高中数学课本中的定理、公式、结论的证明(2020年九月整理).doc

数学课本中的定理、公式、结论的证明

数学必修一

第一章 集合（无） 第二章 函数（无）

第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质：

如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么

（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a

a a M

M N N

=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质

证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=⋅=， ∴log ()a MN =p q +，

即证得log log log a a a MN M N =+．

证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =，

∴

q p q p

a a

a N M -==， ∴q p N

M

a

-=log ， 即证得log log -log a a a M

M N N

=．

证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =，

∴n np

M a =，

∴log n

a M np =，

即证得log log n

a a M n M =．

第四章函数应用（无）

数学必修二

第一章立体几何初步

直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．

1、直线与平面平行的判定定理

若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．

2、平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

3、直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

4、平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

证明：设直线l 的方向向量为a,平面βα，的法向量分别为u ，r （建立立体几何问

题与向量之间的联系），

因为β⊥l ，所以a||r ，即a=k r(R k ∈)（把立体几何问题转化为空间向量问题）, 又，α⊂l 所以a ⊥u ⇔a •u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题）， 所以k u •r=0⇔ u ⊥r ⇔βα⊥（把空间向量的结果转化为几何结论）， 所以平面α与平面β互相垂直，

5、直线与平面平行的性质定理

如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．

6、平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

7、直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

另法

8、平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，

:AB MN B AB αβαββα⊥⋂⊥

⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。求证：.

9三垂线定理及逆定理

BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN ααβαβ⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥证明：在平面内做直线，则是二面角的平面角，

，，又，

α

α

-x

y

P(x,y)M

O

另法证明：已知：如图，直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a

证明： 过P 作PO 垂直于α ∵PO ⊥α ∴PO ⊥a

又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA

∴a ⊥l

（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影

第二章 解析几何初步（无）

数学必修三 数学必修四

第一章 三角函数 诱导公式

公式：

如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ´(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）αα-sin sin(=-）

-y)所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式，

公式： ααπ-sin sin(=+）

ααπ-cos cos(=+） ααπtan tan(=+） 它刻画了角π+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关

系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值

（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）关系，设角α终边圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即π+α角的终边

与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图4-5-1）．

由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(π+α)=-y, cos(π+α)=-x,

所以 :sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α．

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相关诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ+α）=sinα k∈z cos （2kπ+α）=cosα k∈z tan （2kπ+α）=tanα k ∈z

公式二：sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosα tan （π+α）=tanα 公式三：sin （－α）=－sinα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π/2+α）=cosα cos （π/2+α）=－sinα tan （π/2+α）=－cotα sin （π/2－α）=cosα cos （π/2－α）=sinα tan （π/2－α）=cotα 第二章 平面向量

1、共线向量定理（p82例3）

内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直

线AB 上，则有)1(λλ-+= 证明：由题意，与BA 共线，

BA BC λ=∴

)

(,PB PA BA PB PC BC -=-∴-=-=λ

化简为：PB PA PC )1(λλ-+= 2、平面向量基本定理(p83)

内容：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向