一个有趣的数学问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一个有趣的数学问题
一、问题:
∙
9.0与1谁大谁小 二、解答
首先 我先明确一个基本常识,实数由有理数和无理数组成。无理数就是无限不循环小数。有理数包括整数、有限小数、无限循环小数。并且所有有理数都可以化为分数形式,举例2=12, 0.8=54 , 0.3333(循环)= 3
1 问题:∙
9.0与1的大小比较
解法1:
∙9.0=∙3.0+∙
6.0
并且∙3.0等于31,∙6.0等于32. 31+32=1. 所以∙
9.0=1.
解法2:
设A=∙9.0 那么10A=∙9.9 两式相减得出:9A=9 所以A=1.
所以∙9.0=1.
补充说明:任何一个无限循环小数都可以化为分数形式
0.1循环=1/9
0.2循环=2/9
0.3循环=3/9
……
0.8循环=8/9
那么0.9循环=9/9=1
同样说明了∙9.0=1 三、解答说明:
其实以上的证法都是不严谨的,以下简单说明如下:
首先 我们要明确一个无穷的概念 无穷大是永远无可企及无可到达的地方
我们可以得出0.9=0.3+0.6
即验证一次9=3+6
0.99=0.33+0.66即验证一次9=3+6
0.9999(k 个9)=0.3333…3+0.666…6(k 个3与6)验证k 次9=3+6
0.9999(任意数量的9)=0.3333+0.666(任意数量的3与6)
但是我们不能得出∙9.0=∙3.0+∙
6.0 原因很简单,因为我们无法一位一位的去验证。因为我们只能重复任意多次9=3+6 而无法重复无穷次9=3+6!虽然对于每一个小数位都是9=3+6!但是数学讲究严谨,不能有任何漏洞!所以这解法1是不严谨的,同理解法2也是不严谨的因为我们无法得出∙9.9∙-9.0 = 9. 四、问题的其他解法及说明
解法3:对于一个数列{an}0.9
0.99 0.999…. ∙9.0
我们可以得出来一个通项∙9.0=n )10
11(- ∙9.0即当n 趋向于无穷时 an 的值
当n 趋向于无穷时Lim an=1!注意是等号而不是约等于
所以∙9.0=1
说明:这里用到了当n 趋向无穷时lim n )10
1(
=0! 解法4:
假设1大于∙9.0成立 那么必然存在一个数a 使得∙9.0 9.0 ∙9.0 2必然大于∙9.0 1 … ∙9.0 8必然大于∙ 9.0 7 ∙9.0 9必然大于∙ 9.0 8! 即∙9.0 9必然大于∙9.0 1 但是∙9.0 9就是∙9.0啊!按照第一条 它又小于∙9.0 1 结论矛盾,推出循环号后面不会存在任何数字,