数学广角总复习

一、各学段数学广角内容

（一）找规律

一、找出下面各题的排列规律，再在（ ）里填上适当的数。 （１）、４、７、１０、１３、１６、（ ）、（ ） （２）、２、４、７、１１、１６（ ）、（ ） （３）２、３、５、８、（ ）、１７、２３、（ ）

（４）２、４、８、１４、２２、（ ）、４４、（ ） （５）、１、１、２、３、５、８、（ ）、２１、（ ） （６）、（ ）３０、（ ）、１４、９、６、５、 二、填空

1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第

100个图中有__________个小圆圈．

（1） （2） （3）

2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅

图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．

3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.

1 2 3

n

…

…

…

4、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其

中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共 有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．

5、 观察下列各式：

3211= 332123+= 33221236++= 33332123410+++= …… 猜想：333312310++++=L L ．

（二）最优化，烙饼问题，排队问题 烙饼问题的解决： 一般的解决方法：

公式： 烙饼总时间＝每次烙的时间×[（2×烙饼总数）÷每次烙的饼数]

如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼的时间是5×[（2×9）÷3]＝30（分） 特殊的解决方法：

如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。

如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼的话，要先算出烙的次数＝（2×7）÷3＝4次……2面，即4＋1＝5次，共25分钟。

问题本质： 烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的

效率最高。

例题：妈妈星期天在家里做早点，要煎5个鸡蛋，每次只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面要3分钟。最少用多少时间？

建议的解题格式：把5个鸡蛋分成3个、2个来煎，每个鸡蛋分A 、B 面，采用以下表格表示 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 ①

A B ②

A B ③ A B ④ A B ⑤

A

B

总时间： 3×【（2×5）÷2】＝15 （分钟） 统筹安排时间问题：

原则有两个：其一，“分清先后”——找出事物发生的必然先后顺序；其二，“同时进行”——在做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。 例题：丛书P57,1 小梅每天早上起床后要做下面几件事。 起床穿衣：3分钟 整理被褥：2分钟 刷牙：2分钟 洗脸：1分钟 热牛奶：6分钟 吃早餐：6分钟 问：小梅怎样做才能最节省时间，最少需要多少时间？

建议的解题格式：

步骤一：“分清先后”，需要先穿衣服才能做别的事，以防受凉感冒；需要先刷完牙、洗完脸干干净净地才能吃早餐；早餐包括牛奶，也必须先热完牛奶才能吃到早餐。

步骤二：“同时进行”，热牛奶不用人照看，同时可以做别的事。所以在热牛奶的6分钟做整理被褥、刷牙、洗脸这几件事。

用线段图表示为：

排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。

例题：丛书P58,1 三辆车同时一个加油站加油，大卡车需要8分钟，面包车需要4分钟，小轿车需要3分钟，怎样安排加油的顺序最合理？等候的时间最少是多少分钟？

建议的解题格式：【】部分内的为解释和思考过程

【因为其中一辆车加油的时候，三辆车都同时在等待，所以先让时间最少的小轿车加油，再让时间中等的面包车加油，最后让大卡车加油，以使总的等待时间最短。】

等候时间/分钟第一次第二次第三次大卡车 3 4 8

面包车 3 4

小轿车 3

【在小轿车加油时，面包车与大卡车都要等待3分钟；在面包车加油时，小轿车已经加油完开走了；大卡车要等待4分钟；在大卡车加油时，其余两辆车都已经加油完走了。

大卡车等待时间3＋4＋8＝15（分钟），面包车等待时间3＋4＝7（分钟），小轿车等待时间3

分钟。】

所以，按照小轿车——面包车——大卡车的加油顺序，总的等待时间最少，是15＋7＋3＝25（分钟）

【也可以这么算，小轿车加油时，三辆车都等待了3分钟，共3×3＝9（分钟），面包车加油时，面

包车和大卡车都等待了4分钟，共4×2＝8（分钟），最后大卡车独自等待了8分钟，总的等待时间

为9＋8＋8＝25（分钟）】

田忌赛马（对策论）：找到所有可能的对策，从中找出可以取胜的对策。

可以将齐王的三种马的能力值设定为 9、7、5，而田忌的三种马的能力值都分别少一些，为8、6、4。田忌可能的对战齐王局面如下

第一次第二次第三次赢的局数/输的局

数

胜利者

齐王9 7 5

田忌8 6 4 0/3 齐王

田忌8 4 6 1/2 齐王

田忌 6 8 4 1/2 齐王

田忌 6 4 8 1/2 齐王

所以，在田忌的六种策略中，只有一种能够取胜，即用下等马（4）对战齐王的上等马（9），用上等马（8）对战齐王的中等马（7），再用中等马（6）对战齐王的下等马（5），取得三盘两胜一败的结果，最终取得胜利。

取棋子问题的策略（相似问题为课本P116数学游戏）

问题的提出：在一堆棋子（20粒）中，两个人轮流取，一次可以取1粒或2粒棋子，不能不取或多取，取到最后一粒棋子的为胜利者。问第一个取的人应采取怎样的策略，保证自己的胜利？

问题的解决：要取到第20粒，不能取到第19粒或第18粒，否则会让对方获胜，所以要取得第17粒棋子，这时对方取1粒我方就取2粒，对方取2粒我方就取1粒，这样就能获胜。同理，要取得第17粒，就要取到第14粒、11粒、8粒、5粒、2粒，所以，第一次取的时候直接取2粒，以后对方1粒我方就2粒、对方2粒我方就1粒，这样就一定能取得最后的胜利。

问题的本质：把复杂的问题简单化，找到取棋子的规律。

在N个棋子中，每次可以取A~B个，要取得最后一个的方法是：要取得第N个，就要取到第N－（A ＋B）个，以此类推，也就是第一次要取到N÷（A＋B）的余数的那个棋子。

如上题，20÷（2＋1）＝20÷3＝6……2，所以要取到第2个才能保证胜利。

练习巩固：

1、丽丽长大了，想和妈妈学做菜，星期天要学做一个炒鸡蛋，妈妈告诉她这道菜有以下几项工序：敲蛋（1分钟）搅蛋（1分钟）切葱（1分钟）

洗锅（2分钟）烧热锅（2分钟）烧热油（1分钟）

炒蛋（4分钟）2、一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？

3、四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？

（三）植树问题

（一）求棵数：有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗?

练习：1.在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根？

2、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗?

（二）求间距：红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距多少米？