数学分析 不定积分概念与基本积分公式

(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)

a
xdx

ax ln a

C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx;

证 Q k1 f (x)dx k2 g(x)dx


k1 f (x)dx k2 g(x)dx k1 f (x) k2g(x).
等式成立.
2xdx x2 C
y
函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线 的斜率。
C1 -1 O 1
y=x2+C1 y=x2
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
例 求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。
分 表
(3)

dx x

说明：
ln x x 0,
C;

dx x

ln
x

C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x


dx x

ln(

x
)

C
,


dx x

ln
|
x
|
C
,
简写为

dx x

ln
x

C.
(4)

1
1 x
2
dx

arctan
x

C;
y
因为 2xdx x 2 C ，
所以y = f(x) x2C。
yx2+2
因为所求曲线通过点(1, 3)，
故
31C，C2。
于是所求曲线方程为
yx22。
(1, 3) ．
yx2
2 1
2 1 O 1 2 x
1 2
四、 基本积分公式
实例
x1 x
合并上面两式，得到

1 x
dx

ln
|
x
|
C
(x0)。
求微分与求积分的互逆关系
[ f (x)dx] f (x)
d f (x)dx f (x)dx
f (x)dx f (x) c df (x) f (x) c
三、不定积分的几何意义
函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。
解：当 x>0 时，(ln x)
1 x
，

1 x
dx ln x C
(x>0)；
时，，当[l[nlxn(<(0xx)时])]，[1l1nxx((x()1]1))1x1xx，， (1x11x)ddxx1xl，nln((x1xx))dxCC (lnx(x(<<0x0))。。 C (x<0
第八章 不定积分
8.1 不定积分的概念与基本积分公式
8.2 换元积分法与分部积分法
8.3 几类特殊函数的不定积分
8.1 不定积分的概念和基本积分公式
一 原函数和不定积分 二 基本积分公式表 三 不定积分的线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
定义1： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
111xxx222
111xxx222
111xxx222
(x 2 1 1 )dx 1 x3xarctgxC。
1 x2
3
例
求积分

1

1 cos
2
x
dx.
解

1

1 cos
2x
dx


1

1 2 cos 2
x

dx 1

1 2

1 cos2
x
dx

1 2
tan
二、不定积分
定义2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分，
记作 f (x)dx 。
根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则
f (x)dx F(x)C，
其中 C 是任意常数，称为积分常数。
不定积分的相关名称：
———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。
x C 。
7
3
7
3
3 2
C
2 x3
x 10 x
x C 。
7
3
例 5
(x 1)3 dx

x2
x3 3x2 3x 1 dx
x2
(x 3 3 1 )dx x x2


xdx

3
dx

3
1 x
dx


1 x2
dx
1 x2 3x3ln|x| 1 C。
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明： 定理8.2
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
x

C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
作业： P181：1,2,3,4,5(1) ~ (16).
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.

sin
2x)dx
1 ( 1 cos 4x 1 cos 2x) c
24
2
1 (cos4x cos2x) c 8
例5
(10x 10x )2 dx (102x 102x 2)dx
[(102 )x (102 )x 2]dx
1 (102x 102x ) 22 c 2 ln 10
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
x0
x C , x 0
1

xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
例9

sin 2x 2
dx
1 (1 cos x)dx 1 (x sin x) C
2
2
。
例 10
1
dx 4
sin 2 x cos 2 x
1 sin 2
x
dx

4ctg
xC。
22
例 11
1 x x 2 dx x (1 x 2 ) dx ( 1 1 )dx
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例1 p(x) a0 x n a1x n1 an1x an , 则
p(x)dx

a0 x n1 n 1

a1 n
xn


an1 2
x2
an x c
例2
x4
x2

1dx 1

(x2
1
x
2 2
)dx 1
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理： 定理8.1 如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F ( x)， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x)的原函数， 则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
2
x
例例66 ((eexx33ccoossxx))ddxxeexx33ssininxxCC。。
例 7
2x exdx (2e)x dx (2e) x C 2 x e x C。
ln(2e) 1 ln 2
例 8 tg2xdx (sec2x1)dx tgxxC。
x3 x 2 arctan x c 3
例3
dx
cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x dx
(csc2 x sec2 x)dx
cotx tan x c
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例4

cos
3x
sin
xdx

1 2

(sin
4x
例例 4
5
1
x (x 2 5)dx (x 2 5x 2 )dx
5
1
5
1
x 2 dx 5x 2 dx x 2 dx 5 x 2 dx
1
5
1
5x 2 dx x 2 dx 5 x 2 dx

2
x
7 2

5

2
x
3 2
C

2 x3
x 10 x
1
5 1
x 2 C
5 1
2

2
7
x2
C
2
x3
x
C。
7
7

dx x3 x

4
x 3 dx
4 1
x3
C
3
4 1
3x
3
C。
五 、 不定积分的性质
定理3 若函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上都
存在原函数， k1, k2 为两个任意常数，则 k1 f (x) k2g(x) 也存在原函数，且
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
例 1 因为(sinx)cosx，所以 cos xdx sin x C 。
例 2 因为(x3) 3x2，所以 3x 2 dx x3 C 。
例 3 求函数 f (x) 1 的不定积分。 x
(5)

1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)

dx cos2
x


sec2
xdx
tan
x

C;
(9)

dx sin 2
x


csc2
xdx

cot
x

C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
x(1 x 2 )
x(1 x 2 )
1 x2 x

1
1 x2
dx


1dx x
arctgxln|x|C。
例例例111222
xxx444
dddxxx
xxx444 111111dddxxx
(((xxx222 111)))(((xxx222 111)))111 dddxxx
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx

x 1
1

C

51
x2 51

C

2 7
7
x2

C.
2
例1 例2
例3
1
x33 dx
x
33dx

1 31
x
3311C


1 2x 22
C。
x2 x dx
5
x 2 dx