复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数

一、 选择题

1．当i

i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-

2．设复数z 满足3)2(π

=+z arc ，6

5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2123+- 3．复数)2(

tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ）

（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-

（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点)

,(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3

π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+

（C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）

（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数

８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）

（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4

3 ９．满足不等式

2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域

10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周

（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周

11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）

（A ）22

1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az

a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ）

（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+-

13．0

0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1)(2+-=的最小值为（ ） （A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部 ７．方程1)1(212=----z

i i z 所表示曲线的直角坐标方程为 ８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线 ９．对于映射z i =

ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z i

z 三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．

四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.

五、设复数i z ±≠，试证2

1z z +是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21z

z +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(022

1≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.

)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y

x +≤≤+2.

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性： 1.⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy z f 2.⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的 （B ）可导的