和输出 y[n] 的傅里叶变换关系如下

马萨诸塞州技术学院 电气工程与计算机科学系 6.341：离散时间信号处理 开放课程课件 2006

第2讲 背景知识复习

相位、群延迟和广义线性相位

——————————————————————————————————————— 阅读： Oppenheim ，Schafer & Buck （OSB ）中的5.1，5.3和5.7部分。

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相位

一个 LTI 系统的频率响应 H (e )(z H j ω

) 可在单位圆 z = 1 上求得。

H (e j ω

) = ω

j e z z H =)(系统输入x [n ] 和输出 y [n ] 的傅里叶变换关系如下

Y (e j ω

) = H (e j ω

) X (e j ω

)

通过观察幅度-相位表达式，可以更详细地理解输入-输出关系。

幅度/相位表示

例子：

在幅度/相位表示中，频率响应是实数不能充分意味着系统是零相位。

利用这个表达式，

且

则)(ωj e H 和

一般分别指系统增益和相移。

在幅度和相位图中，当ω通过单位圆上的零点时，幅度为零，相位跳变π，如下图所示。

椭圆型低通滤波器的幅度和相位响应

如果H(e jω

)是实数且双极性的，经常更简单自然地用另一种表达式来移除相位图中π的

这些跳变。

振幅/相位表示

A(e jω

) 是实数但不一定是正数，这样θ2(ω) 不同于上面的θ1(ω)。A(e

jω

) 存在符号的变

化，且在θ2(ω) 不存在π的跳变。

例子：

考虑下图给出的h[n]。

在幅度/相位表示中，θ1(ω) 在符号变化处有π的跳变。

在振幅/相位表示中，θ2(ω) = －ω(N－1)/2，斜率为－(N－1)/2的直线，而且在这个表达式中，无论A

是正或负数，相位相同。

包裹 vs.展开相位

例子：

在幅度/相位或者振幅/相位表达中，H (e j ω

) =－2ω，但是，如果用MATLAB 画相位，将给出如下图所示的包裹相位。

通常，对于任何整数n ， 因为e j (θ+2πn ) = e j θ，相位是不确定的。OSB 图5.7表示LTI 系统的连续相位（表示为arg ）和包裹相位（表示为ARG ）。

群延迟

典型地，很难从相位图得到更多地推断，但是群延迟图给出更多有用的信息。

除了在[ARG H (e j ω

) ]的不连续处，后面的等号成立。

在MATLAB ，不用微分方程，而利用傅里叶变换计算群延迟。 振幅/相位表示为：

两边微分，

除以等式1

因为

)

()

(ωωA A ′和)(ωθ′都是实数，

如果，可以应用傅里叶变换的频域微分特性，得到

)(][ω

j e H n h ↔

h [n ]的傅里叶变换表示为F .T.(h [n ]),

最后，

线性相位系统

群时延是常数的系统归为线性相位系统。当希望减少信号波形失真，这些系统正是所需之物。下面给出的三个系统是线性相位系统。

系统1：h 1[n ] 关于零偶对称。

h 1[n ] = h 1[－n ]

H 1(e j ω) 是实数，且在振幅/相位表示中相位为零，因此，群迟延为零，h 1[n ]是线性相位。

系统2：h 2[n ] 关于整数n 0偶对称，如 h 1[n ] 延迟n 0。

h 2[n ] = h 1[n −n 0]

)(1ωj e H 是实数，所以的群延迟是n )(2ωj e H 0，并且h 2[n ] 也是线性相位。

因为h 1[n ]是偶函数，

并且h 2[n ] 满足下列公式：

系统3： h 3[n ] = h 3[2α－n ]，其中2α 是整数

由于h 3[n ] = h 3[−( [n −2α)]，两边同乘以e j ωα，

这意味着两边必须是实数，所以H 3(e j ω)可以表示为

其中A (e j ωα)是实数（可能是双极性的），因此，H 3(e j ω

)的相位响应是线性的，并且群延迟是常数。

由于h [n ] 仅仅在整数值上有定义，所以在h [2α −n ]表示中的2α 需是整数。如果 α 是整数，则系统3相当于系统2 ，并且h [n ] 关于 α 奇对称（可看OSB 图5.35(a)）。如果 2α 是整数但 α 不是整数，奇对称的点位于采样点之间（可看OSB 图5.35(b)），当 2α 不是整数，h [n ] 不是奇对称，但是包络线是奇对称（可看OSB 图5.35(c)）。

广义线性相位

考虑一个系统关于零反对称：

h [n ] = −h [n ]

意味着是完全假设的，因此振幅/相位表达式为，

)(ω

j e

H

其中I (ω)是实数。这样，可以看到相位是)(ω

j e

H 2/π，且群延迟是零。

如果系统有一个奇对称的脉冲响应

h [n ] = − h [2α −n ]

其中2α 是整数，于是得到

两边乘以，

ωα

j e

意味着两边必须完全假设，所以

其中I (ω) 是实数。这样，的形式是

)(ω

j e H