研究生数值分析习题
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
东华大学研究生数值分析试题
东华大学研究生数值分析试题(笔试部分)班级 _______ 学号 ________ 姓名 ___________ 得分 _________ 一、 由f(x) =3x 在0，1,-1的值分别按不同要求计算3 3的数值解 (计算过程均保留2位小数，其中“ 1” “2”需估计结果有几位有效数字) 1、1、按f(x)在0，1，-1处的值由分段线性插值计算; 2、2、按f(x)在0,1处的值及f(0)9n3“.10由二阶Hermite 插值计算;3、3、按f (x)在0，1, -1处的值由直线拟合计算;1J3x xdx 茫 0.83 4、4、由［-1，1］上一次平方逼近多项式计算(取 」 )的二阶导数且满足P( 2)=°;22、由“ 1” 当 f(x)满足 f(1)二 P(1),f(2) =P(2),f '(1) = P '(1)时求的数 值解及对应余项1f (x)dx ： Af (0) Bf (1) Cf ' (1)bf (x) dx2、由(*)导出解a的数值积分公式并由此公式将［0，1］ n 等分导出解1f(x)dx的复化求积公式并求 Cond ：：(A)；2、由三角分解A=LU 解AX=B ，、1、求a 及不超过二次多项式P(x)使S(x)0_x_ 1仁x±2具有连续三、1、求A ，B ，C 使 度;(*)至少有2次代数精四、1、由选主元Gauss 消去法解AX=B ，其中z-3 0 0 ' \ ,A = 1 1-2,B = 1「-21』A 二其中 并写出对应“消去法”的3 | 2五、 1、讨论求X 3 -3x 2 •仁0在［2.5,3］上根的迭代格式X k 1「3X k - 1（**）的合 理性并由迭代收敛定理讨论（**）的收敛性；2、写出（** ）的“迭代一加速”格式并讨论加速效果。
^y = f （x, y ）六、 1、求a i,a2使解 ,&0）=丫0 （ *** ）的显式差分格式y n+ = yn +h （aK 七2心）K = f （X n , y n ） 2 =f （Xn+襄丫广昨）Z 二f X 哼几+爭K ）有二阶精度；2、写出“ 1”中格式与隐式差分格式y n^ynl［f （Xn，y n ）f （xn 1,yn1）］联合解（*** ）的“预报一较正”格式1"a "■b 0、1,L =,U =,B =3 4丿<0 1<cJ 丿“回代”过程。
数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
研究生数值分析习题
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。
（即Gauss 型求积公式）2. 已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3f x dx f f f ≈++⎰ ，则其代数精度为______。
3. 数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9f x dx f f f -≈-++⎰的代数精度为_________。
4. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。
5. 在Newton-Cotes 求积公式：()()()()nbn i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。
()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥6. 若用复化梯形公式计算10x e dx ⎰，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。
7. 对于Gauss 型求积公式31()()()bk k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）31()k k k A f x b a ==-∑；（C ）该求积公式的代数精度为5；（D ）2(35)()()0ba x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中31()()k k x x x ω==∏-。
8. 0{()}k k x ϕ∞=是区间[0,1]上权函数()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则140()_______x x dx ϕ=⎰。
9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰10. 数值积分公式形如1()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4()[0,1]f x C ∈，推导余项公式10()()()R x xf x dx S x =-⎰，并估计误差。
硕士研究生数值分析试卷
数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。
7.（10分） 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
研究生《数值分析》练习题(1)
硕士研究生 《数值分析》练习题一、判断题1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。
（ ）2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。
（ ）3、若n n A R ⨯∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。
（ ）4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。
（ ）二、填空题1、近似数 3.14108937a =关于π具 位有效数字。
2、双点弦截法具有 阶收敛速度。
3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。
4、设2112A ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，则()A ρ= 。
5、设,0,1,2,3i x i =是插值基点，,0,1,2,3i l i =是对应的三次Lagrange 插值基函数，则()()33012i i i x l =-=∑ 。
6、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。
7、若()8754321f x x x x =+-+，则差商[]0,1,2,,8f = 。
8、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是y = 。
三、分析与计算题1、设()14,2,3515TA x -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。
2、1001012,20253A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，试计算pp xA ,，p=1,2,∞，和1)(A c o n d 。
3、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中122111221A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
4、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中2-11=11111-2A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
5、已知函数表如下:⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。
研究生数值分析练习题答案
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。
2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。
3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。
4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。
5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。
8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。
10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。
研究生考试数值分析试题
研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀（12分）、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。
（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上⾯算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。
⼆（12分）、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进⾏分析。
三（12分）、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整⽅程的排列顺序，使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。
（2）取初始向量()()Tx 0,0,00=，⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x，并求其()()k k x x-+1误差。
四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其⼆次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最⼩，此时⼈余项为多少？五（12分）、对于⽅程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出⽜顿迭代公式。
六（10分）、设()?=>+-='100,5y x x y y ，解析解xe x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进⾏分析。
七（10分）、设()x e x f =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析⽐较。
⼋（10分）、求不超过2次的多项式()x P 2，使其满⾜条件：()21=f ，()32=f ，()12='f ，并写出其误差估计。
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
数值分析习题答案_东南大学研究生课程
f ( x) = 1 − x ，求 f ( x1 ) 的绝对误差限和相对误差限。
解： x1 = 0.937
e( x1 ) ≤
1 × 10 − 3 2
1 × 10 − 3 e( x1 ) 2 = 0.534 × 10 − 3 er ( x1 ) = ≤ 0.937 x1
f ( x ) = 1 − x , f ′( x) = e( f ) ≈ f ′( x )e( x ) = −
1 1 1 1 1 ⋅ e( x1 ) ≤ × × × 10 − 3 2 1 − x1 2 1 − 0.937 2
er ( f ( x1 )) ≈
= 0.00397 = 3.97 × 10 −3 5. 取
2.01 ≈ 1.42 ，
2.00 ≈ 1.41 试 按 A = 2.01 − 2.00 和
A = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) 两种算法求 A 的值，并分别求出两种算法所
1 er ( R) ≤ × 10 − 2 3
7.有一圆柱，高为 25.00 cm，半径为 20.00 ± 0.05 cm。试求按所给数据计
算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) V ( R ) = πR 2 h
er (V ) ≈ V ′( R ) ⋅ R R er ( R ) = 2πhR ⋅ 2 er ( R ) = 2er ( R ) V πR h
(3) x1 = 2.747 e( x1 ) ≤
x2 = 6.83
x1 x2 = 18.76201,
1 1 × 10 − 3 , e( x2 ) ≤ × 10 − 2 2 2
e( x1 x2 ) ≈ x2 e( x1 ) + x1e( x2 ) ≤ x2 e( x1 ) + x1 e( x2 )
数值分析研究生复习题例题
迭代格式发散。
11
-1
2 -1
-2
-1/3
43
2
4/3
三次Newton插值多项式为
三阶差商 1/3
1
1
N3(x) 3-(x 1) 3 (x 1)(x 1) 3 (x 1)(x 1)(x 2)
或 用 Doolittle 分解法
例7:用矩阵的直接三角分解法解方程组
2 4 6 x1 3
4
9
2
x2
5
1 1 3 x3 4
例5设Ax b的系数矩阵
9 3 2 A 1 8 4
3 2 6
分别写出解方程组Ax b的Jacobi、Gauss Seidel和超松 弛迭代公式(=1.05)，并判断解Ax b的Jacobi迭代法
和Gauss Seidel迭代法的收敛性。
解： 迭代法略. 因为 | a11 | 9 | 2 | | 3 |，| a22 | 8 | 1 | | 4 |，
| a33 | 6 | 3 | | 2 | 即 A是严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代法和 Gauss Seidel迭代法收敛。
例 6 已知x=-1, 1, 2, 4对应的函数值为y=3, 1, -1, 3，
作三次Newton插值多项式.
• 解 首先构造差商表
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 -1 3
13
2 4 6 1 0 0 2 4 6
解：
4
9
2
2
1
0
0
1
10
1 1 3
1
1
1
0
0
10
2
(1)解方程组
（2）解方程组
1
2
0 1
研究生《数值分析》复习题
1 1 1 ⩽ ∵ ∗ < ∗ S S − x∗ M i ( 3 ) 1 4 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ · |xi − xi | 4 M i=1 ( 3 ) 1 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ |xi − xi | M i=1
(k = 0, 1, · ·· , n − 2)
类似地，由 (n − 1) 次多项式 y = xn−1 可证明
′
求三次样条插值 M0 , M1 , M2 , M3 满足的方程组 M x = b. 第一种边界条件的三弯矩方程 x0 ̸= x2 2 1 M0 0 x0 + x2 x1 ̸= 2 0.5 2 0.5 M1 = −3 0.5 2 0.5 M2 −3 3、设 xi = i + 1 (i = 0, 1, · · · , n − 1)，f (x) 为首项系数为一的 1 2 M3 18 n 次多项式，Rn−1 (x) 为其在上述结点上的 (n − 1) 次插值多 项式的余项，求证：|Rn−1 (0)| = |Rn−1 (n + 1)| = n! 7、利用表中数据求方程 x − e−x = 0 的根： |Rn−1 (x)| = f (n) (ξ ) n! ωn (x) = ωn (x) = |ωn (x)| n! n! |Rn−1 (0)| = |ωn (0)| = n! |Rn−1 (n + 1)| = |ωn (n + 1)| = n! 4、令 Vn (x) = Vn (x0 , x1 , · · · , xn−1 , x) 1 1 . = . . 1 1 x0 x1 . . . xn−1 x x2 0 x2 1 . . . x2 n−1 x2 ··· ··· .. . ··· ··· xn 0 xn 1 . . . xn n−1 xn x e
13级研究生数值分析习题
13级研究生数值分析习题第一章 误差及相关问题内容及纲目：1） 舍入误差和截断误差2） 绝对误差和相对误差3） 误差的传播和计算函数值4） 算法的数值稳定性5） 计算中需要注意的问题1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。
3.的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。
4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。
4. 227作为=3.1415926π有几位有效数字? 5. 误差的来源?计算中需要注意的几个问题.第二章 函数插值内容及纲目：1） 插值多项式的存在性与唯一性2） 插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距节点的插值）3） 带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法4） 差分和差商的定义、性质和联系5） 三次样条插值公式及误差估计1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。
2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。
3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1).)(x H 是不超过三次的多项式；2). ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。
4. 构造 不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 bx a x f ≤≤|)(''|max 。
哈工大研究生数值分析试题及答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题及答案1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代：3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+2001023634x x x x ++==+2112123634x x x x ++==+2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+10210211203203130130J a B a a a -----=--=-- ? ? ? ? ? ???123a b g a b a b -??=迭代矩阵J B 的特征⽅程：021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ-----=+-=-=即：3()14()0a a λλ+=特征根：0,aλλ==±谱半径：()1J B aρ=< 时Jacobi 迭代收敛故：a >3. 设（1）⽤Crout 三⾓分解法求解⽅程组 12323251034133619x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
西安理工大学研究生《数值分析》复习题
1 1 1 2 1 3 1 x1 1 x 六 求解矛盾方程组 2 5 2 2 1 x3 2 3 1 5
七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
2 1 5 10．设 A 3 1 4 ，则 || A ||1 2 7 8 2 x1 2 x2 3x3 12 二 给定线性方程组 4 x1 2 x2 x3 12 x 2 x 3x 16 2 3 1
1. 用列主元消元法求解所给线性方程组。 2. 写出 Gauss－Seidel 迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。 三 设 M 2 Span 1, x 四 对于积分
. 试在 M
2
2
中求 f ( x) | x | 在区间 [1,1] 上的最佳平方逼近元。
1
0
1 1 4 f ( x)dx ，若取节点 x0 , x1 , x2 , 试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求 5 2 5
e
0
1
x
dx 的值。
五 给定方程 x Lnx 2 0 （1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间； （2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。 六 已知观测数据（1，-5） ， （2，0） ， （4，5） ， （5，6） ，试用最小二乘法求形如 ( x) ax 七 已知初值问题 y ax b, y(0) 0 有精确解 y ( x)
x4 y4 . .
y m0 m1 m2 m3 m4 则可利用 插值，其插值多项式的次方为 3 2 4.设 f(x)=3x +2x +1,则差商 f [0,1,2,3,4]=
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析习题答案 东南大学研究生课程
(3) x3* = 23.4213
x3 = 23.4604
x3* − x3
=
23.4213 − 23.4604
= 23.4604 − 23.4213 = 0.0391 ≤ 1 ×10−1 2
x3 具有 3 位有效数字， x3 → 23.4 (不能写为 23.5)
(4)
x4*
=
1 3
， x4 = 0.3333
e( x1 )
+
e(x2 )
≤
e( x1 )
+
e(x2 )
≤
1 2
× 10 − 4
+
1 2
× 10 − 3
=0.00055
x1* + x2* ∈[1.0532 − 0.00055，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]
(2) x1 =23.46， x2 = − 12.753
x7* = 0.96 ×10−3 x7* − x7 = 0
x7 精确
(8) x8* = −8700 x8 = −8700.3
x8* − x8
= 0.3 ≤ 1 ×100 2
x8 具有 4 位有效数字， x8 = −8700 精确
2.以下各数均为有效数字：
(1) 0.1062 + 0.947;
(2)23.46―12.753;
（5） x5* ＝23.496，
x5 ＝23.494；
（6） x6* ＝96×105 ， （7） x7* ＝0.000 96，
x6 ＝96.1×105 ； x7 ＝0.96×10−3 ；
（8） x8* ＝－8 700，
x8 ＝－8 700.3。
郑州大学研究生课程数值分析 第三章习题
郑州大学研究生课程（ 2012-2013 学年上学期 ）
数值分析 Numerical Analysis
-0.25 1.4392 1.00 4.2836
2.0003
用一次、二次、三次多项式及最小二乘原理拟合这些数据，并写出正规方程组. 3. 用最小二乘原理求一个形如 y = a + bx 的经验公式，使与下列数据相拟合.
2
x y
19
19.0
25
32.3
31
49.0
38
73.3
44 97.8
4. 用最小二乘原理求一个形如 y = Ae 的经验公式，使与下列数据相拟合.
第三章
⎧ x1 − x2 = 5 ⎪ 1. 求 ⎨ x1 + x2 = −4 的最小二乘解. ⎪2 x − 2 x = 10 2 ⎩ 1
2. 给出数据
习
题
x y x y
0
-1.00 -0.2209
-0.75 0.3295 0.25 2.5645 0.50 3.1334
-0.5 0.8826 0.75 3.7061
Bx
x y5. 给出实验数据Fra bibliotek1 60
2 30
2 20
4 15
x y
6
4.6
8
4.8
10
4.6
12
4.9
14
5.0
16
5.4
18
5.1
20
研究生《数值分析》试题
数值分析试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。
332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。
六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。
七．（10分）根据已知函数表：建立不超过三次的Newton 插值项式。
八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。
九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。
10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。
（即Gauss 型求积公式）
2. 已知数值求积公式为3
11
()[(1)4(2)(3)]3
f x dx f f f ≈++⎰ ，
则其代数精度为______。
3. 数值积分公式1
'12
()[(1)8(0)(1)]9
f x dx f f f -≈-++⎰的代数
精度为_________。
4. 要使求积公式1
110
1
()(0)()4
f x dx f A f x ≈
+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。
5. 在Newton-Cotes 求积公式：()
()()()n
b
n i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰
中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。
()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥
6. 若用复化梯形公式计算1
0x e dx ⎰，要求误差不超过6
10-，利
用余项公式估计，至少用______个求积节点。
7. 对于Gauss 型求积公式3
1
()()()b
k k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中
()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）3
1()k k k A f x b a ==-∑；
（C ）该求积公式的代数精度为5；
（D ）2
(35)()()0b
a x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中3
1
()()k k x x x ω==∏-。
8. 0{()}k k x ϕ∞
=是区间[0,1]上权函数
()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则1
40()_______x x dx ϕ=⎰。
9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
1
010
1
()()(1)2
xf x dx A f A f ≈+⎰
10. 数值积分公式形如
1
()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰
（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4
()[0,1]f x C ∈，推导余项公式1
0()()()R x xf x dx S x =-⎰，
并估计误差。
11. 用8n =的复化梯形公式和复化Simpson 公式计算
1
x e d x -⎰
时，
（1）试用余项估计其误差； （2）计算积分的近似值。
12. 选取5个等距节点的函数值，分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算积分1
2
04x
dx x
+⎰的近似值（小数点后保留4位）。
13. 利用复化Simpson 公式计算积分1
0sin x
dx x
⎰的近似值，要求误差不超过50.510-⨯。
14. 取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算积分2
2
1
12dx x
+⎰的近似值（保留4位小数）。
15. 证明：高斯（Gauss ）型求积公式0
()()n b
k k a k f x dx A f x =≈∑⎰中的求积系数i A 可表示为：
2()()b b
i i i a
a
A l x dx l x dx ==⎰⎰
其中()i l x 是n 次拉格朗日(Lagrange )插值基函数，即
()(),0,1,2,,()
n
j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏。