矢量场的通量和散度

Φ=
M s
∫∫
s
r r D dS =
q 4π R 2
ro r ∫∫ r dS
s
q = 4π R 2
q dS = 4π R 2 = q ∫∫ 4π R 2 s
第二章 场论 2 散度
r ∆Φ divA = lim = lim ∆Ω→ M ∆V ∆Ω→ M
∫∫
∆S
r r A dS ∆V
定理 在直角坐标系中，矢量场 r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k 在任一点M(x,y,z)的散度是
6 2 3 cos α = , cos α = , cos α = 7 7 7
第二章 场论
µn = [( Ry − Qz ) cos α + ( Pz − Rx )cos β + (Qx − Py ) cos γ ]M
6 2 3 2 = [(2 z + 2 x y ) + (3 xz − 0) + (−4 xyz − 0) ]M 7 7 7 18 = 7
第二章 场论
∆Γ µn = lim ∆S → M ∆S = ( Ry − Qz ) cos α + ( Pz − Rx )cos β + (Qx − Py ) cos γ αβγ分别是方向n与三坐标轴的交角
例2 求矢量场A=xz3i-2x2yzj+2yz4k在点M(1,-2,1)处沿矢量 r r r r n = 6i + 2 j + 3k 方向的环量面密度 r n 的方向余弦 解：求出矢量
∆l
∫
r r A dl ∆S
例如 在磁场强度H所构成的 磁场中沿方向n 的环量面密度
µn = lim
∆l
r r ∫ H dl ∆S
∆s → M
∆I dI = lim = ∆s → M ∆S dS
3）环量面密度的计算公式 r r r 在直角坐标系中设 A = P( x, y, z )i + Q ( x, y, z ) r + R( x, y, z )k j
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
第二章 场论 旋度计算的基本公式 r r rot (CA) = CrotA （C为常数） r r r r rot ( A + B ) = rotA + rotB r r r rot (uA) = urotA + gradu × A （u为数性函数） r r r r r div( A × B ) = B rotA − A rotB rot ( gradu ) = 0 r div(rotA) = 0 例 证明 证令
第二章 场论 旋度的定义 若在矢量场A中的一点M处存在这样一个矢量R，矢量场A在点M 处沿其方向的环流面密度最大，这个最大的数值正好就是R的模， 则成R为矢量场A在点M处的旋度，记作rot A r r rotA = R r r r r 直角坐标系中有 rotA = ( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k r r r i j k r ∂ ∂ ∂ rotA = ∂x ∂y ∂z P Q R r r r r 所以斯托克顿公式也可以写成 ∫ A dl = ∫∫ rotA dS
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
k =1
l
1）环量的定义
Γ=
∫
l
r r A dl
第二章 场论
r r r r 在直角坐标系中 A = P( x, y, z )i + Q ( x, y, z ) j + R( x, y, z )k r r r r dl = dl cos(t , x)i + dl cos(t , y ) j + dl cos(t , z )k r r r = dxi + dyj + dzk
第二章 场论 3）散度运算的基本公式 r r div (cA) = cdivA r r r r div ( A + B ) = div ( A + B ) r r r div ( µ A) = µ divA + grad µ A
xyz 例4 已知 ϕ = e , r = xi + yj + zk r 求 divϕ r
r ∂P ∂q ∂R divA = + + ∂x ∂y ∂z
第二章 场论
r r ∆Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
∆s ∆s
∂P ∂q ∂R = ∫∫∫ ( + + )dV ∂x ∂y ∂z ∆Ω ∂P ∂q ∂R ∆Φ = + + ∆V 根据中值定理有 ∂x ∂y ∂z M′ 其中M′为在ΔΩ内的一点，由此 M′ r ∆Φ ∂P ∂q ∂R divA = lim = lim [ + + ]M ∆Ω→ M ∆V ∆Ω→ M ∂x ∂y ∂z 当ΔΩ缩向M的时候，M′就趋于M所以有 r ∂P ∂q ∂R divA = + + ∂x ∂y ∂z
m
Φe =
∫∫
s
m i =1
r r D dS =q
Φ e = ∑ Φ i = ∑ qi = Q
i =1
（高斯定理）
在电荷连续分布的电场中，电位移矢量D的散度为
r r D dS ∆V
r divD = lim
∫∫
∆S
∆Ω→ M
∆Φ e ∆Q = lim = lim =ρ ∆Ω→ M ∆V ∆Ω→ M ∆V
第二章 场论 由斯托克斯公式有 r r ∆Γ = ∫ A dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∆l ∆l
= ∫∫ ( Ry − Qz )dydz + ( Pz − Rx )dxdz + (Qx − Py )dxdy
∆s
= ∫∫ [( Ry − Qz ) cos(n, x) + ( Pz − Rx ) cos(n, y ) + (Qx − Py ) cos(n, z )]dS
第二章 场论 第三节 矢量场的通量及散度 ●简单曲线 ●简单曲面 ●有向曲线 ●有向曲面 1、通量
r r r r dQ = vn ds = (v n )ds = v (nds ) r r = v ds
其中
r r ds = nds
单位时间流量 电通量 磁通量
r r Φ = ∫∫ v ds r r Φ = ∫∫ D ds r r Φ = ∫∫ B ds
0
2π
(3R 2 sin 4 θ cos 2 θ + 3R 2 cos 4θ sin 2 θ )d θ ∫
0
2π 3 3 = R 2 ∫ sin 2 2θ dθ = π R 2 0 4 4
第二章 场论 2）环量面密度 矢量场A在点M处沿方向n的环量面密度
∆Γ µn = lim = lim ∆s → M ∆S ∆s → M
∂Dx q r 2 − 3x 2 ∂Dy q r 2 − 3 y 2 ∂Dz q r 2 − 3z 2 , , , ⇒ = = = 5 5 5 r 4π r 4π r ∂x 4π ∂y ∂z
r q r 2 − 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ divD = =0 5 r 4π
（r≠0)
第二章 场论 再根据推论3，例2的结论 利用通量的叠加
第二章 场论 例3 在点电荷q所产生的静电场中，求电位移矢量D在任何点M处 的散度 r q r r 取点电荷所在的点为坐标原点此时 D = 3 4π r r r r = xi + yj + zk , r = r 其中 qx qy qz Dx = , Dy = , Dz = 3 3 因此 4π r 4π r 4π r 3
r r Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
第二章 场论 例1 设由矢径r=xi+yj+zk构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2 及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S，求是两场r从S内穿出S的 通量 z r r r r Φ = ∫∫ r dS + ∫∫ r dS s1 s2 s1 r r s2 ∫∫ r dS = ∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy y s1 s1
第二章 场论 1）通量的定义 通量的叠加性
r r Φ = ∫∫ An dS = ∫∫ A dS
m r r r r m Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ ∑ Ai dS = ∑ i =1 i =1
r r m ∫∫ Ai dS = ∑ Φi
i =1
在直角坐标系中 r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k r r dS = ndS = dS cos(n, x )i + dS cos(n, y )i + dS cos(n, z )i = dzdyi + dxdzj + dxdyk 通量可以写成
l s
第二章 场论 例 求矢量场A=x2y2z2i+z2sinyj+x2eyk的旋度 解 r r r i j k r ∂ ∂ ∂ rotA = ∂x ∂y ∂z xy 2 z 2 z 2 sin y x 2 e y r r r 2 y 2 y 2 = ( x e − 2 z sin y )i + 2 x( y z − e ) j − 2 xyz k
有
Γ=
∫
l
r r A dl =
∫ Pdx + Qdy + Rdz
lHale Waihona Puke Baidu
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
∆s
由中值定理有
∆Γ = [( Ry − Qz ) cos(n, x) + ( Pz − Rx ) cos(n, y ) + (Qx − Py ) cos(n, z )]M ′ ∆S
当Δs→M时，M′ →M
∆Γ = [( Ry − Qz ) cos(n, x) + ( Pz − Rx ) cos(n, y ) + (Qx − Py ) cos(n, z )]M ∆S
第二章 场论 推论1
∫∫
s
r r r A dS = ∫∫∫ divAdV
V
推论2 若在封闭曲面Snei处处有divA=0则有 r r r ∫∫ A dS = ∫∫∫ divAdV
s V
推论3 若在矢量场A内某些点（或者区域）上有divA≠0或者 divA不存在，而在其他店上都有divA=0，怎穿出包围这些点 （或者区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一个常数
4 2
第二章 场论 2、旋度 环量面密度 µn = ( Ry − Qz ) cos α + ( Pz − Rx )cos β + (Qx − Py ) cos γ r r r r 设有矢量 R = ( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k r r r ro 设有单位矢量 n = cos α i + cos β j + cos γ k r ro r r ro 可以发现 µn = R n = R cos( R, n ) 在给点处，R在任一方向n的投影，为该方向的环流面密度 矢量R的模是该点环流密度的最大值 的
= ∫∫ Hdxdy = H ∫∫ dxdy = π H 3
σ1 σ1
x
r r ∫∫ r dS = ∫∫ rn dS = ∫∫ 0dS = 0
s2 s2 s2
r r r r Φ = ∫∫ r dS + ∫∫ r dS = π H 3
s1 s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 r q ro n D= r 2 4π r 求从内穿出S的电通量Φ