北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试(2)
北师大版数学九年级下册第二章二次函数(单元测试)(含简单答案)
第二章二次函数 单元测试 九年级下册数学北师大版一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 2．点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m>2B ．32m >C ．1m <D ．322m <<3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米4．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =-- 5．在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 6．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-7．已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <B ．1x >C ．2x <D ．2x >8．已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒11．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小12．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？14．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ，连接DF ，DG ，则DFG 面积的最小值为__________．17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．18．如图是二次函数2y x bx c =++的图像，该函数的最小值是__________．19．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0-和点()2,0，以下结论：⊥<0abc ；⊥420a b c -+<；⊥0a b +=；⊥当12x <时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）20．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，同每件衬衫应降价多少元？(3)该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．22．为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）（8≤x ≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y 与x 的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．23．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．24．已知二次函数2243y x x =-+的图像为抛物线C ．(1)抛物线C 顶点坐标为______；(2)将抛物线C 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线1C ，请判断抛物线1C 是否经过点()2,3P ，并说明理由；(3)当23x -≤≤时，求该二次函数的函数值y 的取值范围．25．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．参考答案：1．D2．B3．C4．D5．B6．B7．B8．A9．A10．B11．C12．A13．1.12514．215．416．3217．（2，0）18．4-19．⊥⊥⊥20．221．(1)平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．(2)每件衬衫应降价10元．(3)不能，22．（1）3216(832)120(3240)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）最大利润为3840元 23．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥． 24．(1)()1,1(2)不经过，(3)119y≤≤25．（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（12-，12-）。
北师大版九年级下册数学 第二章 二次函数 单元测试
第二章二次函数单元测试一．选择题1．若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（）A．2B．﹣1或3C．3D．2．函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是（）A．a≠0，b≠0，c≠0B．a＜0，b≠0，c≠0C．a＞0，b≠0，c≠0D．a≠03．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+24．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小5．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个相等的实数根D．9a+3b+c＜08．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 9．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）12．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为．13．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是．14．若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，2x+4，12﹣x}时，则y的取值范围是．15．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．16．已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2﹣x﹣a上，当m≤1时，总有n≥﹣1成立，则a的取值范围是．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＜0）与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．若△AOC的面积是S，则△ABC的面积是．（用含S的代数式表示）19．某大学的校门如图所示是抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧距地面的高是米．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为．三．解答题21．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．（1）写出对称轴和顶点坐标．（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当0＜x＜4时，求y的取值范围．22．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣4a（a≠0）．（1）若a＝﹣1，画出该抛物线图象，并结合图象写出y随x的增大而增大时，x的取值范围；（2）P（m，t）为抛物线上的一点，若P关于原点的对称点P′也落在该抛物线上，求m的值．23．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣3）和点D（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点A、B的坐标（注：点A在点B的左边）；（3）求△ABC的面积．24．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M 作MN∥x轴交直线L于点N，求MN的最大值．25．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．26．已知点M为二次函数y＝﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由；（2）如图1，二次函数图象与直线相交于C，D两点，若﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4＞mx+5时，＜x＜2，求M点的坐标；（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点（，y1），（，y2）都在二次函数图象上，请直接写出b的取值范围，并结合b的取值范围确定y1与y2大小关系．参考答案一．选择题1．解：根据题意得：，解得：，∴m＝3，故选：C．2．解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选：D．3．解：抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．故选：D．4．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．5．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0），∴对称轴为：x＝，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在抛物线上，，∴y3＜y1＜y2，故选：C．6．解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．7．解：A、抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故本选项不符合题意．B、函数对称轴x＝﹣＝1，则2a+b＝0，故本选项不符合题意．C、关于x的方程ax2+bx+c+3＝0的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3的交点，根据抛物线的性质知，它们有两个交点，则关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．D、由抛物线的对称性知，当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故本选项符合题意．故选：D．8．解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．9．解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．故选：D．10．解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，本小题说法正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，本小题说法错误；③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴当y＜0时，﹣3＜x＜1，本小题说法正确；④∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线与x轴的交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a＜0，本小题说法错误；⑤∵对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），本小题说法正确；故选：B．二．填空题11．解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；故答案为：①②③．12．解：∵当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，∴y1+y2＝﹣m2﹣8m+4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16，∵当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，∴y1+y2＝﹣m2+8m+4＝8+8＝16，解得m＝2，故答案为：2．13．解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．故答案为﹣3．14．解：如图，当x＝3时y有最大值，y最大＝12﹣3＝9，故答案为y≤9．15．解：函数对称轴为直线x＝k，∵当1≤x≤4时，函数有最小值2k，∴①k≤1时，x＝4函数取得最小值，﹣k2+8k﹣16+11＝2k，解得k1＝1，k2＝5（舍去），②1≤k≤4时，x＝k函数取得最小值，2k＝11，解得k＝5.5（舍去）③k≥4时，x＝1函数取得最小值，﹣（1﹣k）2+11＝2k，解得k＝±（舍去）综上所述，k的值为1．故答案为：1．16．解：当时，有，此时，当时，有，解得：．综上所述：．故答案为：．17．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．18．解：在抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＜0）中，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．∴OC＝2．∵△AOC的面积是S，∴S＝OA•OC＝OA×2＝OA．∴A（﹣S，0）．又∵对称轴是直线x＝﹣＝，∴B（1+S，0）．∴AB＝1+2S．∴S△ABC＝AB•OC＝×（1+2S）×2＝1+2S．故答案是：1+2S．19．解：已知如图所示建立平面直角坐标系：设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，又已知抛物线经过（﹣4，0），（4，0），（﹣3，4），则，解得：a＝﹣，b＝0，c＝，故y＝﹣x2+，当x＝0时，y＝米，故答案为：．20．解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，∴A（3，0），∵点A在直线AB：y＝kx+3上，∴0＝3k+3，解得k＝﹣1，∴直线AB为y＝﹣x+3，∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，∴x﹣3+x＝7，解得x＝5，∴B（5，﹣2），∴B到对称轴的距离为5﹣3＝2，B到x轴的距离为2，当AB是正方形对角线时，P（3，﹣2），则Q（5，0），当AB是正方形的边时，P（3，﹣4），则Q（1，﹣2）∵点Q在抛物线上，∴把Q（5，0）代入y＝﹣x2+6x+c得，0＝﹣25+30+c，解得c＝﹣5；把Q（1，﹣4）代入y＝﹣x2+6x+c得，﹣2＝﹣1+6+c，解得c＝﹣7；∴，c的值为﹣5或﹣7，故答案为﹣5或﹣7．三．解答题21．解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，∴对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，﹣8）；（2）如图所示：（3）当0＜x＜4时，当x＝1，y＝﹣8，当x＝4，y＝10则y的取值范围为：﹣8⩽y＜10．22．解：（1）若a＝﹣1，则y＝﹣x2﹣2x+4，列表：x…﹣3﹣2﹣101…y…14541…画出函数图象如图：由图象可知，y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1；（2）∵P（m，t）为抛物线上的一点，∴t＝am2+2ma﹣4a，∵P′是P关于原点的对称点，∴P′（﹣m，﹣t），∵点P′也落在该抛物线上，∴﹣t＝am2﹣2ma﹣4a，∴﹣am2﹣2ma+4a＝am2﹣2ma﹣4a，解得m＝±2．23．解：（1）把点C（0，﹣3）和点D（4，5）．代入y＝x2+bx+c得解得所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，得x2﹣2x﹣3＝0解得x1＝﹣1，x2＝3，∵点A在点B的左边，∴点A（﹣1，0），点B（3，0）（3）由题意得AB＝4，OC＝3，24．解：（1）∵点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，∴，解得，即抛物线y＝x2﹣2x﹣3，∵直线L：y＝kx﹣1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣k﹣1，解得k＝﹣1，即直线L的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵MN∥x轴交直线L于点N，∴点N的纵坐标为m2﹣2m﹣3，∵点N在直线y＝﹣x﹣1上，∴m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得x＝﹣m2+2m+2，∴点N的坐标为（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），∴MN＝（﹣m2+2m+2）﹣m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，MN取得最大值，此时MN＝，即MN的最大值是．25．解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），设抛物线解析式为y＝ax2+k，由题意，得，解得：，∴抛物线表达式为．（2）2+＝2.2，当x＝2.2时，y＝﹣+4＝2.79，当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．26．解：（1）∵y＝﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4＝﹣（x﹣b﹣1）2+4b+5，∵点M为二次函数y＝﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4图象的顶点，∴M的坐标是（b+1，4b+5），把x＝b+1代入y＝4x+1，得y＝4b+5，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，∵二次函数图象与直线相交于C，D两点，﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4＞mx+5时，＜x＜2，∴C的横坐标为，D的横坐标为2，把x＝，x＝2分别代入﹣x2+2（b+1）x﹣b2+2b+4＝mx+5整理得，①×4﹣②得，3b2﹣6b＝0，解得或（舍去），∴M（1，5）；（3）如图2，∵直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），∵A（5，0），∴直线AB为y＝﹣x+5，∵顶点M（b+1，4b+5）在△AOB内部，∴，解得：﹣1＜b＜﹣，由（1）知抛物线的对称轴为x＝b+1，因为点（，y1），（，y2）都在二次函数图象上，所以，当0＜b+1≤时，y1≥y2；当＜b+1＜时，y1＜y2．。
北师大新版九年级数学下学期《第2章 二次函数》 单元练习卷 含解析
第2章二次函数一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x22．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+14．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.148．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有．（只填序号）17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．32．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？33．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．34．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E＝90°，∠EDF＝30°，AB＝DE＝，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式．35．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（1）求直线AB的解析式．（2）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式．36．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）．求这个二次函数的解析式．37．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．38．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是．39．抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为；m＝，n＝．（2）画出此二次函数的图象；（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？40．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣3）x﹣8．（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝2x+3 B．C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、是一次函数，故A错误；B、二次函数都是整式，故B错误；C、是二次函数，故C正确；D、是一次函数，故D错误；故选：C．2．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点【分析】利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3（x﹣2）2+1＝0的实数解的个数对D进行判断．【解答】解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．3．抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．4．抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（）A．（0，0）B．（2，0）C．（0，0）或（﹣2，0）D．（0，0）或（2，0）【分析】根据题意可知，解方程x2+2x＝0，即可得出结果．【解答】解：令y＝0，则x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，所以抛物线y＝x2+2x与x轴的交点坐标是（0，0）或（﹣2，0），故选：C．5．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度y （m）与水平距离x（m）满足y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，∴水柱的最大高度是：6．故选：C．6．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故选：A．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14y﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（）A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为0.12＜x＜0.13．故选：C．8．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m【分析】根据题意，把x＝10直接代入解析式即可解答．【解答】解：根据题意B的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x2，得y＝﹣4，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．故选：B．9．抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A．m B．m＞C．m≤D．m＜【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，∴△＝（﹣1）2﹣4m≥0，∴m≤．故选：C．10．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上，与y轴交在负半轴a＞0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限，b＞0，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线y＝ax2+b可知，图象开口向上且与y轴交在正半轴a＞0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，四象限，b＜0，a＞0，故此选项错误；C、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在正半轴a＜0，b＞0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，三，四象限b＞0，a＜0，故此选项正确；D、由抛物线可y＝ax2+b知，图象开口向下且与y轴交在负半轴a＜0，b＜0，由直线y＝bx+a可知，图象过一，二，三象限b＞0，a＞0，故此选项错误；故选：C．二．填空题（共7小题）11．已知点A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，那么n的值为7 ．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y＝x2﹣x+1，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y＝x2﹣x+1的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y＝x2﹣x+1，∴n＝9﹣3+1＝7，即n＝7，故答案是：7．12．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴交点的交点坐标为（1，0）．【分析】通过解方程x2﹣2x+1＝0得抛物线与x轴交点的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．13．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝ 1 ．【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数∴∴m＝1故答案为：1．14．二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【分析】根据二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+1与x轴有交点，∴，解得，k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．15．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4 ．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有①②③⑤．（只填序号）【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x＝1时y的值即可判断．【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，4ac＜b2．∴②正确；③∵抛物线的对称轴x＜1，即﹣＜1，得2a+b＞0．∴③正确；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤正确；⑥当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥错误．故答案为①②③⑤．17．如图，将函数y＝+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+5 ．【分析】曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，即可求解．【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（x B﹣x A）×AA′＝3AA′＝12，则AA′＝4，故抛物线向上平移4个单位，则y＝（x﹣2）2+5，故答案为．三．解答题（共23小题）18．（1）解方程：（x﹣2）（x+3）＝6；（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法可以解答此方程；（2）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将该函数的解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+3）＝6，∴x2+x﹣6＝6，∴x2+x﹣12＝0，∴（x﹣3）（x+4）＝0，∴x﹣3＝0或x+4＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣4；（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．19．已知抛物线y＝﹣x+5．（l）求该抛物线的顶点坐标；（2）判断点P（﹣2，5）是否落在图象上，请说明理由．【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；（2）先判断点P是否落在图象上，然后将x＝﹣2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5＝+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，）；（2）点P（﹣2，5）不落在图象上，理由：当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣（﹣2）+5＝9，∴点P（﹣2，5）不落在图象上．20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；（2）根据（1）中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC，如右图所示，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB＝＝9．21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m…（1）写出m的值0 ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2 ；（4）当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5 ．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），∴m＝0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（﹣4，5）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2，故答案为x≤﹣4或x≥2；（4）由图象可知当﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．22．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调査，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场可获得最大利润？最大利润为多少元？【分析】（1）根据一天获利＝每件利润×一天的销售量即可求解；（2）①根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；②根据①的关系式利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得（100﹣80）×100＝2000．答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元（2）①根据题意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160整理，得x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8．答：每件商品应降价2元或8元．②y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250当x＝5时，y有最大值为2250．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？【分析】（1）根据直角坐标系中的抛物线，和已知条件即可求解；（2）根据货车宽度可知抛物线解析式中的x值，即可求出对应的y的值，再与货车高度比较即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，4），经过（0，0），∴设：抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，把（0，0）代入，得25a+4＝0，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4＝﹣x2+x．答：抛物线解析式为y＝﹣x2+x．（2）货船能从桥下通过．理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+4＝3.84，∵3.84＞3，∴货船能从桥下通过．答：货船能从桥下通过．24．已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．【分析】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，∴k2﹣3k﹣10＝0，∴（k﹣5）（k+2）＝0，解得，k1＝5，k2＝﹣2，即k的值是5或﹣2．25．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x+1交于点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，点O为原点，求△ABO的面积．【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得三角形的面积即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＝﹣或x＝1，∵点A（a，b）和点B（c，d），其中a＞c，∴A（1，2），B（﹣，），∴S△ABO＝×1×+×1×1＝．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2）2，解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2cm；（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有y（12﹣2y）＝6，解得y1＝3﹣，y2＝3+．答：出发（3﹣）s或（3+）s时间时，△PQC的面积为6cm2；（3）依题意有S△PQC＝t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D 作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．28．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．【分析】（1）根据图象即可求出y与x的函数关系；（2）根据销售利润等于每千克的利润乘以销售量即可求解；（3）每天的销售量与天数即可求解．【解答】解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点Q在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P 点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求出E点的坐标；（3）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2））∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y＝x﹣3，∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，∴设F（x，x2﹣2x﹣3），E（x，x﹣3），∵点F在线段BC下方，∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCF＝EF•OB＝×3（﹣x2+3x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，又∵S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S四边形ACFB＝S△ABC+S△BCF＝﹣（x﹣）2++6＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S四边形ACFB有最大值，最大值为，此时E点坐标为（，﹣），综上可得四边形ACFB面积的最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），且C（0，﹣3），∵P点为抛物线对称轴上的一点，∴设P（1，t），∴PC＝＝，PD＝|t+4|，CD＝＝，∵△PCD为等腰三角形，∴分PC＝PD、PC＝CD和PD＝CD三种情况，①当PC＝PD时，则＝|t+4|，解得t＝﹣3，此时P点坐标为（1，﹣3）；②当PC＝CD时，则＝，解得t＝﹣2或t＝﹣4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，﹣2）；。
北师大版数学九年级下册第二章二次函数单元检测试卷(含答案解析)
数学北师九年级下第二章二次函数单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1．在下列函数关系式中，y 是x 的二次函数的是( )．A ．xy＝6 B ．xy ＝－6 C ．x 2＋y ＝6 D ．y ＝－6x 2．抛物线①y ＝2x 2，②y ＝223x－7，③y ＝213x ＋5中，开口从大到小的顺序为( )．A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③3．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )．A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h4．在反比例函数y ＝ax中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则二次函数y ＝ax 2－ax 的图象大致是下图中的( )．5．如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a －b ＜0；(4)a ＋b ＋c ＜0.你认为其中错误的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个6．已知二次函数y ＝2x 2＋9x ＋34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2时的函数值与( )． A ．x ＝1时的函数值相等 B ．x ＝0时的函数值相等 C ．x ＝14时的函数值相等D ．x ＝94-时的函数值相等 7．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝12x -＋3的图象如图所示，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是( )．A ．32-＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜32- C ．－2＜x ＜32 D ．x ＜－2或x ＞328．根据下表中的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴( ).A y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)9．把抛物线y ＝3x 2先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为______．10．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是__________．11．已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交．请你写出一个满足条件的二次函数的关系式__________．12．若直线y＝ax－6与抛物线y＝x2－4x＋3只有一个交点，则a的值是__________．13．给出下列命题：命题1.点(1,1)是双曲线y＝1x与抛物线y＝x2的一个交点．命题2.点(1,2)是双曲线y＝2x与抛物线y＝2x2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y＝3x与抛物线y＝3x2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)：__________________________. 三、解答题(本大题共4小题，共43分)14．(8分)已知点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．15．(10分)如图①，是苏州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的解析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．图①图②16．(12分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．17．(13分)宏达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的二次函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)请把(2)中的二次函数配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，并据此说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．参考答案1．答案：C2．解析：二次项系数的绝对值越小，开口越大． ∵1233<-＜2，∴抛物线的开口从大到小的顺序为③②①. 答案：B 3．答案：A4．解析：在反比例函数y ＝ax中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以a ＞0. 所以二次函数y ＝ax 2－ax 开口向上，且与x 轴交于(0,0)和(1,0)点，应选A ． 答案：A5．解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0.∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点坐标是(0，c )， ∴c ＜1.∵对称轴x ＝2ba-＞－1， 又a ＜0，∴2a －b ＜0.当x ＝1时，y ＜0，即当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0， ∴只有(2)错误． 答案：D6．解析：利用抛物线的对称性可知，x 1＋x 2正好是对称轴的横坐标x 的值的2倍，即x 1＋x 2＝ba-.以对称轴为基础，正好与x ＝0时的函数值相等． 答案：B7．解析：y 1＜y 2，即抛物线在直线下方的那部分对应的自变量x 的取值范围，需求出直线与抛物线的两交点坐标．答案：C8．解析：根据表中x ，y 的对应值描出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的大致图象，可以看出，该二次函数的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．答案：B9．解析：抛物线y ＝3x 2的顶点是(0,0)，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后是(－3,2)．所以，所得抛物线的解析式是y ＝3(x ＋3)2＋2.答案：y ＝3(x ＋3)2＋210．解析：把(1,0)的坐标代入二次函数y ＝x 2－mx ＋3的解析式，得1－m ＋3＝0.解得m ＝4.答案：411．答案：y ＝－x 2－2x ＋3(满足条件即可，答案不惟一)12．解析：由题意，知26,43y ax y x x =-⎧⎨=-+⎩只有一个解，即方程x 2－(4＋a )x ＋9＝0有两个相等的实数根．所以(4＋a )2－4×1×9＝0. 解得a ＝2或a ＝－10. 答案：2或－1013．答案：点(1，n )是双曲线y ＝nx与抛物线y ＝nx 2的一个交点 14．解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 的图象上，∴1＝1－2a ＋B ．可得b ＝2A ．(2)根据题意，方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等的实数根， ∴4a 2－4b ＝4a 2－8a ＝0.解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0,0)；当a ＝2时，y ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)． ∴这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．15．解：(1)抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y 轴的交点坐标是(0,1)． 设抛物线的解析式是y ＝a (x －5)2＋5， 把(0,1)代入y ＝a (x －5)2＋5得a ＝425-. ∴y ＝425-(x －5)2＋5(0≤x ≤10)． (2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4， ∴4＝425-(x －5)2＋5. ∴425(x －5)2＝1.∴x 1＝152，x 2＝52.∴两盏景观灯间的距离为5米．16．解：(1)将(3,0)代入二次函数解析式，得－32＋2×3＋m ＝0.解得m ＝3. (2)二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3， 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0.解得x ＝3或x ＝－1. ∴点B 的坐标为(－1,0)．(3)∵S △ABD ＝S △ABC ，点D 在第一象限， ∴点C ，D 关于二次函数的对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x ＝1，点C 的坐标为(0,3)，∴点D 的坐标为(2,3)． 17．解：(1)45＋26024010-×7.5＝60(吨)．(2)y ＝(x －100)260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭， 化简得y ＝234x -＋315x －24 000. (3)y ＝234x -＋315x －24 000 ＝34-(x －210)2＋9 075. 要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．(4)小静说的不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而对于月销售额 W ＝x 260457.510x -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭＝34-(x －160)2＋19 200来说，当x 为160元时，月销售额W 最大． ∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。
【北师大】九年级下数学《第二章二次函数》单元测试含详解
北师大九年级下数学《第二章二次函数》单元测试一、选择题1.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A.x=﹣4B.x=4C.x=﹣2D.x=22.二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A.（1，﹣2）B.（﹣1，2）C.（﹣1，﹣2）D.（1，2）3.要得到函数y=2x2-1的图象，应将函数y=2x2的图象（）A.沿x轴向左平移1个单位B.沿x轴向右平移1个单位C.沿y轴向上平移1个单位D.沿y轴向下平移1个单位4.若A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上的三点，则y1， y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3C.y3＜y2＜y1D.y3＜y1＜y25.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )A.一、二、三象限B.二、三、四象限C.一、三、四象限D.一、二、三、四象限6.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）A.x＝－3B.x＝－2C.x＝－1D.x＝17.若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A.y=2（x﹣1）2﹣3B.y=2（x﹣1）2+3C.y=2（x+1）2﹣3D.y=2（x+1）2+38.二次函数y=3（x﹣h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（）A.h＞0，k＞0B.h＞0，k＜0C.h＜0，k＞0D.h＜0，k＜09.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A.a=5B.a≥5C.a＝3D.a≥310.抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题12.抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是________．13.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2﹣4x+3的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为________．14.二次函数y=（x﹣2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．15.抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为________．16. ）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________17.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．18.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右平移3个单位，则所得抛物线的解析式是________．19.二次函数y=（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为________．三、解答题20.已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．21.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点（﹣1，8）、（1，0），求这个二次函数的表达式．22.已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．23.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式，以及B、C两点的坐标；（2）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果保留π）参考答案一、选择题C AD C D C D B B B D二、填空题12.（3，4）13.y=x2+4x+314.m≥115.（﹣3，0），（1，0）16.m＞117.x＜﹣1或x＞518.y=x2-10x+18．19.﹣1三、解答题20.解：∵是x的二次函数，∴，解得m=3或m=﹣1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．21.解：把（﹣1，8）、（1，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+322.（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1（2）解：∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）（3）解：根据函数图象可知：x＜0或x＞323.（1）解：由题意得：解得：，∴抛物线解析式为：y=x2﹣4x﹣5，当x=0时，x2﹣4x﹣5=0，（x+1）（x﹣5）=0，x1=﹣1，x2=5，∴A（﹣1，0），B（5，0），当x=0时，y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5，B点坐标为（5，0），C点坐标为（0，﹣5）（2）解：连接BC，则△OBC是直角三角形，∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB=OC=5，∴BC=5 ，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2= π。
北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 单元检测试题(有答案)
第二章二次函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下例函数中是二次函数的有（）①；②；③；④．A.个B.个C.个D.个2. 抛物线与的图象，开口较大的是（）A. B. C.同样大 D.无法确定3. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是A.只有一个交点，且它位于轴的右侧B.只有一个交点，且它位于轴的左侧C.有两个交点，且它们位于轴的两侧D.有两个交点，且它们位于轴的右侧6. 若将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断中①；②；③；④；⑤正确的个数是（）A. B. C. D.8. 点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点（在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④9. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，某二次函数图像的顶点为，此函数图像与轴交于，两点（点在点左侧），且．若此函致图像经过，，，四点，则实数，，，中为负数的是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，顶点恰好在直线上，则的值为________．12. 二次函数有最大值，则的值是________．13. 若二次函数的最低点的纵坐标是，则的值是________．14. 二次函数的图象如图所示，则它的解析式为________，如果另一个函数图象与该图象关于轴对称，那么它的解析式是________．15. 用厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为厘米，则另一边长为________，长方形的面积________．16. 将二次函数化成的形式为________．17. 如图是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面时，水面宽．如图所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是________．18. 某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售，每天可销出件，经试验，把这种商品每件每提价元，每天的销售量就会减少件，则每天所得的利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为：________．19. 如图，用长米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设为米，也可以选择________为米，相应地面积的解析式为________或________20. 用“描点法”画二次函数＝的图象时，列出了如下表格：……＝……那么该二次函数在＝时，＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知抛物线（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，利用函数图象求的取值范围．22. 已知一抛物线与轴轴的交点分别是、且经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．23. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求这个二次函数的解析式；该男同学把铅球推出去多远？24. 抛物线和反比例函数的图象如图所示利用图象解答：（1）方程的解（2）取何值时．25. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；（4）若方程没有实数根，求取值范围．26. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．（1）求日均销售量与销售单价的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：②；③是二次函数，故选：．2.【答案】A【解答】解：抛物线与的图象中，，∵，∴抛物线的开口小于的开口，故选．3.【答案】B【解答】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为．故选.4.【答案】B【解答】解：∵二次项系数，∴开口方向向下，∵一次项系数，∴对称轴为轴，∵常数项，∴图象与轴交于.故选．5.【答案】D【解答】解：当时，.∵，∴，∴有两个不同的实数根，即函数与轴有两个交点.设两根分别为，则，，∴函数与轴的两个交点位于轴右侧.故选.6.【答案】B【解答】∵将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：＝，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，7.【答案】A【解答】解：①、图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，∴，故①错误；②、∵对称轴是，∴，∴，∴，故②错误；③、当时，，∴，故③正确．④、时，，∴，∵，∴，故④错误；⑤、时，，∴，∵，∴，故⑤错误；故选：．8.【答案】A【解答】解：∵点，的坐标分别为和，∴线段与轴的交点坐标为，又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，∴，（顶点在轴上时取“”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段上运动，∴当时，随的增大而增大，因此，当时，随的增大而增大，故②正确；若点的横坐标最大值为，则此时对称轴为直线，根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；根据顶点坐标公式，，令，则，，根据顶点坐标公式，，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选.9.【答案】B【解答】解：∵点是该抛物线的顶点，，∴抛物线开口向下，当两点、都在对称轴左侧，则；当两点、在对称轴两侧，则点离对称轴要近，所以，∴．故选．10.【答案】C【解答】解：设二次函数解析式为，函数图象与轴交于，两点，对称轴为直线，且，点，的坐标分别为：，，将点的坐标代入二次函数解析式并解得：，二次函数的解析式为，将，，，代入上式逐次验证，当时，，即.故选.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后顶点坐标为．根据题意，得，解得．故答案是：．12.【答案】【解答】解：∵二次函数有最大值，∴，，即，整理得：，即，解得：，（不合题意舍去），则的值是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为，把代入得，，整理得，解得，，．函数有最低点，舍去，故答案为．14.【答案】,【解答】解：设抛物线的解析式为，由图可知，二次函数的图象经过点，∴，解得∴；∵另一个函数的图象与该函数的图象关于轴对称，∴这个函数的关系式是．故答案为：，．15.【答案】,【解答】解：∵长方形的一边长为厘米，周长为厘米，∴另一边长为，∴长方形的面积．故填空答案：，．16.【答案】【解答】解：，所以．故答案为：．17.【答案】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系如下，设抛物线解析式为，由图象可知该图象经过点，故，解得．则抛物线的解析式是．18.【答案】【解答】解：每件可获得的利润为元，可售出的数量为，∴，故答案为．19.【答案】或,,【解答】解：若设为，则，面积；若设为，则，面积．20.【答案】【解答】由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为＝，∴当＝时的函数值等于当＝时的函数值，∵当＝时，＝，∴当＝时，＝．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．【解答】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．22.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．23.【答案】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．【解答】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．24.【答案】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．【解答】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．25.【答案】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．【解答】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．26.【答案】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数》单元测试卷含参考答案
ᔰ0 B.જ ܾ D. જ ܾെ ᔰ 8જ
米，
A. ൌ ᭰ 0 જ B. ൌ ᭰ 0 െ જ C. ൌ ᭰10 જ D. ൌ 10᭰െ െ0જ 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ， ） 11. 将抛物线 ൌ െ 1 向左平移 1 个单位，再向上平移 െ 个单位后，所得的抛物线的顶点坐标是________． 1െ. 将抛物线 ൌ െ െ 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线经过点᭰1 3જ， ᭰ જ，则 ൌ________， ൌ________． 㾰જ 中， જ㾰 ൌ 0 ， જ 㾰જ ൌ 5，延长 જ 到 જ，使 જજ ൌ 3，延长 㾰જ 到 퐷，使 13. 如图，在 જ퐷 ൌ ，连接 㾰જ、જ퐷、퐷 ，则四边形 㾰જ퐷 面积的最大值为________．
的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整 െ3.᭰8 分જ 在一幅长 80 ，宽 50 െ 个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，要求纸边的宽度不得少于 1 ，同时不得超过 െ ．
（1）求出 关于 的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （െ）此时金色纸边的宽应为多少 时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．
1 . 设 ൌ െ 1，当 取何值时 最小，最小是多少？当 ൌ 0 时， ൌ________，当 ᔰ 0 时， 的范围 是________，当 જ 0 时， 的范围是________． 15. 若抛物线 ൌ જ െ 的形状与 ൌ െ െ 的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是᭰0 3જ，则该抛物线 的函数表达式是________． 0，试写出一个满足条件的函数的表达 16. 已知二次函数 ൌ જ െ ܾ 的图象过点᭰ 1 െજ，并且 જܾ 式________． 17. 已知抛物线 ൌ െ 3 与 轴相交于点 ，其顶点为 ，平移该抛物线，使点 平移后的对应点 与点 重合，则平移后的抛物线的解析式为________． ൌ________． 18. 若把函数 ൌ െ െ 的形式，其中 ， 为常数，则 3 化为 ൌ ᭰ જെ 1 . 用长为 8 的铝合金条做一个如图所示的矩形窗框，设水平的一边长为 ，窗户的透光面积为 那么 与 之间的函数表达式为________．
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，y 有最小值0. B ．当2x =时，y 有最大值0． C ．当1x =时，y 有最小值1D ．当1x =时，y 有最大值12．若二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴，则下列说法中正确的是（ ）A ．该函数图象的对称轴是直线2x =B ．该函数图象与y 轴有可能交于点()0,2C ．若点()11,A c y -，()2,B c y 是该函数图象上的两点，则12y y <D ．该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧3．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<； ②13a c =-；③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝06．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12x =，且经过点()20，，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（ ） A ．134B ．154C ．238D ．2589．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（ ） A ．()()352005y x x =-- B ．()()354005y x x =-- C ．()()402005y x x =--D ．()()403755y x x =--10．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．已知()11y ，，()23y ，是函数226y x x c =-++图像上的点，则1y ，2y 的大小关系是______．14．如图，正方形ABCD 中，AD =4,AE =3DE ,点P 在AB 上运动（不与A 、B 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CB 于点Q ，则BQ 的最大值是______．15．已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，若-a b 的值为整数，则b 的值为___________． 16．抛物线y ＝a （x ﹣2）（x ﹣2a）（a 是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a 等于_____．17．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．18．抛物线23(2)4=---y x 的顶点坐标是______．19．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，过点E 作AE 的垂线交CD 边于点F ，设BE x =，FD y =，y 关于x 的函数关系图像如图所示，则m =________．20．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是___________．三、解答题21．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ 22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．23．已知地物线2y x bx c =-++()0a ≠与y 轴交于点A ，点()3,2B在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线x m =，请用含b 的式子表示m ；（2）如图1，过点B 作x 轴的垂线段，垂足为点C ．连结AB 和AC ，当ABC 为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知P 为x 轴上的一动点，连结AP 和BP ，当30APB ∠=︒时，求满足条件的点P 的坐标．24．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为 ；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像； （3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，3CN =．（1）把ABC ∆沿MN 折叠，使得点A 的对应点是点A '落在AB 边上（如图1）．求折痕MN 的长度；（2）如图2，若点P 在BC 上运动，且始终保持60MPN ∠=︒ ①请判断MBP ∆和PCN ∆是否相似？并说明理由；②当点P 在何位置时线段BM 长度最大，并求出线段BM 长度的最大值．26．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,2．试寻找一些点，使他们满足“到点A 与到x 轴的距离相等”．小明在探究过程中首先想到了OA 的中点M 满足条件，点M 到点A 和x 轴的距离都是1．接着，小明过x 轴上一点()4,0B 作x 轴的垂线l ．他认为在l 上应该有一个点N 到点A 与到x 轴的距离相等．（1）请你用尺规作图找出点N （不写画法，保留作图痕迹）并求出点N 的坐标； （2）小明用同样的方法又找出了一些符合条件的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来他发现这些点在一条对称轴为y 轴的抛物线上．请你根据以上探究和发现，求出这条抛物线的解析式；（3）请直接写出平面内到点A 和直线2y =-距离相等的点所在抛物线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解． 【详解】解：()()2221221y x x x x x =-+=----+=，二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．2．D解析：D 【分析】根据二次函数的对称轴公式可判断A ，根据函数图像与x 轴的交点求出c 的取值范围，可判断B ，根据c 的取值范围，结合函数的增减性可判断C ，根据函数的开口方向，对称轴，以及与y 轴交于正半轴可判断D ． 【详解】解：在二次函数22y x x c =-+中， 对称轴为直线x =221--⨯=1，开口向上， ∵二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点， 则对应方程220x x c -+=中， △=()224c --＞0，∴c ＜1，∵与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，即0＜c ＜1，∴该函数图象与y 轴不可能交于点()0,2， ∴-1＜c -1＜0， ∵函数开口向上， ∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴点()11,A c y -，()2,B c y 都在对称轴左侧， ∴12y y >，∵对称轴为直线x =221--⨯=1，与y 轴交于正半轴，开口向上， ∴该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧， 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，图像性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，结合图像回答问题．3．D解析：D 【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0， ∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3， ∴对称轴x ＝1， ∴当x ＝1时，y ＜0， ∴a +b +c ＜0； 故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c ＝0， 又∵b ＝﹣2a ， ∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0， ∴c ＝﹣3a ， ∴13a c =- ∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ，，要使△ABD 是等腰直角三角形， 则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°， ∵DE ⊥x 轴， ∴点E 是AB 的中点， ∴DE ＝BE ，即|244ac b a-|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ， ∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0，解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ， Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时， 在Rt △OBC 中， ∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7， 即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ， ∴c ＜0，c=，∴a 33c =-=． Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时， 在Rt △OAC 中， ∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15， 即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ， ∴c ＜0，c =，∴a 3c =-=Ⅲ、当AC ＝BC 时， ∵OC ⊥AB ， ∴点O 是AB 的中点， ∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾， ∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ．结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．D解析：D【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1，整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0，解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1，整理得：m 2﹣2m +1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2，整理得：m 2﹣2m +2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．5．D解析：D【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；B ．∵抛物线开口向上，∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．6．B解析：B【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；②根据抛物线与x 轴的交点即可判断；③根据二次函数的对称性即可判断；④由对称轴求出=-b a 即可判断．【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，∴0a <，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴0c >，∵对称轴是直线12x =， ∴122b a -=， ∴0b a =->，∴0abc <． 故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故②错误；③∵对称轴为直线12x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确；④∵由①中知=-b a ，∴0a b +=，故④正确；综上所述，正确的结论是③④共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．7．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ，则2，， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即333DE x=-， 解得：DE=()333x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴EF=3=33x -， ∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=()3313233x x --⨯⨯=()23318x -， 可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．8．A解析：A【分析】将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答．【详解】抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为（2b 、24b c +） ∴23142b bc +=+ 23124b bc ∴=+- 抛物线与y 轴交点的纵坐标为cn c ∴=23124b b n ∴=+-()21136944n b b ∴=--++ ()2113344n b ∴=--+ n ∴的最大值为134 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．9．B解析：B【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．【详解】解：设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，根据题意可得：[](35)2005(40)y x x =--- 即y=（x-35）（400-5x ），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．10．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.11．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数经过y 轴上的（0，c ），二次函数经过y 轴上的（0，-c ），∴两个函数图象交于y 轴上的不同点，故A ，C 选项错误；当a ＜0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D 选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>，∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴进而确定抛物线的增减性根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系【详解】解：∵∴抛物线的对称轴为∵a=-2<0∴抛物线开口向下∵1比3更接近对称轴∴故答案为：【点解析：12y y >【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴，进而确定抛物线的增减性，根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系．【详解】解：∵()2223926=23222y x x c x x c x c ⎛⎫=-++--+=--++ ⎪⎝⎭ ∴抛物线的对称轴为32x =∵a=-2<0∴抛物线开口向下 ∵1比3更接近对称轴，∴12y y >故答案为：12y y >．【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，根据二次函数的解析式确定对称轴的位置是解题的关键．14．【分析】先由正方形的性质及PQ ⊥EP 得出∠AEP=∠BPQ ∠A=∠B=90°从而可判定△APE ∽△BQP 根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4AE=3DE 得出AE 和DE 的长然后设BQ=yA 解析：43【分析】先由正方形的性质及PQ ⊥EP ，得出∠AEP=∠BPQ ，∠A=∠B=90°，从而可判定△APE ∽△BQP ，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE ，得出AE 和DE 的长，然后设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ，将相关数据代入比例等式，变形得出y 关于x 的二次函数，配方，即可得出答案.【详解】解：在正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，且PQ ⊥EP∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90°∴∠AEP=∠BPQ又∠A=∠B=90°∴△APE ∽△BQP ∴AE AP BP BQ=， 又AD=4，AE=3DE ，∴AE=334AD =，DE=4-3=1， 设BQ=y ，AP=x ，则BP=4-x ， ∴34x x y=- 化简得：21433y x x =-+， 整理得：()214233y x =--+， ∴当x=2时，y 有最大值为43，即BQ 的最大值是43， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.15．或1或【分析】首先根据题意确定ab 的符号然后进一步确定b 的取值范围根据a-b 的值为整数确定ab 的值从而确定答案【详解】解：∵抛物线的顶点在第三象限且过点∴a ＞0∴b ＞0a=2-ba-b=2-b-b= 解析：32或1或12 【分析】 首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定b 的取值范围，根据a-b 的值为整数确定a 、b 的值，从而确定答案．【详解】解：∵抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，∴a ＞0，02b a-<，20a b +-=， ∴b ＞0，a=2-b ，a-b=2-b-b=2-2b ，∴2-b ＞0，∴0＜b ＜2，∴-2＜2-2b ＜2，∵a-b 的值为整数，∴a-b=-1或0或1，∴2-2b=-1或2-2b=0或2-2b=1， 解得：b=32或b=1或b=12， ∴b=32或1或12， 故答案为：32或1或12． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出a 、b 的取值范围．16．-1【分析】令y=0时则有则有进而可得对称轴为直线然后可求抛物线顶点纵坐标为由此可得当a 不为±1时纵坐标不为整数进而可求解a 的值【详解】解：由题意得：令y=0时则有解得：∴抛物线与x 轴交点的坐标为由解析：-1【分析】令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则有122,2x x a==，进而可得对称轴为直线11x a =+，然后可求抛物线顶点纵坐标为12a a--+，由此可得当a 不为±1时，纵坐标不为整数，进而可求解a 的值．【详解】解：由题意得：令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得：122,2x x a==， ∴抛物线与x 轴交点的坐标为()2,0,2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的对称性可得对称轴为直线11x a =+， ∴把11x a =+代入抛物线解析式得顶点纵坐标为12y a a=--+， ∵顶点的纵坐标是一个正整数且a 是不等于0的整数，∴1a =±，当1a =时，y=0（不符合题意，舍去）；当1a =-时，y=4，（符合题意）∴1a =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0 解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a ->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件 ， 数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=， 故答案为13． 【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．18．【分析】根据题目中的抛物线可以写出该抛物线的顶点坐标本题得以解决【详解】解：∵物线∴该抛物线的顶点坐标为（2-4）故答案为：（2-4）【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是明确题意利用二次函数 解析：(2,4)-【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵物线23(2)4=---y x ，∴该抛物线的顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．2【分析】设正方形的边长为a 则CFEC 均可用a 表示证明△ABE ∽△ECF 写出比例式找到y 与x 之间的函数式根据二次函数的最值求法结合所给函数图象求出a 值而后可求m 值【详解】设正方形的边长为a 则CF=a解析：2【分析】设正方形的边长为a ，则CF 、EC 均可用a 表示，证明△ABE ∽△ECF ，写出比例式找到y 与x 之间的函数式，根据二次函数的最值求法，结合所给函数图象，求出a 值，而后可求m 值．【详解】设正方形的边长为a ，则CF=a-y ．∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF ．又∠B=∠C ，∴△ABE ∽ECF ， ∴BE FC AB EC =，x a y a a x-=-， 整理得：21y x x a a =-+， 当2a x =时，y 有最小值34a ， 从所给函数图象上看，当x m =时，y 有最小值3，∴334a =， 解得：4a =，∴22a x m ===． 故答案为：2．【点睛】 本题主要考查了动点问题产生的函数图象、相似三角形的判定和性质，解题的关键是动中找静，会阅读图象信息．20．4【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型以AB 中点为原点建立坐标系xOy 通过已知线段长度求出A(10)B(-1O)由二次函数的性质确定y ＝ax2－a 利用PQ ＝EF 建立等式求出二次函数中的参数a 即可得解析：4【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)，B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ．解得a ＝58-． ∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故答案为：0.4．【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．三、解答题21．甲：6元/kg ，乙8元/kg ；（2）当x =23时，利润最大，最大利润为6400元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为（x +2）元/千克，根据题意列方程即可得到结论；（2）设降价m 元，根据题意得到函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为（x +2）元/千克， 根据题意得，180********x x =+， 解得：x ＝6，经检验，x ＝6是方程的根，∴x +2＝8，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克，8元/千克；（2）设降价m 元，则利润W ＝（28﹣m ﹣15）（3000+1000m ）W ＝﹣1000m 2+10000m +39000W ＝﹣1000（m ﹣5）2+64000，∵﹣1000＜0，当m ＝5时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；【点睛】本题考查了二次函数的应用，分式方程的应用，正确的理解题意,列出方程和函数解析式是解题的关键．22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．23．（1）2b m =；（2）21y x =-+；（3）)12,0P ，)22,0P 【分析】（1）直接根据对称轴为2b x a=-代入a ，b 计算即可得出答案； （2）首先根据点B 的坐标及等边三角形求出AC ，OC 的长度，然后利用勾股定理求出AO 的长度，从而得出c 的值，最后将点B 代入解析式中即可求解；（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P 的位置从而可确定出点P 的坐标．【详解】（1）∵22b b x a =-=， ∴2b m =．（2）∵ABC 为等边三角形，BC x ⊥轴，)B ，∴2AC BC ==，OC =在Rt AOC 中，1AO ==∴1c =把)B 代入21y x bx =-++，得3b =，∴21y x =-+． （3）如图，由（2）知ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，∵30APB ∠=︒，∴2ACB APB =∠∠，由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，经过点P ． ∵P 在x 轴上，∴点P 即为圆C 与x 轴的交点，∵2BC =，∴2r，2CP =∵)C， ∴)12,0P ，由轴对称性可知，)22,0P ．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，y 时，x＜1或x＞3．（3）观察图象，0【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．25．（1）532MN =；（2）①相似，见解析；②当点P 位于BC 的中点时，线段BM 长度最大值为163【分析】 (1)根据等边三角形的性质和三角函数解答即可；(2)①根据相似三角形的判定解答即可；②根据相似三角形的判定和性质得出二次函数，进而利用二次函数的最值解答即可.【详解】解：（1）等边ABC ∆的边长为860A B C ∴∠=∠=∠=︒，8AB BC AC ===，3CN =，5AN ，把ABC ∆沿MN 折叠，点A 的对应点A '恰好落在AB 边上90NMA ∴∠=︒sin MN A AN∴= 35sin 60532MN AN ∴=⋅︒=⨯=（2）①60MPN ∠=︒，120MPB NPC ∴∠+∠=︒60B ∠=︒120MPB BMP ∴∠+∠=︒，NPC BMP ∴∠=∠，60B C ∠=∠=︒MBP PCN ∴∆∆。
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)单元测试卷(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)2．抛物线y＝x2－6x＋9与x轴的交点情况是( )A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．无法确定3．如图，抛物线的顶点是P(1，2)，当函数y的值随自变量x的增大而减小时，x的取值范围是( )A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜14．已知a＜－1，且点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( ) A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y35．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根6．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大7．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝－3．4，则方程的另一个近似根为(精确到0．1)( )A ．4．4B ．3．4C ．2．4D ．1．48． 已知，抛物线y ＝12x 2－x ＋2与直线y ＝x －2的图象如图所示，点P 是抛物线上的一个动点，则点P 到直线y ＝x －2的最短距离为( )A ．5 24B ．3 24C ．2D ．2二．填空题（共6小题，4*6=24）9． 抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 将抛物线y ＝2x 2＋16x －1绕顶点旋转180°后所得抛物线为__ __．11． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴、y 轴分别相交于A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．则该抛物线的表达式是______________．12． 出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x)个，则当x ＝ 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．13． 某涵洞的截面是抛物线形，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为y ＝－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12 m 时，水面到桥拱顶点O 的距离为________m ．14． 如图，抛物线y ＝－2x 2＋2与x 轴交于点A ，B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，C 2的顶点为F ，连接EF ．则图中阴影部分图形的面积为________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6．(1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标；(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？(3)当x在什么范围内时，y≤6?16．(8分) 施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道，其高度为6 m，宽度OM＝12 m，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果现有一辆宽4 m，高4 m的卡车准备要通过这个隧道，问它能顺利通过吗？17．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．18．(10分) 如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问将此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?19．(12分) 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C．P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．(1)求抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．参考答案1-4CACC 5-8DDDD9．高；(0，15)10．y ＝－2x 2－16x ＋111．y ＝－x 2＋2x ＋312．313．914．415．解：(1)∵y ＝－2x 2＋4x ＋6＝－2(x －1)2＋8，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1,8)．令y ＝0，则－2x 2＋4x ＋6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴图象与x 轴交点坐标是(－1,0)，(3,0)．(2)∵抛物线对称轴为直线x ＝1，开口向下，∴当x≤1时，y 随x 的增大而增大．(3)令y ＝－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x ＝0或x ＝2．∵抛物线开口向下，∴当x≤0或x≥2时，y≤6．16．解：(1)根据题意可知，抛物线顶点P 的坐标为(6，6)，∴可设这个抛物线的表达式为y＝a(x －6)2＋6．又∵这条抛物线过原点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，解得a ＝－16．∴这条抛物线的表达式为y ＝－16(x －6)2＋6．(2)当x ＝4时，y ＝－16×(4－6)2＋6＝513，∵4<513，∴这辆卡车能顺利通过．17．(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(－1，8)与点B(3，0)，∴{1－b ＋c ＝8，9＋3b ＋c ＝0，解得{b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴P(2，－1)，C(0，3)．过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y 轴交直线BM 于点N ，如图所示，S △CPB ＝S 矩形CHMN －S △CHP －S △PMB －S △CNB ＝3×4－12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△CPB 的面积为3 18．解：(1)由题意，得此二次函数为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．(2)①特征数为[4，－1]的函数为y ＝x 2＋4x －1，即y ＝(x ＋2)2－5．将此函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的图象表示的函数的表达式为y ＝(x ＋2－1)2－5＋1，即y ＝x 2＋2x －3．∴函数的特征数为[2，－3]．②特征数为[2，3]的函数为y ＝x 2＋2x ＋3，即y ＝(x ＋1)2＋2；特征数为[3，4]的函数为y ＝x 2＋3x ＋4，即y ＝(x ＋32)2＋74．∴平移过程为先向左平移12个单位，再向下平移14个单位．注意：符合题意的其他平移过程也正确．19．解：(1)把点A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得{－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得{b ＝2，c ＝3，所以抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)当t ＝2时，存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形．连接CP 交对称轴于点G ．当t ＝2时，点C ，P 关于x 轴对称．因为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，所以抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，3)，对称轴为直线x ＝1，所以OC ＝3，故点M 的坐标为(1，6)时，四边形CDPM 是平行四边形．当t ＝2时，不存在这样的点M ．理由：当四边形CDPM 是平行四边形，CG ＝PG ，所以点P 的横坐标t ＝2，矛盾．故不存在这样的点A ．(3)①如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ．则OH ＝t ，PH ＝－t 2＋2t ＋3，BH ＝3－t ，所以S ＝S 梯形OHPC ＋S 三角形PHB －S 三角形COB ＝12(OC ＋PH)×OH ＋12PH×BH －12OC×OB ＝12(3－t 2＋2t ＋3)×t ＋12(－t 2＋2t ＋3)(3－t)－12×3×3＝－32t 2＋92t(0<t<3)．②因为S ＝－32t 2＋92t ，－32＜0，所以S 有最大值．因为S ＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278，当t ＝32时，点P 在第一象限，故当t ＝32时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为(32，154)．由于BC ＝3 2为定值，所以此时点P 到直线BC 的距离最大．设最大距离为n ，所以12×3 2×n ＝278，解得n ＝9 28．故点P 到直线BC 的距离的最大值为9 28．。
北师大版数学九年级下册第二章：二次函数 综合单元测试题(含答案)
北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32. (1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。
北师大九年级下《第2章二次函数》单元测试卷(含答案解析)
2019年春北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）2．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+33．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2B．2或C．2或或D．2或或4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4B．8C．﹣4D．166．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞08．抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）9．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝﹣（x ﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米B．米C．16米D．米10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．若关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0一根小于1、另一根大于1，则k的取值范围是．12．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝．13．将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝2（x﹣2）2+4，则a＝，h＝，k＝．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为．15．飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝60t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行秒停下．16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是．17．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0在0＜x＜4范围内均有两个根，则a的取值范围是．18．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则抛物线的解析式为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q＝25，在平移过程中，若抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．20．（7分）某水果销售商发现一种高档水果市场需求量较大，经过市场调查发现月销售量y（箱）与销售单价为x（元/箱）之间的函数关系式为y＝﹣x+800，而这种水果的进价z（元/箱）与进货量y（箱）之间的函数关系式为z＝﹣y+400（假定：进货量＝销售量），已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元．（1）求月获利w（元）与x之间的函数关系式；（2）当销售单价x为何值时，月获利最大？并求出这个最大值．21．（8分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2.5﹣2﹣100.5…y…﹣5040﹣5…（1）求二次函数解析式，并写出顶点坐标；（2）在直角坐标系中画出该抛物线的图象；（3）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜﹣1，试比较y1与y2的大小，并说明理由．23．（8分）如图，课本中有一个例题；有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．24．（8分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？25．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB ＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．26．（10分）已知抛物线L：y＝x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．2019年春北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．2．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．3．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2B．2或C．2或或D．2或或【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝﹣；当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，当m＞1，x＝1时，y最大解得m＝2，综上所述：m的值为﹣或2，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝ax+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b ＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．5．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4B．8C．﹣4D．16【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．【解答】解：根据题意，得＝0，解得c＝16．故选：D．【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．6．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝5x2，∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．7．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由图象可知：x＝﹣1，y＜0，∴y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，∴＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故C正确；（D）对称轴x＝＜1，a＜0，∴2a+b＜0，故D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．8．抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）【分析】根据图象可知抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的对称轴为x＝﹣＝﹣1，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴该抛物线与x轴的另一个交点到x＝﹣1的距离为2，∴抛物线y＝ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的交点问题的两个交点到对称轴的距离相等．9．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝﹣（x ﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米B．米C．16米D．米【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．【解答】解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y＝﹣（x﹣80）2+16＝﹣（﹣10﹣80）2+16＝﹣，∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，（故①正确）；∵当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x＝2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．若关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0一根小于1、另一根大于1，则k的取值范围是k＜2．【分析】根据一元二次方程两根的范围可得出：当x＝1时，x2﹣（k+2）x+2k﹣1＜0，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0一根小于1、另一根大于1，∴当x＝1时，x2﹣（k+2）x+2k﹣1＜0，即1﹣（k+2）+2k﹣1＜0，解得：k＜2．故答案为：k＜2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由一元二次方程解的范围找出关于k的一元一次不等式是解题的关键．12．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2．【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x 表示出来，由此即可确定函数关系式．【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y＝a×（1+x）×（1+x）＝a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．【点评】此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2＝b来解题．13．将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝2（x﹣2）2+4，则a＝2，h＝4，k＝7．【分析】先确定抛物线y＝2（x﹣2）2+4的顶点坐标为（2，4），再根据点平移的规律得到点（2，4）平移后所得对应点的坐标为（4，7），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣2）2+4的顶点坐标为（2，4），把点（2，4）向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（4，7），所以平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣4）2+7．可得：a＝2，h＝4，k＝7，故答案为：2；4；7【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，点D（0，2），点M是抛物线上的动点．若△MCD是以CD为底的等腰三角形，则点M的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．【分析】当△MCD是以CD为底的等腰三角形时，则M点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△MCD是以CD为底的等腰三角形，∴点M在线段CD的垂直平分线上，∵抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点C，∴C（0，4），且D（0，2），∴CD中点E的坐标为（0，3），如图，过点E作CD的垂线与抛物线交于点M，∴M点纵坐标为3，在y＝﹣x2+2x+4中，令y＝3，可得﹣x2+2x+4＝3，解得x＝1±，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3），故答案为：（1+，3）或（1﹣，3）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．15．飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝60t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行25秒停下．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意，s＝﹣1.2t2+60t，＝﹣1.2（t2﹣50t+625﹣625）＝﹣1.2（t﹣25）2+750，即当t＝25秒时，飞机才能停下来．故答案是：25．【点评】本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝2时，s取最大值．16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是3＜a＜4或﹣＜a＜﹣．【分析】由＝﹣1可得出二次函数图象与x轴的交点位于y轴的两侧．分a＞0及a ＜0两种情况找出关于a的一元二次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【解答】解：∵＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的交点位于y轴的两侧．当a＞0时（如图1），有，解得：3＜a＜4；当a＜0时（如图2），有，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：3＜a＜4或﹣＜a＜﹣．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及解一元二次不等式组，分a＞0及a＜0两种情况找出关于a的一元二次不等式组是解题的关键．17．已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0在0＜x＜4范围内均有两个根，则a的取值范围是﹣1≤a＜3．【分析】根据关于x的方程在0＜x＜4范围内均有两个根，得到根的判别式大于0，且常数项大于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0在0＜x＜4范围内均有两个根，∴抛物线y＝x2﹣4x+3﹣a与x轴有交点，且当x＝0与x＝4时，y＞0，∴△＝16﹣4（3﹣a）＝4+4a≥0，且3﹣a＞0，解得：﹣1≤a＜3，故答案为：﹣1≤a＜3【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清题意是解本题的关键．18．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°，则抛物线的解析式为y＝x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．【分析】设点C的坐标为（0，m），然后根据题目中的数据可以求得AC、AB和BC的长，再根据∠ACB＝90°，由勾股定理可以求得m的值，然后将A、B和C的坐标代入函数解析式即可求得二次函数的解析式．【解答】解：设点C的坐标为（0，m），∴AC2＝（﹣1）2+m2＝1+m2，BC2＝m2+42＝m2+16，AB＝4﹣（﹣1）＝5，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即1+m2+（m2+16）＝25，解得，m＝±2，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+2或y＝ax2+bx﹣2将A、B的坐标代入函数解析式得，或解得，或∴二次函数解析式为：y＝x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2，故答案为：y＝x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标、用待定系数法求二次函数解析式，解答此类问题的关键是明确题意，求出m的值，会用待定系数法求函数解析式．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（7分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q＝25，在平移过程中，若抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算平移后的抛物线的解析式，并求抛物线过A、C时的解析式，根据平移规律，计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣4x+m过点B（3，9），∴9＝﹣4×3+m，解得：m＝21，∴直线的解析式为y＝﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y＝﹣4x+21上，∴n＝﹣4×5+21＝1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y＝﹣x2+px+q与直线y＝﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q＝n①，﹣20+m＝n②，y＝﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q＝2③，则有解得：，∴平移后的抛物线为y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6，顶点为（3，6），一次函数的解析式为：y＝﹣4x+22，A（5，2），∵y＝﹣x2+bx+c经过A（5，2），∴2＝﹣25+5b+c，∴c＝27﹣5b，∴y＝﹣x2+bx+27﹣5b＝﹣（x﹣）2+﹣5b+27，∴S＝﹣5b+27﹣6＝（b﹣10）2﹣4，由，﹣x2+bx+27﹣5b＝﹣4x+22，x2﹣（b+4）x+5b﹣5＝0，（x﹣5）（x﹣b+1）＝0，x1＝5，x2＝b﹣1，解得或，∵A、B在第一象限，∴，∴1＜b＜且b≠6，S随b的增大而减小，∴﹣＜s＜且S≠0，∵S＞0，∴0＜S＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．20．（7分）某水果销售商发现一种高档水果市场需求量较大，经过市场调查发现月销售量y（箱）与销售单价为x（元/箱）之间的函数关系式为y＝﹣x+800，而这种水果的进价z（元/箱）与进货量y（箱）之间的函数关系式为z＝﹣y+400（假定：进货量＝销售量），已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元．（1）求月获利w（元）与x之间的函数关系式；（2）当销售单价x为何值时，月获利最大？并求出这个最大值．【分析】（1）直接利用每箱利润×销量﹣其他费用＝总利润进而得出函数关系式；（2）利用配方法求出函数最值即可．【解答】解：（1）由题意可得：月获利w＝（x﹣z）y﹣20000＝[x﹣（﹣y+400）]（﹣x+800）﹣20000＝（x﹣x﹣240）（﹣x+800）＝﹣x2+880x﹣212000；（2）w＝﹣x2+880x﹣212000＝﹣（x﹣550）2+30000，当销售单价为550元时，月获利最大，最大值为30000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．21．（8分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），故答案为：180；（2）由题意得：y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．22．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2.5﹣2﹣100.5…y…﹣5040﹣5…（1）求二次函数解析式，并写出顶点坐标；（2）在直角坐标系中画出该抛物线的图象；（3）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜﹣1，试比较y1与y2的大小，并说明理由．【分析】（1）由于抛物线过（0，0）、（﹣2，0），则可设交点式y＝ax（x+2），再把（﹣1，4）代入求出a即可，然后配成顶点式得到顶点坐标；（2）利用描点法画函数图象；（3）根据函数图象得到抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x+2），把（﹣1，4）代入得a×（﹣1）×1＝4，解得a＝﹣4，所以抛物线的解析式为y＝﹣4x2﹣8x＝﹣4（x+1）2+4，所以顶点坐标为（﹣1，4）；（2）如图，（3）y1＜y2．理由如下：因为抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象．23．（8分）如图，课本中有一个例题；有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，表示出AD的长，根据矩形的面积公式列出函数解析会死，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD＝＝，则S＝1×＝m2；（2）设AB＝xm，则AD＝3﹣x（m），∵3﹣x＞0，∴0＜x＜，设窗户面积为S，由已知得：S＝AB•AD＝x（3﹣x）＝﹣+3x＝﹣（x﹣）2+，当x＝m时，且x＝m在0＜x＜的范围内，S取得最大值＞1.05，∴现在窗户透光面积的最大值变大．【点评】此题考查二次函数的应用，关键是利用矩形的面积公式列出函数解析式及熟练掌握二次函数的最值．24．（8分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根据题意，得：W＝W1+W2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．25．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB ＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．。
北师大版九年级数学下册《第2章 二次函数》单元测试卷【含答案】
北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞22．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（）A．（0，1）B．（1，O）C．（0，﹣3）D．（0，2）6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）27．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝﹣2x2+8x+3B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3C．y＝﹣2x2+8x﹣5D．y＝﹣2x‑2﹣8x+29．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+310．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0二．填空题（共5小题）11．若函数是二次函数，则m的值为．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为．13．二次函数y＝4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．三．解答题（共6小题）16．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？17．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．18．已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标；（2）对称轴为；（3）当x＝时，y有最大值是；（4）当时，y随着x得增大而增大．（5）当时，y＞0．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△＝b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．20．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值．（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞2【分析】根据二次函数的定义即可得．【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）【分析】二次函数表达式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x 1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．5．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（）A．（0，1）B．（1，O）C．（0，﹣3）D．（0，2）【分析】抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+1＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），故选：A．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令x＝0，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令y ＝0，可得到抛物线与x轴交点的横坐标．6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝﹣2x2+8x+3B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3C．y＝﹣2x2+8x﹣5D．y＝﹣2x‑2﹣8x+2【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．【解答】解：根据题意，设y＝a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3＝1，a＝﹣2．因此抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3＝﹣2x2+8x﹣5．故选：C．【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式．9．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣2x+4，＝x2﹣2x+1+3，＝（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x 1）（x﹣x2）．10．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．二．填空题（共5小题）11．若函数是二次函数，则m的值为﹣3．【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7＝2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．【解答】解：若y＝（m﹣3）x m2﹣7是二次函数，则m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，故（m﹣3）（m+3）＝0，m≠3，解得：m1＝3（不合题意舍去），m2＝﹣3，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，根据已知得出m2﹣7＝2，注意二次项系数不为0是解题关键．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为2π．【分析】根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，∵⊙O的半径为2，∴图中阴影部分的面积为：π×22＝2π．故答案为：2π．【点评】此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影部分面积是解题关键．13．二次函数y＝4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是（3，7）．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故答案为：（3，7）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有①②⑤．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．三．解答题（共6小题）16．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．17．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．18．已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标（﹣3，2）；（2）对称轴为x＝﹣3；（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可得对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；（4）根据二次函数的性质即可求解；（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），∴顶点横坐标为＝﹣3，由图可知顶点纵坐标为2，∴顶点坐标为（﹣3，2）；（2）对称轴为x＝﹣3；（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x＝﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△＝b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2﹣4ac的符号；（2）根据图象和x＝﹣1的函数值确定a﹣b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0；（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；（3）根据图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数的符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定．利用数形结合是解题的关键．20．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值．（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），可以求的a的值；（2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，∴a＝﹣1；（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，∴y1＜y2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．【分析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y＝﹣x+2易求D（4，6），由直线y＝x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t＝1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t＝3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点B的坐标为（1，）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y＝kx+b．∵直线BC经过点B（1，）和点C（2，2），∴解得∴直线BC的解析式为：y＝x+1；（2）∵抛物线y＝﹣x+2中，当x＝4时，y＝6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1．当x＝4时，y＝3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t＝1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t＝3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．。
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第二章二次函数
单元测试（2）
一、选择题
1.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）
A. 直线x=1
B. 直线x=﹣1
C. 直线x=﹣2
D. 直线x=2
2.若所求的二次函数图象与抛物线2
=--有相同的顶点，并且在对称轴
y2x4x1
的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）
A．224
=---（＞）
y ax ax a
y x x
=-++ B．2230
C．2
y ax ax a a
=-+-（＜）
=--- D．2230
y x x
245
3.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点P（3，0），则的值为（）
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
4.如果抛物线 y ＝－ x 2 +2( m －1) x + m +1与 x 轴交于 A 、 B 两点，且 A 点在 x 轴正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，则 m 的取值范围应是（）A． m ＞1 B． m ＞－1 C． m ＜－1 D． m ＜1
5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0
C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：
①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－5≤x≤0时，它的最大值与最小值分别是( )
A．1，－29 B．3，－29 C．3，1 D．1，－3
9.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a
x
与正比例函数y＝bx
在同一坐标系内的大致图象是( )
10.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )
A.y＝26
675x2 B.y＝
26
675
-x2 C.y＝
13
1350
x2 D.y＝
13
1350
-x2
二、填空题
11.如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．
12.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y ＝－2x 2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x ≤22，那么一周可获得的最大利润是________元． 13.在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．
14.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,A,B,C 分别为直线l 1,l 2,l 3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC 交直线l 2于点D.设直线l 1,l 2之间的距离为m,直线l 2,l 3之间的距离为n,若∠ABC ＝90°,BD ＝4,且
2
3
m n =,则m+n 的最大值为________.
15.如图，点P 是双曲线C ：
x y 4
=
（0>x ）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交
直线AB ：
221
-=
x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动，且点P 在
Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .
16.如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与
y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 的值为
三、综合题
17.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该同学把铅球推出去多远？
18.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.
19.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a ，b 的值；
(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
20.如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数2y kx k =-+的图象交于
A ,
B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别于x 轴、y 轴交于
C 、
D 两点，
且0k <.
（1）求A ,B 两点横坐标；
（2）若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E ,是否存在实数k ，使得2ODC BEC ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
第二章 二次函数 单元测试（2）答案
一、选择题
1. B
2.D
3. B
4.B
5. C
6. B
7. C
8.B
9.C 10.B 二、填空题 11. (-2，0) 12.1550
13. （－1010，10102） 14.
253
15. 3 16. 45
三、综合题
17.解：(1)设二次函数的解析式为y=a （x-4）2+3，把（0，0.6）代入得 0.6=a （0-4）2+3，
20
3:-=a 解得 3)4(20
3
2+--
=x y (2)当y=0时，
3)4(20
3
02+--
=x )
(52452421舍去解得：-=+=x x
答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m 远．
18. (1)y=120×2x ×x+20×(2x+4x)+45,化简，得y=240x 2 +180x+45. (2)195=240x 2 +180x+45, ∴解得x 1 =
,x 2 =
(舍去)，可得长为1.∴长 1 m ,宽 0.5 m .
19.解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，
解得⎩⎨⎧a ＝－1
2，b ＝3.
(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F.则S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4.S △ACD ＝12AD ·CE ＝1
2×4
×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x.则S ＝S △OAD ＋S
△ACD
＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋
8x(2<x<6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.
20.（1）∵A 、B 是
与的交点
，
， ∵点在点的右侧
，
点横坐标是1，
点
横坐标.
（2）由（1）可知和∵
∴由两点间距离公式可得： ∵△OAB 是以为腰的等腰三角形 ∴分为两种情况：
或
当时即
∵
当
时即
或
综上所述，或或
.
（3）存在，
或。