《现代控制理论》第2章习题集.

《现代控制理论》第2章 习题集

2.1 试叙述处理齐次状态方程求解问题的基本思路?

2.2 叙述求解预解矩阵的简单算法，并编程计算例2.1.1中的预解矩阵。

2.3 状态转移矩阵的意义是什么？列举状态转移矩阵的基本性质。

2.4 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法有哪几种？已知状态转移矩阵，写出齐次状态

方程和非齐次状态方程解的数学表达式。

2.5 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵()t Φ。

(1) ， (2) 0102A ⎡⎤

=⎢−⎣⎦⎥0140A −⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， (3) 0112A ⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦

，

(4) ， (5) 010001254A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦0100001000010000A ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， (6) 00

001

001000

A λλλ

0λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2.6 试求状态转移矩阵

22222()552t t

t t t t t e e e e t e e e e −−−−−−−−⎡⎤

−−Φ=⎢⎥−+−+⎣⎦

t 的逆矩阵。

1()t −Φ2.7 一个振动现象可以由以下系统产生

0110x x ⎡⎤

=⎢⎥−⎣⎦&

证明该系统的解是

cos sin ()(0)sin cos t t x t x t t ⎡⎤

=⎢⎥−⎣⎦

并用MATLAB 观察其解的形状。

2.8 给定线性定常系统

0132x x ⎡⎤

=⎢⎥−−⎣⎦&

且初始条件为

1(0)1x ⎡⎤

=⎢⎥−⎣⎦

试求该齐次状态方程的解。

()x t 2.9 已知二阶系统的初始状态和自由运动的两组值： x Ax =&

1122(0),()1t t e x x t e −−⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 2212(0),()1t t t t e te x x t e te −−−−⎡⎤+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦

求系统的状态转移矩阵和状态矩阵。

2.10 为什么说状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系统的动态特性？

2.11 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的状态矩阵A 。

(i) ， (ii) 100()0sin cos 0cos sin t t t t ⎡⎤⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦

t 2210.5(1)()0t t e t e −−⎡⎤−Φ=⎢⎥⎣⎦ 2.12 给定矩阵

A σωωσ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦

证明:

cos()sin()exp sin()cos()t t t t e t e t e t e σσσσσωωωωσωω⎛⎞t t ⎡⎤⎡⎤=⎜⎟⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦

⎝⎠ 2.13 一般线性系统状态方程的解有哪几部分组成？各部分的意义如何？

2.14 考虑由下图给出的控制系统

图2.8 控制系统结构图

其中：控制器的传递函数是

1()1

K s s =

+ 被控对象的传递函数是 21()24

G s s s =++ 试分别确定控制器和被控对象的状态空间模型，进而利用函数series 和feedback 给出闭环系统的状态空间模型，并画出闭环系统状态的脉冲响应图。

2.15 已知线性定常系统的状态方程为010231x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦

&，初始条件为。若系统的输入为单位阶跃函数，试求状态方程的解。

1(0)1x ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦

2.16 连续时间状态空间模型离散化时需要注意哪些问题？

2.17 已知线性定常连续系统的状态空间模型为

[]100,10021x x u y −⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦

&x ， 设采样周期1T =秒，试求离散化状态空间模型。

2.18 试求以下线性时不变状态方程 010()()()021x t x t −⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦

&u t 的离散化方程，假定采样周期1T =秒。

2.19 已知系统的离散状态方程

(1)()(x k Gx k Hu k )+=+

其中：

011,0.111G H ⎡⎤⎡==⎤⎢⎥⎢−−⎥⎣⎦

⎣⎦ 若初始条件，输入是单位阶跃信号，即T (0)[11]=−x ()1u k =，试求状态

(1),(2),(3)x x x 。

2.20 已知离散时间状态方程

1122(1)()10.50.3()(1)()00.10.4x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 若初始状态

12(0)1(0)1x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦ 试求，使得系统状态在第二个采样时刻转移到原点。 )(k u