精品 2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程第02课韦达定理及应用

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初高衔接知识第二讲：一元二次方程与韦达定理(含练习+参考答案)

第二讲：一元二次方程与韦达定理班级：______姓名：__________问题一、一元二次方程的基本知识定义：判别式：求根公式：两根差的绝对值：例1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －1＝0的两根，求| x 1－x 2|的值．问题二、韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例3 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例4 若x 1和x 2分别是一元二次方程x 2＋x －1＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x 的值；（3）x 13＋x 23．问题三、韦达定理与根的分布问题例1 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的（1）一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围；（2）两个根都大于零，求实数a 的取值范围．例2．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的（1）一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围；（2）两根都小于1，求实数a 的取值范围．例3 若一元二次方程x 2-(m +1)x+4=0的两个根都落在[0,3]内，求实数m 的取值范围．参考答案定义：一般的，把形如20ax bx c ++=()0a ≠的方程叫做一元二次方程判别式：240b ac =-≥求根公式：2b x a -±=两根差的绝对值：12||x x a -=问题一例1.122x x -===问题二例1. 解：由题意得121212355675k x x x x x x -⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩例2. 解：由题意得()()22212120401171021m b ac m m m x x x x ≤⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=+-=⎪⎪⎩⎩例3 解：由题意得24120x x --=解得126,2x x ==-例4 解：（1）12x x -===（2）()()()2212122222212122121131x x x x x x x x +--++===- （3）()()()()()233221212112212121234x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-问题三例1解:（1）1240x x a =-<，4a <（2）由题意得1220174440x x a b ac <⎧⇒<≤⎨-≥⎩例2解：（1）由题意得()()12110x x --<()121210x x x x -++<2a ∴<（2）由题意得122b a -=- ∴()()12211012440x x a b ac ⎧-->⎪⇒-<≤⎨-≥⎪⎩例3解：由题意得 ()()()()21212121240010033330330b ac x x x x m x x x x ⎧-≥⎪+≥⎪⎪≥⇒≤≤⎨⎪-+-≤⎪⎪--≥⎩高一数学衔接知识讲义二练习班级：________姓名：_________1．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）23．若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）04．已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是（）（A ）没有实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）有两个异号实数根5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则斜边长等于（）（A（B ）3 （C ）6 （D ）96．若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x ＝； 7．以－3和1为根的一元二次方程是；8．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________；9．写一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数_________________________．10．若一元二次方程x 2+2(m -1)x+2m +6=0有两个实数根，且都比1大，求实数m 的取值范围．11．若方程(m +3)x 2-4mx+2m +1=0的两个实数根异号，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．12．若一元二次方程x 2-2ax+a+2=0的两根都在区间（1，3）内，求实数a 的取值范围．参考答案1-5 D C C B B6-9 3-；(3)(1)0x x +-=；12；2710x x +-= 10 解：，则51540m m m m ≥≤-⎧⎪⎪>-⎨⎪<⎪⎩∴514m -<≤-11 解：121200300x x x x m ⋅<⎧⎪+<⎪⎨+≠⎪⎪∆>⎩ ，则2(21)(3)04(m 3)03828-12>0m m m m m m ++<⎧⎪+<⎪⎨≠-⎪⎪∆=-⎩∴132m -<<- 12 解：法一：24480(1,3)2(1)30(3)1150a ab a a f a f a ⎧∆=--≥⎪⎪-=∈⎪⎨⎪=->⎪=->⎪⎩ ∴1125a ≤< 法二：利用韦达定理12121212(1)(1)0(1)(1)0(3)(3)0(3)(3)00x x x x x x x x -->⎧⎪-+->⎪⎪-+-<⎨⎪-->⎪⎪∆≥⎩ ∴1125a ≤< 2416200(1)4502(m 1)122m m f m b a ⎧⎪∆=--≥⎪=+>⎨⎪-⎪-=->⎩。

九年级数学讲义(一元二次方程)

九年级数学讲义（一元二次方程）I 、理理知识要点（一）一元二次方程的有关概念1．对于一元二次方程的定义理解应抓住其本质，也就是它必须同时满足这样的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

要注意一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。

如：02)12(23=-+--x x x x 是整式方程，化简后为0222=--x x 应是一元二次方程，而不是三次方程。

2．一元二次方程的一般式：我们把)0(02≠=++a c bx ax 叫做一元二次方程的一般式，其中2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 分别叫做二次项系数、一次项系数。

需要注意的是（1）“a≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；（2）方程的右边必须为0；（3）每一项及其系数都包括它本身的符号。

（二）一元二次方程的解法1．直接开平方法：用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。

2．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。

任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。

实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。

3．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ，称为求根公式。

用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。

九年级一元二次方程之公式法与韦达定理

C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（）．
A．x1= ，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2 ，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
区别：① 配方法要先配方，再开方求根．
② 公式法直接利用公式求根．
③ 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
2、方法收获
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
一元二次方程之公式法与韦达定理
因式分解法解一元二次方程：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，
再使________________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 51、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x= B．x=
2、一元二次方程：
当 ____时，方程有实数根______________________________；

一元二次方程九年级知识点

一元二次方程九年级知识点一元二次方程作为初中数学中的重要内容之一，是九年级数学学习的重点之一。

掌握一元二次方程的知识，不仅能够解决实际问题，还能培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

本文将带领大家逐步了解一元二次方程的基本概念、求解方法以及相关应用。

一、一元二次方程的概念和形式一元二次方程是指含有未知数的二次项、一次项和常数项的等式。

一般表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

解一元二次方程就是要求解出未知数x的值，使得方程成立。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程能够因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。

以方程x² - 5x + 6 = 0为例，我们可以将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令(x - 2)和(x - 3)分别等于0，解得x的值为2和3。

2. 公式法当一元二次方程在因式分解上比较困难或无法进行因式分解时，我们可以通过公式法来求解方程。

一元二次方程的求解公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

其中带 ±的是因为方程可能有两个解。

三、一元二次方程的相关性质除了求解一元二次方程，了解一些与一元二次方程相关的性质也是很重要的。

1. 二次函数和一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是相互关联的。

一元二次方程y = ax²+ bx + c的解对应于二次函数y = ax² + bx + c的图像上的零点。

而二次函数的图像上的顶点坐标则能告诉我们方程的最值。

2. 一元二次方程根的判别式方程的根是指使方程成立的解，一元二次方程根的判别式能够告诉我们方程有几个根以及根的性质。

根的判别式为D = b²- 4ac。

当D > 0时，方程有两个不相等的实根；当D = 0时，方程有两个相等的实根；当D < 0时，方程无实根，但可能有复根。

一元二次方程的韦达定理

一元二次方程的韦达定理一元二次方程的韦达定理（Vieta's formulas）是数学中一个非常重要且有趣的定理。

该定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FrançoisViète）于16世纪提出的。

在探讨韦达定理之前，我们先来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c分别是方程的系数，x则是未知数。

那么一元二次方程的韦达定理是什么呢？韦达定理指出，方程的根（解）与方程的系数之间有着一定的关系。

具体地说，韦达定理表明：如果x1和x2是方程ax^2 + bx + c = 0的两个根，那么有以下等式成立：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a这两个等式可以帮助我们在不用求根公式的情况下计算出方程的根。

而且，通过韦达定理，我们还可以发现一些有趣的性质。

首先，我们来看等式x1 + x2 = -b/a。

这个等式告诉我们方程的两个根的和等于方程的二次项系数除以一次项系数的相反数。

也就是说，如果我们知道了方程的系数，我们就可以直接计算出根的和。

例如，对于方程2x^2 + 3x + 1 = 0，根据韦达定理，根的和等于-3/2。

通过计算或观察可以看出，该方程的两个根是-1和-1/2。

将这两个数相加，结果确实是-3/2。

接下来，我们来看等式x1 * x2 = c/a。

这个等式告诉我们方程的两个根的乘积等于方程的常数项系数除以二次项系数。

也就是说，如果我们知道了方程的系数，我们就可以直接计算出根的乘积。

例如，对于方程2x^2 + 3x + 1 = 0，根据韦达定理，根的乘积等于1/2。

通过计算或观察可以看出，该方程的两个根是-1和-1/2。

将这两个数相乘，结果确实是1/2。

不仅如此，通过韦达定理，我们还可以发现一些与方程的系数之间的关系。

例如，在方程ax^2 + bx + c = 0中，如果我们知道根的和和根的乘积，我们就可以确定方程的系数。

一元二次方程韦达定理的内容

一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。

它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。

本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。

一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。

根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。

当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。

通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。

例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。

然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。

首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。

其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。

最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。

总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。

通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。

【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结

【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【—韦达定理总结】知识要点：一元二次方程ax+bx+c=0?a≠0?中，两根x1,x2有如
下关系：x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a。

韦达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设立两个根为x1，x2
则
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
用韦达定理推论方程的木
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中，
由二次函数发推得若b^2-4ac<0则方程没实数根
若b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac>0则方程存有两个不成正比的实数根
推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个一元n次方程
∑aix^i=0
它的木记作x1,x2 (x)
我们有右图等式组
其中∑就是议和，π就是算草。

如果二元一次方程
在复数分散的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n次方程
在复数分散必存有根。

因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。

两端比较系数即得韦达定理。

(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/a
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

科学知识诀窍总结：韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

韦达定理在方程学说中有著广为的应用领域。

九上一元二次方程(讲义)

第二章一元二次方程1.认识一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

如：是分式方程，所以不是一元二次方程。

②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是2次。

例1 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？⑴；⑵；（3）；（4）；（5）情形都是一元二次方程：①、如果，则得，例如：；②、如果，则得，例如：；③、如果，则得，例如：；④、如果，则得，例如：。

其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。

任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

3.一元二次方程的解法(1)、直接开方法：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是(2)、配方法：解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方。

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：1. 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；2. 把原方程变为的形式。

3. 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

例解下列方程：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例用配方法解下列方程：（1）；（2）(3)、公式法：一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出δ=的值；（3）若δ=，则把及的值代人求根公式，求出和，若δ=，则方程无解。

韦达定理课件

2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1, x2
一元二次方程
x1= 1, x2=11 x2-12x+11=0
x1

0,
x2

3 2
1 x1 x2 2
2x2-3x=0 4x2+4x+1=0
x1+ x2 12 3 2 -1
x1∙x2 11
0 1 4
学习主题：求根，观察、归纳、猜想
观察，一元二次方程的两根之和与那些项的系数有关？两根之积与那些项的系数有关？
b2 4ac 2a
b2
2
b2 4ac

4a2
4ac c 4a2 a
学习主题：根与系数关系的应用（一）
例题1 判断一元二次方程x2 +3x +2=0是否有根，若
有试写出方程的两根和与两根积.
练习:判断下列一元二次方程是否有根，若有试写出下列各方程的两根和与两根积.
1、 2x2 = 6x
的长恰好是方程2x2 8x 7 0 的两个
根，则这个直角三角形的斜边长是_____.
根与系数关系的应用（二）
例题3 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根是 1 ,1.写出这个方程.
3
练习: 已知一个一元二次方程的二次项系数是2,常数项-14,它的一个根是-7,写出这个方程.
1、根与系数的关系 2、解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：
（1）二次项系数a≠0
（2）根的判别式b2-4ac ≥0 3、思想方法：特殊到一般，一般到特殊联想，转化，整体
2x2 -6x =0
2、 3x2 - 4x+2=0

数学九年级上册一元二次方程讲解

数学九年级上册一元二次方程讲解同学们，咱们今天来唠唠九年级上册的一元二次方程。

首先呢，啥是一元二次方程呢？简单来说，就是一个方程里面啊，只有一个未知数（这就是“一元”的意思啦），而且这个未知数的最高次数是2（这就是“二次”的由来）。

比如说，x^2+3x + 2 = 0，这里面就只有一个未知数x，x的最高次幂是2次方，这就是个典型的一元二次方程。

那这个一元二次方程长这个样子有啥用呢？用处可大了去了。

在很多实际问题里都能用到它，像计算图形的面积啦，物体运动的轨迹啦等等。

咱们再来说说一元二次方程的一般形式，那就是ax^2+bx + c = 0（a≠0哦，这个很重要，如果a = 0，那就不是二次方程了，就变成一次方程啦）。

这里面呢，a就叫做二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

接下来就是怎么解这个一元二次方程了。

方法还不少呢。

第一种方法是直接开平方法。

这个方法比较简单，适用于那种能直接把方程化成x^2=m（m≥slant0）这种形式的方程。

比如说，x^2=9，那很简单啊，x=±3就出来了。

第二种方法就是配方法。

这个就有点像给方程做个小变形。

比如说对于方程x^2+6x - 7 = 0。

我们先把常数项移到右边，就变成x^2+6x = 7。

然后呢，在等式两边加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是6，一半就是3，平方就是9，那方程就变成x^2+6x + 9 = 7+9，也就是(x + 3)^2=16，然后再用直接开平方法，就可以求出x 的值啦。

第三种方法呢，就是公式法。

这个可是个万能的方法哦。

对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），它的解是x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

这个公式是怎么来的呢？其实就是通过配方法推导出来的。

不过用这个公式的时候要注意，先得把方程化成一般形式，确定好a、b、c的值，然后再把这些值代入公式里计算就好啦。

比如说对于方程2x^2-5x + 1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1，把这些值代入公式就能算出x的值啦。

初中数学《一元二次方程》全章讲义

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

伟达定义及推理公式

伟达定义及推理公式伟达定理，一般指一元二次方程根与系数的关系。

这可是中学数学里挺重要的一部分知识呢！咱们先来说说什么是伟达定理。

假设一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有两个根 x₁和 x₂，那么就有 x₁ + x₂ = -b/a ，x₁·x₂ = c/a 。

就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。

有一次课堂上，我出了一道题：已知方程 x² - 5x + 6 = 0，求两根之和与两根之积。

小明一开始还有点懵，不知道从哪儿下手。

我就引导他，先根据韦达定理，我们知道两根之和是 -(-5)/1 = 5，两根之积是 6/1 = 6。

然后我让他去思考怎么通过解方程来验证这个结果。

他很认真地去解这个方程，得出 x = 2或者 x = 3 ，然后一算，2 + 3 正好是 5 ，2×3 正好是 6 ，那一瞬间，他眼睛都亮了，好像发现了新大陆一样，兴奋地跟我说：“老师，我懂啦！”那咱们再来说说韦达定理的推理公式是怎么来的。

由一元二次方程的求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a），可得 x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / （2a），x₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / （2a）。

然后咱们来算 x₁ + x₂：x₁ + x₂ = [-b + √(b² - 4ac)] / （2a） + [-b - √(b² - 4ac)] / （2a）= [-b + √(b² - 4ac) - b - √(b² - 4ac)] / （2a）= -2b / （2a）= -b/a再算 x₁·x₂：x₁·x₂ = {[-b + √(b² - 4ac)] / （2a）} × {[-b - √(b² - 4ac)] / （2a）}= [(-b)² - (√(b² - 4ac))²] / （4a²）= (b² - (b² - 4ac)) / （4a²）= 4ac / （4a²）= c/a是不是感觉推导过程也没那么难？在实际解题中，韦达定理用处可大了。

2014年九年级数学上册同步教案+同步练习--一元二次方程

(4) 2 x1 2 - 5 x1 - x 2 + 7
18.关于 x 的方程 m 2 x 2 + 2(3 - m) x + 1 = 0(m ≠ 0) 的两实数根为 x1 , x 2 ，若 m =
1 1 ，求 m 的值。 + x1 x 2
19.当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2 - (m - 1) x + (m 2 + m - 5) = 0 的两个根互为倒数。
，若两根互为倒数，则 k =
9.已知 a、b 是一元二次方程 x 2 - 2 x - 1 = 0 的两个实数根，则代数式 (a - b)(a + b - 2) + ab 的值=______. 10.如果关于 x 的方程 x 2 + 6 x + k = 0 的两根之差为 2，那么 k= 11.已知关于 x 的方程 x 2 - 3mx + 2(m - 1) = 0 的两根为 x1,x2，且 12.已知 x1 , x 2 是方程 2 x 2 - 7 x - 4 = 0 的两个根，那么： x1 2 + x 2 2 =
九年级数学上册同步教案
第 21 章一元二次方程第 01 课根与系数的关系
知识点：一元二次方程解法：(1) 求根公式：根与系数的关系式： (1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=_________，x1x2=____________ (2)如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=______，x1x2=________ (3)以 x1，x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 ______________________．变形公式：(1) x1 + x 2 =

精品九年级数学上册一元二次方程判别式和韦达定理

一元二次方程判别式和韦达定理一、知识内容提要1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为：△＝b2－4ac（1）△= b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根21242b b acxa-±-=，。

（2）△= b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根122bx xa==-。

（3）△= b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。

2、一元二次方程根的判别式的主要应用方面：（1）判定方程根情况：根据方程或给定的条件，判定方程根的情况（不解方程）；（2）确定字母取值范围：利用判别式建立等式、不等式,确定含字母的一元二次方程中参数值或取值范围；（3）证明、探求参数条件：证明某种条件下方程根情况，或求参数满足条件等；（4）讨论根的性质：构造一元二次方程，把原问题转化为讨论根的性质。

3、韦达定理：一元二次方程)0(02≠=++acbxax的根与系数的关系设方程的两根为1x、2x，则acxxabxx=-=+2121,。

注：现在应用韦达定理的前提条件是042≥-=∆acb，即方程必须有实数解。

4．韦达定理的逆定理: 以两个实数21xx，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：()021212=++-xxxxxx注意：（1）根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根（Δ≥0）为前提的，因此，运用韦达定理判定根具体条件必须考虑Δ≥0这一条件。

（2）运用韦达定理可以不解方程，求含有1x、2x的代数式值，常见变形如下：2122122212)(xxxxxx-+=+，21221221214)()(||xxxxxxxx-+=-=-，)(3)(21213213231xxxxxxxx+-+=+，21212111xxxxxx+=+二、考点分析（一）判别式的运用问题一、利用判别式,判定方程根的个数和情况.例1、不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴2710x x --=⑵294(31)x x =-（3）22320x x --+= （4）2(1)02m x m x -++=(m 为常数)例2.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（）.A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断练习：⑴若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝__________；⑵若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 无实根，则k 的取值为__________；⑶若关于x 的一元二次方程21(1)04k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________；例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习：已知关于x 的方程 x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0⑴求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ABC ，底边a ＝3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求△ABC 的周长。

一元二次方程之韦达定理

一对一个性化指导教师讲课教案学生姓名年级初三科目数学讲课老师相老师总课时数第几次课3讲课时间审查人本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练教课目的韦达定理讲课内容教学对于一元二次方程，当鉴别内容式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥ 0 时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是建立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为宽泛，在中学数学中据有深重要的地位，也是数学学习中的要点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还经常要求同学们熟记一元二次方程根的鉴别式存在的三种状况，以及应用求根公式求出方程的两个根，从而分解因式，即。

下边就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些剖析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、依据鉴别式，议论一元二次方程的根。

例 1：已知对于的方程（1）有两个不相等的实数根，且对于的方程（ 2）没有实数根，问取什么整数时，方程（ 1）有整数解剖析：在同时知足方程（ 1），（ 2）条件的的取值范围中挑选切合条件的的整数值。

说明：熟习一元二次方程实数根存在条件是解答本题的基础，正确确立的取值范围，并依赖娴熟的解不等式的基本技术和必定的逻辑推理，从而挑选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、鉴别一元二次方程两根的符号。

例 1：不解方程，鉴别方程两根的符号。

剖析：对于来说，常常二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的鉴别式△，但△只好用于判断根的存在与否，若判断根的正负，则需要确立或的正负状况。

所以解答本题的要点是：既要求出鉴别式的值，又要确立或的正负状况。

说明：鉴别根的符号，需要把“根的鉴别式”和“根与系数的关系”联合起来进行确立，此外因为本题中＜0，所以可判断方程的根为一正一负；若是＞0，仍需考虑的正负，方可鉴别方程是两个正根仍是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。