第三章 统计案例 思想方法篇

1 回归分析与独立性检验的理解与加深一、回归分析1.回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x . (注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2主要方便计算，其中(x i ，y i )为样本数据，(x ，y )为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势. 公式联系：是进行残差分析的基础. 2.样本相关系数的具体计算公式：r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱.当r 的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.规定当r >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b 的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r >0时，两个变量正相关；当r <0时，两个变量负相关. (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关.散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况.相关系数r 是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠.3.我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑ni ＝1 (y i －y ^i )2∑ni ＝1 (y i －y )2＝∑ni ＝1(y i －y )2－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑n i ＝1(y i －y )2用R 2来刻画回归的效果.对于已经获取的样本数据，R 2表达式中的∑ni ＝1(y i －y )2为确定的数.因此R 2越大，意味着残差平方和∑n i ＝1(y i －y ^i )2越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R 2越接近于1，表示回归的效果越好.R 2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R 2大的回归模型. 二、独立性检验(一)基础概念的梳理与理解1.分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种.像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种.2.两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的.3.2×2列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).(二)两个分类变量是否有关的粗略估计 等高条形图由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据a a ＋b 要比c c ＋d 小得多，因此，说明两分类变量X 和Y 有关系成立的可能性较大.重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况. (三)独立性检验的基本思想上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的.但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法.下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法. 1.基本思想与图形的联系假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：a a ＋b ≈cc ＋d ⇒|ad －bc |＝0.构造随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解).显然所构造的随机变量与|ad －bc |的大小具有一致性. 2.独立性检验的思想方法如果K 2的观测值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K 2的观测值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的.其思想方法类似于数学上的反证法. 3.得到K 2的观测值k 常与以下几个临界值加以比较：如果k >2.706，就有90%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >3.841，就有95%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >6.635，就有99%的把握认为两分类变量X 和Y 有关系；如果k >10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X 和Y 有关；如果k ≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 有关系.像这种利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.2 回归分析题型归纳相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析. 一、考查相关系数例1 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A.r 2<r 1<0 B.0<r 2<r 1 C.r 2<0<r 1D.r 2＝r 1解析 方法一 由散点图可以得出结论： 变量X 与Y 正相关；变量U 与V 负相关. 故r 1>0，r 2<0，因此选C. 方法二 由线性相关系数公式知r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.∵X ＝U ＝11.72，Y ＝V ＝3，X i ＝U i (i ＝1,2，…，5)，Y i ＝V 6－i (i ＝1,2，…，5)， ∴∑i ＝15(X i －X )2∑i ＝15(Y i －Y )2＝ ∑i ＝15(U i －U )2∑i ＝15(V i －V )2.令∑i ＝15(X i －X )(Y i －Y )＝A＝(10－X )(1－Y )＋(11.3－X )(2－Y )＋(11.8－X )·(3－Y )＋(12.5－X )(4－Y )＋(13－X )(5－Y )，∑i ＝15(U i －U )(V i －V )＝B＝(10－U )(5－V )＋(11.3－U )(4－V )＋(11.8－U )·(3－V )＋(12.5－U )(2－V )＋(13－U )(1－V )，∴A >0，B <0，∴r 1>0，r 2<0. 答案 C二、考查线性回归直线的性质例2 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2求得.b ^＝57，a ^ ＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′.选C.三、考查线性回归直线方程的应用例3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________. 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故线性回归方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.533 巧解非线性回归问题如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想. 一、案例分析例 一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：试建立某项指标y 关于温度x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果. 分析 根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型.解 画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y ＝Bx 2＋A 的周围.令X ＝x 2，则变换后的样本点应该分布在y ＝bX ＋a (b ＝B ，a ＝A )的周围. 由已知数据可得变换后的样本数据表：计算得到线性回归方程为y ^＝0.199 94X ＋4.999 03.用x 2替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ^＝0.199 94x 2＋4.999 03. 计算得R 2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好.点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决. 二、知识拓展常见的非线性函数转换方法：(1)幂型函数y ＝ax m (a 为正数，x ，y 取正值)解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝m v ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数. (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)解决方案：对y ＝ca x 两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数.与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝kx(k >0)解决方案：令u ＝1x ，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数.(4)二次函数y ＝ax 2＋c解决方案：令u ＝x 2，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数. (5)对数型函数y ＝c log a x解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数.4 两个变量线性相关的判法汇总一、由散点图判断两个变量线性相关例1 “阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：(1)画出散点图，并判断各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 是否具有线性相关关系？(2)若具有线性相关关系，求回归方程，然后再进一步根据回归方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额.分析 先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测. 解 (1)散点图如图所示.由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近.所以各店铺该季度的销售额y 与店铺附近地区大学生人数x 具有线性相关关系.(2)由表中数据可知x ＝1.4，y ＝13，∑i ＝110x 2i －10x 2＝5.68，∑i ＝110x i y i －10x y ＝28.4.所以b ^＝28.45.68＝5，a ^＝13－5×1.4＝6.因此回归方程是y ^＝5x ＋6.当x ＝1时，y ^＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元. 评注 本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力.通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用.二、由样本相关系数判断两个变量线性相关例2 2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：试问：(1)对x 与Y 进行相关性检验；(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出回归方程.分析 可通过计算相关系数判断Y 与x 是否具有相关关系，如果Y 与x 具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归方程.解 (1)①作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系. ②由小概率0.05与n －2＝8在附表中查得r 0.05＝0.632. ③根据已知数据，可求得x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950. 因此，r ＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8.④|r |>0.632，即|r |>r 0.05从而有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因而求回归方程是有意义的.(2)设所求的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^ ＝y －b ^ x ＝54.96.因此，所求的回归方程是y ^＝0.668x ＋54.96.评注 求解两个变量的相关系数及它们的回归方程的计算量大，需要细心、谨慎地计算.。