水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点

水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点
尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。

室内或野外试验都要根据解析解的实用条件来进行设计，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。

解析解中将瞬时注入点源问题的解称为基本解。

由基本解出发，利用叠加原理导出线源、面源、多点源及连续注入问题的解。

因此，点源问题的解是一切解的根本，需十分重视。

（1）空间瞬时点源的解
其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场0=u ，弥散系数为常数，流体密度为常数（ρ=常数）；③0=t 时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m 。

以瞬时点源的位置为原点，可以得出浓度C 是相对于原点对称的。

可简化出纯弥散方程：
)(222222z
C y C x C
D t C ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 式中，D 代表多孔介质的分子扩散系数。

该式可看出，是球对称的，有利于纯弥散方式的应用讨论。

取半径为R 和R+d R 的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：
t
C V J n W J n W V dR R
D R D ∂∂=∙∙-∙∙+ 式中，W 为球面积；n 为有效孔隙率；J D 为弥散通量，且R C D
J D ∂∂-=，V V 为均衡段空隙体积。

忽略高阶微量，化简后得：
)(122R C R R R
D t C ∂∂∂∂∙∙=∂∂ 于是该点源的定解问题可以写成：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∙=∂∂R C R R R D t C 22 (R ≧0,t>0) 0),(0==t t R C (R>0)
0),(=∞→R t R C (t>0)
0),(0==R t R C (t>0) m dR R n C =∙∙⎰∞
024π (t>0)
（该式将点源处浓度限制在有限区域）
通过Boltzmann 变换，将原来的偏微分方程定解问题转变为常微分方程定解问题，可求得空间瞬时点源的解为：
Dt R e Dt n m
t R C 423
2)(8),(-=π
从上式可得出：①等浓度面为圆心位于原点处的球面；②任何时候的浓度最大值都在原点处，且随着时间的增加，原点处的浓度减小。

（2）空间瞬时无限线源解
空间瞬时无限线源的作用可看着点源的连续分布，因考虑到点源基本解的微分方程是线性的，故采用叠加的方法，即积分法，可得空间无限线源的基本解为：
Dt r e nDt m t r C 4124),(-=π
从上式可看出，浓度C 与z 无关，即在z 方向不产生弥散问题。

也就是说我们可以将空间上的无限线源弥散问题转化成xy 平面上的二维弥散问题。

于是，该解也可为平面瞬时点源问题的基本解。

（3）空间瞬时无限面源的解
根据点、线、面的构成原理，同理，可将空间无限面源看成是无数连续排列的无限线源组成，通过对无限线源的积分，可以得出空间无限面源的基本解为：
DT
z f
e Dt n m t x C 42
2),(-=π
从上式可看出：y 与z 无关，也就是说上述定解问题实质上是一维弥散问题。

以上解都是没有边界限制的，若加上边界，便成了有限空间问题。

若边界简单，则可利用类似于水流问题中的反映法，将其变成无界问题，然后再采用叠加方法求出所需求的解。

（4）一维稳定流下水动力弥散问题的解
一般情况，水动力弥散问题都是在一维稳定流情况下讨论的，分为一、二、
三维水动力弥散问题的解。

I 、一维水动力弥散问题与一维瞬时点源问题相近，初始条件与边界条件都相同。

只是在示踪剂瞬时注入时，设其原有溶液浓度00=C ,并有速度u 稳定流动，求浓度),(t x C 的分布，从而造成一维水动力弥散问题比之多了一个对流项。

本书中，采取坐标转换（按ut x X -=），利用一维瞬时点源问题的解，消去对流项，令,X x ut T t =-=。

将新变量X 、T 反变换后得到：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω 当一维水动力弥散问题里初始浓度成阶梯状分布，即形成一维稳定流动一维水动力弥散问题，其数学模型可写成：
x C u x
C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22
0(,)C t C -∞= 0>t
1(,)C t C ∞= 0>t
我们可以通过利用点源的基本解进行积分，再令ut x X -=，用换元法对它进行简化，得出：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω
而在半无限，一端为定浓度边界的限定情况下，一维水动力弥散问题的数学模型为：
x C u x
C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22 0)0,(=x C 0≥x
0),0(C t C = 0>t
0),(=∞t C 0>t
该模型通过Laplace 变换，并利用边界条件，换元法可得出该定解问题的
解：011()()2222L kx
D L L C x ut x ut erfc e erfc C D t D t -+=+，当 x 足够大或t 足够长时，该式为)2(210t
D ut x erfc C C L -=。

II 、二维水动力弥散问题中，注入平面瞬时点源时，同样可利用平面瞬时点源的基本解，通过换元等一系列转化、积分求得所求之解。

只是必须清楚该问题在假定条件上有新的变化：①0≠u ，为一定值，流体非静止②水动力弥散系数为各向异性。

通过一定关系的转化，得出该问题的解：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡+--=t D y t D ut x T L M T L e t D D M
m t y x C 44)(224),,(π。

当注入平面连续点源时，可将连续点源的作用看为无数瞬时点源之和，通过叠加原理，积分求得解：
2210(,,)2()(,)42L
xu D L L T m u t C x y t e K W D Mn D D ββπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
式中，2222244L L T u x u y D D D β=+，0()K β为第二类零阶修正贝赛尔函数，2(,)4L
u t W D β为第一类越流系统井函数。

当时间足够较长时，上式可简化为：
)44(2),(22222021
T L L D xu T L D D y u D x u K e D D Mn m y x C L +=π，此式也是计算水动力弥散系数常用的公式之一。

对于拟稳定条件下示踪剂的径向弥散，通常以井为中心，通过达西定律求出其平均速度，在极坐标下建立二维弥散方程，并利用复变函数理论求出其精确解，贝尔给出该定解问题的近似解为：
)342(21),(3
20r At r erfc C t r C L ∙∙-=α（常用于确定实测的纵向弥散度L α）
III 、三维水动力弥散问题中，对于空间瞬时点源，其弥散系数D 是各向异性，且属于二度各向异性，若要利用前面基本解的结果（各向同性），就需进行
相应的坐标变换，得到该问题的解为：
()22244313222(,,,)8L T x ut y z D t D t L T m
C x y z t e n
D D t π⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=
可看出:三维水动力弥散问题中，浓度C 于时间t 的二分之三次方成反比。

对比一、二维情况，不难看出，随着弥散维数的增加，浓度C 的衰减度也加快。

根据浓度空间分布的时间函数，等浓度面是一个旋转的椭球面，其长轴沿x 方向。

注入空间连续点源时，假定注入的是理想示踪剂。

将连续点源视为无数的瞬时点源之和，直接利用空间瞬时点源的解，利用积分得出解。

当时间足够长时，该问题的解为：()12(,,)4u R x D
m C x y z e n DR π-=
上述介绍的解析解法，只能用于非常简单的条件，他们通常只有在某些理论研究或实验室中人为给定的条件下才能严格地满足。

在野外现场往往要经过不同程度的简化之后才能满足解析解的应用条件。

但许多情况复杂到不允许简化解析解的适用条件，如果勉强使用，其结果已经改变了实现情况的基本条件。

对于这些情况，只能另谋他法。