二次根式知识点总结

二次根式知识点总结

王亚平

1.二次根式的概念

二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方

数，只有当a是一个非负数时，a才有意义.

2. 二次根式的性质

1. 非负性：心心-。）是一个非负数.

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.

2 （掐）2 =a（a H0）

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个

非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0）

—:a(a^0)

v a = a = *

I—a(a<0)

3.

注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.

3. 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式:

(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.

2、同类二次根式(可合并根式)：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

4. 二次根式计算分母有理化

1. 分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说

这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a.b 与 a - - b , a • b 与• a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

5. 二次根式计算——二次根式的乘除

1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。、ab = . a .. b(a _0, b _ 0)

2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

,.a.b = . ab(a 丄0, b 丄0)

3.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根

除以除式的算术平方根

(a _0,b _ 0)

4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数

的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还

要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.

6. 二次根式计算——二次根式的加减

二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式 (即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判

断。

2、二次根式的加减分三个步骤：

①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并. 但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.

b d be ad be ad

——土- = -土

（分母没有最小公倍数时）

--- = --

a e ae ae ae

7. 根式比较大小

1、根式变形法当a 0b 0时，①如果a b，则■ b；②如果a ：：： b , 则"-a -■ b。

2、平方法当a 0，b 0时，①如果a2 b2，则a b ；②如果a2：：： b2，则 a b。

3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

丄1

5、倒数法当a°，b 0时，①如果a b，则a ：b ;②如果a ：b ,则

1 1

—> —

a b。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① a -b Ou a b ‘② a-b ：：O= a . b

1 a b

8求商比较法它运用如下性质：当a O ，b 0时，贝V ：①b ； ②

-:：:1 ：= a ::: b b

6、媒介传递法

行比较。

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进

配套真题

1. （2017重庆）估计10 1的值应在（）

A. 3和4之间

B. 4和5之间

C. 5和6之间

D. 6 和7之间

2. （2017南京）若3y10，则下列结论中正确的是（）

A. 1

B. 1

C. 2

D. 2

3. （2017广安）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取

值范围是（）

A. x>2

B. x > 2

C. x<2

D. x=2

4. （2017济宁）若dx-1（-* 1在实数范围内有意义，贝U x满足的

条件是（）

A. B. C. D.

5. （2017贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（）

fl

A. -J2

B. 尿

C. 卞5

D. 幅

6. （2017常德）计算：一2-如_________

7. （2017北京）写出一个比3大且比4小的无理数：_____________

8. __________________________________________________________ （2017荆门）已知实数m,n满足门-彳+山+仁0，则m+2n的值为_________________