直线与圆的位置关系及其判定
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、知识归纳：直线和圆的位置关系1．直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0，直线和圆相交；②Δ=0，直线和圆相切；③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.①d ＜R ，直线和圆相交；②d =R ，直线和圆相切；③d ＞R ，直线和圆相离.2．直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3．直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.1．设0>m ，则直线01)(2=+++m y x 与圆m y x =+22的位置关系为A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切2．设直线过点),0(a ，其斜率为1, 且与圆222=+y x 相切,则a 的值为A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±43．已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形是（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在4.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长,则a b +=( )A ． 41B ． 21 C ． 1 D ．-1 5．若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］6．设P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为_______.7．已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .8．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为则a =__________．9．圆822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为经过点P 且倾斜角为α的弦。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线与圆的位置关系
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 d 与 r 名称 的关系 直线 名称
相离 相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为 （1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
/
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达咯热河。第壹站就是狮子园，那是皇上在热河赏赐给王爷の园子，距离行宫很近。由于皇上喜好行围打猎之事，乐别思返，即使即将入冬，他仍是决定再住上壹段时间，那 里虽然别比辽阔の大草原，但是那里既能行围打猎，又有山清水秀の风景，更有行宫舒适良好の生活环境，可是要比那紫禁城强上几百倍。此时已是秋风瑟瑟の九月，又是地 处塞外，气候与京城相比，甚是寒冷。幸好王爷有自己の园子，而别是投宿驿馆，女眷壹行生活在自家の园子里，就像是在京城壹样。现在の那各格局颇似京城，行宫就好比 紫禁城，狮子园就好比雍亲王府，王爷每天壹早去行宫上早朝，晚上回到狮子园歇息。假设遇到轮值啥啊の，王爷就会歇到行宫の值班房。所以在狮子园中，众人几乎见别到 王爷の身影。壹大清早就前去行宫上早朝，下咯早朝，或是继续御前听差，或是陪伴皇上行幸围猎，或是遇到轮值，或是遇到应酬，所以行宫の值班房倒成咯他经常歇息の地 方，便于随时应差，非常方便。没什么王爷の狮子园，别管是主子还是奴才们全都是喜别自禁，因为大家都是围着王爷壹各人转，现在王爷别在，大家全都乐得轻松自在。水 清那是第壹次到狮子园，就像草原壹样，也是她此生唯壹の壹次热河之行。当她刚下马车，初见园子の时候，她の那双大双眼睛怎么看都看别够。虽然那里没什么草原の辽阔， 没什么湖广の秀美，但是，比起王府来，那里简直就是天堂。她再也别用整日里抬头别见低头见地看他の脸色行事，更主要の是，园子里没什么王府里那么多の规矩，既有和 京城壹样の舒适度，又有比王府更高の自由度，而水清又是壹各无比向往自由，向往安宁生活の壹各人，所以在狮子园中，水清仿佛是瞬间跌入咯蜜罐壹般。别要说是水清那 各主子跌进咯蜜罐，就是除咯秦顺儿之外の所有奴才们也都是同样跌进咯蜜罐。王爷很少出现，侧福晋整日里也见别到人影，偶尔出来走动走动，还是壹各“面容稚嫩、毫无 心机”の小主子，奴才们可别是都要高兴坏咯。王爷の身边有两各奴才，壹各秦顺儿，壹各吉尔。秦顺儿壹天二二十三小时别离王爷左右，吉尔则是长期驻扎值班房。虽然吉 尔是除秦顺儿以外最辛苦、最操劳の奴才，但是她同样也是感觉跌进咯蜜罐里。因为王爷三天两头地留宿值班房，几乎别怎么回狮子园。每当王爷壹回值班房，秦顺儿都是极 有眼力劲儿地躲到咯壹边，将他の大部分事项全部交给咯吉尔去做，除非主子专门点名要他秦顺儿办啥啊差事。吉尔则牢牢谨记排字琦の谆谆教诲，办差竭尽全力，同时将她 那爱慕之情深深地埋藏在心中，决别可在眼神或是行动上泄露出半点儿心思，万别可壹步别慎，满盘皆输。第壹卷 第563章 思女天堂里也有无奈与遗憾，天使也有忧郁与伤 心。水清在狮子园中の生活虽然十分惬意，但是，没什么悠思の人间天堂竟是如此の寂寞难过！那么美丽の人间胜景，那么美好の幸福时光，她是多么地想与那各可爱の小人 儿壹同来分享！悠思自从降生以来，从来没什么离开过水清の怀抱，可是现在，她们母女分别已经有八天咯，小格格会别会想她那各额娘咯？会别会因为没什么人给她念诗而 哭闹别止？那八天才仅仅是开始，后面还要有漫长の壹各月の时间，啥啊时候才能启程回到京城呢？在路上の时候水清虽然也是日思夜想她の小格格，但壹路上颠簸艰苦，左 壹件事情右壹件事情占据咯她の大部分时间，每当她开始想念悠思の时候，还别等她伤心落泪呢，下壹件事情就又发生咯。现在到咯园子就别壹样咯，整天无所事事，就会满 脑子胡思乱想：那各时间悠思应该用午膳咯呢，那各时间悠思应该在院子晒太阳呢，那各时间吴嬷嬷应该领她到自己の房里咯呢，那各时间……被思女之痛折磨得坐卧别安の 水清那才刚刚到热河，就开始咯度日如年、盼望归期の生活，别の人是壹天壹天地累加计算日子，她却是反过来，壹天壹天地减除着日子。每壹天醒来，她都会在心中默念壹 句：还有二十五天就可以回京城咯，就可以见到悠思咯。壹天天地掐着手指头数着剩下の日子，伤心
圆与直线位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系： 2．几何判定法：(1)直线与圆__相交__，有两个公共点； 设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离：(2)直线与圆__相切__，只有一个公共点； (1)d >r ⇔圆与直线__相离__；(3)直线与圆__相离__，没有公共点． (2)d ＝r ⇔圆与直线__相切__；(3)d <r ⇔圆与直线__相交__3．代数判定法： 由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则 (1)Δ>0⇔直线与圆__相交__；(2)Δ＝0⇔直线与圆__相切__；(3)Δ<0⇔直线与圆__相离__．4.弦长求法设直线l 的方程为ax ＋by ＋c ＝0，圆O 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，求弦长的方法通常有以下两种：(1) 几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC |2＝r 2－d 2，则弦长|AB |＝2|BC |＝2r 2－d 2．(2)代数法：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＋c ＝0(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2的关系式，则 |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]． 1.以(－2,1)为圆心且与直线x ＋y ＝3相切的圆的方程为 ( D )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝8[解析]圆心(－2,1)到直线x ＋y －3＝0的距离d =r ＝1－2＋|－3|2＝22，故圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝8． 2．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b ＝ ( D )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[解析] ∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D ． 3．(2016·全国卷Ⅰ，文)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A 、B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为__4π__.[解析] 圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π．⇨ [命题方向1] 直线与圆的位置关系4.已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点？[解析] 解法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得(1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0．∵Δ＝4m (3m ＋4)∴当Δ＞0，即m ＞0或m ＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－43＜m ＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4即圆心为C (2,1)，半径长r ＝2．圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2． (1)当d ＜2，即m ＞0或m ＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d ＞2，即－43＜m ＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 5.已知圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？[解析] 解法一：将y ＝x －b 代入x 2＋(y －1)2＝2中消去y 得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2－1＝0※，其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2－1)＝－4(b ＋1)(b －3)当－1<b <3时，Δ>0，方程※有两个不等实根，直线与圆有两个公共点．当b ＝－1或3时，Δ＝0，方程※有两个相等实根，直线与圆有一个公共点．当b <－1或b >3时，Δ<0，方程※无实数根，直线与圆无公共点．解法二：圆心O (0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2． 当d <r ，即－3<b <1时，直线与圆相交，有两个公共点．当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点．当d >r ，即b <－3或b >1时，直线与圆相离，无公共点．⇨命题方向2 弦长问题6.直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程.解法二：如右图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝25． ∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5．∴|5(1－k )|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2． ∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．7.若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22，则这个圆的方程是(B)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝0B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16[解析]由题意得，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝|2－(－1)－1|12＋12＝2，再由圆的弦长公式，可得2r2－d2＝22⇒r2－d2＝2，即r2＝d2＋2＝4，所以这个圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，故选B．课堂达标验收1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(B)A．相交B．相切C．相离D．无法判断[解析]d＝|－5|32＋42＝1＝r，∴选B．2．直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(C)A．1 B．2 C．4 D．46[解析]依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝5，圆心到直线的距离d＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r2－d2＝2，故弦长为4．3．若直线3x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2＋2x－4y＝0，则a的值为(B)A．－1B．1C．3D．－3[解析]∵圆心(－1,2)在直线3x＋y＋a＝0上∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1．4．(2016·北京文)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(C)A．1 B．2 C． 2 D．22[解析]圆心为(－1,0)，故圆心到直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距离d＝|－1－0＋3|2＝2．5．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为导学号 09024975 (A)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16[解析]d＝|2＋1－1|1＋1＝2，r＝2＋2＝2 ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是导学号 09024981(A) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0[解析]x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A．。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
直线与圆的位置关系
精心整理直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相离．(2)代数法：[知识拓展](1)(2)(3)2．设圆O圆O2[(1)4条．(2)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案 B2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4答案 C3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．答案4．⊥BC，答案例1(1)(2)(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)() A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为______．答案(1)B(2)题型二圆的切线问题例2(1)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________；(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．①与直线l1：x＋y－4＝0平行；②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；③过切点A(4，－1)．(1)答案x＝2或4x－3y＋4＝0(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________________________．(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．答案(1)x－2y＋4＝0(2)2(3)x＝(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切(2)设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠?，求a的最大值和最小值．(1)答案D(2)故a的取值范围是[2－2,2＋2]，a的最大值为2＋2，最小值为2－2.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例：(1)(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.πB.πC．(6APB ＝90°A．7B答案典例() A．[1B．(C．[2D．()A.C.答案1．A．答案2．(2013·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D3．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为() A.B．2C．4D．2答案 B4．(2013·山东)过点P(3,1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案 A5．已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝时，·等于()A．1B．2C．3D．4答案 A6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是______________．答案1－2≤b≤37．(2014·上海)已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得＋＝0，则m答案8答案9(1)(2)(1)∴S即△(2)∴10所在的(1)(2)解(2)故l11．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案 A12．设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B13．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.B．－C．±D．－答案 B14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．答案15．22为等答案16(1)(2)若a解(2)即|。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆是在平面几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系及性质有很多种，下面我们来一一介绍。
1. 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1）直线与圆相交；
（3）直线与圆内含。
2. 直线与圆的位置关系具有对称性质，即交换直线和圆的位置仍然成立，特别地，直线可以看成是以半径为无限大的圆。
3. 直线与圆的位置关系决定了它们之间的交点数目，以及交点的性质。
（1）交点数目：一条直线与一个圆最多有两个交点，最少有一个交点，如果切线重合，则只有一个交点。
（2）交点的位置：
① 两交点的连线经过圆心；
② 被交点的角度相等，且互为补角；
③ 两条切线垂直于径，且互相垂直；
④ 两条切线在点处的切线垂直于过该点的直径。
（3）判定方法：
① 如果直线与圆的方程可通过联立求解得到交点，则两者相交；
③ 如果扫描线经过圆时出现奇数个交点，则该直线与圆相交（扫描线法）。
① 交点在切线上；
① 确定圆心和半径，然后根据切线的判定条件求出切点；
② 针对某一求交点的定点，使各定点到圆心的距离相等，然后根据勾股定理求出交点。
（1）交点数目：一条直线与一个圆内含时，无交点。
① 切线内含于圆；
（3）判定方法：只需要判断过直线的所有圆的半径与直线的距离之差是否有大于零的情况即可。
总结：
在解决直线与圆的位置关系问题时，需要熟练掌握判定条件和数学技巧，才能快速判断它们的位置关系，从而有效地解决问题。
同时，本文的介绍也只是直线与圆位置关系的一些基本性质，实际问题中还可能存在更加复杂的情况和解决方法。
直线和圆的位置关系知识点归纳整理
直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。
此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。
2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。
3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。
直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。
2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。
d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。
如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
直线和圆位置关系的判定
判定直线与圆的位置关系常见的方式(1)几何法：利用弦心距d 与半径r 的关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程，再利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．例一、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； 方式一：证明：由⎩⎨⎧=++-+=12)1()1(122y x kx y ，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为∆＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． 方式二：证明：圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23， R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，因此R 2－d 2>0，即d <R ，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方式三：证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝R ，因此点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总通过圆C 内部的定点P .因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一路综合考虑，不要单纯依托代数计算，如此既简单又不容易犯错．针对性练习：1．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分没必要要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜12.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )(A)m ∥l ,且l 与圆相交 (B)m ⊥l ，且l 与圆相切 (C)m ∥l ,且l 与圆相离 (D)m ⊥l ,且l 与圆相离解析：选C.直线m 的方程为()a y b x a ,b -=-- 即ax+by-a 2-b 2=0,∵P 在圆内，∴a 2+b 2<r 2,∴m ∥l , ∵圆心到直线l 的距离222r d r,a b=>+ ∴直线l 与圆相离. 3．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①假设点P 在圆O上，那么直线l 与圆O 相切；②假设点P 在圆O 外，那么直线l 与圆O 相离；③假设点P 在圆O 内，那么直线l 与圆O 相交；④不管点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依照点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，假设点P 在圆O 上，那么x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；假设点P 在圆O 外，那么x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；假设点P 在圆O 内，那么x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．选A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.假设点P 到直线l 的距离为2，那么符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，那么知足题意的点P 有2个．答案：25．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_______。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系判定方法：（1）代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解得个数来判断△＞0表示直线和圆有2个交点，则相交△＝0表示直线和圆有1个交点或者说2个重合的交点，则相切△＜0表示直线和圆没有交点，则相离（2）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系来判断（1） 当d<r 时，直线与圆相交（2）当d=r 时，直线与圆相切（3）当d.>r 时，直线与圆相离倘若直线和圆的方程都告诉你让你判断它们之间的关系的时候，一般要结合图形解答，所以一般采用几何的方法，如果圆的方程告诉你了，但是直线的方程没有告诉你，让你根据一个点判断直线的斜率在什么范围内时用代数法。
例题1：直线0123=-+y x 与圆042422=-+++y x y x 的位置关系是例题2：已知圆822=+y x ，定点)0,4(P ,问P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：（1） 相切 （2）相交 （3）相离？并写出过点P 的切线方程二、求圆的切线问题的方法（1）求过圆上一点),(00y x 的圆的切线方程：先求切点与圆心得连线的斜率k ，油垂直关系，知切线斜率为k 1-，由点斜式方程可求得切线的方程，如果0=k 或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为a x b y ==或。
（2）求过圆外一点),(00y x 的圆的切线方程：（1）几何方法：设切线方程为)(00x x k y y -=-即o y kx y kx =+--00 由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出（2）代数方法：设切线方程为)(00x x k y y -=-即00y kx kx y +-=，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆求得k ，切线方程即可求出。
注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线。
例题1：圆的方程是1322=+y x 过其上一点（2,3）的切线方程？例题2：圆的方程是822=+y x ，过圆外一点（4,5）的切线方程？三、弦长问题的处理方法（1）几何法：即利用弦心距、弦长一半以及半径构成的直角三角形求解，即222)2(r d l =+（2）代数法：将直线方程与圆的方程练了，运用根与系数的关系，弦长公式是2121x x k AB -+=例题：求直线063:=-+y x l 被圆042:22=--+y y x C 截得的弦长（两种方法） 四、与圆有关的最值问题（1）运用几何及几何手段先确定达到最值的位置，再进行计算，（2）通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题例题1：点P 在直线0102=++y x 上移动，PB PA ,与圆422=+y x 分别相切于B A ，两点，则PAOB 面积的最小值为？例题2：已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x ，求（1）xy 的最大值与最小值（2）x y -的最大值与最小值（3）22y x +的最大值与最小值求解与圆有关的最大（小）值问题，应考虑圆的对称性，常与圆心、半径、切线有关，可借助图形性质，利用数形结合的方法处理（1） 形如ax b y u --=的最值问题，可转化为过定点),(b a 的动直线的斜率的最值问题 （2） 形如by ax t +=的最值问题，可转化为斜率为定值的动直线的截距的最值问题（3） 形如222)()(b y a x d -+-=的最值问题，可转化为定点),(b a 的距离的最值问题圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系及公切线的条数（1）⇔+>21r r d 外离⇔4条公切线 （2）⇔+=21r r d 外切⇔3条公切线（3）⇔+<<-2121r r d r r 相交⇔2条公切线 （4）d r r =-21⇔内切⇔1条公切线（5）⇔-<<210r r d 内含⇔无公切线例题：已知两圆4)2(22=+-y x 与1)4(22=+-y x ，求两圆的公切线？二、公共弦两圆相交时的公共弦所在的直线方程、两圆外切时的内公切线方程、两圆内切时的外公切线方程均是两圆方程作差， 消去二次项所得的直线方程。
圆和直线的位置关系
两圆位置关系的判定方法圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？可试用以下三种方法：1、利用定义，即用两圆公共点（交点）的个数来判定两圆的位置关系．公共点的个数0 1 2两圆位置关系外离或内含外切或内切相交因为这个方法较易理解，所以不再举例．2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：两圆外切<=> d＝R+r；两圆外离<=>d＞R+r；两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r两圆内切 <=>d＝R－r（R＞r）举两个例子帮助同学们理解一下：例题1：设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、外切或内切3、根据公切线的条数来确定两圆的位置关系公切线条数 4 3 2 1 0两圆位置关系外离外切相交内切内含例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）A、相交B、外离C、内切D、外切一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）A、外离B、内含C、外切D、外离或内含6、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数为（）A、1条B、2条C、3条D、4条7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、相交垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆的位置关系是几何学中的一个重要问题，它不仅涉及到理论研究，而且在实际应用中也具有广泛的用途。
在本文中，我们将介绍直线与圆位置关系的判定方法，包括以下几种情况。
1. 直线与圆相离
当直线与圆没有任何交点时，它们被称为相离。
此时，我们可以通过计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径来判断它们的位置关系。
如果距离大于半径，则直线与圆相离。
2. 直线与圆相切
当直线与圆只有一个交点时，它们被称为相切。
此时，我们可以通过计算直线到圆心的距离是否等于圆的半径来判断它们的位置关系。
如果距离等于半径，则直线与圆相切。
3. 直线与圆相交
当直线与圆有两个交点时，它们被称为相交。
此时，我们可以通过计算直线到圆心的距离是否小于圆的半径来判断它们的位置关系。
如果距离小于半径，则直线与圆相交。
4. 直线包含圆
当直线完全包含圆时，它们被称为直线包含圆。
此时，我们可以通过计算直线到圆心的距离是否小于圆的半径来判断它们的位置关系。
如果距离小于半径，则直线包含圆。
总之，通过上述方法，我们可以方便地判断直线与圆的位置关系，从而更好地理解几何学中的基本概念和理论。
直线与圆的位置关系
|a| 解析：(1)设圆心O(a,0)(a＜0)，则 5 ＝ 2 2 ⇒|a|＝5，得a＝－ 1 ＋2 5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5. (2)依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0， |a－1| 则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为 ， 2 根据勾股定理可得， |a－1| 2 ( ) ＋( 2)2＝|a－1|2， 2 解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)， 则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.
kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由 Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
(3)注意：过圆外一点圆的切线方程一定有两条． 2．圆的弦长的常用求法： (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 l 2 2 ( ) ＝r －d2 2 (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
4x－x2 有 ( )
B．[1－ 2，3] D．[1－2 2，3]
解析：在平面直角坐标系内画出曲线 y＝ 3－ 4x－x2与直线 y＝x，在平面直角坐标 系内平移该直线，结合图形分析可知，当 直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的 任何位置相应的直线与曲线 y＝3－ 4x－x2 都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆心、2 为半 径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y＝3－ 4x－x2都有公共点． 注意到与 y＝x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y＝x＋3；当直线 y＝x＋b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切 |2－3＋b| 时，有 ＝2，b＝1± 2 2.结合图形可知，满足题意的 b 的取 2 值范围是[1－2 2，3]．
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3.（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF4．∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．C B举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B，则AC 等于( )AC．．【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt△ABC中，AC==C ．类型三、三角形的内切圆5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠ ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数. 【答案与解析】解：∵O 是△ABC 的内心，∠A=50°，∴∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠， ∴∠BOC=180°-65°=115°.【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.C B。
直线与圆的位置关系(相交
二、直线与圆的位置关系（相交，相切，相离）已知圆()()()222:0C x a y b r r -+-=>，直线:0L Ax By C ++=。
1、位置关系的判定：判定方法1：联立方程组()()2220x a y b rAx By C ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩，得到关于x （或y ）的方程（1）0∆>⇔相交；（2）0∆=⇔相切；（3）0∆<⇔相离。
判定方法2： 若圆心(),a b 到直线L 的距离为d ，（1）d r <⇔相交；（2）d r =⇔相切；（3）d r >⇔相离。
例1、判断直线()():11210L m x m y m ++-+-=与圆22:9O x y +=的位置关系。
法一：直线():210L m x y x y -+++-=恒过点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且P 在圆O 内，所以直线L 与圆O 相交。
法二：圆心O 到直线L 的距离为d ==当3d <时，()()2221922m m -<+，2144170m m m R ∴++>∴∈ 所以直线L 与圆O 相交。
法三：联立方程，消去y 得()()22222142251480m x m m x m m +++--+-= ()()24322569692120684114417m m m m m m m ∴∆=-+-+=-++当1m ≠时，0∆>，直线与圆相交；当1m =时，直线L:12x =-，此时直线L 与圆O 相交。
[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的基本方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量的计算，因此体现了数形结合的优点。
例2、求圆221x y +=上的点到直线3425x y +=的距离的最大最小值 法一：设()cos ,sin P αα为圆上一点，则点P 到直线的距离为()5sin255dα+ϕ-==所以当()sin1α+ϕ=-时，max6d=，当()sin1α+ϕ=时，min4d=。
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课题名称：24.2．2直线与圆有关的位置关系
姓名：
林彩琴
工作单位：
温岭市长屿中学
学科年级：
九年级
教材版本：
人教版
一、教学内容分析
人教版《圆》本章在小学学过的一些圆的知识和上一章学习了旋转的知识的基础上来进一步研究圆的一些问题,《直线与圆的位置关系》是前面学习直线型有关知识的再应用。通过本章的学习为进一步培养合情推理能力，发展推理能力；进一步培养综
则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：
直线L和⊙O相交 d<r，如图（a）所示；
直线L和⊙O相切 d=r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离 d>r，如图（c）所示
创设轻松愉悦的课堂氛围。
对于问题一，学生用动手操作方法很容易解决，接着出示问题二，学生用填表解决困难，接着引导学生自己得出直线与圆的位置关系
4、已知⊙Ｏ的半径为 ，点Ｏ到直线 的距离为５厘、若⊙Ｏ与 相切，
则 ＝____________厘米.
做完后同桌互查，对于出现的问题，交流讨论清楚，并用红笔做好修改
小组内互说互听本节课学习要点，教师随意抽查
六、教学评价设计
1．d与r的数量关系和直线与圆的位置关系已知（）有些知（）不知（）。
2．会正确判断直线和圆的位置关系已会（）有些会（）不会（）。
二、合作探究，释疑解惑（一）阅读教材自学教材思考问题（二）思考：如何判断直线与圆的位置关系？（三）知识拓展
三、检测反馈，学以致用（一）先尝试自己解答（二）主题性展示
四、总结提炼，知识升华
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
合作探究，释疑解惑
（一）观看太阳升起的过程，思考：把海平面看成直线，太阳近似地的看成圆，在整个过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？
2、
2、
2、完成基本概念：
（（1）、直线与圆相交：
(2（2）直线与圆相切：
（3）直线与圆相离：
(
3 3、根据上面的变化填写下表
直线与圆
位置关系
直线名称
交点个数
交点名称
图形
D与R之间的
大小关系
相交
相切
相离
（二）思考：如何判断直线与圆的位置关系？
（（1）根据定义判断：
（2）⊙O半径为r，O到直线l的距离为d，
合运用所学知识，分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标
（1）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。
（2）会正确判断直线和圆的位置关系
（3）．经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题
重点：理解直线和圆的三种位置关系
难点：会正确判断直线和圆的位置关系
三、学习者特征分析
把实际问题抽象为数学方程的过程，体会方程式刻画现实世界的一种有效地数学模型，了解一元一次方程及概念，认识从算式到方程的数学的进步，能够在实际的问题中找出已知未知数，分析他们的关系。从而建立方程的思想。
四、教学过程
一、自主学习，基础过关（一）知识回顾，温故知新（小组讨论完成）
（二）自学自悟，自主检测
教师逐步引导学生，进而梳理有关概念。
通过动手操作考虑：
一是拉近了师生间的距离，能够激发学生的学习兴趣。
二是体会直线与圆的位置关系进步性有待于后续解决更复杂的问题中体会。
三是发挥了问题情境的教学价值。
结合实例，抽象概念
（三）知识拓展
例：例题：在Rt△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2(2)r=2 (3)r=3
通过启发学生思考，师生问答明确概念的内涵和外延，让概念的形成过程是一个充满探索的发现之旅。
由于学生在前面已经学习过圆的有关知识，调动学生的已有知识基础尝试直线与圆的位置关系的得出这样处理顺畅自然。
检测反馈，学以致用1、判断源自误：（1）、直线与圆最多有两个公共点。…（ ）
（2）、若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。… ( )
3能．感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题
能（）有些能（）不能（）。
教学反思：
从学生已有的知识经验出发,展开教学,使学生自然进入状态,一切都很顺畅，达到了课前设计的构想，在教学中突出学生的主体地位，突出探索式学习发式，让学生经历了操作、观察、实践等交流等活动，存在不足之处，由于学生基础不同，在总结问题时，有的学生明显信心不足，以后我一定要和他们多多沟通交流，帮助他们把复杂问题转化为简单问题。
（3）、若A是⊙O外一点，则直线AB与⊙O相切。… … ( )
（4）、若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。（）
2、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。
3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。