《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析

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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题

1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5

线性二次型最优控制

❖ 正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t) 的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp

4.1 线性二次型最优控制

(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)

• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )

第4章线性二次型最优控制

由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n，即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能，可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可以将 Q(t)逐渐取大。二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得到的最优控制规律也是完全不一样的。（4）线性二次型最优控制问题的三种类型依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为如下三类： I. 状态调节器问题此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题

线性二次型讲解

(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接利用式（12）求解，涉及矩阵求逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )

【线性系统课件】线性二次型最优控制问题

则上式写成
A A12 x1 B1 x 11 1 u A 21 A22 x2 B2 x 2 x1 y I q 0 x1 x2

因此, 只需再估计出x2 , 则x 已知, x可得. 只需对x2构造(n q)维状态观测器 , 对x2而言, 是全维状态观测器 .
闭环系统为

x [ A BR1BT P]x
仍保持为定常系统。
对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR1BT P] 的所有特征值均具负实部。可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。
证明：选取Lyapunov函数
V ( x) xT Px x ( A BR1 B T P ) x V ( x) x Px x P x
1 T x0 P (0) x0 , x0 0 2
证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。
1 T 1 T x (t f ) P(t f ) x(t f ) x (0) P(0) x(0) 2 2 1 tf d T [ x P(t ) x]dt 0 2 dt 1 tf T T T [ x P(t ) x x P(t ) x x P(t ) x]dt 2 0 1 tf T T {x [ A P(t ) P(t ) P(t ) A]x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx xT P(t ) BR1 B T P(t ) x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx u T Ru [u R 1 B T P(t ) x]T R[u R 1 B T P(t ) x]}dt 2 0

最优控制教案第四章线性二次型性能指标的最优控制问题

许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。

设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。

上式中系数21是为了简化计算。

指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。

(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。

(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。

线性二次型问题的最优控制

若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ，因此，系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x

最优控制应用基础-第四章

R ，
1 ，Riccati方程为
p 11 ( t f ) 0 , p 12 ( t f ) 0 , p (t ) S , 1 22 f
p 12 p 22
p 11 p 12 0 , 故有 u * 1 R 1TB T P ( t ) X ( t ) T P ( t ) P( t ) A ( t ) A ( t ) P( t ) P( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P( t ) Q ( t ) 1 1 p 22 , x 2 (t ) t f t 1 S1 t t 1 S
Q ( t ) x ( t ) A ( t ) P( t ) x ( t )
T
得黎卡提(Riccati)矩阵(P(t)是对称时变矩阵)微分方程
T 1 T P ( t ) P( t ) A ( t ) A ( t ) P( t ) P( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P( t ) Q ( t )
J 1 2 S 1 x 2 (t f )
2
1 2

tf
u dt
2
t0
取极小。解
p 11 P p 12
0 A 0 1 0 0 ，B ， Q 0 1
2 p 11 p 12 , p 12 p 12 p 22 p 11 , p p2 2 p , 22 12 22
第四章线性最优控制
线性最优控制问题，它研究的受控对象是线性的，性能指标是关于状态矢量和控制矢量的二次型函数，因此，又称做线性二次型问题。线性二次型问题在现代控制理论中占有重要地位，它是卡尔曼在20世纪60年代初提出和解决的。线性二次型问题能够避开求解一般最优控制问题时经常遇到的非线性两点边界值问题，得到闭合形式的解析解，而且求出的最优控制是统一的状态变量的线性函数，可以利用反馈方法来构成闭环控制，在工程上易于实现。它在理论上也很重要，有许多控制问题可以作为线性二次型问题来处理。尤其是需要综合考虑各种设计参数的关系时，线性二次型问题可以把一些相互矛盾的要求统一在一个性能指标中，求得系统的总体最优性。线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。

最优化控制线性二次型最优控制问题

用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J

1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0

二次型性能指标的线性系统最优控制

(10-17)
将式（8－12）、式（8－16）代入式（8－17）
(t ) [ P (t ) P(t ) A(t ) P(t ) B(t ) R 1 (t ) B(t ) P(t )]x (t ) (10-18)
将式（8－16）代入式（8－9）
(t ) [Q(t ) AT (t ) P(t )]x (t )
(10-15)
由于横截条件中 x (t f ) 与 (t f ) 存在线性关系，而正则方程又是线性的。因此可以假设，在任何时刻 x 与均可以存在如下线性关系；
( t ) P( t ) x ( t )

(10-16)
对式（10-16）求导
(t ) P (t ) x (t ) P(t ) x (t )
1 T e (t )Q (t )e(t ) 代表整个过程中误差 e(t ) 的 2
矩阵 F Q(t ) R(t ) 则是用来权衡各个误差成分及控制分量相对重要程度的加权阵。这里，Q 及 R 可以是时间函数，以表示在不同时刻的不以加权。
因此，二次型性能指标的最优控制问题实质上是：要求用较小的控制能量来获得较小误差的最优控制。
根据等号两边矩阵的对应元素就相等，可得下列方程：
11 1 1 p11 p22 p21 p
2 22 2 p12 p22 p
已知为p 对称矩阵，故 p12 p21 ，上式可变成：
2 11 1 p12 p 12 p11 p12 p22 p 2 22 2 p12 p12 p
最求最优控制 u (t ) ，使性能指标 J 为最小。
解:
本例相应的具有关矩阵为：
0 1 0 A ,B 0 0 1 1 0 F 0, Q ,R 1 0 0

线性二次型最优控制问题

线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。

1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距离加权平方和. 整个性能指标物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统终端跟踪误差综合最优。

二次型最优控制问题

二次型最优控制问题标题：二次型最优控制问题在控制理论中，二次型最优控制问题是一个经典的研究领域。

它涉及到在最小化特定成本函数的同时，通过合适的控制策略来实现系统的最优性能。

本文将介绍二次型最优控制问题的基本概念、数学模型和解决方法。

首先，二次型最优控制问题的核心在于寻找一个最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最小化。

这个性能指标通常由一个二次型成本函数来表示，其中包含了系统状态和控制输入之间的关系。

通过对该成本函数进行最小化，可以获得最优的控制策略。

其次，针对不同的系统，可以建立相应的数学模型来描述二次型最优控制问题。

这些模型通常采用微分方程或差分方程的形式，用于描述系统状态的动态演化规律。

在建立模型的过程中，需要考虑系统的物理特性以及所需达到的控制目标。

解决二次型最优控制问题的方法有多种，其中最常用的是最优控制理论中的动态规划方法。

动态规划方法基于贝尔曼方程，通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略。

此外，还有其他方法如最优化理论、线性二次调节器和广义预测控制等可以用于处理二次型最优控制问题。

需要注意的是，在实际应用中，二次型最优控制问题可能面临一些挑战和限制。

例如，系统模型可能存在不确定性，或者控制器的设计需要考虑到实时性和鲁棒性等因素。

因此，在解决问题时需要综合考虑这些因素，并根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，二次型最优控制问题是一个重要的研究领域，它涉及到在最小化成本函数的同时实现系统最优性能的控制策略。

在解决该问题时，需要清晰的思路，流畅的表达，并避免包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。

文章的标题要与正文内容相符，不能包含广告信息或侵权争议。

文章正文要避免敏感词或其他不良信息，并确保语句完整，段落连贯。

chap4_线性二次型最优控制问题

2019/3/9
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系统系课件
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1）在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实现对U(t)的限制。（2）在定义问题时，也没有直接提出对终态X(tf)的要求。实际上，对终态的要求，是利用性能指标的终端代价来反映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明期望终态X(tf) 尽量靠近误差信号e(t)=0所对应的状态。
2019/3/9
12
系统系课件
§4.2 有限时间的状态调节器问题
问题4.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t ) AX (t ) BU (t ) （4.2.1） X (t0 ) X 0 其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A是nn常数矩阵， B是nm常数矩阵。性能指标是
说明：
（1）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（4.1.1）、（4.1.2）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。
2019/3/9 6
系统系课件
系统系课件
第四章线性二次型最优控制问题
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系统系课件
主要内容

§4.1 线性二次型最优控制问题的提法 §4.2 有限时间的状态调节器问题 §4.3 无限时间的状态调节器问题 §4.4 输出调节器问题 §4.5 跟踪问题 §4.6 具有指定稳定度的最优调节器问题 §4.7 在阶跃干扰作用下的状态调节器问题 §4.8 带有观测器的最优调节器问题课外习题

线性二次型最优控制

线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。

线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。

本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。

首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。

实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。

线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。

其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。

实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。

基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。

此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。

最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。

在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。

只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。

总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。

本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。

线性二次型最优控制..

一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。

特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。

优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。

但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。

组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。

二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。

锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。

示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。

关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。

线性最优控制

Φ 11[t f , t ] Φ 12 [t f , t ] Φ[t f , t ] = Φ 21[t f , t ] Φ 22 [t f , t ]
再将方程(4。1—7)展开，得到下面两个方程：
x(t f ) = Φ 11 [t f , t ]x(t ) + Φ 12 [t f , t ]λ (t )
P T (t ) = P(t )
PT (t ) = F
P (t f ) = F
件得出的。下面我们来证明这个结果也是充分的，并且性能指标的最小值为 1 T
J = 2 x (t 0 ) P (t 0 ) x (t 0 )
由矩阵和向量求导法则，有
d dt
ɺ ɺ ɺ [ x T (t ) P (t ) x (t )] = x T (t ) P (t ) x (t ) + x T (t ) P (t ) x (t ) + x T (t ) P (t ) x (t )
H [ x (t ), u (t ), λ (t ), t ] = 1 x T (t )Q (t ) x (t ) + 1 u T (t ) R (t )u (t ) 2 2 + λT (t )[ A(t ) x (t ) + B (t )u (t )]
伴随方程是
ɺ λ (t ) = −
∂H = −Q (t ) x (t ) − AT (t )λ (t ) ∂x
ɺ P(t ) = − P(t ) A(t ) − AT (t ) P(t ) + P(t ) B(t ) R −1 (t ) B T (t ) P(t ) − Q(t )
(4·1—17) 这是一个非线性时变矩阵微分方程，称为黎卡提(Reccati)方程

《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析