：12n x x m<，∴2120x x x <0x 得证. 点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性，并由单调性恒正或恒负求参数范围，以及根据零点与导数的关系、已知等量关系证明不等关系；。
2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考(四)数学试卷含详解
所以 ，
解得： ，当n=1适合
因 ，
所以
，
又因为 是单调递增数列，
所以有 ，对任意的正整数 ，都有 ，
所以 ，
故选：C
8.已知函数 的定义域为 ，对任意大于 的实数 ，都满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性判断出 的大小关系.
A. B. C. D.
6.在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（）
又 ，则2023年的天干是癸
又 ，则2023年的地支是卯
所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯
故选：D7.已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，都有 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意累加法求得 ，再根据裂项相消求和解决即可.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作椭圆 的切线 ，与直线 、直线 分别交于 ， 两点，求 面积的最小值.
重庆市巴蜀中学2021届高三适应性月考(十)数学试题
（2）若数列 的通项公式为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
19.前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表：
年份代号x
1
2
3
4
5
6
保有量y（万辆）
1
1.8
2.7
4
5.9
9.2
（1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望；
A.31B. C.32D.
【答案】B
5.观察一枚均匀 正方体骰子，任意选取两个面的点数，点数之和正好等于8的概率为（）
A. B. C. 点M到原点O距离的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
7.如图，四边形ABCD满足： ．若点M为线段BD上的动点，则 的最小值为（）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数 （i为虚数单位）的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
2.集合 ．集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 为空间中两个不同的平面，c为平面 内一条直线，则" "是" "的（）
A.若数据 ，方差 ，则所有的数据 相同
B.若数据 ，的均值为3，则数据 的均值为6
C.若数据 ，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据不大于90
D.若数据 ， 众数为78，则可以说总体中的众数为78
【答案】AC
10.已知实数a，b，c，则下列命题为真命题的是（）
数学-重庆市巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)(期中)数学试题(原卷版)
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)数 学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则M ∩N =（ ） A.[0 6) B. C. [3, 6) D.[0, +∞)2.函数的定义域是（）A. B. C. D.3.在中， D 为AC 上一点且满足 若P 为BD 的中点，且满足 则的值是（）A. B. C. D. 4.已知变量x ，γ呈线性相关关系，回归方程为，且变量x ，y 的样本数据如下表所示 x-2-10 1 2 y 5 4 m2 1 据此计算出在时，预测值为-0.2，则m 的值为（ ）A.3B.2.8C.2D.15.已知数列满足且，则（）A.3B.C. -2D. {|26},{|3}M x xN x y =-<<==-,(2,)-+∞()f x =[1,4][1,4)[1,)+∞[2,4)ABC 12AD DC = ，AP AB λ=+ AC μ ，λμ+16123423ˆy x a=-+3x ={}n a 1122n n n a a a ++-=⋅，13a =2023a =12436.若，则（）A. B. C. D.7.已知 Q 为抛物线 C :上的动点，动点 M 满足到点A (2，0)的距离与到点F (F 是C 的焦点)的距离之比为则|QM |+|QF |的最小值是（ ） A. B.C. D. 4 8.若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a 的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)A.4B.5C.6D.7二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知等差数列{}的前n 项和，则下列选项正确的是（）A.B. C.当取得最大值时D.当取得最大值时10.函数的最小正周期，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于点中心对称C.在上最小值为D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象11.设函数的导函数为， 且满足，则下列说法正确的是（）π3tan 124α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πsin 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭=35-725-1825725²4y x =3-44()ln ²10x x x a x a +-++≤n a 2161n S kn n k =+++1k =-172n a n =-n S 8n =n S 9n =()()2sin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭ππT =2ω=()f x 5π1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦32-()f x 6π()1sin 32g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π()f x ()f x '()()()21102x x f x f f x -'=+-eA. B. C. D. 12.已知平面向量a ， t 满足则下列说法正确是（ ）A.B.若则的最大值为C. 若向量满足则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知复数z 满足， 则________.14.已知向量，且，则________. 15.已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k 的取值范围是________.16.已知△ABC 的面积为1，且AB =2BC ，则当AC 取得最小值时， BC 的长为________.四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知等差数列的前n 项和为 ，且满足（1）求数列通项公式;（2）若数列满足 求数列的前n 项和. 18.在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 且 . （1）求角A 的大小;（2）若，且，求的周长. 19.第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A ，B ，C 三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是. ()01f =()1e f '=()0f x '≥()1f x ≥()214a b a a b ==⊥- ，，，的()R a tb t -∈ 22125m n +=，ma nb + c ,230c a c b --=︒ ，c 2+c ,230c a c b --=︒ c ()1i 15i z -=+||z =()()1,3,1a t b ==-, ()2+⊥ a b b cos a b 〈〉=, n a 11232n n a a a +==+，1n ≥(1)23n k a n +≥-{}n a n S 3355,a S a ==.{}n a 的{}n b 2n a n n b a =+，{}n a n T ABC ()()2²²sin sin a c C bc cB -=-2a =ABC ABC 1223（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大.20.数列的前n 项和，已知，，k 为常数.（1）求常数k 和数列通项公式；（2）数列的前n 项和为，证明： 21.已知椭圆C :的左、右焦点分别为，椭圆C 上一动点A 在第二象限内，点A 关于x 轴的对称点为点B ，当AB 过焦点时，直线过点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点B 与焦点所在直线交椭圆C 于另一点P ，直线AP 交x 轴于点T ，求面积最大时，点A 横坐标的值.22.已知函数. （1）若求曲线f (x )在处切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求a 的取值范围.n a n S 214a a =+()2n n S na n k n *=++∈N {}n a 的1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 4133212n T n -≤<+.()222210x y a b a b+=>>()()121,01,0F F -,1F 2AF 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2F TAB △()()()222e e ln 2e x x x f x ax a x x x ---=+--+-+0a =，1x =的2e x x ->()0f x ≤。