测量误差基本知识
测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
测量误差的基本知识
名称：测量误差的基本知识一、基本概念1．真值：一个物理量的真实数值称为真值。
真值是难以准确测量的。
2．约写真值：足够接近真值的量，它与真值的差异可以忽略不计，称这个量为约定真值。
3．标称值：测量器具上标注的数值称为标称值。
4．示值：在测量过程中，测量仪器、仪表的指示值简称示值。
5．影响量：影响测量仪器示值的任何量称为影响量。
6．测量误差：表示测量数值与被测量真值之间的差异称为测量误差。
二、误差的来源1．仪器误差由于仪器本身及附件的电气和机械性能不完善而引入的误差2．使用误差由于仪器的安装、布置、调节不当所造成的误差。
3．影响误差由于受外界温度、湿度、电磁场、机械振动等影响超出仪器技术条件而造成的误差。
4．人身误差由于测量者的分辨能力、工作习惯及责任心等原因引起的误差。
5．方法和理论误差由于采用测量方法或仪表选择不当所造成的误差称为方法误差。
测量时，依据的理论不严格或用近似公式、近似值（例如π，√2，√3等）计算等造成的误差称理论误差。
三、测量误差的表示方法1．绝对误差指测量结果与被测量的真值之差，（因通常真值不能确定，实际上用的是约定真值，一般指被测量的算术平均值或标准值）表示为Δx=x-x0x—测量结果，x0—约定真值，Δx —绝对误差（Δx有大小和符号，其单位与测量结果的单位相同）另：与Δx的绝对值相等但符号相反的量称为修正值。
（用C表示）C=–Δx= x0–x通过检定（校准），由上级标准仪器给出受检仪器的修正值。
因此，将测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的约定真值：x0=x+c我厂仪器分内检和外检两种，检定结果若合格（兰色标签），所得修正值都在公司许可的误差内（这样才能判为合格），对使用者测量不会产生影响，故不再给出修正值，使用者可认为所用仪器的测量结果是准确的。
对于“准用”的仪器，请参照“准用证”旁的准用说明，对测量结果予以修正。
2．相对误差指测量结果的绝对误差：Δx与真值x0之比δx=Δx/x0×100%3．引用误差指计量器具的示值的绝对误差与器具的特定值x lim（如计量的上限值，量程）之比即：δx lim=Δx/x lim×100%一般x lim常指满度值，因此，也称满度相对误差，它是指仪器仪表度盘上最大的绝对误差与量程值（满度值）之比的百分数。
测量误差的基本知识.
1）相同测量程序；2）相同测量条
件；3）相同观测人员；4）相同测量设
备；5）相同地点。
4
一、测量误差的几个名词术语
5、等精度测量：在同一条件下进行的一系列重 复测量。
6、误差公理：一切测量都具有误差，误差自始 至终存在于所有科学试验的过程之中。
研究测量误差的目的：寻找产生误差的原因， 认识误差的规律、性质，进而找出减少误差 的途径与方法以求获得尽可能接近真值的测 量结果。
7
1、 按误差的表示形式分
【例】要测稍小于80℃的温度，现在0.5级 的0～300℃和1.0级的0～100℃的两个温 度计，试问采用哪个温度计较好？
解：精度等级A=△x/（xmax－xmin）×100 ％
∴ε=△x/x= A×（xmax－xmin）/x
用0.5级时：ε1=300×0.5％/80=1.875％
从上述计算结果不难得出被测电源 电动势和内阻置信区间（K取3）内的测 量值分别为：
Ex Eˆ kˆEˆ 1.5150 0.0009V
Rx Rˆ kˆRˆ 0.37 0.03
44
4、 最小二乘法原理及其应用
2）在曲线拟合和回归分析中的应用 [例] 已知某一热敏电容传感器的温度
和电容值的实测数据如下表所示，试用 最小二乘法原理求其特性表达式。
I
A
用
【例】右图为电源电动 r 势E和电源内阻r的测 U
V
R
量电路，根据电路理 论，测量方程为已知
E
等精度重复测量的重
复测量的数据如下所
示，试求出E和r的估
计值和标准差。
37
4、 最小二乘法原理及其应用
i
Ii/mA
Ui/V
1
3.293
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
测量误差的基本知识
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。 思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长
的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多 少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 • 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln • 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n • 算术平均值原理:当n→∞时，L=X • 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX，
mz
(
f x1
)
2
m12
( f x2
) 2 m22
... ( f xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx
中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn
中误差：
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn
中误差：
mz m12 m22 ... mn2
此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精 度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即：
∆容＝士 2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
• 误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的 中误差分别为m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
第2章 测量误差基本知识
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(二)解：依题意，则
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ
125.77 125.74 125.72 125.78 125.75 125.73 125.71 125.79 125.76 1131.75
-2 +1 +3 -3 0 +2 +4 -4 -1 0
4 1 9 9 0 4 16 16 1 60
[例]如图，为求未知点F的高程，由已知点A、B、C、 D和E向F布设五条水准路线，构成具有一个节点的水准 网。各已知点高程、各水准路线长度及高差观测值列 于表中，试求算： 1.未知点F的高程最或然值HF及其中误差mF； 2.每公里水准路线高差测定的中误差m公里； 3.各条水准路线的高差观测值的中误差m1、m2、m3、 m4、m5 。 B
p
i
cN i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度s成反比
c pi s i
三、单位权中误差
其值恰为1的权称为单位权，此时,pi=1. mi= 与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位 权观测值L，单位权精度和单位权中误差。 设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1， L2，…，Ln (权为：p1，p2，…，pn),则
piδHi (mm) +16.0 -7.5 -16.0 +140.0 +60.0
vi (mm) +1 +8 +13 -2 -1
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差=真值-观测值一、误差产生的原因:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二 观测误差分类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m ，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋30213.167×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ)系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有： 1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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四、测量误差基本知识1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？3、何谓标准差、中误差和极限误差？4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。
计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。
表4-15、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差∆=α+β+γ-180︒，其结果如下：∆1=+3"，∆2=-5"，∆3=+6"，∆4=+1"，∆5=-3"，∆6=-4"，∆7=+3"，∆8=+7"，∆9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m∆以及三角形内角的测角中误差mβ。
图 4-16、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差m γ。
7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。
设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。
8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差m 和面积的中误差p m 。
9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m =m =m =m =±25mm ；按S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ⨯2a +3a ⨯4a ）/2计算面积，求周长的中误差m 和面积的中误差p m 。
10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a-b ，求m 。
（2）已知a m =m =±6"，β=a-c ，求βm 。
（3）已知a m =m =m ，S=100(a-b) ，求m 。
（4）已知D=()h S -，m =±5mm ，m =±5mm ，求m 。
（5）如图4-2，已知m =±40 mm ，ya m =±30 mm ；S=30.00m ，β=30︒ 15'10"，m =±5.0mm ，βm =±6"。
求P 点坐标的中误差xp m 、yp m 、M （M=mm+）。
PA B图 4-2（6）如图4-3，已知m =±40 mm ，ya m =±30 mm ；S=130.00m ，β=130︒ 15'10"，m =±5.0mm ，βm =±6"。
求P 点坐标的中误差xp m 、yp m 、M 。
图4-3（7）如图4-4，已知m =±40 mm ，ya m =±30 mm ；S=30.00m ， m =±5.0mm ，P 点位于AB 的延长线上。
求P 点坐标的中误差xp m 、yp m 、M 。
A B S P图 4-4（8）如图4-5，已知m =±40 mm ，ya m =±30 mm ；AP 距离S=30.00m ， m =±5.0mm ，P 点位于AB 的直线上。
求P 点坐标的中误差xp m 、yp m 、M 。
A PB S图 4-5 （9）已知h=Ssin α+i-L ，S=100m ， α=15︒30'；m =±5.0mm ，αm =±5 "，m =m =±1mm ，计算中误差m 。
（10）已知边长C=100m ，α=23︒15'，β=35︒25'；αm =βm =±5 "，m =±5 mm ，边长a 和b 可由下式求出：)sin(sin ;)sin(sin βααβαα+=+=c b c a ，计算中误差m 和m 。
11、限差讨论（1）已知m m ==±8.5 "，β=（L+R ）/2，f=L-R 。
求容许误差β∆、∆（∆取3倍中误差）。
（2）已知f=βββββ++++++......-(n -2)⨯180︒;βm =±8.5 ",求∆（∆取2倍中误差）。
（3）已知用J6经纬仪一测回测量角的中误差βm =±8.5 "，采用多次测量取平均值的方法可以提高观测角精度，如需使所测角的中误差达到±6 "，问需要观测几测回？（4）已知三角形三个内角α、β、γ的中误差αm =βm =γm =±8.5 "，定义三角形角度闭合差为：f=α+β+γ-180︒，求m 和∆（∆=3m ）。
（5）已知三角形三个内角α、β、γ的中误差αm =βm =γm =±8.5 "，定义三角形角度闭合差为：f=α+β+γ-180︒，α'=α- f/3；求αm 。
12、何谓不等精度观测？何谓权？权有何实用意义？13、某点P离开水准点A为1.44㎞（路线1），离开水准点B为0.81㎞（路线2）。
今用水准测量从A点到P点测得其高程为16.848m，又从B点至P点测得其高程为16.834m。
设水准测量高差观测值的权为路线长度（单位为㎞）的倒数，试用加权平均的方法计算P点的高程H P及其高程中误差ｍH（表4-3）。
表4-314、由实验和推算得知：在三、四等水准测量中，每观测一次的中误差（包括气泡居中误差、瞄准误差、读数误差、仪器误差和外界影响等）分别为±0.78mm和±1.04mm. 根据这两个数据, 并取两倍中误差作为容许误差, 推算验证现行规范中对黑红面读数差、黑红面高差之差的限差。
15、DJ6光学经纬仪出厂检验的精度为方向一测回中误差±6″，请推证：（1）半测回中照准单方向的中误差m方=±8.5″；（2）斗测回的测角中误差；（3）一测回的测角中误差等于照准单方向的中误差；（4）测回差的限差为±24″。
16、若三角形的三内角为α、β、γ，已知α及β角之权分别为4、2，α角的中误差为±9″，则（1）根据α、β计算γ角，求γ角之权pγ；（2）计算单位权中误差；（3）求β、γ角的中误差mβ和mγ。
17、已知观测值L1、L2、L3的中误差分别为±2″、±3″、±4″，应用公式p i=μ2/m i2完成以下作用；（1）设L1为单位权观测，求L1、L2、L3的权；（2）设L2为单位权观测，求L1、L2、L3的权；（3）设单位权中误差u=±1″，求L1、L2、L3的权；（4）根据以上结果，写出一组权的比例关系，并说明它与中误差表示精度的区别。
18、设观测一个方向的中误差（为单位权中误差）m0=±4″，求由两个方向组成角度的权。
19、设10km水准路线的权为单位权，其单位权中误差m0=±16mm,求1km水准测量的中误差及其权。
20、已知三角形三内角α、β、γ观测值的权分别为pα=1/2 、pβ= 1/2、 pγ=1/4，求三角形闭合差w的权倒数。
21、在图4-6中，B点的高程由水准点BM0经a、b、c三条水准路线分别测得，设每个测站观测高差的精度相同，若取一测站观测高差的权力为30，问a、b、c三段水准线的权各是多少？两点间高差最或然值的权又是多少？图4-622、已知在角度观测在一测回中误差为±4″，欲使测角精度提高一倍，问应观测几个测回？23、甲、乙、丙三人在A、B两水准点间作水准测量。
甲路线观测，高差为a，单位权中误差为±3mm，（以2公里为单位权）。
乙路线观测高差为b，单位权中说差为±2mm（为1公里为单位权）。
丙路线观测高差为c，单位权中误差为±4mm（以4公里为单位权）。
现欲根据a、b、c三值求A、B之间高差的带权平均值，试求三者的权之比。
24、X角为L1、L2两角之和，L1=32°18′14″，是由20次观测结果平均而得，每次观测中误差为±5″。
L2=80°16′07″，是由16次观测结果平均而得，每次观测中误差为±8″，如以±5″作为单位权中误差，求X角的权。
25、若要在坚强点间布设一条附含水准路线，已知每公里观测中误差等于±5.0mm，欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm，问该路线长度最多可达几公里?26、有单一水准路线AB,其距离S AB=40km,已知A、B两点高程的中误差为m a=±4mm,m b=±2mm。
15，问每公里观测高差的中误（相互独立），欲使路线上的最弱点的高程中误差为±mm差应为多少？最弱点在何处？27、设对10km的距离同精度丈量10次，令其平均值的权为5，现以同样等级的精度丈量2.5 km。
问丈量此距离一次的权是多少？在本题计算中是以几公里的丈量中误差作为单位权中误差的？28、已知L1、L2是相互独立的观测值，其中分别是σ1和σ2。
又知W1=3L1-L2，W2=L1+L2，而且有：3X1+X2-W1=0X1-X2-W2=0试求X1和X2的中误差σX1，σX2。
29、在同精度直接平差中，设被观测量的最或然值为X，第二个观测值及其改正数分别为L2、V2。
已知σX=±4.6cm，σV2=±10.2cm，试求L2的中误差是多少？解：∵L2=X-V2，σV22=±10.2cm，∴σL2=±11.2cm，这样解法对不对？为什么？。