水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点

水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点

尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。室内或野外试验都要根据解析解的实用条件来进行设计，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。解析解中将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本解出发，利用叠加原理导出线源、面源、多点源及连续注入问题的解。因此，点源问题的解是一切解的根本，需十分重视。

（1）空间瞬时点源的解

其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场0=u ，弥散系数为常数，流体密度为常数（ρ=常数）；③0=t 时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m 。 以瞬时点源的位置为原点，可以得出浓度C 是相对于原点对称的。可简化出纯弥散方程：

)(222222z

C y C x C

D t C ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 式中，D 代表多孔介质的分子扩散系数。该式可看出，是球对称的，有利于纯弥散方式的应用讨论。

取半径为R 和R+d R 的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：

t

C V J n W J n W V dR R

D R D ∂∂=∙∙-∙∙+ 式中，W 为球面积；n 为有效孔隙率；J D 为弥散通量，且R C D

J D ∂∂-=，V V 为均衡段空隙体积。

忽略高阶微量，化简后得：

)(122R C R R R

D t C ∂∂∂∂∙∙=∂∂ 于是该点源的定解问题可以写成：

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∙=∂∂R C R R R D t C 22 (R ≧0,t>0) 0),(0==t t R C (R>0)

0),(=∞→R t R C (t>0)

0),(0==R t R C (t>0) m dR R n C =∙∙⎰∞

024π (t>0)

（该式将点源处浓度限制在有限区域）

通过Boltzmann 变换，将原来的偏微分方程定解问题转变为常微分方程定解问题，可求得空间瞬时点源的解为：

Dt R e Dt n m

t R C 423

2)(8),(-=π

从上式可得出：①等浓度面为圆心位于原点处的球面；②任何时候的浓度最大值都在原点处，且随着时间的增加，原点处的浓度减小。

（2）空间瞬时无限线源解

空间瞬时无限线源的作用可看着点源的连续分布，因考虑到点源基本解的微分方程是线性的，故采用叠加的方法，即积分法，可得空间无限线源的基本解为：

Dt r e nDt m t r C 4124),(-=π

从上式可看出，浓度C 与z 无关，即在z 方向不产生弥散问题。也就是说我们可以将空间上的无限线源弥散问题转化成xy 平面上的二维弥散问题。于是，该解也可为平面瞬时点源问题的基本解。

（3）空间瞬时无限面源的解

根据点、线、面的构成原理，同理，可将空间无限面源看成是无数连续排列的无限线源组成，通过对无限线源的积分，可以得出空间无限面源的基本解为：

DT

z f

e Dt n m t x C 42

2),(-=π

从上式可看出：y 与z 无关，也就是说上述定解问题实质上是一维弥散问题。 以上解都是没有边界限制的，若加上边界，便成了有限空间问题。若边界简单，则可利用类似于水流问题中的反映法，将其变成无界问题，然后再采用叠加方法求出所需求的解。

（4）一维稳定流下水动力弥散问题的解

一般情况，水动力弥散问题都是在一维稳定流情况下讨论的，分为一、二、

三维水动力弥散问题的解。

I 、一维水动力弥散问题与一维瞬时点源问题相近，初始条件与边界条件都相同。只是在示踪剂瞬时注入时，设其原有溶液浓度00=C ,并有速度u 稳定流动，求浓度),(t x C 的分布，从而造成一维水动力弥散问题比之多了一个对流项。本书中，采取坐标转换（按ut x X -=），利用一维瞬时点源问题的解，消去对流项，令,X x ut T t =-=。将新变量X 、T 反变换后得到：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω 当一维水动力弥散问题里初始浓度成阶梯状分布，即形成一维稳定流动一维水动力弥散问题，其数学模型可写成：

x C u x

C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22

0(,)C t C -∞= 0>t

1(,)C t C ∞= 0>t

我们可以通过利用点源的基本解进行积分，再令ut x X -=，用换元法对它进行简化，得出：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω

而在半无限，一端为定浓度边界的限定情况下，一维水动力弥散问题的数学模型为：

x C u x

C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22 0)0,(=x C 0≥x

0),0(C t C = 0>t

0),(=∞t C 0>t

该模型通过Laplace 变换，并利用边界条件，换元法可得出该定解问题的

解：011()()2222L kx

D L L C x ut x ut erfc e erfc C D t D t -+=+，当 x 足够大或t 足够长时，该式为)2(210t

D ut x erfc C C L -=。 II 、二维水动力弥散问题中，注入平面瞬时点源时，同样可利用平面瞬时点源的基本解，通过换元等一系列转化、积分求得所求之解。只是必须清楚该问题在假定条件上有新的变化：①0≠u ，为一定值，流体非静止②水动力弥散系数为各向异性。通过一定关系的转化，得出该问题的解：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡+--=t D y t D ut x T L M T L e t D D M

m t y x C 44)(224),,(π。

当注入平面连续点源时，可将连续点源的作用看为无数瞬时点源之和，通过叠加原理，积分求得解：

2210(,,)2()(,)42L

xu D L L T m u t C x y t e K W D Mn D D ββπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

式中，2222244L L T u x u y D D D β=+，0()K β为第二类零阶修正贝赛尔函数，2(,)4L

u t W D β为第一类越流系统井函数。

当时间足够较长时，上式可简化为：

)44(2),(22222021

T L L D xu T L D D y u D x u K e D D Mn m y x C L +=π，此式也是计算水动力弥散系数常用的公式之一。

对于拟稳定条件下示踪剂的径向弥散，通常以井为中心，通过达西定律求出其平均速度，在极坐标下建立二维弥散方程，并利用复变函数理论求出其精确解，贝尔给出该定解问题的近似解为：

)342(21),(3

20r At r erfc C t r C L ∙∙-=α（常用于确定实测的纵向弥散度L α）

III 、三维水动力弥散问题中，对于空间瞬时点源，其弥散系数D 是各向异性，且属于二度各向异性，若要利用前面基本解的结果（各向同性），就需进行