向量法求空间距离
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D
得 B 1到 面 A 1B E 的 距 离 为 dA 1B n 1n2 3A
x
Fra Baidu bibliotekCy
B
解 ： 1 ) 以 D 为 坐 标 原 点 ， D A 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， D C 所 在 的 直 线 为 y 轴 ，
D D 1 所 在 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z ， 如 图 所 示
立体几何中的向量方法 ------距离问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
x 1 y 0 , 2
A1
n D1B 0, x y z 0 ,
E
C1
B1
x 选 即A 1 E 与 zy B 3D 2xx1 的 ,, 取 两 x 点 ＝ 1 向 ， 量 得 为 其 D 中 1 A 一 1 个 1 n , 0 , 0 ( 1 , , 2 , A3 )D
Sz
(2)求 二 面N角CMB的 大 小 ；
(3)求 点B到 平 C面MN 的 距.离
N
C
O
y
B
A
M
x
2 ) A 1 E = ( - 1 , 1 2 , 0 ) , A 1 B = ( 0 , 1 , - 1 ) 设 n (x ,y ,z ) 为 面 A 1 B E 的 法 向 量 ，
则
n
得 A1E与 BD 1的 距 离d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
A1 E
0,
x 1 y 0 , 2
z
n A1 B 0 , y z 0 ,
即
y z
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的
D1
一个法向量n(1,2,2) A 1
E
C1
B1
选 点 B 1 到 面 A 1 B E 的 斜 向 量 为 A 1 B 1 0 , 1 , 0 ,
则 D 1(0 ,0 ,1 ),B (1 ,1 ,0 ),A 1 (1 ,0 ,1 ),E (0 ,1 2,1 )
z
设 n A1 E(x ,y ,1z ,)是 12,与 0A ,1 E ,D D 11 B B 都 垂 1,1 直 , 的 1向 量 ， D 1
则 n A1E 0,
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
l
d | AP n |
n
P
n
d
O A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d
O
四、异面直线的距离
n
d | AP n | a
P
n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证 明 A：CSB;
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
| AP n | n
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
得 B 1到 面 A 1B E 的 距 离 为 dA 1B n 1n2 3A
x
Fra Baidu bibliotekCy
B
解 ： 1 ) 以 D 为 坐 标 原 点 ， D A 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， D C 所 在 的 直 线 为 y 轴 ，
D D 1 所 在 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z ， 如 图 所 示
立体几何中的向量方法 ------距离问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n |
x 1 y 0 , 2
A1
n D1B 0, x y z 0 ,
E
C1
B1
x 选 即A 1 E 与 zy B 3D 2xx1 的 ,, 取 两 x 点 ＝ 1 向 ， 量 得 为 其 D 中 1 A 一 1 个 1 n , 0 , 0 ( 1 , , 2 , A3 )D
Sz
(2)求 二 面N角CMB的 大 小 ；
(3)求 点B到 平 C面MN 的 距.离
N
C
O
y
B
A
M
x
2 ) A 1 E = ( - 1 , 1 2 , 0 ) , A 1 B = ( 0 , 1 , - 1 ) 设 n (x ,y ,z ) 为 面 A 1 B E 的 法 向 量 ，
则
n
得 A1E与 BD 1的 距 离d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
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A1 E
0,
x 1 y 0 , 2
z
n A1 B 0 , y z 0 ,
即
y z
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的
D1
一个法向量n(1,2,2) A 1
E
C1
B1
选 点 B 1 到 面 A 1 B E 的 斜 向 量 为 A 1 B 1 0 , 1 , 0 ,
则 D 1(0 ,0 ,1 ),B (1 ,1 ,0 ),A 1 (1 ,0 ,1 ),E (0 ,1 2,1 )
z
设 n A1 E(x ,y ,1z ,)是 12,与 0A ,1 E ,D D 11 B B 都 垂 1,1 直 , 的 1向 量 ， D 1
则 n A1E 0,
练习4：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
练习5：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AC=BC=AB=1, AA1= 2
z
求B1到平面A1BC的距离。 C1
A1
B1
C
xA M
B y
练习6：
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
练习3:
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求直线DA1和AC间的距离。
z
D1
C1
A1 B1
D A
x
C y
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
l
d | AP n |
n
P
n
d
O A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d
O
四、异面直线的距离
n
d | AP n | a
P
n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1， 求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面
ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，
求点B到平面GEF的距离。
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
练习7：
在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角
形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ，
M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面
CMN的距离. (1)证 明 A：CSB;
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
| AP n | n
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：