第十届小机灵杯五年级决赛试题及答案详解
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9、有个六位数 11□□11，它能被 17 和 19 整除，□□里的两位数是几？ 【详解】 17×19=323，那么 323×abc=11□□11，由末位和首位可知 a=3，c=7，进而可求出 b=5， 那么 323×357=115311，即□□=53.
10、图片是某小区的公路图，一个旅游者想要走过至少 5 条不同的公路，可以重复，但是重复的路线 至多只有一条，而且走过一条路后，不能马上就走回来，游客有几条路线可走？（由于题目和图片是学生 回忆的，可能有些出入，毕竟孩子记住不容易）
14、如图，上面三角来自百度文库的面积是 2，梯形面积是 6，上底是下底的 2 位，阴影面积是（）？ 【详解】
设上底为 2a，下底是 a，三角形高为 h，梯形高为 H； 由三角形面积是 2，可知 2a×h÷2=2，ah=2；由梯形面积是 6，可知（2a+a）×H÷2=6，aH=4； 所以 H=2h，而阴影三角形面积是 a×3h÷2=ah×3÷2=3 15、式子 1×2×3×4×5×6×……×2012-5 除以 2、3、4、5、6、7、8、9……100 的 99 个余数的和是 （）。 【详解】 2012！必定能被 2,3,4,5，……，100 的所有数整除， 而 2012！-5 除以 100 的余数与 2012！+100-5 除以 100 的余数相同，都是 95， 那么 2012！-5 除以 5,6,7,8，……，100 的余数分别为 0,1,2,3，……，95； 再分析 2012！-5 除以 2 的余数与 2012！+6-5 除以 2 的余数相同是 1，同理 2012！-5 除以 3,4 的余数分 别为 1,3； 所以 99 个余数的和是 1+1+3+（0+1+2+……+95）=4565
12、从 1、3、5、7、9、11、13……97、99 这 50 个奇数中，至多拿出（）个数，才能保证取出的数中， 任意两个数中的一个数不是另一个数的倍数。
【详解】 按如下分抽屉：（99,33,11）、（97）、（95）、（93,31）、…………（39,13）、（37）、（35）；每组中已 3 倍关 系分组，共分为 33 组，如果取了 2 个数来自同一抽屉，那么这两个数必有倍数关系。 所以至多每组中取一个，可行的是取每组中第一个 99,97,95，……，39,37,35 共 33 个。
【详解】 数列中前 2012 个数的和除以 4 的余数可以通过计算其中每个数除以 4 的余数再求和计算出， 观察这个数列中每个数列中前几个数除以 4 的余数，“0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1，……” 发现 6 个一周期，2012÷6=335……2，（0+1+1+2+3+1）×335+0+1 是前 2012 个数除以 4 的余数和，再 除以 4 即可得到题目所求为 1.
【详解】 2,6,30……；接下来第 4 个数是 2×3×5×7=210，而接下来的数都是 210 的倍数，而其中任意 2 个的差 也一定是 210 的倍数。回过来看题目所求，30000 中没有质因数 7，而有质因数 2,3,5，所以可知其中一个必 为 30，而另一个是 30030=2×3×5×7×11×13，那么 2 数的和为 30+30030=30060
【详解】 由于需要经过 5 条公路，所以必须经过 E 点； 从 A 出发经 B 到 E 共有 3 种路线： 第一种：A-B-E-C-B-A（只有四条不同的道路，舍去） A-B-E-C-B-E-D-A A-B-E-C-D-A A-B-E-D-C-B-A A-B-E-D-C-E-D-A 第二种：A-B-C-E-B-A（只有四条不同的道路，舍去） A-B-C-E-B-C-D-A A-B-C-E-D-A 第三种：A-B-C-D-E-B-A A-B-C-D-E-C-D-A 同理，由对称性从 A 出发经 C 到 E 再回到 A 也是 4+2+2=8 条路线，所以一共 8×2=16 每题 12 分
13、在一个环形跑道上，甲乙两人在如图所示的 AB 两点上，他们相距 100 米，按逆时针方向奔跑。甲 每秒 5 米，乙每秒 4 米，他们每跑 100 米都要停下歇 10 秒钟，甲多长时间追上乙？
【详解】 甲：每跑 20 秒，休息 10 秒，即一个时间周期为 30 秒； 乙：每跑 25 秒，休息 10 秒，即一个时间周期为 35 秒； 各跑一个周期，甲可以积攒下来 5 秒，当暂满 20 秒时，甲即可多跑 100 米。 20÷5=4 个周期，35×4=140 秒。
6、1、1、3、3、7、7、9、9 从中取五个数，其中至少 4 个数字互不相同，且这五个数的乘积个位为 1， 问这五个数的和是多少？ 【详解】 由题意知，必有 1,3,7,9,；此四个数的乘积个位是 9，那么第五个数与 9 乘积末位为 1，所以第五个数是 9.
1+3+7+9+9=29
7、有一个数列：2、6、30……该数列的第 K 项是前 K 个质数的乘积，已知其中两项的差为 30000，问 这个数的和？
8、有一个棱长为 3.5 的正方体，在其中一个面上挖去一个棱长为 1.2 的正方体，在棱长为 1.2 的正方体 的底面上挖去一个棱长为 0.7 的正方体，再在棱长为 0.7 的正方体的底面上挖去一个棱长为 0.3 的正方体。 问此图形的表面积？
【详解】 每向下挖一个正方体，其表面并无损失，反而会增加 4 个正方形侧面。 原表面积 3.5×3.5×6=73.5，而后增加 1.2×1.2×4+0.7×0.7×4+0.3×0.3×4=8.08，73.5+8.08=81.58
4、小巧去文具店买笔，她带了 5 元钱，买了至少 6 支笔，买完后剩下 0.45 元，每支笔多少钱？ 【详解】 这些笔的总价为 4.55 元，及 455 分， 且由题意笔单价高于 0.45，否则还能再买，455÷45=10……5，笔数应不超过 10 只， 455=5×7×13，那么符合要求的只有买 7 只笔，每只 0.65 元。
【详解】 1）能被 3 整除的最小两位数是 12， 2）接下来考虑后两位，如果末位是 0，那么十位是 6；如果末位是 5，那么十位是 2 3）其中最小的四位数是 1225
3、有一个数列，第一个数是 4，第二个数是 9，从第三个开始，每个数都是前两个数的和，该数列的 前 2012 个的和除以 4 的余数是（）。
2012 年第十届小机灵杯决赛试题及答案详解（五年级）
每题 4 分
1、201.2×6.2+3012×0.38= 【详解】 201.2×6.2+3012×0.38 =2012×0.62+2012×0.38+1000×0.38 =2012×（0.62+0.38）+380 =2012+380 =2392
2、有一种四位数，这种四位数能被 7 整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被 3 整除，后两位可 以被 5 整除。这种四位数最小的是（）。
11、5 个科学家在一起研究某种新型的东西，所有资料都存放在一个保险箱里，这个保险箱有许多锁， 每个科学家身上都带着若干把锁的钥匙，任何三个人在一起时都可以打开保险箱，而任何两个人则不行， 保险箱上至少有多少把锁？
【详解】 因为 5 个人中任 2 人组都至少有一把打不开的锁，当然打不开的可以是两把以上，因为是求锁的最小 数量，所以让每两人组打不开某一把锁，也就是每把锁都至少对应着一个 2 人组，此组中的 2 人在一起打 不开这把锁，我们断言不同的 2 人组合所打不开的锁是不同的，否则这两个 2 人组合加在一起不少于 3 人 却仍打不开同一把锁，这与题意不相符，以上的分析说明每把锁恰好只对应着一个 2 人组合时，锁的数目 将是最小，最小数目应等于从 5 人中任取 2 人的组合数目，即以 C（5,2）＝10 把。
5、姐妹两人学英语，姐姐每天比妹妹多记 11 个单词，在 40 天里，姐姐有 15 天没有学，但是所记的 单词的还是妹妹的两倍，问姐姐在这 25 天里学习了多少个单词？
【详解】 由题意可知，姐姐 25 天记的单词与妹妹 80 天记的单词数一样多。 而姐姐学习的 25 天里比妹妹多记 11×25=275 个单词，相当于妹妹后 55 天里记的单词， 所以妹妹每天记 275÷55=5 个，5+11=16 个，16×25=400 个。 每题 8 分
10、图片是某小区的公路图，一个旅游者想要走过至少 5 条不同的公路，可以重复，但是重复的路线 至多只有一条，而且走过一条路后，不能马上就走回来，游客有几条路线可走？（由于题目和图片是学生 回忆的，可能有些出入，毕竟孩子记住不容易）
14、如图，上面三角来自百度文库的面积是 2，梯形面积是 6，上底是下底的 2 位，阴影面积是（）？ 【详解】
设上底为 2a，下底是 a，三角形高为 h，梯形高为 H； 由三角形面积是 2，可知 2a×h÷2=2，ah=2；由梯形面积是 6，可知（2a+a）×H÷2=6，aH=4； 所以 H=2h，而阴影三角形面积是 a×3h÷2=ah×3÷2=3 15、式子 1×2×3×4×5×6×……×2012-5 除以 2、3、4、5、6、7、8、9……100 的 99 个余数的和是 （）。 【详解】 2012！必定能被 2,3,4,5，……，100 的所有数整除， 而 2012！-5 除以 100 的余数与 2012！+100-5 除以 100 的余数相同，都是 95， 那么 2012！-5 除以 5,6,7,8，……，100 的余数分别为 0,1,2,3，……，95； 再分析 2012！-5 除以 2 的余数与 2012！+6-5 除以 2 的余数相同是 1，同理 2012！-5 除以 3,4 的余数分 别为 1,3； 所以 99 个余数的和是 1+1+3+（0+1+2+……+95）=4565
12、从 1、3、5、7、9、11、13……97、99 这 50 个奇数中，至多拿出（）个数，才能保证取出的数中， 任意两个数中的一个数不是另一个数的倍数。
【详解】 按如下分抽屉：（99,33,11）、（97）、（95）、（93,31）、…………（39,13）、（37）、（35）；每组中已 3 倍关 系分组，共分为 33 组，如果取了 2 个数来自同一抽屉，那么这两个数必有倍数关系。 所以至多每组中取一个，可行的是取每组中第一个 99,97,95，……，39,37,35 共 33 个。
【详解】 数列中前 2012 个数的和除以 4 的余数可以通过计算其中每个数除以 4 的余数再求和计算出， 观察这个数列中每个数列中前几个数除以 4 的余数，“0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1，……” 发现 6 个一周期，2012÷6=335……2，（0+1+1+2+3+1）×335+0+1 是前 2012 个数除以 4 的余数和，再 除以 4 即可得到题目所求为 1.
【详解】 2,6,30……；接下来第 4 个数是 2×3×5×7=210，而接下来的数都是 210 的倍数，而其中任意 2 个的差 也一定是 210 的倍数。回过来看题目所求，30000 中没有质因数 7，而有质因数 2,3,5，所以可知其中一个必 为 30，而另一个是 30030=2×3×5×7×11×13，那么 2 数的和为 30+30030=30060
【详解】 由于需要经过 5 条公路，所以必须经过 E 点； 从 A 出发经 B 到 E 共有 3 种路线： 第一种：A-B-E-C-B-A（只有四条不同的道路，舍去） A-B-E-C-B-E-D-A A-B-E-C-D-A A-B-E-D-C-B-A A-B-E-D-C-E-D-A 第二种：A-B-C-E-B-A（只有四条不同的道路，舍去） A-B-C-E-B-C-D-A A-B-C-E-D-A 第三种：A-B-C-D-E-B-A A-B-C-D-E-C-D-A 同理，由对称性从 A 出发经 C 到 E 再回到 A 也是 4+2+2=8 条路线，所以一共 8×2=16 每题 12 分
13、在一个环形跑道上，甲乙两人在如图所示的 AB 两点上，他们相距 100 米，按逆时针方向奔跑。甲 每秒 5 米，乙每秒 4 米，他们每跑 100 米都要停下歇 10 秒钟，甲多长时间追上乙？
【详解】 甲：每跑 20 秒，休息 10 秒，即一个时间周期为 30 秒； 乙：每跑 25 秒，休息 10 秒，即一个时间周期为 35 秒； 各跑一个周期，甲可以积攒下来 5 秒，当暂满 20 秒时，甲即可多跑 100 米。 20÷5=4 个周期，35×4=140 秒。
6、1、1、3、3、7、7、9、9 从中取五个数，其中至少 4 个数字互不相同，且这五个数的乘积个位为 1， 问这五个数的和是多少？ 【详解】 由题意知，必有 1,3,7,9,；此四个数的乘积个位是 9，那么第五个数与 9 乘积末位为 1，所以第五个数是 9.
1+3+7+9+9=29
7、有一个数列：2、6、30……该数列的第 K 项是前 K 个质数的乘积，已知其中两项的差为 30000，问 这个数的和？
8、有一个棱长为 3.5 的正方体，在其中一个面上挖去一个棱长为 1.2 的正方体，在棱长为 1.2 的正方体 的底面上挖去一个棱长为 0.7 的正方体，再在棱长为 0.7 的正方体的底面上挖去一个棱长为 0.3 的正方体。 问此图形的表面积？
【详解】 每向下挖一个正方体，其表面并无损失，反而会增加 4 个正方形侧面。 原表面积 3.5×3.5×6=73.5，而后增加 1.2×1.2×4+0.7×0.7×4+0.3×0.3×4=8.08，73.5+8.08=81.58
4、小巧去文具店买笔，她带了 5 元钱，买了至少 6 支笔，买完后剩下 0.45 元，每支笔多少钱？ 【详解】 这些笔的总价为 4.55 元，及 455 分， 且由题意笔单价高于 0.45，否则还能再买，455÷45=10……5，笔数应不超过 10 只， 455=5×7×13，那么符合要求的只有买 7 只笔，每只 0.65 元。
【详解】 1）能被 3 整除的最小两位数是 12， 2）接下来考虑后两位，如果末位是 0，那么十位是 6；如果末位是 5，那么十位是 2 3）其中最小的四位数是 1225
3、有一个数列，第一个数是 4，第二个数是 9，从第三个开始，每个数都是前两个数的和，该数列的 前 2012 个的和除以 4 的余数是（）。
2012 年第十届小机灵杯决赛试题及答案详解（五年级）
每题 4 分
1、201.2×6.2+3012×0.38= 【详解】 201.2×6.2+3012×0.38 =2012×0.62+2012×0.38+1000×0.38 =2012×（0.62+0.38）+380 =2012+380 =2392
2、有一种四位数，这种四位数能被 7 整除，把它前后分成两部分，前两位数可以被 3 整除，后两位可 以被 5 整除。这种四位数最小的是（）。
11、5 个科学家在一起研究某种新型的东西，所有资料都存放在一个保险箱里，这个保险箱有许多锁， 每个科学家身上都带着若干把锁的钥匙，任何三个人在一起时都可以打开保险箱，而任何两个人则不行， 保险箱上至少有多少把锁？
【详解】 因为 5 个人中任 2 人组都至少有一把打不开的锁，当然打不开的可以是两把以上，因为是求锁的最小 数量，所以让每两人组打不开某一把锁，也就是每把锁都至少对应着一个 2 人组，此组中的 2 人在一起打 不开这把锁，我们断言不同的 2 人组合所打不开的锁是不同的，否则这两个 2 人组合加在一起不少于 3 人 却仍打不开同一把锁，这与题意不相符，以上的分析说明每把锁恰好只对应着一个 2 人组合时，锁的数目 将是最小，最小数目应等于从 5 人中任取 2 人的组合数目，即以 C（5,2）＝10 把。
5、姐妹两人学英语，姐姐每天比妹妹多记 11 个单词，在 40 天里，姐姐有 15 天没有学，但是所记的 单词的还是妹妹的两倍，问姐姐在这 25 天里学习了多少个单词？
【详解】 由题意可知，姐姐 25 天记的单词与妹妹 80 天记的单词数一样多。 而姐姐学习的 25 天里比妹妹多记 11×25=275 个单词，相当于妹妹后 55 天里记的单词， 所以妹妹每天记 275÷55=5 个，5+11=16 个，16×25=400 个。 每题 8 分