浅谈数形结合思想的应用

浅谈数形结合思想的应用

——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。

关键词：数形结合数学思想应用

1 引言

1.1问题提出的背景

纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。

数学往往被分为两大类：代数、几何。虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化繁为简。这就是数学上常用的数形结合思想。

1.2问题研究的意义

伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。

2 数形结合思想的重要地位

2.1使用数形结合思想的意义

数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。

2.2数形结合思想能够增加学生解决问题的策略的选择

在学生解决问题的过程中，画图是一种惯用的策略，早在小学课本中的解决问题的策略中有过介绍画图是我们分析题目的手段，是为了让学生更清晰直观了解题意，从而进一步让学生掌握抽象思维和推理。

在学习百分数和分数时，我们经常指导学生用线段图来分析题目。三个学生分一大包饼干，A分得总数的一半少1块，B分得剩下的一半多1块，C分得5块，求这包饼干一共有多少块？题干中的总数的一半少1块、得剩下的一半多1块同学们肯定很难理解，但是让学生们画出线段图，问题就显得更加清晰了，学生也更加容易理解。从图中很容易看出C分得的应该是剩下的一半少1块，所以剩下的一半是6块，所以剩下12块，而这12块就是总数一半多1块，故总数的一半是11块，显然一共有22块饼干。

通过这道例题能够看出，我们通过线段图的协助，清晰得整理了题目所给的条件，找到了解决问题的方法，逐步击破，解除答案。准确有效应用数形结合思想来作为解决问题的策略无疑是快速又简便的妙计。

2.3数形结合思想有助于学生形象思维水平的发展

思维是人脑借助已有的知识和经验，对客观事物的概括和间接的反应过程。所以思维的发展影响一个人的行为。数形结合思想更多的是一种形象思维，通过对实物或者表层含义自己构建出数学结构，这是“形”到“数”；通过文字描述或者信息变成直观的图形或者图像，这是“数”到“形”。

在高中我们学习立体几何时，在学习到点、线、面的位置关系以及一些定理的证明时，如果让学生死记硬背这些定理肯定是不可取的方法，课堂中我们往往会用钢珠、笔、桌面来代替点、线、面，这样我们就能够让学生自己动手操作，从而直观的感受到他们之间的位置关系，很好地协助学生理解并记住了定理。

实际操作中的数形结合能够很好地锻炼学生的形象思维水平的培养，大大增强了学生对于图形以及位置关系的空间想象水平，这就是“以数想形”，是我们常用的形象思维之一。

3 以形助数的数形结合思想在数学教学中的应用

3.1应用数形结合思想解决集合问题

例1：六年级（1）班有52名学生，现在学校组织三种不同的体育活动小组，根据学校规定：所有人都要参加，每人至少参加一个体育活动小组，也能够全都参加。据班主任统计参加篮球、乒乓球、足球小组的人数分别为25，26，17。同时参加篮球、乒乓球、足球小组的6人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的7人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的8人，问同时参加篮球、乒乓球、足球小组的有多少人？

分析：我们可用圆A ，B ，C 分别表示参加篮球、乒乓球、足球小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加篮球、乒乓球、足球小组的人数。 解：用n 表示集合的元素，则有

52)()()()()()()(=⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++C B A C A n C B n B A n C n B n A n 即52)(876172625=⋂⋂+---++C B A n

所以： 5)(=⋂⋂C B A n

即同时参加篮球、乒乓球、足球小组的有5人。

图3-1 集合韦恩图

3.2应用数形结合思想解决函数问题

例2 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+0

,0

x ,)21(21x 1x x 若0)(0>x f ,则0x 的取值范围是(D)。

A.(-1,1)

B.(-1, +∞)

C .(-∞, -2) ⋃ (0, +∞)

D.(-∞, -1) ⋃ (1, +∞)

图3-2 分段函数图像