函数的单调性 对称性和周期性

函数的单调性 对称性和周期性

考点１ 函数单调性判断的两种思维方法

讨论函数f （x ）=x+x a

（a>0）的单调性

.

方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x1>x2>0,则

f(x1)-f(x2) =（x1+1x a ）-（x2+

2x a ）=(x1-x2)·（1-21x x a ）. ∴当01,则f （x1）-f （x2）<0，即f(x1)

上是减函数.当x1>x2≥a 时，0<21x x a

<1，则f （x1）-f （x2）>0,即f(x1)>f(x2),

故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数；

f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数.

方法二 由)(x f '=1-2x a

=0可得x=±a 当x>a 时或x<-a 时，)(x f '>0,∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数.同理0

<0

即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 例（０８ 江西） 若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数

1()()()F x f x f x =+的值域是 解析 整体变量认识()y f x =，换元化归对号函数的区间上的单调性求值域， 令()t f x =，则1[,3]2t ∈，1()F x t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上递减，在[]1,3上递增，则

110()[2,]3F x t t =+∈； 感悟 对号函数函数y=au+u b

(a 、b ∈R 的常数)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）,其图象

关于原点对称.当a>0,b>0时的常数，其图象在⎥⎦⎤ ⎝⎛a b ,0

，⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭

上单调递减，在

,⎛-∞ ⎝⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b 上单调递增，在（0，+∞）上图象似“对号”的形状，故简称为“对号函数” .本题不就是换元法化归对号函数区间上的单调性求最值吗？

考点２ 复合函数确定单调区间树立定义域优先的意识

例 求函数y=21

log （4x-x2）的单调区间.

解 由4x-x2>0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=21

log

t.

∵t=4x-x2=-(x-2)2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］

. 又y=21

log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21

log （4x-x2）的单调减区间是（0，2］，

单调增区间是［2，4).

例 要使函数 ()⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,242x x x ax x x f a 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围为

A ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0

B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21

C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21

D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛1,4321,0

解析 认识R 上单调的意义，注意分界点处函数值满足的条件，构建不等式组有432

11log 1411242≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥a a a a

点评 本题由06北京高考题改编而来，考查R 上单调的意义，对分界点处要注意两段函数函数值的大小关系，对运动变化观念和数形结合思想的应用都进行了考查。

考点３ 复合函数的＂同步为增，异步为减＂的认识和应用

考点４ 函数的奇偶性和对称性

定义在R 的函数()x f y =在()a ,∞-上是增函数，且函数()a x f y +=是偶函数，当a x a x a x a x -<-><2121,,时，有

A ()()2122x a f x a f ->-

B ()()2122x a f x a f -=-

C ()()2122x a f x a f -<-

D ()()212,2x a f x a f --大小不确定

解析 由复合函数的对称轴确定外层函数的对称轴，借助图像平移研究，()a x f y +=是偶函数向右平移a 个单位得到()x f y =，则其对称轴为a x =，注意到()x f y =在()a ,∞-上是增函数和a x a x a x a x -<-><2121,,的意义作草图可知有()()2122x a f x a f ->-；

点评 复合函数与其外层函数之间的关系，借助图象变换认识直观，利用对称性和单调性比较大小，这是函数图像和性质的具体应用。

例 （０８重庆）若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是

A f(x)为奇函数

B f(x)为偶函数

C f(x)+1为奇函数

D f(x)+1为偶函数 解析：赋值运算为突破口。

令x1=x2=0,可得1)0(-=f ，于是令x1=x,x2=-x 即得2)()(-=-+x f x f ，f(x)的图像关于)1,0(-对称，所以f(x)+1的图像关于)0,0(对称，f(x)+1为奇函数，选c.

点评 若如果对于定义域内的任意一个x 的值，)()(x b f x a f --=+.则函数)(x f 的图像关于点(

,0)2a b +中心对称.特别地，若),()(x a f x a f --=+则函数)(x f 的图像关于点)0,(a 中心对称. 这是研究函数本身关于特殊点对称的充要条件。

例（０８全国1）奇函数)(x f ，且在在),0(+∞上为增函

数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--x x f x f 的解集为（ ）

A ),1()0,1(+∞⋃-

B )1,0()1,(⋃--∞

C ),1()1,(+∞⋃--∞

D )1,0()0,1(⋃-

答案：D ；

解析 注意函数)(x f 图象关于原点对称的特征，则()()f x f x -=-化简函数不等式

0)()(<--x x f x f 等价于0)(

方法1：利用函数)(x f 图象关于原点对称和同号特征，原不等式等价于0)(

可得不等式的解集为)1,0()0,1(⋃-，选D.

f(x)f(x)

2f(x)2f(x)=f(x)=<0x x

f(x)x y=f(x)y=x D －－解析 由函数图象关于原点对称即－－，∴

∴与异号，可以画出两个特殊图象和即为答案为。 点评 认识和理解图象关于原点对称的意义()()f x f x -=-，认识函数图象的对称性和同号的简化功能的认识，对应法则不确定的函数构造模拟函数使复杂问题简单化，这是构造的数学思想和方法的体现。本题的两种构造模拟函数的方法，来源于平时对函数求解总结提炼和积累，要好好回味不同的构造函数模型的过程，自觉提高求解抽象函数问题的能力。 考点５ 抽象函数中注意其对称性和周期性的探究

例 定义在R 上的奇函数()x f 满足()()11,23=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=f x f x f ,则