无理数的概念
借助实例,归纳出无理数的性质及其运算规则
借助实例，归纳出无理数的性质及其运算规则知识点：无理数的性质及其运算规则一、无理数的定义与性质1.无理数是不能表示为两个整数比的实数，其小数部分是无限不循环的。
2.无理数与有理数统称为实数，共同构成了数轴上的所有点。
3.无理数不能精确表示，通常用无限不循环小数或π表示。
4.无理数具有非周期性、非对称性和非线性等特点。
5.无理数可以分为三种类型：带根号的不可约根式、含有π的三角函数值和一些特定算术表达式。
二、无理数的运算规则1.加法：两个无理数相加，仍为无理数。
2.减法：无理数减去有理数，结果为无理数；两个无理数相减，仍为无理数。
3.乘法：两个无理数相乘，仍为无理数。
4.除法：无理数除以有理数，结果为无理数；无理数除以无理数，结果可能为有理数或无理数。
5.幂运算：无理数的幂运算遵循指数法则，如(a^m a^n = a^{m+n})，其中a为无理数，m、n为整数。
6.根式运算：无理数的根式运算，如开平方、立方根等，结果仍为无理数。
7.三角函数运算：正弦、余弦、正切等三角函数，其结果为无理数。
三、无理数的相关概念1.平方根：一个数的平方根是指乘以自身等于该数的非负实数。
2.立方根：一个数的立方根是指乘以自身两次等于该数的实数。
3.π（圆周率）：π是一个常数，表示圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。
4.指数函数：以e（自然对数的底数）为底的指数函数，如(e^x)，其中e约等于2.71828。
四、无理数在实际应用中的例子1.物理学：在研究振动、波动等物理现象时，常涉及无理数，如圆频率ω=2πf。
2.几何学：在计算圆的周长、面积等几何问题时，会用到π。
3.工程学：在建筑设计、机械制造等领域，无理数应用于计算角度、弧长等。
4.计算机科学：在二进制与十进制的转换中，无理数起到了关键作用。
通过以上归纳，我们可以了解到无理数的基本性质和运算规则，以及在实际应用中的广泛场景。
在学习和掌握无理数的过程中，要注重理论联系实际，提高自己的数学素养。
认识无理数
认识无理数认识无理数无理数是一种特殊的数，它无法表示为两个整数的比值，也不能用分数或者小数表示。
无理数是一种无限不循环的小数，它的小数部分永远不会重复。
在古代，无理数的概念并不存在。
古代数学家和自然哲学家们认为宇宙中的一切事物都可以用有理数表示和理解。
然而，随着数学的发展，人们意识到有些长度是无法用有理数来表示的，比如一条边长为1的正方形的对角线。
最早提出无理数概念的数学家是希腊哲学家毕达哥拉斯。
他发现了一个不能表示为两个整数之比的数，即根号2。
这个数字是无理数的典型例子，它的小数部分是无限不循环的。
希腊人因此认识到，数学上还存在着一种新的数。
接下来的几个世纪里，数学家们对无理数的理解有所深化。
公元3世纪的数学家阿基米德成为了解析无理数的先驱之一。
他创造了一个近似求出根号2的方法，即不断逼近根号2的有理数序列。
这种方法被称为连分数方法，是一种处理无理数的常见技巧。
然而，数学家们很快意识到连分数方法有一定的限制，无法涵盖所有无理数。
在17世纪，法国数学家笛卡尔提出了重要的思路，他认为无理数应该通过代数的方式来研究。
这种代数方法的奠基人是德国数学家弗朗茨·韦尔斯特拉斯和理查德·迪德金德。
他们通过用代数方程来表示无理数，进一步深化了对无理数的理解。
无理数的概念在数学发展的过程中发挥了重要作用。
需要指出的是，无理数不仅仅是指那些无法用有限小数表示的数。
根号2是一个无理数，但是根号4是一个有理数，因为它可以表示为2的平方根。
无理数在现代数学中有着广泛的应用。
在几何学中，无理数广泛用于测量，比如计算圆的周长和面积。
在物理学中，无理数被用来表示实际世界中的各种测量结果，比如重力加速度、电荷大小等等。
无理数的一些性质也是数学家们关注的重点。
无理数是无限不循环的，这意味着它的各个数字不会重复出现。
这种无限性质使得无理数具有不可数性，也就是说无理数的个数是不可数的。
同时，无理数和有理数的关系也是研究的一个重要课题。
无理数和有理数的概念是什么
无理数和有理数的概念是什么无理数和有理数的概念是什么呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编小编为大家整理的“无理数和有理数的概念是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
在数学中，将不可以化为整数或者整数比的实数称为无理数，也就是无限不循环的小数。
除了无理数之外实数都是有理数，有理数是由整数或整数的比率(即分数)构成的实数。
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。
0是绝对值最小的有理数。
正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何-个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。
无理数的性质是不能用分数表示，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会有规律地进行循环，也就是说无理数就是无限不循环的小数。
而有理数是由全体分数和整数组成，总能写成整数、分数、有限小数或无限循环小数。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、圆周长与其直径的比值(π)、欧拉数e、黄金比例φ等等。
有理数是指两个整数的比，可以是整数(整数也可看做是分母为一的分数)，也可以是分数。
如果用小数来表示有理数，应该是有限小数或为无限循环小数。
元素为全体有理数的集合称为有理数集，有理数集一般用大写黑正体符号Q表示。
以上就是无理数和有理数的定义。
数学中的数是个最大的概念，复数包括实数和虚数，实数又包括有理数和无理数，有理数又包括整数和分数，要想学好数学，就一定要弄清这些概念正确的含义。
1.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.互为相反数的两数相加得0。
4.一个数同0相加仍得这个数。
5.互为相反数的两个数，可以先相加。
6.符号相同的数可以先相加。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念
有理数和无理数
有理数是指可以写成分数形式的数，包括整数和分数。
而无理数则是指无限不循环小数的数，例如圆周率和根号2等。
有理数可以进一步分为整数和分数两类。
整数和分数都可以表示成分数的形式，因此它们都属于有理数的范畴。
另外，零既不是正数也不是负数，但它也是有理数。
无理数的定义有两个前提条件，即它是无限的且不循环。
无理数可以被看作是无限不循环小数，而有理数则可以是有限小数或无限循环小数。
不同于有理数，无理数无法被写成分数的形式。
因此，无理数和有理数是有区别的。
有理数可以表示成m/n的形式，其中m和n是整数，n不等于0.而实数可以分为正数、负数、正分数、负分数、正无理数和负无理数等多种类型。
需要注意的是，通常将正数和零统称为非负数，将负数和零统称为非正数。
同时，正整数也被称为自然数，而负整数则被称为非正整数。
最后，需要注意的是几个易混淆的概念，包括非负数、非正数、非负整数和非正整数等。
如果用字母表示数，则a＞表示a是正数，a＜表示a是负数，a表示a是非负数，而a表示a是非正数。
数学无理数的性质与应用
数学无理数的性质与应用数学教案：无理数的性质与应用引言：无理数是数学中的一个重要概念，它不可被表示为有限小数或有限分数。
本教案旨在通过深入探讨无理数的性质与应用，让学生更好地理解和应用无理数的概念。
一、了解无理数无理数是指不能用两个整数的比值表示的数，包括无穷不循环小数或无限不重复小数。
它们的存在性可以通过间断性来证明。
让我们从以下几个角度来了解无理数的性质。
1. 无理数的发现历史无理数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
毕达哥拉斯学派的发现者们最初相信所有的数都是可以表示为有理数，但是随着对勾股定理的研究，他们发现了像√2这样的数字，解释为无法用两个整数的比值表示。
2. 无理数的表达方式无理数可以以数列的极限形式或者是方程的根的形式来表达，比如通过求解方程x^2=2来得到√2。
在数轴上，我们常将无理数表示为一个无限不循环小数的位置。
3. 无理数和有理数的比较相比于有理数，无理数在数轴上的分布更加稀疏，几乎是无缝连接的。
有理数和无理数的集合合起来构成了实数集。
二、无理数的性质接下来，我们将讨论一些无理数的性质，从基础概念到深层次的推理。
1. 无理数的不可数性通过反证法，可以证明无理数的不可数性。
这意味着即使我们找到一个无理数，总是可以找到另一个更小或更大的无理数。
2. 无理数的无限性无理数是无穷不循环小数，它没有固定的重复模式。
对于每个无理数，我们都可以找到一个更长的无理数。
3. 无理数的无法精确表示无理数不能通过一个确定性的算法来精确表示，我们可以通过逼近无理数来进行计算。
4. 无理数与连续分数我们可以通过连续分数的形式来逼近无理数，这种表示方式能够提供一个有理数序列。
三、无理数的应用无理数在现实生活中有着广泛的应用。
下面我们来探讨几个无理数的实际应用。
1. 几何图形中的无理数在三角形和圆等几何图形的计算中，无理数经常出现。
比如，通过勾股定理可以解决很多关于无理数的问题。
2. 金融领域中的无理数金融领域的计算中，无理数有着重要的应用，例如计算财务利率和复利等。
无理数的性质及运算规律
无理数的性质及运算规律一、无理数的定义1.无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
2.无理数不能精确地表示为分数形式，其小数部分既不会终止也不会无限重复。
二、无理数的性质1.transcendental number：无法表示为任何一种函数的根，如π和e。
2.不可数性：无理数集合中的元素无法与自然数一一对应，即无法数清无理数的个数。
3.均匀分布性：无理数在小数点后的每一位出现的概率是相等的。
4.无法表示为有限或无限循环小数：与有理数相区别的根本特征。
三、无理数的运算规律1.加减法：无理数加减无理数仍为无理数。
示例：√2−√2=02.乘除法：无理数乘以无理数仍为无理数。
示例：√2×√2=23.乘方：一个无理数的平方仍为无理数。
示例：(√2)2=24.无理数与有理数的运算：结果为无理数或是有理数，取决于运算方式。
示例：√2+1（无理数与有理数和为无理数）5.根号的性质：只有非负实数的平方根才是无理数。
示例：√(−2)没有实数解四、无理数在日常生活中的应用1.测量与工程：角度、几何尺寸的精确度等。
2.物理科学：自然界的许多现象与数学常数相关，如π在圆的周长与直径的比值中。
3.计算机科学：算法中的随机数生成、加密等领域。
五、无理数的估算与近似1.逼近法：使用有理数逼近无理数的值，如用分数近似π。
2.近似值：在需要的精度范围内，对无理数进行近似取值。
示例：π≈3.14六、无理数在数学中的地位1.实数体系：无理数与有理数共同构成实数集，是数学分析、微积分等高级数学分支的基础。
2.数论：无理数在数论中有着广泛的应用，如素数的分布等。
3.几何学：无理数在几何形状的计算和理论分析中不可或缺。
总结：无理数是实数的重要组成部分，其独特的性质和运算规律在数学、科学及日常生活中具有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？方法：无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
无理数发展简史
无理数发展简史简介：无理数，也称为超越数，是指不能表示为两个整数的比值的实数。
无理数的发现和发展是数学领域的重要里程碑之一。
本文将详细介绍无理数的起源、发展和重要里程碑，以及无理数在数学和科学领域的应用。
1. 无理数的起源无理数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边长是一个有理数。
然而，他们发现某些直角三角形的斜边长无法用有理数表示，这就引起了无理数的研究。
2. 无理数的发展2.1 古希腊时期古希腊数学家们开始研究无理数，并提出了一些无理数的例子。
其中最著名的是毕达哥拉斯学派的发现，他们证明了根号2是一个无理数。
2.2 欧几里德时期欧几里德在其著作《几何原本》中系统地研究了无理数，并给出了一种用连分数表示无理数的方法。
他还证明了根号2是一个无理数，并提出了无理数的性质。
2.3 近代数学时期在16世纪和17世纪，无理数的研究得到了进一步发展。
法国数学家笛卡尔和德国数学家勒让德等人对无理数进行了深入研究，并提出了更多无理数的例子。
3. 无理数的重要里程碑3.1 无理数的定义19世纪初，德国数学家魏尔斯特拉斯给出了无理数的严格定义，即不能表示为有理数的实数。
3.2 无理数的分类20世纪初，法国数学家勒贝格提出了无理数的分类方法，将无理数分为代数无理数和超越无理数两类。
代数无理数是满足某个代数方程的实数，而超越无理数则不能满足任何代数方程。
3.3 无理数的性质研究数学家们对无理数的性质进行了深入研究，包括无理数的逼近性质、无理数的连分数表示等。
他们发现无理数具有丰富的性质，对数学的发展起到了重要作用。
4. 无理数在数学和科学中的应用4.1 几何学中的无理数无理数在几何学中有广泛的应用，例如用无理数表示线段的长度，解决一些几何问题等。
4.2 物理学中的无理数无理数在物理学中也有重要的应用。
例如，无理数在量子力学中用于描述粒子的位置和动量等物理量。
有理项与无理项的概念
有理项与无理项的概念有理项与无理项的概念一、引言在数学中，我们常常会遇到有理项和无理项。
有理项和无理项是代数式中的两个重要概念。
它们在代数运算、方程解法、数学推导等方面都有着广泛的应用。
二、有理数和无理数的基本概念1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数字，即可以写成分数形式的数字。
例如，1/2、3/4等都是有理数。
它包括正整数、负整数、零以及正分数和负分数。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数字，即不能写成分数形式的数字。
例如，π和√2等都是无理数。
三、代数式中的有理项和无理项1. 代数式代数式是由数字、变量以及加减乘除等基本运算符号组成的表达式。
例如，3x+2y-5z就是一个代数式。
2. 有理项有理项是指代表一个有理数字（包括整型和分型）的部分。
例如，在3x+2y-5z中，3x、2y和-5z都是有理项。
3. 无理项无理项是指代表一个无法表示为一个整型或分型的数字的部分。
例如，在代数式√2x+3y-πz中，√2x和πz都是无理项。
四、有理项和无理项的运算1. 加减法有理项之间可以进行加减法运算。
例如，3x+2y-5z+4x-3y+6z可以化简为7x-z。
2. 乘法有理项之间可以进行乘法运算。
例如，(3x+2y)(4x-5y)可以化简为12x²-7xy-10y²。
3. 除法有理项之间也可以进行除法运算。
例如，(3x²+6xy)/(3x)可以化简为x+2y。
五、应用举例1. 方程解法在解一元二次方程时，我们常常会遇到无理数根。
例如，在求解方程x²+5=0时，我们需要求出√5这个无理数根。
2. 几何应用在几何中，我们常常会遇到无理数的概念。
例如，在求一个正方形的对角线长度时，我们需要使用√2这个无理数。
六、总结有理项和无理项是代数式中的两个重要概念。
它们在代数运算、方程解法、几何应用等方面都有着广泛的应用。
了解它们的概念和运算规则，对于学习和应用数学知识都有着重要的作用。
2无理数与实数
第二讲 无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏． 对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】 把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}． 点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】 解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】 对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495； 乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？ 分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1． 小数，叫做无理数。
无理数发展简史
无理数发展简史简介：无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。
它们的发展历史可以追溯到古希腊时期。
本文将介绍无理数的起源、发展和重要里程碑，以及无理数在数学和科学领域的应用。
1. 起源和发展：无理数的概念最早可以追溯到公元前5世纪的希腊。
当时，希腊数学家毕达哥拉斯发现了一个有理数无法表示的长度，即边长为1的正方形的对角线。
他们发现这个长度无法用两个整数的比例来表示，因此称之为无理数。
2. 无理数的重要里程碑：2.1 古希腊时期：在希腊数学家中，毕达哥拉斯的学派最早研究了无理数的性质。
他们发现了无理数的存在，并提出了"无理数定理"，即开平方根不是有理数的情况。
2.2 欧几里得时期：欧几里得在其著作《几何原本》中系统地研究了无理数的性质。
他证明了无理数的存在，并给出了一种构造无理数的方法，即通过几何图形的长度来表示。
2.3 文艺复兴时期：在文艺复兴时期，数学家开始更深入地研究无理数。
其中最著名的是意大利数学家费拉里，他提出了一种用连分数表示无理数的方法，这种方法成为了后来研究无理数的重要工具。
2.4 19世纪：19世纪是无理数研究的重要时期。
法国数学家勒贝格在1837年证明了开平方根的无理性，奠定了无理数理论的基础。
此后，无理数的研究得到了更深入的发展。
3. 无理数的应用：无理数在数学和科学领域有着广泛的应用。
以下是一些重要的应用领域：3.1 几何学：无理数在几何学中起着重要的作用。
例如，黄金分割比例就是一个无理数，它在建筑和艺术中被广泛应用。
3.2 物理学：无理数在物理学中也有着重要的应用。
例如，波长、频率和能量等物理量通常是无理数，它们在光学、声学等领域的研究中起着关键作用。
3.3 金融学：无理数在金融学中也有着应用。
例如，无理数的随机性质被用于金融市场的预测和风险管理。
4. 总结：无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了希腊、欧几里得、文艺复兴时期和19世纪的重要研究。
无理数运算
无理数运算无理数运算是数学中一个非常重要的概念，在数学的发展历程中也扮演了非常重要的角色。
所谓无理数，就是无法用分数形式表示的数，比如$\sqrt{2}$和$\pi$。
一、无理数概述1.1 定义无理数是指不能写成分数形式的实数。
所谓分数形式，指的是一个有理数的分子和分母都是整数，并且分母不为零。
1.2 例子最常见的无理数是$\sqrt{2}$，其实$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等等无限多个数都是无理数。
除此之外，$\pi$、$e$、黄金分割数$\phi$等也是无理数。
1.3 区别有理数和无理数是数学中两个互不相同的概念，有理数指的是可以写成分数形式的数，而无理数则意味着不能够写成此形式的数。
二、无理数运算2.1 加法两个无理数的加法，只需将它们的代数和相加即可。
例如：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$我们可以考虑一下近似值，即将$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$都换算成有理数然后相加，无理数的近似值为$2.4$和$1.7$，两者相加得$4.1$。
但是，这不是真正的解决方案，我们不能确定这是精确的答案。
另一种方法，我们可以利用公式：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$用这个式子可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$平方，则得出：$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3$所以，$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{6}+1.4$但是，这个值来自近似，不是准确的值。
更多地，这并不是唯一的方法来处理无理数。
《数论导引》提到一个更好的方法，可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$从经典几何角度考虑。
若$AB=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3}$，如图所示，则应用勾股定理，有：$AC^2 = AB^2 + BC^2=2+3=5$因此，$AC=\sqrt{5}$，也就是说，$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$这样我们得到了准确的结果。
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是数学中一个重要的概念，它是指无法用两个整数的比值来表示的数。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数的概念逐渐被确立并发展壮大。
本文将从古希腊时期开始，梳理无理数的发展简史。
一、古希腊时期1.1 比例问题在古希腊时期，数学家们开始研究比例问题，发现有些长度无法用有理数表示。
1.2 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为一切都可以用整数比例表示，但后来发现根号2是一个无理数。
1.3 无理数的概念确立古希腊数学家们开始接受无理数的概念，并尝试用几何方法来解释。
二、欧几里德时期2.1 几何方法欧几里德提出了几何方法来解释无理数，例如用线段的比例来表示无理数。
2.2 《几何原本》欧几里德的《几何原本》中包含了许多关于无理数的证明和理论。
2.3 无理数的普及欧几里德的工作使无理数的概念得到更广泛的认可和理解。
三、十七世纪3.1 代数方法十七世纪，代数方法开始被应用于无理数的研究，例如用代数方程式表示无理数。
3.2 代数学派代数学派的数学家们开始探索无理数的性质和运算规律。
3.3 无理数的广泛应用无理数的概念在代数学中得到广泛应用，成为数学研究的重要组成部份。
四、十九世纪4.1 连续性问题十九世纪，数学家们开始研究无理数与连续性的关系，引入了实数的概念。
4.2 实数系统实数系统包括有理数和无理数，形成为了完备的数学体系。
4.3 无理数的现代意义无理数在数学和物理学中有着重要的应用，成为现代科学研究的基础。
五、现代数学5.1 无理数的推广在现代数学中，无理数的概念得到了进一步的推广和发展，涉及到更多的数学领域。
5.2 计算机科学在计算机科学中，无理数的概念被广泛应用于算法和数据处理。
5.3 无理数的未来无理数作为数学中重要的概念，将继续在数学和科学研究中发挥重要作用，推动数学的发展和进步。
结论：无理数的发展简史可以追溯到古希腊时期，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数的概念逐渐被确立并发展壮大。
无理数发展简史
无理数发展简史无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数。
它们的小数部份是无限不循环的，因此无法用有限的小数或者分数来准确表示。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，以下将详细介绍无理数的发展简史。
1. 古希腊时期的无理数概念在古希腊时期，毕达哥拉斯学派提出了“一切都可以用有理数来表示”的观点，即一切可以用整数或者整数的比值来表示。
然而，毕达哥拉斯学派的成员发现了一种无法用有理数表示的量，即根号2。
他们发现，根号2的小数部份是无限不循环的，无法用有限的小数或者分数来准确表示。
这就是无理数的最早概念。
2. 无理数的发展与研究在古希腊时期，无理数的发展并不十分深入。
直到公元3世纪，希腊数学家阿基米德提出了无理数的近似计算方法。
他使用了一个无穷的分数序列，逐步逼近无理数的真实值。
这种方法被称为阿基米德逼近法，为无理数的研究奠定了基础。
3. 无理数的数学形式定义无理数的数学形式定义最早可以追溯到17世纪。
法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼茨分别提出了无理数的代数定义和几何定义。
笛卡尔认为无理数可以用代数方程的根来定义，而莱布尼茨则认为无理数可以用几何图形的长度来定义。
这两种定义为无理数的进一步研究提供了方向。
4. 无理数的重要性和应用无理数在数学中扮演着重要的角色。
它们被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
例如，无理数在几何中用于描述无法用有理数表示的长度或者面积。
在物理学中，无理数被用来描述波长、频率等连续变化的物理量。
在工程领域，无理数在测量和计算中起到了重要的作用。
5. 无理数的发展与现代数学随着数学的发展，无理数的研究也在不断深入。
19世纪末，德国数学家戴德金提出了无理数的连分数表示法，这种表示法可以将无理数表示为一个无穷的分数序列。
20世纪，无理数的研究进一步发展，包括无理数的性质、无理数的分类等方面。
总结：无理数的发展可以追溯到古希腊时期，毕达哥拉斯学派最早提出了无理数的概念。
随后，阿基米德提出了无理数的近似计算方法，并为无理数的研究奠定了基础。
无理数概念
无理数的概念
---------------------------------------------------------------------- 在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
1、无理数的概念。
无理数是指突数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常贝的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例p等等。
无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
2、有理数和无理数的区别。
(1)性质区别：
有理数是两个整数的比，总能写成整数、有限小数或无限循环小数;无理数不能写成两个整数之比，是无限不循环小数。
(2)结构区别：
有理数是整数和分数的统称;无理数是所有不是有理数的实数。
(3)范围区别：
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行;无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中一个重要的概念，它是指不能表示为两个整数的比值的实数。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历程，包括无理数的发现、定义以及对数学发展的重要影响。
二、古希腊时期的无理数在古希腊时期，人们发现了一些无法用有理数表示的长度，例如，两条边长为1的正方形的对角线长度。
这种长度无法用有理数的比值来表示，被称为无理数。
然而，古希腊数学家并没有给无理数一个明确的定义，而是将其视为一种特殊的数。
三、无理数的发现直到公元5世纪，印度数学家阿耶巴塔发现了一种无理数，即根号2的无限不循环小数表示。
他证明了根号2不是有理数，并用几何方法进行了解释。
这一发现对无理数的研究起到了重要的推动作用。
四、无理数的定义在17世纪，法国数学家笛卡尔和德国数学家勒让德分别给出了无理数的定义。
笛卡尔将无理数定义为不能表示为代数方程的根的实数，而勒让德将无理数定义为无限不循环小数。
这两种定义为无理数的研究提供了更为清晰的框架。
五、无理数的性质无理数具有一些特殊的性质，例如，无理数的平方是有理数。
这一性质可以通过反证法证明，即假设无理数的平方是有理数，然后推导出矛盾的结论。
这一性质为无理数的研究提供了一种重要的方法。
六、无理数的应用无理数在数学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，无理数可以用来表示无法精确计算的长度，如圆周率π和黄金分割比例。
在物理学中，无理数也被用来描述一些自然现象，如波动和振动。
七、无理数的发展对数学的影响无理数的发现和研究对数学的发展产生了深远的影响。
它打破了传统的数学观念，拓宽了数学的研究领域。
无理数的引入使得数学能够更好地描述现实世界中的问题，并推动了数学的发展和应用。
八、结论无理数作为数学中的一个重要概念，经历了漫长的发展历程。
从古希腊时期开始，人们发现了无法用有理数表示的长度，逐渐认识到无理数的存在。
随着时间的推移，无理数的定义和性质得到了进一步的研究和发展，对数学的发展产生了重要的影响。
有理数和无理数的定义
有理数和无理数的定义
定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e等。
无理数和有理数的区别：
1、两者概念不同。
有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。
无理数，也称为无限不循环小数。
简单来说，无理数就是10进
制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。
2、两者性质不同。
有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。
无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。
3、两者范围不同。
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。
而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能表示为两个整数的比值的数。
在数学发展的历史中，无理数的概念起初是被人们所拒绝的，但随着数学理论的不断发展，无理数逐渐被接受并得到了广泛应用。
本文将从无理数的起源、发展以及应用等方面进行详细介绍。
二、无理数的起源1. 古希腊时期的发现在古希腊时期，人们开始研究几何学，并发现了一些无法用有理数表示的长度，比如对角线长为边长的正方形。
这些无法用有理数表示的长度被称为无理数。
2. 毕达哥拉斯学派的反对毕达哥拉斯学派是古希腊最早的数学学派之一，他们坚信一切可以用有理数表示。
然而，当他们发现根号2是一个无理数时，他们的信念受到了严重的冲击。
据传，毕达哥拉斯学派的成员甚至将发现这一事实的人推入海中，以保护他们的信念。
三、无理数的发展1. 近似表示在古希腊时期，人们开始使用近似值来表示无理数。
例如，阿基米德使用多边形的内接和外接逼近圆周率，并计算出了一个近似值3.14。
这种方法在无理数的研究中起到了重要的作用，为后来无理数的发展奠定了基础。
2. 无理数的符号表示在16世纪，数学家维特鲁威发明了无理数的符号表示，即用一个根号符号来表示无理数。
这种表示方法使得无理数的概念更加清晰，并方便了无理数的运算。
3. 无理数的性质研究随着数学理论的不断发展，人们开始研究无理数的性质。
例如，欧拉证明了e 是一个无理数，而皮亚诺证明了π是一个无理数。
这些研究使得人们对无理数的认识更加深入，并为无理数的应用奠定了基础。
四、无理数的应用1. 几何学中的应用无理数在几何学中有着广泛的应用。
例如，黄金分割比例就是一个无理数，它在建筑和艺术中被广泛运用。
此外，无理数还被用于描述曲线、曲面等几何图形。
2. 物理学中的应用无理数在物理学中也有着重要的应用。
例如，量子力学中的波函数就是一个无理数函数，它描述了微观粒子的运动状态。
此外，无理数还被用于描述物理系统中的不确定性和混沌现象等。
有理数和无理数的定义是什么 有哪些区别
有理数和无理数的定义是什么有哪些区别有理数和无理数是相对的两种概念，那两者之间有什么区别呢?下面是由小编编辑为大家整理的“有理数和无理数的定义是什么有哪些区别”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
1、两者概念不同。
有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。
无理数，也称为无限不循环小数。
简单来说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。
2、两者性质不同。
有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。
无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。
3、两者范围不同。
有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。
而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。
无理数也称为无限不循环小数，常见的无理数主要包括以下几种形式：1、含π的数，如:2π等;2、根式，如：√5等;3、函数式，如：lg2，sin1°等;无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。
而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期的毕达哥拉斯学派，而无理数的概念在数学发展中扮演着重要角色。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展简史。
二、古希腊时期在古希腊时期，毕达哥拉斯学派是数学研究的重要力量。
然而，他们强调数的完备性和有理数的优越性，认为所有数都可以表示为两个整数的比值。
然而，当他们尝试计算直角三角形的斜边时，发现了一个问题：斜边的长度不能用有理数表示。
这个发现打破了他们对数的完备性的信念，也引发了对无理数的思考。
三、无理数的发现在毕达哥拉斯学派之后，欧几里得提出了一种新的数学方法，称为几何学。
几何学的发展推动了无理数的进一步研究。
在欧几里得的《几何原本》中，他提出了一个著名的命题：无理数存在。
这个命题的证明过程中，欧几里得使用了反证法，并给出了一个无理数的例子：边长为1的正方形的对角线长度。
欧几里得的工作为后来无理数的研究奠定了基础。
四、无理数的定义在无理数的发现之后，数学家们开始探索无理数的性质和定义。
最著名的无理数定义是由欧拉提出的。
他定义无理数为不能表示为有理数的无限循环小数的数。
这个定义在数学界得到广泛认可，并成为无理数的标准定义。
五、无理数的应用无理数的发现和研究对数学的发展产生了深远的影响，并在实际应用中发挥了重要作用。
无理数的应用领域包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：无理数的概念在几何学中得到广泛应用，例如在勾股定理的证明中，无理数的存在性是必需的。
2. 物理学：无理数的概念在物理学中也有重要应用。
例如，在波动理论中，频率和周期的关系可以用无理数来表示。
3. 金融学：金融学中的复利计算也需要用到无理数的概念。
例如，在复利计算中，无理数的近似值被广泛使用。
六、无理数的发展趋势随着数学的不断发展，无理数的研究也在不断深入。
目前，无理数的研究方向主要包括以下几个方面：1. 无理数的性质研究：数学家们正在继续研究无理数的性质，例如无理数的不可数性和无理数的逼近性等。
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6.3实数第一课时教案
教学目标：
1.知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类，同时会判断一个数是有理数还是无理数；
2.知道实数和数轴上的点一一对应；
3.用计算器求一个数的立方根．
教学重点：
1、知道无理数的客观存在性、无理数和实数的概念；
2、会判断一个数是有理数还是无理数.
教学难点：无理数探究中“逼近”思想的理解．
教法：演示法、
学法：小组讨论法
教学过程：
一、复习：
1.什么是立方根?
如果一个数的立方等于
a ，那么这个数就叫做a 的立方根．也叫做三次方根
2.什么是开立方？
求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方. 二、互动新授
1.用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你能发现什么：
53－，847，119，911，95
，
5 解：-0.6、5.875、18.0、2.1、5.0、5.0
结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
有限小数和无限循环小数叫有理数
2.把下列各数写成小数的形式：
4142.12
442.133732.13
710.153236
.25913.173π＝3.14159265…
无限不循环小数叫无理数
有理数与无理数统称为实数。
实数按定义分类：
按正负分类：
三、范例学习
解：3、4.0、3
2、31、0.131331333…、39是无理数，其他是有理数
四、巩固拓展
1.判断正误，若不对，请说明理由，并加以改正。
（1）无理数都是无限小数。
（2）带根号的数不一定是无理数。
（3）无限小数都是无理数。
（4）数轴上的点表示有理数。
（5）不带根号的数一定是有理数。
解：1正确、2正确如36、3错，如31
、4错误，不有无理数、5错误如－π
2.数14、3
2、2
中，无理数有（C ）．
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4、在5，0.1,－π，25，327，43
，8，73
八个实数中，无理数的个数是（C ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 5、下列说法中正确的是（D ）
Ａ．有理数和数轴上的点一一对应Ｂ．不带根号的数是有理数Ｃ．无理数就是开方开不尽的数Ｄ．实数与数轴上的点一一对应3.（1）把下列各数填入相应的集合内：-7，0.32，1
3，8，3216，- 2．
有理数集合：{-7、0.32、31
、3216
…｝；无理数集合：{ 8、- 2…｝；
(2)21
3、38、0、27、3、5.0、3.14159、-0.020020002 、0.12121121112…
(1)有理数集合{ 213、3
8、0、0.5、3.14159、-0.020020002}
(2)无理数集合{ 27、3、0.12121121112…}
(3)正实数集合{ 21
3、0、27、3、5.0、3.14159、0.12121121112…
}
(4)负实数集合{ 38、-0.020020002
} 五、课堂小结
1.两个概念：无理数：无限不循环小数又叫做无理数
实数：有理数和无理数统称为实数
2.实数的两种分类方法：
①根据实数的定义②根据实数的正负性
3.实数与数轴上的点成一一对应关系
六、作业
教科书57页习题 6.3第2题
板书设计
6.3实数（1）
1.无理数例
2.实数
3.实数的分类。