数列中的一类存在性问题(导学单)

数列中的一类存在性问题

【学习目标】

通过对数列中一类存在性问题的研究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，提升学生分析、转化、解决问题的能力. 【合作探究】

例1．（09年江苏卷17改编）设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，试求所有的正整数m ，使得1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．

例2．设数列{}n a 的通项公式为21

n n

a n =+，是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n

a a a 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．

例3．已知数列}{n a 的通项公式为2n

n a =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差

数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

【变式1】已知数列}{n a 的通项公式为3n n

n

a =

．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

【变式2】已知数列}{n a

的通项公式为n a n =}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

数列中的一类存在性问题

【学习目标】

通过对数列中一类存在性问题的研究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，提升学生分析、转化、解决问题的能力.

【问题情境】

数列是高中数学的核心概念之一，在高考和数学竞赛中占有重要的地位，在历年考试中针对数列中一类存在性问题的考查屡见不鲜，其一般转化为求不定方程（指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组）正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想．

【合作探究】

例1．（09年江苏卷17改编）设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，试求所有的正整数m ，使得

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项． 【解析】

12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，若其是{}n a 中的项，则(27)(25)

2723

m m n m --=--， 令23t m =-，则

12m m m a a a ++=(4)(2)8

627t t t n t t

--=+-=-, 即：8

21n t t

=+

+ 所以t 为8的约数． 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当1t =，即2m =时，5n =；当1t =-，即1m =时，4n =-（舍去）． 所以满足条件的正整数2m =．

【评析】本例不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．

例2．设数列{}n a 的通项公式为21

n n

a n =

+，是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n

a a a 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．

【解析】因为21n n a n =

+，所以11,,32121

m n m n

a a a m n ===++． 若1,,m n a a a 成等比数列，则21()()21321

m n

m n =++，即

2244163m n m m n =+++．

方法一：由2244163m n m m n =+++，可得22

3241m m n m -++=，所以2

2410m m -++>，

从而1122

m -<<+m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n a 中的1,,m n a a a 成等比数列． 方法二：因为11

3636

6n n n

=<++，所以22

14416m m m <++，即22410m m --<，

从而1122

m -<<+． 【评析】“存在”则等价于方程有正整数解，本题利用“范围（值域）”控制正整数的值．事实上，

若左右两边范围交集非空时，可能“存在”满足条件的正整数；若左右两边范围的交集为空集时，则一定“不存在”满足条件的正整数。上述方法采用的是“逐步缩小范围”的化归思想，利用等式一边的取值范围，得到另一边的范围，从而建立不等关系，缩小未知量的取值范围，求得整数解．

例3．已知数列}{n a 的通项公式为2n

n a =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差

数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．

【解析】方法一：假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于}{n a 单调递增，

不妨设r p s <<，可得r s p a a a +=2，即12

22p s r +=+，即1

2

12()p s r s -+-=+*．

因为*,,s p r N ∈且r p s <<，则12p s -+≥、2r s -≥，且*

1,p s r s N -+-∈， 所以*左边为偶数，右边为奇数，故*不可能成立，故不存在满足条件的三项.

方法二：假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于}{n a 单调递增，不妨设

r p s <<，可得r s p a a a +=2，即1

2

22()p s r +=+*.因为r p >，所以1r p ≥+，故1

22r p +≥.

因为2

0s

>，所以1222s r p ++>，即*式不成立，所以不存在满足条件的三项.

【评析】本题通过两边同除以2s

将三个变量转变为两个整体变量，而且使式子有较明显的特征：一边是奇数一边是偶数，从而得到不存在满足条件的三项，化繁为简的重要性. 也可通过左右两

边求范围，若范围的交集为空集时，则一定“不存在”满足条件的正整数.

【引申】已知各项均为正数的等比数列}{n a 的公比q ，且2q >．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．